Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, no. 4, dezembro, 1997
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Centro de Massa de Uma Caneca em Rotac~ao com
Nvel de Lquido Variavel
( (Center of Mass of a Rotating Can with a Varying Level of Liquid)
Jose Pedro Rino e Christovam Mendonca
Departamento de Fsica,
Universidade Federal de S~ao Carlos
Via Washington Luiz, Km 235, 13565-905, S~ao Carlos, SP
Trabalho recebido em 26 de outubro de 1996
Foi determinado o centro de massa de uma caneca girante parcialmente cheia com lquido.
Apresenta-se uma discuss~ao relacionando o nvel do lquido e a altura mnima do centro de
massa para o conjunto em rotac~ao.
The center of mass of a rotating can, partially lled with a liquid, was determined. A
discussion relating the level of the liquid and the minimum position of the center of mass
for this rotating system is presented.
I. Introduc~ao
A analise de maximos e mnimos de func~oes e calculo
de centro de massa de corpos s~ao alguns dos topicos comumente estudados nos cursos introdutorios de fsica e
matematica. A determinac~ao da localizac~ao do centro
de massa de um sistema n~ao e um problema novo, mas
seu estudo propicia a discuss~ao de resultados bastante
interessantes e muitas vezes n~ao obvios.
Neste artigo discutimos a localizac~ao do centro de
massa de uma caneca cilndrica parcialmente cheia de
lquido, girando com velocidade angular constante em
torno de seu eixo vertical. A quest~ao de interesse e:
Para qual nvel do lquido a altura do centro de
massa do sistema sera mnima?
Quando analisamos o sistema em repouso e facil
ver que o centro de massa esta situado a meia altura
tanto para a caneca totalmente vazia quanto totalmente
cheia (a massa da base n~ao e considerada neste problema). Ao se introduzir algum lquido o centro de
massa desloca-se inicialmente para baixo, e logicamente
passa por um mnimo antes de retornar a meia altura.
Demonstra-se que a altura do centro de massa e mnima
quando coincide com o nvel do lquido [1].
Ao considerar a caneca em rotac~ao chega-se a uma
soluc~ao analoga a do caso estatico: o centro de massa
de uma caneca contendo lquido e estando em rotac~ao
tem seu centro de massa na altura mais baixa quando
o nvel do lquido, na condic~ao estatica, coincidir com
a altura do centro de massa do sistema girante (caneca
+ lquido).
O sistema e discuss~ao
Na Fig. 1 mostramos a caneca nas duas situac~oes,
parada e em rotac~ao. As quantidades de interesse s~ao
denidas por:
HC - altura da caneca
R - raio da caneca
Z0 - altura da coluna do lquido em repouso
! - velocidade angular
ZI - nvel inferior do lquido em rotac~ao
ZS = nvel superior do lquido em rotac~ao
MC - massa da caneca (sem os tampos)
ML - massa do lquido que enche a caneca
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J. Pedro Rino e C. Mendonca
CL = M1
Z
Z0
Figura 1. Caneca em (a) repouso e (b) rodando com uma
certa quantidade de lquido.
Considerando a densidade do lquido constante e a
simetria da distribuic~ao de massa, o centro de massa
estara localizado ao longo do eixo vertical na posic~ao
dada por
+ MZ0 CL
CSist: = MCMCC +
M
C
Z0
(1)
onde CC e o centro de massa da caneca vazia, sendo
igual a HC =2 quando ignoramos os tampos. CL e o
centro de massa do lquido, o qual sera Zo =2 quando
n~ao estiver em rotac~ao. MZ0 e a massa de lquido de
altura Zo , de modo que MZo = ML (Z0 =HC ):
Quando a caneca gira uniformemente a superfcie do
lquido atinge o equilbrio sob a ac~ao das forcas gravitacional e centrfuga (quando visto no sistema de coordenadas girante), resultando para sua sec~ao transversal
uma forma parabolica dada por
2 2
Z(r; !) = ZI + !2gr
(2)
onde Z e r s~ao as coordenadas de um ponto na supercie do lquido e g a acelerac~ao da gravidade. Pode-se
facilmente mostrar que um paraboloide solido tem seu
volume igual a metade do volume do cilindro reto que o
circunscreve, e como o lquido n~ao tem seu volume variado ao entrar em rotac~ao, podemos deduzir as relac~oes
ZS = Z0 + !2 R4g
(3a)
2
ZI = Z0 ; !2 R4g ;
(3b)
2
e
que s~ao as posic~oes superior e inferior do nvel do lquido
quando em rotac~ao (ver Fig.1).
O centro de massa do lquido e dado por
Z dm = R22Z
R
Z
0
0
0
r dr
Z (!)
Z
0
0
Z dZ
0
0
(4)
que pode ser diretamente integrado, resultando em
!4 R4
CL = Z20 + 96g
(5)
2Z
0
e apos substituic~ao na Eq. (1) obtemos a express~ao para
o centro de massa de todo sistema (caneca + lquido):
2
ML Z02 + ML (!4 R4=48g2) (6)
CSist: = 12 MC HC + M
H +M Z
C C
L
0
Introduzindo as grandezas adimensionais =
MC =ML; x = Z0 =HC e 2 = !2 R2 =(4gHC ), podemos
reescrever a equac~ao acima na forma mais compacta
2
4
(7)
CSist: = 21 HC + x ++x
=3 :
A m de se achar o mnimo de Csist: fazemos
(dCsist:=dx) = 0 para x igual a um valor particular
xmin, e da express~ao resultante extraimos a identidade
2
4
xmin = 12 + x ++x
=3 x=x
min
(8)
que e equivalente a Eq. (7).
A altura minima Z0min correspondente e dada pela
raiz positiva da Eq. (8)
p
Z0min = HC xmin = HC f + 2 + 4 =3 ; g: (9)
A soluc~ao estatica [1] e obtida se zermos = 0.
A rotac~ao do sistema, no que se refere a localizac~ao
do centro de massa, somente eleva a posic~ao do seu
mnimo.
Figura 2. Regi~ao de restric~ao para a velocidade angular
baseado nas condic~oes ZS HC e ZI 0:
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E importante salientar que estes resultados est~ao
limitados para valores de ! tal que o lquido n~ao transborde (ZS HC ) ou que o fundo da caneca n~ao que
visvel (ZI 0). Utilizando da Eq. (3), estas condic~oes
implicam que ! devera satisfazer simultaneamente as
condic~oes
!2 4gZ0 =R2 e !2 4g(HC ; Z0 )=R2
(10a)
ou em termos das variaveis adimensionais,
2 x ; e 2 1 ; x :
(10b)
Na Fig. 2 ilustramos estas restric~oes: para um dado
valor Z0 para o nvel inicial do lquido, a velocidade angular pode ser aumentada somente ate o valor tal que
2 (x) esteja dentro da area delimitada pelo tri^angulo
hachurado de quadrados.
O comportamento de Csist: como func~ao de Z0 para
alguns valores dos par^ametros e 2 e mostrado na Fig.
3. Somente est~ao tracados os pontos que satisfazem
as restric~oes da Eq. (10). Pode-se observar que para
canecas consideravelmente leves em relac~ao ao lquido
que a encheria, a condic~ao do centro de massa mnimo
so pode ser realizada com rotac~oes lentas e baixos nveis
iniciais de lquido.
Figura 3. Centro de massa como func~ao da altura do lquido
para varias velocidades angulares e (a) MC =ML = 0:01; (b)
MC =ML = 0:1, e (c) MC =ML = 1:0.
Refer^encias
1. Marie Baehr, Phys. Teach. 30, 3436 (1992).