Conceitos Gerais de
Grandezas Físicas
Prof. WAGNER SINDICI
Introdução


A Física é a base de toda engenharia e tecnologia. Nenhum
engenheiro pode projetar uma tela plana de TV, uma nave espacial
ou mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes entender os
princípios básicos da Física.
Quando desejamos medir algo como por exemplo o comprimento
de um objeto estamos medindo uma quantidade ou grandeza física.
A medida de uma grandeza física é expressa pelo número de vezes
que a unidade padrão, tomada como referência, está contida na
grandeza a ser medida. O valor de uma medida é composto por
duas partes inseparáveis: o número e a unidade padrão em que a
grandeza foi expressa. Claramente, a informação de que uma
pessoa saltou "15" de distância está incompleta, porque se foram
15 cm, 15 polegadas ou até 15 m, é completamente diferente.
Comprimento, tempo, massa, velocidade, aceleração, Força
energia, trabalho e potência são algumas das grandezas físicas.
Essas grandezas físicas podem ser medidas ou calculadas. Para
dar o resultado de uma medida ou de um cálculo, temos sempre
que adotar uma unidade. Antigamente existia um sistema que no
caso de comprimento baseava-se em tamanho de um pé, de um
dedo como o polegar e assim por diante. Como o comprimento de
um pé, assim como o de um polegar variava de uma pessoa para
outra foi preciso adotar padrões. Hoje, para facilitar os cálculos e a
comparação entre os resultados de medidas quase todos os países
do mundo adotam o Sistema Internacional (SI) de unidades.
A partir de 1955, a Organização Internacional de Normalização (ISO
– International Standard Organization) adotou um sistema de
grandezas físicas baseado nas sete grandezas de base. Todas as
outras grandezas derivadas são definidas a partir das grandezas de
base.

Para medir a intensidade de cada grandeza criou-se os múltiplos e
submúltiplos das unidades no SI com suas abreviações que podem
ser conhecidas na próxima tabela.
Vamos tentar usar esses prefixos no caso da unidade metro:
103m = 1 quilômetro = 1 km
10-3m = 1 milímetro = 1 mm
10-6m = 1 micrometro = 1 µm
10-9m = 1 nanometro = 1 nm
Porem, realizar medidas não é tão fácil assim, devido aos seus
possíveis erros que podem ser causados por uma série de fatores
que iremos estudar.
Teoria de Erros
Se tentarmos efetuar uma série de medidas de uma mesma
grandeza (tal como tempo de queda de um objeto de uma altura
fixa) empregando os mesmos métodos, os mesmos instrumentos de
medida, e nas mesmas condições experimentais, obtém-se
resultados diferentes. Sendo assim, que número deverá ser
assumido como medida da grandeza? Qual o valor que melhor a
representará?
As medidas podem ser de dois tipos, diretas e indiretas:
Medida Direta: É a medida (leitura) obtida diretamente do
instrumento de medida.
Ex. altura (a leitura é feita diretamente na trena); tempo (leitura feita
diretamente no cronômetro). Nesta categoria ainda temos:
Medida direta de uma única medida: Quando somente uma
leitura é suficiente. Ex. Medida da largura de uma mesa. Basta
medirmos uma única vez.
Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos
várias vezes a mesma grandeza para minimizar a imprecisão na
medida. Ex. tempo de queda de um corpo. Medimos várias vezes e
tiramos à média.
Medida Indireta: É quando uma medida é obtida com o auxílio de
uma equação.
Por exemplo: a determinação da velocidade final de um corpo preso
por um fio em translação na direção vertical (aceleração constante).
Os erros ocorridos nas medidas podem ser classificados
como:
Erros Grosseiros: exclusivo da falta de prática do experimentador;
erros de leitura.
Erros Sistemáticos: ocorrem sempre num mesmo sentido. Podem
ser devido ao experimentador, como atraso (ou antecipação) ao
acionar um cronômetro; a um erro de paralaxe ou erro de
calibração.
Erros de Flutuação: decorrem de fatores imprevisíveis.
A teoria de erros desconsidera os erros grosseiros e sistemáticos e
estuda os erros de flutuação.
Uma única medida - incerteza
O critério é o seguinte: Quando efetuamos uma única medida
tomamos como incerteza da medida a metade da menor
subdivisão.
Exemplo: Efetuando uma medida de um comprimento - largura de
uma mesa, por exemplo: 62cm utilizando uma trena com precisão
de 1mm. A incerteza na medida será de: 0,5mm que corresponde à
metade da menor divisão da trena. Tal que a representação ficará
então l = (620,0±0,5)mm. O que significa que o valor medido está
entre 619,5mm e 620,5mm, ou seja, possui uma incerteza de
0,5mm para mais ou para menos.
Para Várias Medidas:
Necessitamos primeiramente tirar a média das medidas
(que será o valor mais provável da medida) e calcular o
desvio, assim vejamos como se calculam essas
quantidades.
Vamos representar uma medida da grandeza x por x1,
uma segunda medida realizada nas mesmas condições
de x1, da mesma grandeza x, será representada por x2,
e sucessivamente para as demais medidas. Dessa
forma, x1, x2, x3, x4, x5,...........,xn representam um
conjunto de medidas realizadas, da mesma forma e com
as mesmas condições, de uma dada grandeza x.
Caso se tenha diferentes medidas para uma mesma grandeza,
como expressamos o valor dessa grandeza?
Para isso, utilizamos o valor médio. Uma vez que todas as medidas
foram obtidas da mesma forma (com as mesmas condições), o
peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a média que
utilizaremos será uma média aritmética simples:
Uma vez conhecida a média, poderemos aplicar vários métodos
para identificação, tratamento e resolução dos erros, tais como:
Desvio Absoluto
O desvio da primeira medida, 1 x , em relação à média é dado pela
diferença.
. O desvio da segunda medida, 2 x , em relação à
média é dado pela diferença
, e de forma similar para o cálculo
do desvio das demais medidas. Esse desvio nos dirá o quanto à
respectiva medida estará distante do valor médio; se o desvio for
negativo significa que a medida está abaixo da média; se o desvio
for positivo significa que o valor da medida está acima da média. De
uma forma geral, podemos escrever os desvios como:
Desvio Médio
Desvio Relativo

Desvio Padrão
Incerteza ou desvio padrão da medida ou erro da média
Exemplo 01


Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do
comprimento L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com
uma régua cuja menor divisão era 1 cm, de modo que os milímetros
foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações
até décimos da menor divisão da escala do instrumento).
Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como
comprimento da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada
da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem
nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela ao lado mostra
os valores obtidos nas dez medidas realizadas.
Tabela 1.1
n
Ln (cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5,7
5,8
5,5
5,6
5,5
5,7
5,8
5,7
5,9
5,8
N = 10
Ln = 57 cm
(cm)
0,0
+ 0,1
 0,2
 0,1
 0,2
0,0
+ 0,1
0,0
+ 0,2
+ 0,1
n Ln = 1,0 cm
Calculando-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se que
é o valor mais provável para o comprimento da barra.
O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N
de medidas.
Define-se o desvio de uma medida do conjunto pela diferença entre o
valor medido (Ln) e o valor médio.
Li = (Li  L )
O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na
tabela. Desse conjunto deve-se extrair a incerteza que afeta o valor
adotado ( valor médio ). Considera-se, para esse fim, a média
aritmética dos valores absolutos dos desvios denominada desvio
médio :
L 
  Ln
N
=
(0,0 + 0,1+ 0,2 + 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,1+ 0,0 + 0,2 + 0,1)
1,0
cm =
cm = 0,1 cm
10
10

Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor
médio (= 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve
estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra
pode ser expresso como:
L = (L   L) ou seja L  (5,7  0,1) cm
Quantas casas depois da vírgula devemos utilizar quando
efetuamos uma medida?
Observe quantas casas de precisão o instrumento fornece. Por
exemplo, o cronômetro possui duas casas de precisão.
Assim,devemos representar o resultado com duas casas de
precisão. No caso da trena, seria a metade da menor divisão, então
0,5mm, tal que o resultado da medida deve ser expresso com uma
casa após a vírgula. Onde os arredondamentos de quaisquer
resultados devem obedecer à regra dos algarismos significativos.
O que são algarismos significativos?
Algarismos significativos são os números que representam uma
dada medida.
Essa medida deverá conter os algarismos exatos (valores dos quais
temos certeza da medida) mais o primeiro algarismo duvidoso ou
incerto.
Algarismos significativos = Algarismos exatos + um único
algarismo duvidoso
Portanto, nas dez medidas efetuadas na determinação do
comprimento da barra, tem-se dois algarismos significativos
Operações com algarismos significativos
Adição e Subtração
Suponha que se deseje adicionar as seguintes quantidades: 2807,5 +
0,0648 + 83,645 + 525,35. Para que o resultado da adição contenha
apenas algarismos significativos, você deverá, inicialmente, observar qual
(ou quais) das parcelas possui o menor número de casas decimais. Em
nosso caso, essa parcela é 2807,5, que possui apenas uma casa
decimal. Esta parcela será mantida como está. As demais parcelas
deverão ser modificadas, de modo a ficar com o mesmo número de casas
decimais que a primeira escolhida, abandonando-se nelas tantos
algarismos quantos forem necessários. Levando em conta a regra de
arredondamento: número superior a cinco (inclusive) arredonda-se para
cima e abaixo de 5 o último algarismo permanece invariável.
Adição - (12.441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20) = 12.620,1001 = 12.620
Subtração - (12.441,2  7.856,32) = 4.584,88 = 4.584,9
Assim ficaremos com:
2807,5 permanece inalterada.................................... 2807,5
0,0648 passa a ser escrita ........................................ 0,1
83,645 passa a ser escrita ........................................ 83,6
525,35 passa a ser escrita ........................................ 525,4
O resultado correto é ................................................. 3416,6.
Na subtração, deve-se seguir o mesmo procedimento.
Multiplicação e Divisão
Suponha que desejemos, por exemplo, multiplicar 3,67 por 2,3.
Realizando normalmente a operação encontramos 3,67 x 2,3 =
8,441.
Entretanto, procedendo desta maneira, aparecem, no produto,
algarismos que não são significativos. Para evitar isto, devemos
observar a seguinte regra: verificar qual o fator que possui o menor
número de algarismos significativos e, no resultado, manter apenas
um número de algarismos igual ao deste fator. No nosso caso, o
fator que possui o menor número de algarismos significativos é 2,3,
tal que devemos manter, no resultado, apenas dois algarismos, ou
seja: 3,67 x 2,3 = 8,4.
Na aplicação desta regra, devemos ao abandonarmos algarismos
no produto, usar o critério de arredondamento, que diz: número
acima de 5 inclusive arredondasse para cima e número abaixo de
cinco permanece invariável.
Para a divisão o procedimento é análogo.
Multiplicação - (12,46 x 39,83) = 496.2818 = 496,28
Divisão - (803,407 / 13,1) = 61,328 = 61,3
Na potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo
número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do
radicando (radiciação):
Potenciação - (1,52 x 103)2 = 2,31 x 106
Radiciação - (0,75 x 104)1/2 = 0,87 x 102
Exercício
01) Foram efetuadas 8 medidas do diâmetro (D) de um cabo, como mostra a
tabela ao lado. Com esse conjunto de medidas, obtenham o valor médio e o
desvio médio. Apliquem a teoria dos algarismos significativos e expressem os
resultados no modo adequado de acordo com essa teoria.
Valor Médio:
D=
 Dn = 97, 7 = 12,2125 mm
N
8
n
Dn (mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
12,2
12,3
12,1
12,2
12,2
12,1
12,4
12,2
N= 8
Dn = 97,7mm
Desvio Médio:
D 
  Dn =
N
55,00 x 10-2
mm = 0,06875 mm  0,07 mm
8
Dn (102 mm)
- 1,25
+ 8,75
- 11,25
- 1,25
- 1,25
- 11,25
+ 18,75
- 1,25
Dn = (55,0010-2 )mm
O valor da grandeza é D = (12,2125  0,06875). No entanto, observa-se que a
incerteza no valor médio, isto é, o desvio médio, afeta a segunda casa
decimal desse valor. Assim, os outros algarismos posteriores perdem o
significado e não são significativos, já que entre os algarismos significativos
é admitida a presença de um único algarismo duvidoso. No entanto, esses
algarismos presentes tanto no valor médio quanto no desvio médio devem ser
considerados para efeito de cálculo, devendo ser desprezados na
apresentação final . Escreve-se o resultado final da seguinte maneira:
D = (12,21  0,07) mm
Exercícios
1. Quantos algarismos significativos têm os seguintes números ?
a) 31.04
b) 0.34000
c) 0.00050
d) 0.0034000
e) 20500(50)
f) 1400000
g) 0.54721 ± 0.00005 h) 7205000(750)
i) 5000(50)
j) 1400000(500)
k) 1.3205(0.3)
l) 0.532(0.7)
m) 0.00050(7)
n) 0.0034000(30)
2. Seja R = A − B. Determine o número de algarismos significativos de
R quando A = 424.409(0.5) e B = 424.392(0.5). Comente os
resultados obtidos.
3) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados
corretamente, em termos de algarismos significativos.
(a)
(b)
(c)
m
32,75 g
72,19 cm
4,189 g
m
0,25 g
2,3 cm
0,0219 g
(a) ( 32,8  0,3 ) g
(b) ( 72  2 ) cm
(d) ( 123  3 )x10 2 m
(e) ( 8237  3 )x10 h
(d)
(e)
12314 m 82372 h
276 m
28 h
(c) ( 4,19  0,02 ) g

4. Consideremos os seguintes dados:
Nome
Idade
Nome
Idade
Paula
22 Gonçalo
22
Manuel
24 Pedro
20
Carla
26 Cristina
24
Maria
23 Sofia
28
João
21 Susana
30
Encontre o desvio padrão da amostra de idades.
5) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes (
N = 5 ), forneceu a tabela:
a)
b)
c)
n
1
2
3
4
5
Ln (m)
2,21
2,26
2,24
2,22
2,27
Encontrar o valor médio:
Encontrar o desvio médio:
Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos
L

L
n
N
 2,240m
|L

L 
n
N
L |
 0,02m
L  ( L  L )  (2,24  0,02)m