ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁ
SÉRIE ITA/IME
PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS
SEDE
ALUNO(A)
TC
Nº
TURMA
TURNO
RUMO AO ITA – SEMANA 07
DATA ___/___/___
MATEMÁ
TICA
Raiz
POLINÔMIOS
Dado um polinômio P, se P ( α ) = 0 , dizemos que α é
Polinômio de uma Variável
uma raiz (ou zero) de P.
Chamamos polinômio de grau n a forma descritiva:
Igualdade de Polinômios
n
a 0 x 0 + a1x1 + a 2 x 2 + … a n x n = ∑ a1x1
Consideremos dois polinômios f e g de mesmo grau:
i =0
⎧n ⊂ N;
⎪a , a , a , …, a sã o reais ou complexos;
⎪ 0 1 2
n
onde ⎨
≠
a
0;
n
⎪
⎪⎩x é uma variá
vel.
f = a 0 x 0 + a1x1 + a 2 x 2 + … + a n x n
g = b0 x 0 + b1x1 + b 2 x 2 + … + b n x n
Dizemos que f é igual a g se, e somente se, a1 = b1
• Exemplos
para todo i ( i ≤ n ) .
a) 4 + 3x − 7x é um polinômio de grau 2.
2
b) 7x − 4x 7 é um polinômio de grau 7.
Algoritmo da Divisão
c) 7x 9 é um polinômio de grau 9.
d) 27 é um polinômio de grau 0.
5
e) 4 − x é um polinômio de grau 1.
3
Dado o polinômio A ( x ) e um polinômio B ( x ) nãonulo, existe, e é único, o par de polinômios Q ( x ) e R ( x ) ,
f) ix 2 + ( 2 + i ) x − 3 é um polinômio de grau 2.
A definiçã o pode ser estendida, incluindo o 0 como
polinômio. Tal polinômio é chamado de polinômio duplo
(ou identicamente nulo). Para esse polinômio nã o é definido
o grau.
Dado um polinômio P, o grau de P poderáser notado
por ∂P.
Dado um polinômio P, na variá
vel x, ele poderáser
representado por P(x).
Dado um polinômio:
P ( x ) = a 0 x + a1x + a 2 x + … + a n x ,
0
1
2
P ( α ) = a 0α + a1α + a 2α + … + a n α
1
2
n
Grau
Dados dois polinômios P e Q, tais que ∂P ≥ ∂Q ,
entã o:
a) P = Q ⇒ ∂P = ∂Q
b) ∂ [ P ⋅ Q ] = ∂P + ∂Q
c) ∂ [ P : Q ] = ∂P − ∂Q
d) ∂ [ P + Q ] ≤ ∂P ( se P + Q ≠ 0 )
OSG.: 16921/09
a) A ( x ) = Q ( x ) ⋅ B ( x ) + R ( x ) e
b) R ( x ) ≠ 0 ⇒ ∂R ( x ) < ∂B ( x ) .
• Observações
A(x)
B( x )
A ( x ) : dividendo
R (x)
Q(x)
B ( x ) : divisor
Q ( x ) : quociente
R ( x ) : resto
n
para obtermos o seu valor numérico para x = α , basta,
substituindo x por α, calcular o valor de:
0
satisfazendo as seguintes condições:
1. Se tivermos R ( x ) = 0 , a condiçã o a resume-se em
A ( x ) = Q ( x ) ⋅ B ( x ) , e, neste caso, podemos dizer que:
a) A ( x ) é divisível por B ( x ) .
b) B ( x ) é um divisor de A ( x ) .
c) A ( x ) é um múltiplo de B ( x ) .
d) A divisã o de A ( x ) por B ( x ) é exata.
2. Se
A(x)
B( x ) A ( x ) .
é
divisível
por
B( x ) ,
escrevemos
RIO
TC – MATEMÁTICA
c) Baixamos o 1ºalgarismo 2.
d) 2 ⋅ 3 + 0 = 6; 6 ⋅ 3 –7 =11; 11 ⋅ 3 + 3 = 36;
36 ⋅ 3 –1 = 107.
e) 2, 6, 11 e 36 sã o os coeficientes do quociente.
f) 107 é o resto.
3. Casos particulares.
a) Se A ( x ) = 0 , entã o Q ( x ) = 0 e R ( x ) = 0 .
∂A ( x ) < ∂B ( x ) ,
b) Se
Q(x) = 0
entã o
e
R (x) = A(x) .
c) Nos demais casos, isto é, aqueles em que
∂A ( x ) ≥ ∂B ( x ) , tem-se ∂A ( x ) = ∂Bx + ∂Q ( x ) .
• Exemplo 2
(3x 4 − 2x 4 + x 2 − 7x + 1) : (3x − 5) ,
Teorema do Resto
( 3x − 5 ) = 3 ⎛⎜ x −
O resto da divisã o de um polinômio P ( x ) por ( x − a )
⎝
é P (a ) .
acordo com a tabela abaixo.
5
3
Divisor
Resto
P(x)
x+a
P ( −a )
P(x)
x –a
P (a )
P(x)
ax + b
P(x)
ax –b
dividir
primeiro
por
3
−2
1
−7
1
3
5
3⋅ − 2
3
3
5
3⋅ +1
3
6
5
6⋅ − 7
3
3
5
3⋅ +1
3
6
3
Quociente: x 3 + x 2 + 2x + 1
Resto: 6
⎛ b⎞
P⎜ − ⎟
⎝ a⎠
⎛b⎞
P⎜ ⎟
⎝a⎠
Máximo Divisor Comum de Polinômios
Má
ximo divisor comum de vá
rios polinômios
P1 ( x ) , P2 ( x ) , … , Pn ( x ) é um polinômio de maior grau, da
forma K ⋅ D ( x ) , que divide separadamente os polinômios
Teorema de D’Alembert
dados, sendo K um número real qualquer, nã o-nulo.
D ( x ) − a 0 x n + a1x n −1 + … + a n ; se a 0 = 1 ,
diremos que D ( x ) é um polinômio unitá
rio. Se D é um
Seja
A condiçã o necessá
ria e suficiente para que o
polinômio P ( x ) seja divisível por ( x − a ) é que a seja uma
raiz de P ( x ) , isto é, P ( a ) = 0 .
má
ximo divisor comum e é unitá
rio, entã o indicaremos:
mdc ( P1 , P2 , …, Pn ) = D ( x )
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Cálculo do Máximo Divisor Comum
• Exemplo 1
(
)
Um dos métodos para o cá
lculo do má
ximo divisor
comum é o das divisões sucessivas:
a) Dados os polinômios P1 ( x ) e P2 ( x ) com ∂P1 ≥ ∂P2 .
Vamos efetuar a divisã o 2x 4 − 7x 2 + 3x − 1 : ( x − 3) .
3
vamos
que
5⎞
⎛
⎜ x − ⎟ e depois por 3.
3⎠
⎝
De uma maneira mais geral, podemos ter como
divisor: ( x + a ) ; ( ax + b ) ; ( ax − b ) , onde o resto é dado de
Dividendo
5⎞
⎟,
3⎠
lembrando
2
0
−7
3
−1
2
2⋅3+0
6⋅3−7
11 ⋅ 3 + 3
36 ⋅ 3 − 1
2
6
11
36
107
b) Deixar P1 e P2 na forma reduzida e ordenada,
dividindo-se em seguida P1 por P2 .
c) Seja R1 o resto da divisã o anterior. Se R1 = 0 ,
entã o, se P2 for um polinômio unitá
rio,
x
mdc ( P1 ⋅ P2 ) = P2 , caso contrá
rio o má
ximo divisor
Quociente: 2x 3 + 6x 2 + 11x + 36
Resto: 107
comum seráK ⋅ P2 , tal que KP2 seja unitá
rio.
Se R1 ≠ 0 , entã o:
Sequência:
a) Em cima, à direita, como o divisor é (x – 3),
marcamos 3.
b) Em cima, em seguida, escrevemos todos os
coeficientes do dividendo (mesmo os que sã o
iguais a zero), ordenados segundo as potências
decrescentes de x:
d) Prosseguir na divisã o, isto é, dividir P2 por R1 . Seja
R 2 o resto desta segunda divisã o. Se R 2 = 0 ,
e R1 for um polinômio unitá
rio, entã o o
mdc ( P1 ⋅ P2 ) = R1 , caso contrá
rio o má
ximo divisor
rio.
comum seráK ⋅ R1 , tal que KR1 seja unitá
2
OSG.: 16921/09
TC – MATEMÁTICA
Sendo R 2 ≠ 0 , prosseguir com
sucessivas até obter um resto nulo.
as
2. Indicando as raízes da equaçã o: x100 − 7x − 1, 25 = 0 ,
por x1 , x 2 , x 3 , … , x100 podemos afirmar que
divisões
100
e) O má
ximo divisor comum é o último divisor
utilizado; se ele for uma constante, dizemos que os
polinômios sã o primos entre si.
∑ ( xi )
a)
b)
c)
d)
e)
Mínimo múltiplo comum de vá
rios polinômios
P1 ( x ) , P2 ( x ) , …, Pn ( x ) é o polinômio de menor grau na
K ⋅M(x)
divisível
pelos
polinômios
dados
com
a
cujas raízes sã o 1, a, b, c,
(1 − a ) ⋅ (1 − b ) ⋅ (1 − c ) ⋅ … ⋅ (1 − t ) vale:
anotaçã o:
a)
b)
c)
d)
e)
Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum
Para se obter o mínimo múltiplo comum de
polinômios, pode-se proceder de acordo com a seguinte
regra:
a) Achar o má
ximo divisor comum dos polinômios
dados.
b) O mínimo múltiplo comum é dado por:
M(x) =
t.
Entã o,
n, somente se o grau do polinômio for par.
n, somente se o grau do polinômio for ímpar.
2n, somente se o grau do polinômio for ímpar.
3n, somente se o grau do polinômio for ímpar.
n, qualquer que seja o grau do polinômio.
1
, e se
2
q 2 ( x ) e r2 sã o o quociente e o resto, respectivamente,
1
da divisã o de q1 ( x ) por x + , entã o r2 é igual a:
2
1
a)
256
−1
b)
16
c) 1
d) –16
e) 256
quociente da divisã o polinomial x 8 por x +
Se M ( x ) for um polinômio unitá
rio, indicaremos com
a notaçã o mmc ( P1 , P2 ) = M ( x ) , caso contrá
rio, o mínimo
K ⋅ M(x)
...,
4. Se q1 ( x ) e r1 sã o, respectivamente, o resto e o
P1 ( x ) ⋅ P2 ( x )
D(x)
múltiplo comum será K ⋅ M ( x ) , onde
70
700
–12,5
125
n.d.a.
3. (Mack-SP) Dado o polinômio p ( x ) = x n − 1 , n ∈ N * ,
separadamente, onde K é um número real nã o-nulo.
rio, indicaremos
Se M ( x ) for um polinômio unitá
o mínimo múltiplo comum
mmc ( P1 , P2 , … , Pn ) = M ( x ) .
é igual a:
i =1
Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios
forma
100
é
polinômio unitá
rio.
Divisibilidade por (x – a)(x – b)
5. Dado f ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , o resto da divisã o de
Se um polinômio P ( x ) é divisível separadamente por
( x − a ) e ( x − b ) , com
( x − a )( x − b ) .
( )
f x 5 por f ( x ) é:
a ≠ b , entã o P ( x ) é divisível por
a) 1
b) x 4 + 1
c) 3
Consequência:
Dividindo-se P ( x ) por ( x − a ) , e depois dividindo-se
d) x 5 + 1
e) 5
os quocientes que forem sendo obtidos por ( x − a ) , ao fim
de r divisões sucessivas, se todos os restos forem nulos,
P ( x ) serádivisível por ( x − a ) ' .
Ga barito
01
E
EXERCÍCIOS
02
D
03
A
04
B
05
E
1. Um polinômio p ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c , satisfaz as
seguintes condições: p (1) = 0
e p ( −x ) + p ( x ) = 0 ,
qualquer que seja x real. Qual o valor de p ( 2 ) ?
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
Acrísio Fernandes
Rev.: CALS
30/4/2009
3
OSG.: 16921/09