Aluno: ________________________________________________
Ano/Turma: 3º Ano/131,132,133,134
Data: 03/06/2015
Disciplina: Matemática
.
Professor(a): Marcelo Haubert
.
Lista de Exercícios
Polinômios – Lista Base
3
2
b)p c)q – p. d)p + q e)pq
Identificação a)q
1. Entre as expressões abaixo, as que representam um polinômio 27. Sejam f, g e h polinômios de graus 2, 3 e 4,
respectivamente. O grau do polinômio f.(g–h) é:
na variável x, são:
28. Sejam P(x) e Q(x) dois polinômios de grau n. Se t é o grau
3
2
–2
3
2
4
2
a)x + 4x + 7x b)x + 2 x + 4 c)x +5x d) 2x + 1/x e)x +x + x
de P(x) + Q(x), temos
Operações: Divisão – Euclides
f)x2 + x-1+6 g)2x3+ x2 + x +7 h)x4 + x-2 + 2 i)x³-x+8 j)x3 + x + x2/3
Grau 29. Encontre o quociente e o resto da divisão de:
a) a)P(x)= x³+2x²+4x-2 por Q(x)= x²+6
2. O polinômio do 2º grau é
4
4
2
5
2
-1
2
2
a)x +2x -6x+2 b)x +7 c)x +x +6 d)(x+1) - x +3 e)(x + 2)(x – 3) b) b)T(x)= 2x 5-x³+2x²+4x-2 por S(x)= x²+2x+6
2
3
2
+2x²-4x+8 por M(x)= x³-x²+2x+6
c)
c)R(x)=
2x
3. O polinômio (m – 4)x + (m – 2)x – (m + 3) é de grau 2 se,
4
d) d)A(x)= 2x -x³+2x²+4x-2 por B(x)= x+3
somente se,
2
4
2
3
2
Operações: Divisão – Briot-Ruffini
4. O valor de a para que (a – 1)x + (a – a – 2)x + ax + x seja
um polinômio de 2º grau na variável x é
30. Encontre o quociente e o resto da divisão de:
5. Calcule
m
∈
IR
de
modo
que
o
polinômio a)P(x)= x³+2x²+4x-2 por Q(x)= x+6
4
3
4
2
2
P(x) = (m –1)x + (m –1)x + 5x – 7 seja do 1º grau em relação a x. b)T(x)= 2x -x³+2x²+4x-2 por S(x)= x-2
5
Valor Numérico c)R(x)= 2x4+2x²-4x+8 por M(x)= x-1
2
-x³+2x²+4x-2 por B(x)= x+3
d)A(x)=
2x
6. Se P(x) = 3x + 12x – 7, então P(-1) vale
3
2
Operações: Divisão – Coeficientes a Determinar
7. Se P(x) = x + 2x + kx – 2 e P(2) = 0, então k vale
n
31. Encontre o quociente e o resto da divisão de:
8. Dado o polinômio P(x)=x +x+3, se n for ímpar, então P(-1) vale
2
por Q(x)= x+6
9. Seja: P(x) = (x –2)(x +bx+ c). Sabendo que P(-1) = 0 e P(0) = 6, a)P(x)= x³+2x²+4x-2
4
b)T(x)= 2x -x³+2x²+4x-2 por S(x)= x²+6
os valores de b e c são, respectivamente,
5
10. Dado polinômio P=x3-2x2+mx-1, onde m ∈ IR, seja P(a) o valor c)R(x)= 2x4+2x²-4x+8 por M(x)= x³-x²+2x+6
d)A(x)=
2x
-x³+2x²+4x-2 por B(x)= x²+3
de P para x = a. Se P(2) = 3P(0), então P(m) é igual a
Teorema do Resto
11. O polinômio P(x) do 1º grau tal que P(1) = 5 e P(-1) = 1 é:
Raiz/Teorema da Fatoração 32. Encontre o resto em cada caso:
a)P(x)= x³+2x²+4x-2 por Q(x)= x+5
12. Verifique se os valores dados são raízes dos polinômios:
4
b)T(x)= 2x -x³+2x²+4x-2 por S(x)= x-1
a)P(x)=x²-x-2 raízes:1,2 b) P(x)= x³ - 4x² + 4x raízes:0,1,2
5
c)R(x)=
2x
+2x²-4x+8 por M(x)= x-3
c)P(x)=x³+4x²+4x+1 raízes:-1,1 e 3
10
10
33. O resto da divisão de x + a por x + a com a ∈ R* é
d)P(x)=(x-2)(x+3)(x-1) raízes:1,2,-3
34. O polinômio P(x) dividido por (x - 1) dá resto -4 e dividido por
13. Construa polinômios com as seguintes raízes:
(x - 2) dá resto 4. O resto da divisão de P (x) por (x - 1) (x - 2) é
a)raízes:1,2 b) raízes:0,-1,2 c) raízes:2+i,2,2-i
Polinômios Identicamente Nulos 35. Dividindo-se o polinômio P(x) por (x - 2) obtém-se resto 6.
14. Os
valores
de
m,n,r,
para
os
quais Dividindo-se o mesmo polinômio por (x + 2) obtém-se resto 10.
2
Então, o resto da divisão de P(x) por (x - 2) (x + 2) é
P(x)=(2m-1)x +(5n–2)x+(3r-2) é o polinômio nulo, são
15. Qual o maior valor entre a, b, c, d sabendo
P(x)= (a+b-c)x³+(2b-d)x²+(c-6d)x+4d-8 é identicamente nulo?
que
Teorema de D’Alembert
36. Verifique se o 1º. polinômio é divisível pelo 2º.:
por Q(x)= x+6
Polinômios Idênticos a)P(x)= x³+2x²+4x-2
4
16. Se ax2 + bx + c é idêntico a 2x2 – 5, então a + b + c vale
17. O polinômio P(x)= ax3+bx2+cx+d é idêntico a Q(x)=5x2-3x+4. O
valor de a + b + c + d é
2
3
3
2
18. Se F(x)= 2p+q+(p+3)x-2px + x é idêntico a P(x)=x –4x +5x+2,
então a relação entre p² e q² é(> ou < ou =)
3
2
19. Sendo x + 1 = (x + 1)(x + ax + b) para todo real x real, os
valores a e b são, respectivamente
20. Se x - 2 = A + B , então
x2 + x x +1 x
21. Sendo A e B, tais que: x + 4 = A − B , para todo x ≠ 0 e x ≠
x 2 + 2x x x + 2
-2. Então A – B vale
Operações: Adição/Subtração/Multiplicação
22. Considerando os polinômios P(x)=x+6 e Q(x)=x²+4x-2, realize
as operações:
a) P(x)+Q(x) b) P(x)-Q(x) c) Q(x)-P(x) d) 2P(x)+3Q(x)
e) P(x).Q(x) f) 2P(x).Q(x)
3
2
2
3
2
23. Sejam os polinômios f = 2x – 3x + 3, g = x + 3 e h = x – 2x .
Os números reais a e b, tais que f =a.g + b.h, são respectivamente:
3
2
24. Sejam os polinômios P = x – 2x + x, Q = 2x – 1 e R = x + 1.
Efetuando-se P + Q . R, obtém-se
25. Se p e q são polinômios de graus 4 e 5, respectivamente, então
obtenha o grau de:
a)p + q b)pq c)p-q d)q – p
26. Seja p um polinômio de grau 4 e q um polinômio de grau 8. Os
polinômios a seguir tem grau:
b)T(x)= 2x -x³+2x²+4x-2 por S(x)= x+1
5
c)R(x)= 2x +2x²-4x+8 por M(x)= x-1
4
d)A(x)= 2x -x³+2x²+4x-1 por B(x)= x+1
37. Se o polinômio f(x) = 3x2 + 7x - 6k é divisível por x - 3, então
k é igual a
a
38. O resto da divisão do polinômio p(x) = x - 5x - 2 por x - 2 é
4. O grau do polinômio p(x) é
Respostas
1)c,i; 2)e 3) m=-2 4)-1 5) m=1 6)-16 7)-7 8)1 9)-2 e -3 10)-3
11)2x+3 12a)1 não 2 sim 12b)1 não 0 e 2 sim
12c)1 e 3 não -1 sim 12d)todas são raízes
13a)P(x)=x²-3x+2 13b)P(x)=x³-x²-2x 13c) x³-6x²+13x-10
14)m=1/2, n=2/5, r=2/3 15)maior é c pois a=11 b=1 c=12 d=2
16)-3 17)6 18)são iguais(p²=q²) 19)-1 e 1 20) A=3 e B=-2
21)1 22a)x²+5x+4 b)-x²-3x+8 c) x²+3x-8 d) 3x²+14x+6
e) x³+10x²+22x-12 f) 2x³+20x²+44x-24 23)1 e 2
3
24) x +2x-1 25a)5 b)9 c)5 d)5 26a)24 b)8 c)8 d)8 e)12 27)8
28) t ≤ n 29a)q=x+2, r=-2x-14 b)q=2x²-5x, r=34x-2
c)q=2x²+2x-2, r=-16x²-12x+20 d)q=2x³-7x²+23x-65, r=193
30a)q=x²-4x+28, r=-170 b) q=2x³+3x²+8x+20, r=38
4
c) q=2x +2x³+2x²+4x, r=8 d) q=2x³-7x²+23x-65, r=193
31a) q=x²-4x+28, r=-170 b)q=2x²-x-10, r=10x+58
c)q=2x²+2x-2, r=-16x²-12x+20 d)q=2x²-x-4, r=7x+10
10
32a)-97 b)5 c)16 33a) 33b) 33c) 34)2a 35)8x-12 36)-x+8
36a)Não(resto=-170) b)Não(resto=0) c)Não(resto=8)
d)Sim(resto=0) 37)8 38)4
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