Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
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Assunto: Estruturas Isostáticas – Momento Fletor e
Cortante
Prof. Ederaldo Azevedo
Aula 6
e-mail: [email protected]
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.1 Generalidades
 As forças são classificadas em: externas e internas.
 Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças
externas: ativas (cargas) e reativas (reações de apoio),
apresentam
mudança
da
forma
geométrica
(deformações). No momento em que um corpo deforma,
entra em estado de tensão.
 Tensão é o estado que a matéria assume decorrente de
uma deformação.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.1 Generalidades
 As forças se transmitem internamente de um ponto a
outro em um determinado elemento estrutural, por meio
das tensões.
 A capacidade de transmissão de cargas está associada
às tensões admissíveis dos materiais de que são
compostos os elementos estruturais. Isso significa que,
dependendo do material de que é constituído determinado
elemento estrutural, maior ou menor será a sua
capacidade de transmissão de cargas.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2 Esforços Internos
 As Forças internas são os esforços originados das
tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os
corpos rígidos.
 As Forças internas são responsáveis por manterem
unidos os vários pontos materiais que constituem um
corpo rígido.
 Determinar os esforços internos implica, determinar o
estado de tensão a que o elemento está submetido.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2 Esforços Internos
 Para evidenciar as forças internas é necessário separar o
elemento estrutural em análise em duas partes, através
de um plano de corte imaginário. Este procedimento é
conhecido como método dos cortes ou método das
seções.
 Neste estudo, serão abordados os esforços internos
associados ao estado simples e duplo de tensão.
 Esforço cortante Q, Esforços normais N e Momento
Fletor M
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 A Determinação dos esforços internos independe das
características dos materiais.
 Os Esforços Internos depende somente da forma
geométrica e dos esforços externos ativos e reativos e
portanto é um problema que pode ser resolvido pela
mecânica estática.
 A determinação dos esforços internos é de fundamental
importância para o dimensionamento correto dos
elementos estruturais.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 Por exemplo: de posse do valor do Momento fletor
máximo de uma viga, o profissional calculista terá
condições de estimar as dimensões desta.
 De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que uma
estrutura esteja estável, ou seja, em equilíbrio é
necessário que o somatório de todas as forças externas e
o somatório de todos os momentos de força que atuam no
sistema sejam iguais a zero.
 ∑(Fx=0)
∑(Fy=0)
∑(M=0)
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6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 Sendo o sistema carregado por uma carga vertical
uniformemente distribuída, cada apoio é responsável pela
absorção de 50% da carga vertical aplicada, ou seja, cada
apoio tem que resistir a 50% do peso da trave(vão).
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 Já a carga horizontal deverá ser absorvida em uma das
vinculações(apoio) do sistema.
 Assim, podemos afirmar que o sistema apresenta um
equilíbrio global.
 Agora separando parte do sistema(fig. a seguir), é
possível observar que o somatório das forças atuantes é
diferente de zero, o que indica que a parte do sistema
em análise não está em equilíbrio.

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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 Se o sistema (como um todo) está estável, como pode parte dele não
estar em equilíbrio? È que na realidade o sistema não pode ser
analisado em partes separadas, pois o elemento estrutural é um
conjunto monolítico, em que cada parte tem responsabilidade com
outra parte. A parcela de carga ativa que falta para estabelecer o
equilíbrio é fornecida pela parte suprimida da parte em análise em
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6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 Analisando a figura acima, concluimos que os equilibrios
vertical e horizontal estão garantidos.
 E, Q é o esforço interno que garante o equilibrio vertical
do elemento em análise;
 Q é o esforço cortante. O esforço cortante é
responsável pela transmissão de cargas oriundas das
tensões de corte.
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6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
 N é o esforço normal(perpendicular) horizontal,
responsável pela transmissão de cargas oriundas das
tensões de tração ou compressão.
 Uma viga ao ser submetido a deformações curvas(fig.
abaixo), o elemento entra em estado de tensão de flexão,
em que existe uma variação de um:
 Estado máximo de tensão de flexão, em que existe
uma variação de um:
 Estado máximo de tensão de compressão até um:
 Estado máximo de tensão de tração, passando por
uma linha neutra.
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6.2.1 Determinação dos Esforços Internos
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
 Conceito de viga: é um elemento estrutural, cuja forma
geométrica é a de uma barra prismática(prisma) longa, em
que dimensão e comprimento são bem maiores que as
dimensões da seção.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
 Estruturalmente, a principal função das vigas é absorver
as cargas verticais e transmiti-las horizontalmente até os
pontos de apoio, geralmente pilares.
 Geralmente, as vigas por estarem submetidas a esforços
verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e
tensões de corte, que dão origem aos esforços cortante
e aos momentos fletores.
 Para dimensionar a seção de uma viga, é necessário,
portanto determinar os esforços cortantes e os momentos
fletores decorrentes das tensões a que a viga está
submetida.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
 Como já vimos as forças internas aparecem aos pares
com sentidos opostos. Deste modo a parte esquerda da
seção age sobre a parte direita, da mesma forma que a
direita age sobre a esquerda.
 Assim, o sentido das forças será definido quando o
elemento estrutural fica a esquerda da seção ou quando
fica a direita da seção.
 Por convenção, os sentidos arbitrados das reações e
momentos nos diagramas abaixo serão utilizados para
cálculo dos esforços internos em todos os problemas
apresentados daqui em diante.
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6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
 Se analisarmos direito os diagramas de corpo livre dos
dois segmentos, verifica-se que os esforços internos que
surgem no ponto seccionado têm o mesmo módulo,
mesma direção e sentidos contrários, condição
necessária para satisfazer a Terceira lei de Newton e
manter o equilíbrio interno.
 Segundo a terceira lei de newton, para cada força
aplicada a um corpo esse tende a devolver uma outra
força de mesmo módulo, mesma direção e sentido
contrário/ toda ação provém uma reação.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas
 Para determinação dos esforços cortante e momento
fletores adotaremos(esforços internos) o mesmo sistema
de referencia que adotamos para calculo de reação de
apoio, ou seja:
 Sentido horário = (+)
 Força para cima = (+) ; força para baixo =( -)
 Força seta para direita =( +); força seta para esquerda = (-)
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 A partir do modelo estrutural, verificam-se as cargas ativas
atuantes, traça-se o diagrama de corpo livre e calculam-se
as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio
já estudadas no capítulo anterior.
 Assim considerando o até agora estudado segue exercício
resolvido.
 Exercício clássico:
1) Determinar os esforços internos(momento fletor e
Cortante) da viga isostática abaixo:
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução: as reações de apoio já foram determinadas em
exercício anterior e é o seguinte: RH=0; RV1=qL/2 ;
RV2=qL/2
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Determinado o equilíbrio externo do elemento, o próximo
passo é verificar os trechos de continuidade de carga.
Onde houver descontinuidade no carregamento ativo
significa que existem trechos que se comportam de
forma diferente. Sendo assim é necessário que cada
trecho seja analisado individualmente.
 Para proceder à analise dos esforços internos, é
necessário dividir a viga em trechos de continuidade e
verificar as forças atuantes em cada trecho.
 No modelo deste exercício existe apenas um trecho.
Portanto ele será seccionado apenas uma vez.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Escolhido o ponto do trecho a ser seccionado, traça-se o
diagrama de corpo livre de um dos segmentos A-S1 ou BS1, com todas as forças externas envolvidas e com os
respectivos esforços internos que surgem no ponto
seccionado.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Analise dos esforços internos a partir do segmento
esquerdo A-S1.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
N + 0 =0
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
N=0 (esforço normal)
qL/2 – qx - Q = 0
Q= qL/2-qx(esforço cortante)
𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M + (N x 0) + (Qx 0) - (q.x.x/2) + (qL/2.x) = 0
- M - qx²/2 + qxL/2=0
- M= +qx²/2-qxL/2
- M= +qx²/2-qxL/2 (x -1)
M= -qx²/2+qxL/2 (momento fletor)
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Análise dos resultados:
 O esforço normal é nulo, e isso é porque não existem
forças externas horizontais ou diagonais atuando na viga;
 O resultado obtido para o esforço cortante é uma
equação de 1º grau do tipo: Y= ax + b, equação geral da
reta, donde: y= Q; a= q; b= qL/2;
 O resultado obtido para o momento fletor é uma equação
de 2º grau do tipo: Y= ax² + bx + c, equação da curva,
donde: Y= M; a= q; b= qL; c= constante;
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Análise dos resultados:
 Como os valores de Q e M são obtidos em forma de
equação, é possível determinar o valor dos esforços
internos em qualquer ponto da viga, transformando as
equações em funções de x, onde x é uma variável
contida no intervalo fechado ( 0 a L) que representa o
tamanho da viga.





Assim, para a equação do cortante, Q(x) = -qx + qL/2
(0;L) Δx
0 a L (substituindo valores como:)
x=0 Q= qL/2
x=L/2 Q=zero(na metade da viga esforço cortante é zero);
x=L Q= -qL/2
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Análise dos resultados:
 Para a equação do momento fletor, M(x)= -qx²/2 + qxL/2
 (0;L) Δx
0 a L (substituindo valores como:)
 x=0
M=zero
 x=L/2
M=qL²/8
 x=L
M=zero.
 Para facilitar a visualização das deformações provocadas
pelos esforços internos atuantes nos elementos
estruturais, é possível traçar gráficos a partir dos valores
obtidos por meio das funções;
 Esses gráficos são chamados de diagrama dos esforços
internos.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Diagrama dos esforços internos:
 O diagrama dos esforços internos é representado no
plano cartesiano.
 Para cada tipo de esforço é traçado um diagrama.
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1.
2.
3.
4.
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Nota:
O eixo das abscissas(x) representa o eixo geométrico da viga;
O eixo das ordenadas(y) representa os esforços internos;
Observe que o valor do momento é máximo, no ponto em que o esforço
cortante é nulo. Essa é uma características das vigas simplesmente
apoiada;
Em muitos países, incluindo o Brasil, o gráfico usado para traçar o
diagrama do momento fletor é traçado com eixo das ordenadas apontado
para baixo, porque, dessa forma, a representação gráfica apresenta uma
grande semelhança com as deformações causadas pelos momentos
fletores.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
 Nota:
 1. O gráfico do diagrama do momento fletor já está
representado com o eixo das ordenadas apontando para
baixo;
 2. Os resultados obtidos nessa análise são exatamente os
mesmos da análise anterior.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Exercício Resolvido 01:
Considerando o modelo estrutural com suas cargas ativas e
reativas, determinar:
a)Os esforços internos(cortante e momento fletor);
b)Traçar os diagramas dos esforços internos.
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 1 ( 0;5)
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
q= 1,8 KN/m
zero
M1
Q1 N1
S1
3.375 kn
x
Sistema de Referência (SR)
+
+
+
-
-
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N1 + 0 =0
𝐅𝐲 = 𝟎
3,375 – 1,800.X – Q1 = 0
𝐌=𝟎
N1=0 (ESFORÇO NORMAL)
Q1= -1,800.X + 3,375(esforço
cortante)
𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M1 - (1,8.x.x/2) + (3,375.X) = 0
M1= -0,9 X² + 3,375.X
fletor)
M1= -0,9 X² + 3,375.X
(momento
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 2 ( 5;7,5), em função da
descontinuidade da viga a partir do ponto 5m as equações são diferentes.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N2 + 0 =0
𝐅𝐲 = 𝟎
- 1,800.x + Q2 = 0
𝐌𝐒𝟐 = 𝟎
+(1,800.x.x/2) + M2 = 0
M2= -900 X²
N2=0 (ESFORÇO NORMAL)
Q2= -1,800.X (esforço cortante)
M2= -0,9 X² (momento fletor)
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Traçar o diagrama de esforços internos.
P/ Trecho 1 que possuem equações definidas para intervalo: (0;5) Δx – 0 a 5
X=0
substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q=3,375 e na
equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=0
X=5
substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q= -5,625 e
na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=-5,625.
Obs.: é possível observar que os valores, em determinado momento,
passam de positivos a negativos. Isso indica que existe um ponto da
viga em que o esforço cortante é nulo e que o momento fletor é
máximo. Para saber qual é esse ponto, é necessário igualar a equação
que determina o esforço cortante a zero.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Logo: igualando Q1= -1800.X + 3,375 a zero temos:
-1,800.X + 3,375=0
-1,800.X= - 3,375
X=3,375/1,800
X= 1,875m
Logo na posição X=1,875m o esforço cortante é zero e o momento fletor é
máximo.
E o valor do Mf em 1,875 m é:
M1= -0,9 X² + 3,375.X
M= -0,9.1,875² + 3,375.1,875
= - 3,164+ 6.328
Mf = 3,164 KNm
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
E o valor do Mf no ponto 5,00 é:
M1= -0,9 X² + 3,375.X
M = -0,9.5² + 3,375.5
Mf= - 22,5 + 16,87
Mf=-5,63 KNm é momento fletor máximo da viga.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
E Para saber em que ponto o momento fletor é zero para o trecho 1, é
necessário igualar a equação que determina o momento fletor a zero.
Logo: igualando M1= -0,9 X² + 3,375.X a zero temos:
-0,9 X² + 3,375.X =0
-0,9 X² + 3,375X=0
X(-0,9X + 3,375)=0
X= 0
- 0,9X=-3,375
X= 3,75 m
Logo na posição X=3,75m o momento fletor é zero.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
P/ Trecho 2 que possuem equações definidas para intervalo: (5;7,5) Δx – 0
a 2,5
X=0
-0,9 X² e M1=0
substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=0 e na equação M2=
X=2,5
substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=4,5 e na equação
M2= -0,9 X² e M1=- 5,625
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Assim fazendo o diagrama temos:
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Assim fazendo o diagrama temos:
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Exercício resolvido:
Considerando o modelo estrutural, determinar:
a) Os esforços internos(cortante, normal e momento fletor) para as
seções transversais S1, S2 e S3.
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6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas
isostáticas.
Resolução:
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Seção
S1 Arquitetura e Urbanismo
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
Resolução:
S1 Q1
N1
M1
A
12,5 kN
1,0 m
Escolhemos a parte esquerda da viga, devido ao menor número de forças
externas aplicadas.Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N1=0
𝐅𝐲 = 𝟎
12,5 – Q1 = 0
𝐌𝐬𝟏 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
Q1= 12,5 kN
(N1 x 0) + (12,5x 0) - M1 + Q1.x1= 0
- M1 + Q1=0
M1=Q1
M1=12,5 kN.m
Os sinais positivos de N1 e M1 indicam que os esforços solicitantes
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Seção S2
Escolheremos, de novo, a parte esquerda devido ao menor número de forças
externas aplicadas.
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌𝐚 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
N2=0
12,5 – 5 – Q2 = 0
Q2= 7,5 kN
(N2 x 0) + (12,5x 0) - M2 + Q2 x 3 + 1,5x5= 0
0 + 0 - M2 + 3Q2 + 7,5=0
- M2 + 3x7,5 + 7,5=0
M2=30 kN.m
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6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Seção S3
Neste caso será mais cômodo trabalhar com a parte direita da viga:
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N3=0
𝐅𝐲 = 𝟎
Q3 – 15+17,5 = 0
𝐌𝐛 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
Q3= - 2,5 kN
(N3 x 0) + (17,5x 0) + M3 - Q3x2,5 +15x2= 0
0 + 0 - M3 -(-2,5.Q3) + 30=0
- M3 + 2,5.Q3 + 30=0
- M3 + 2,5x2,5+ 30=0
- M3 + 6,25+30=0
- M3= - 36,25 kN.m
M3= 36,25 kN.m
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Exercício:
Determinar as expressões de força cortante(Q) e momento fletor(M), e
construir os respectivos diagramas na viga com cargas concentradas abaixo.
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Exercício:
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N1=0
𝐅𝐲 = 𝟎
12,5 – Q1 = 0
𝐌𝐬𝟏 = 𝟎
- M1 + Q1.x= 0
- M1 + Q1X=0
M1=Q1X
M1=12,5X
𝐅𝐲 = 𝟎
Q1= 12,5 kN
𝐌=𝟎
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Exercício:
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌𝐚 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
N2=0
12,5 – 5 – Q2 = 0
- M2 + Q2 X + 1,5x5= 0
- M2 + Q2X + 7,5=0
- M2 + 7,5X + 7,5=0
M2= 7,5X + 7,5
Q2= 7,5 kN
𝐌=𝟎
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Disciplina: Sistemas Estruturais
6. Momento Fletor e Esforço Cortante
Exercício:
Equações de Equilíbrio (EE)
𝐅𝐱 = 𝟎
𝐅𝐱 = 𝟎
N3=0
𝐅𝐲 = 𝟎
Q3 – 15+17,5 = 0
𝐌𝐛 = 𝟎
𝐅𝐲 = 𝟎
𝐌=𝟎
Q3= - 2,5 kN
+ M3 - Q3X +15x2= 0
- M3 -(-X.Q3) + 30=0
- M3 + Q3X + 30=0
- M3 + 2,5X+ 30=0
M3= 2,5X + 30
- M3 + 2,5X+30=0