O USO DA MODELAGEM
MATEMÁTICA NO ENSINO
FUNDAMENTAL E MÉDIO
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
Porto Velho / 2008
Marcos Leandro Ohse
[email protected]
Uma breve reflexão
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• O que acontece com o aluno de graduação
que conclui a licenciatura plena em
matemática?
• Será que este aluno está habilitado, ou
melhor, preparado para exercer a docência?
• A graduação oferece todas as condições
para que nosso aluno tenha domínio de
classe?
• O que está faltando?
1
2
4
Alguns dados interessantes
(Revista Veja – 14/03/2007)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• M.C.T. mostra que os estudantes brasileiros
são incapazes de solucionar questões que
exigem algum esforço e atenção.
• Brasileiros estão em último lugar na matéria,
em uma lista de 41 países.
• Segundo o especialista Gilberto Garbi: “o
Brasil é uma nação analfabeta em
matemática”.
1
2
4
• É considerada uma das principais razões: os
professores não estão preparados para
lecionar.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Bons alunos em matemática são exceção no
Brasil.
• Isto também se reflete em vários países,
mesmo os que são referência em
matemática.
• A Finlândia dá o exemplo:
 as aulas de matemática acontecem em
laboratório;
 há interdisciplinaridade;
 procura-se utilizar os conhecimentos
prévios da vida dos alunos.
1
2
4
Dados do Jornal da Educação
02/2007 – SAEB/ENEM
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
•
Os resultados de pesquisas sobre a
Educação Básica no Brasil, divulgados no
início de2007, são pouco animadores.
• O Saeb avalia alunos, em Português e
Matemática, na 4ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental e na 3ª série do Ensino Médio.
• Eles indicam que, apesar de certo avanço da
universalização do Ensino Fundamental, a
qualidade da escolarização das nossas
crianças e adolescentes está piorando.
1
2
4
• No conjunto, a constatação é triste e
preocupante: nos últimos dez anos a
educação no Brasil piorou, ou seja, em todos
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
os dados comparativos, o desempenho dos
alunos na avaliação de 2005 é inferior a de
1995.
• De acordo com os dados do Saeb, a
situação do Ensino Médio é ainda mais
crítica. A média do ENEM (Exame Nacional
do Ensino Médio) de 2006, divulgada
recentemente pelo MEC, também indica
queda no rendimento dos alunos em relação
ao ano anterior.
1
2
4
• O que fazer para reverter este quadro?
• Existe possibilidade real de mudança deste
0011 0010
1010 1101 0001 0100 1011
quadro?
• Mudança de postura nos cursos de
licenciatura!
• Formação continuada!
• Uso da história da matemática, da
modelagem matemática e da matemática
aplicada já no ensino fundamental e médio.
1
2
4
Modelagem Matemática
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• “A matemática, se utilizada corretamente, foi
e é ferramenta básica para o
desenvolvimento das ciências exatas e da
engenharia. Em cada ciência há tanta
verdade quanto ela tem da matemática”
Karl Marx
• A matemática está cada vez mais presente
nas demais ciências e áreas de atividade.
• Economia, biologia, medicina, educação,
engenharia, etc fazem uso dos conceitos
matemáticos obtendo excelentes resultados.
1
2
4
• Para intensificar este processo, surge a
alguns anos uma nova direção científica: a
modelagem
0011 0010
1010 1101 0001 matemática.
0100 1011
• Esta modelagem auxilia as sociedades na
exploração dos recursos naturais presentes
em seu habitat.
• Como podemos definir modelo:
– Conjunto de símbolos que interagem entre
si, fazendo representações.
– Em matemática, um modelo é um conjunto
de símbolos e relações matemáticas que
conseguem traduzir um dado fenômeno.
1
2
4
• O que seria “modelagem”?
– Representação ou reprodução de algo, que
necessita
da0100
observação
alguns de pontos:
0011 0010 1010
1101 0001
1011
• Observação da situação ou fenômeno
• Interpretação da experiência
• Entendimento do significado produzido
• Modelagem matemática!
1
– É a representação de alguma situação ou
fenômeno expresso em termos matemáticos:
2
4
• Fórmulas, diagramas, gráficos, representação
geométrica, equação algébrica, tabelas, softwares.
– Esta representação leva à solução do problema
ou permite a dedução da mesma.
Alguns modelos matemáticos na
história
• Desde
que0001
o homem
começou
0011 0010
1010 1101
0100 1011
a observar os
fenômenos naturais e verificar que os mesmos
seguiam princípios constantes, ele observou que
estes fenômenos podiam ser colocados por meio de
“fórmulas”. Este princípio levou a utilização da
matemática como uma ferramenta para auxiliar estas
observações.
• Este é o princípio da matemática como um modelo,
ou seja, modelar matematicamente o mundo em que
vivemos e suas leis naturais, ou modelar situações
do cotidiano tendo em vista a sua aplicação para
facilitar todos os processos que envolvem nossa
vivência.
1
2
4
• Egípcios
– Desenvolveram a geometria e a trigonometria
prática para solucionar o problema das enchentes
0011 0010 1010
0001 0100 1011
do 1101
rio Nilo.
– Conheciam os quatro pontos cardeais.
– Por meio de observações elaboraram um
calendário que contava a duração do ano solar
em 365,25 dias.
• Babilônios
– Elaboraram um modelo dos movimentos do sol,
da lua e dos planetas por meio de séries
numéricas e formas geométricas.
– A matemática foi uma ferramenta essencial ao
implemento da astronomia pelos sacerdotes.
1
2
4
• Grécia Clássica
– Tales de Mileto: usou semelhanças de triângulos
para medições de altura (pirâmides)
Pitágoras
elaborou
0011 0010–1010
1101 0001
0100 1011a escala musical usada até
hoje, sendo considerado o “pai da música”.
Segundo ele tudo que existe na natureza pode ser
representado por meio dos números e das
formas.
– Arquimedes disse: “dê-me uma alavanca e
moverei o mundo”. O mesmo Arquimedes, ao
imergir em uma banheira com água descobriu
como calcular a massa de ouro constante em uma
coroa.
– Apolônio determinou as seções cônicas a partir do
cone duplo. Estas seções só tiveram sua
aplicação determinada com Kepler, 2000 anos
depois.
1
2
4
• Renascimento até a atualidade
– Leonardo da Vinci: inventor do helicóptero e do
pára-quedas.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
– Nicolau Copérnico: teoria heliocêntrica.
– Galileu Galilei:
• testar as experiências
• Deduzir por meio de uma hipótese
• Pai da ciência moderna
• “A matemática é o alfabeto pelo qual Deus
escreveu o universo”.
– Fibonacci criou sua série ao observar a procriação
de coelhos. Esta série esta profundamente ligada
à seção áurea que os gregos antigos tanto
estimavam.
1
2
4
– Renné Déscartes: pesquisador das ciências,
filosofia, direito, entre outras áreas, que procurou
modelar situações do cotidiano e da natureza por
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
meio da geometria analítica.Muitas das
descobertas que Déscartes fez com a geometria
analítica são base, hoje, para situações da
administração, economia, ciências contábeis,
informática, etc.
– Isaac Newton procurou modelar os fenômenos
físicos por meio de modelos matemáticos. Newton
procurou demonstrar que todos os fenômenos da
natureza podem ser modelados
matematicamente.
1
2
4
– Com a revolução industrial a matemática
tomou um impulso muito grande, pois foi
preciso criar modelos teóricos para
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
implementação de máquinas, centros de
produção, produção em série e
armazenamento, entre outros.
– Após a segunda guerra, a matemática
ajudou a desenvolver um outro campo que
estava começando a crescer: a
informática. Hoje sabemos que é
impossível desenvolver tópicos em
informática sem o uso da ferramenta
matemática.
1
2
4
O Ensino da Matemática como
Modelo
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• O ensino da matemática deve ser realizado
através de uma matemática aplicada.
• Esta matemática deve estar voltada aos
interesses do aluno e da sociedade. É
preciso fazer com que a matemática seja
atraente para os alunos.
• Nosso ensino hoje está muito voltado, ainda,
para a memorização de fórmulas e conceitos.
• Na formação do aluno, é preciso que o
mesmo saiba, não decorar fórmulas, e sim,
aplicá-las.
1
2
4
• Qual o problema com o ensino da matemática nas
escolas?
• Porque os alunos não gostam dela?
0011 0010
1010 que
1101 não
0001 tem
0100sentido
1011
• Tudo
para o aluno, não tem
uma aplicação prática, não leva a um interesse por
parte dele.
• Os professores de ensino fundamental e médio (e
porque não, também do superior?) precisam
entender que a matemática não pode ser ensinada
como uma matéria teórica, como uma ciência
abstrata.
• Se isto for feito, o aluno não vê uma aplicação para
ela, não vai entender e não vai gostar.
• Precisamos ensinar a matemática como um modelo
que vai auxiliar a todas as demais atividades
humanas.
1
2
4
• Precisamos mostrar ao aluno que todos os
conceitos matemáticos têm aplicação nos
diversos
ramos
vida humana.
0011 0010
1010 1101 0001
0100da
1011
• A grande dificuldade está em fazer o
educador transportar a realidade do aluno
para o cálculo matemático.
• É muito mais cômodo e simples ao educador
trabalhar com um livro didático do que
elaborar questões que farão o aluno pensar.
• O educador jamais deveria trabalhar com
questões prontas, “fechadas”.
• As questões devem contemplar estes itens:
leitura, interpretação, montagem e resolução.
1
2
4
• Quando estes quatro itens são
contemplados, exigirá do aluno um
conhecimento
muito
0011 0010
1010 1101 0001 0100
1011 mais amplo, não apenas
matemático.
• Entendo que se o professor (educador)
conseguir contemplar estes itens, estará
dando um grande passo no sentido de
ensinar a matemática como um modelo ou
ferramenta.
1
2
4
Sugestões para abordar assuntos
• Álgebra (6º ou 7º série)
Considere uma região retangular onde o comprimento
mede duas (2) unidades a mais que a largura:
a) escreva a expressão que fornece o perímetro
desta região;
b) se a largura é de 3 m, determine o perímetro desta
região;
c) Se o comprimento é de 6 m, determine o
perímetro;
d) escreva a expressão que fornece a área desta
região;
e) Se a largura é de 5 m, qual será a área?
f) Se o comprimento é de 3 m, qual será a área?
g) O que você conseguiu entender desta atividade?
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
• Equação de Báskhara
Seja uma região retangular onde a largura tem um
metro a menos que o comprimento e cuja área tem 6
m²:
0011 0010
1010 1101 0001 0100 1011
a) determine as dimensões desta região;
b) Se o comprimento aumentasse em 2 unidades,
qual seria a nova área, mantendo a condição
original?
c) O que podemos concluir com esta atividade?
• Função polinomial de 1º grau
Das 15:00 horas às 20:00 horas, a temperatura de uma
região variou, linearmente, de 12ºC à -3ºC.
Responda:
a) em que horário desse período a temperatura
atingiu 0ºC?
b) Nesse período, durante quanto tempo a
temperatura esteve positiva? E negativa?
1
2
4
• Função polinomial de 2º grau
Seu João pretende construir um galinheiro,
para
isso0001
ele0100
dispõe
0011 0010
1010 1101
1011 de 20 metros de tela e
um muro já existente. Quais as dimensões do
galinheiro para que a área seja a maior
possível? Qual é a maior área obtida?
• Exponenciais e Logaritmos
Certa população de insetos triplica a cada dia.
Se a população inicial era de 9 insetos,
determine:
a) a população após 6 dias;
b) a função representativa.
1
2
4
Bibliografia
• BOYER, Carl B. História da matemática. 2º ed. SP.
Edgard Blucher, 2003.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais
da matemática. Irmãos Bertrand Ltda, Lisboa.
• EVES, Howard. Introdução à história da matemática.
2º ed. UNICAMP, 2002.
• KARLSON, Paul. A magia dos números. Globo, 1961
• PARKER, Steve. Newton e a gravitação. SP:
Scipione, 1996
• SANTOS, Mário Ferreira dos. Pitágoras e o tema do
número. Ibrasa, 2000
• STRUIK, História concisa das matemáticas. Gradiva.
1989.
• TAHAN, Malba. Matemática divertida e curiosa. 5 ed.
Record, 1995.
1
2
4