MARÇO/2009
Prof. Paulino Mourão
2º E.M.
Master
VETORES
Física
s
o
s
r
u
11/03/09
C
1. GRANDEZAS FÍSICAS
3. SOMA DE VETORES
1.1. Grandezas Escalares
São totalmente definidas somente por um valor numérico
associado a uma unidade de medida.
A soma de vetores pode ser feita através de três métodos: a
regra do polígono, a do paralelogramo e a dos componentes
vetoriais.
Exemplos: Tempo, massa, comprimento, temperatura,
energia, carga elétrica, potencial elétrico, corrente elétrica,
resistência elétrica, potência, calor específico, coeficiente de
dilatação térmica.
3.1. Regra do Polígono
A regra do polígono pode ser utilizada na adição de
qualquer número de vetores, para a sua aplicação, devemos
colocar os vetores de modo que:
1.2. Grandezas Vetoriais
São totalmente definidas por um valor numérico
acompanhado de uma unidade de medida, direção e
sentidos.
?
– A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do
primeiro;
– A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do
segundo e, assim, sucessivamente.
Exemplos: Deslocamento, força, torque, aceleração,
quantidade de movimento, impulso, campo elétrico, campo
magnético.
– O vetor soma é determinado ligando-se a origem do
primeiro à extremidade do último vetor traçado.
Atenção!
Observe a figura:
Não confunda direção com sentido. Uma reta define uma
direção e a essa direção podemos associar dois sentidos.
2. VETORES
Um vetor é representado por um segmento de reta
orientado, onde possui: uma origem ( A ) e extremidade ( B ).
Figura 2
r
u
r
r
r
u
r
r
s=
a+
b+
c+
d+
e
Figura 1
u
u
u
r
A figura 1 ilustra o vetor AB que tem direção horizontal,
sentido da esquerda para a direita e módulo dado pelo
u
u
u
r
u
u
u
r
comprimento AB . O vetor u
também pode ser designado por
AB
r
uma única letra minúscula d
Observações:
u
r
r
Dois vetores a
e b são iguais se, e somente se,
apresentarem o mesmo módulo, a mesma direção e o
u
r
r
mesmo sentido: a =
b
u
r
r
Se dois vetores a e b , possuem o mesmo módulo, a
mesma direção, mas sentidos contrários, eles representam
u
rr
b
vetores opostos: a =
Observações:
Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores
parcelas não altera a soma.
u
r
r
r
u
r
r
u
r
r
u
r
r
r
a+
b+
c+
d+
e=
a+
c+
d+
e+
b
Se o polígono formado pelos vetores for fechado, ou seja, a
extremidade do último coincidir com a origem do primeiro,
então o vetor soma é nulo
Figura 3
r
r
r
r
r
s=
a+
b+
c=
0
A regra do período também pode ser usada no caso de
adição e subtração simultâneas de vetores.
r
r
r
rr
r
r r
s=a + b – c ou s= a + b + (– c)
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01
Quando o ângulo entre dois vetores for 0°, 90° ou 180°
existem expressões simplificadas para a determinação do
vetor soma.
Ø
Adição de dois vetores de mesma direção e mesmo
sentido ( q
):
=
0°
Figura 4
3.2.
Regra do Paralelogramo
A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de
dois vetores. Essa regra permite determinar o módulo do
vetor soma para qualquer que seja o ângulo entre os
vetores somados.
u
r
r
Figura 7
u
u
r
u
u
r
u
u
r
s =
a +
b
r
Dados dois vetores, a e b , o vetor s (soma) é obtido do
seguinte modo:
Ø
Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de ca da
vetor, desenhamos os dois vetores com suas origens
coincidentes a partir da extremidade do vetor
traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor
Em seguida, a partir da extremidade do vetor
u
r
Ø
Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos
contrários ( q
):
=
180°
u
r
a,
r
b.
r
b,
Figura 8
traçamos um outro, paralelo ao vetor a .
u
u
r
u
u
r
u
u
r
s =
a b
Ø
Adição de dois vetores perpendiculares entre si
(q
):
=
90°
Figura 5
r
Ø
O vetor soma ( s ) é obtido ligando -se o ponto origem
comum dos vetores ao ponto de cruzamento dos
segmentos de reta traçados:
Figura 9
u
u
r
u
u
r
u
r
2
2 u
2
s =
a +
b
Observações:
Figura 6
u
rr
Sendo q
o ângulo entre os vetores a e b , o módulo do
vetor soma é dado por:
s2 =
a2 +
b2 2×
a×
b×
cos a
=
cos q
, portanto,
Mas a
então cos a
+
=
180 °
q
s2 =
a2 +
b2 +
2×
a×
b×
cos q
Observação:
Ø
O ângulo entre dois vetores é definido como o
“menor ângulo” determinado por eles quando
dispostos “origem com origem”, portanto o ângulo
u
r
r
entre a e b é q
e não a
.
Ø
O valor máximo para o módulo do vetor soma se
obtém para a soma de dois vetores de mesma direção
e mesmo sentido:
u
u
r
u
u
r
u
u
r
s =
a +
b
Ø
O valor mínimo para o módulo do vetor soma se
obtém para a soma de dois vetores de mesma direção
e sentidos contrários:
u
u
r
u
u
r
u
u
r
s =
a b
Ø
O módulo do vetor soma pode assumir todos os
valores compreendidos entre o valor máximo e
valor mínimo.
o
Casos Particulares:
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02
Figura 10
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
a b £
s£
a +
b
u
ru
r
u
r
2
2
2
v =
v1 +
v2
u
r
2
2
2
v =+
800 70
u
r
v =
640.000 +
4.900
u
r
v @
803km/h
Exercício Resolvido:
Se um avião que se desloca de oeste para leste com
800 km / h for atingido por um vento
velocidade v1 =
70 km / h , a velocidade resultante v
de velocidade v2 =
do avião será obtida efetuando - se a adição dos
u
u
r
u
u
r
vetores v1 e v2 , conforme o sentido do vento.
a)
3.3. Regra dos Componentes Vetoriais
Todo vetor pode ser representado por dois outros
vetores, perpendiculares entre si. A estes vetores
denominamos componentes ortogonais do vetor dado.
Se o vento sopra de oeste para leste:
Figura 11
u
r
u
ru
r
v =
v1 +
v2
u
r
v =
800 +
70
u
r
v =
870km/h
b)
A lei dos senos, pode ser muito útil no estudo dos
vetores.
Se o vento sopra de leste para oeste:
Figura 12
u
r
u
ru
r
v =
v1 v2
u
r
v =
800 70
u
r
v =
730km/h
A lei dos senos estabelece que:
a
b
c
= =
sen aj
sen
sen q
Observação:
c)
Se o vento sopra de norte para sul:
a
+
b
=
180 °
Þ
sen a
=
sen b
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03
4. SUBTRAÇÃO DE VETORES
u
r ru
r
u
r
r
a e b ( d =
ab ) pode ser
u
r
r
a com o oposto de
b:
obtido pela soma do vetor
u
r
u
r
ru
r
u
rr
d=
abÞ
d=
a+
b .
O vetor diferença entre
(
)
r
r
O oposto do vetor b , ou seja, o vetor b , tem o mesmo
r
módulo e mesma direção de b , porém sentido contrário.
Figura 14
a×
b=
ax ×
bx +
ay ×
by
a×
b =a
a cos ×
b cos b
+a
a sen ×
b sen b
a×
b=
a×
b(
cos a
×
cosb
+
sen a
×
sen b
)
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
cos (
b
a
)
Figura 13
u
r
d também fica determinado pela lei dos
O módulo de
cossenos.
a×
b=
a×
b×
cos q
é uma grandeza escalar.
a×
b=
a ×
b×
cos q
2
2
2
d =
a +
b 2×
a×
b×
cos q
5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
O produto de um número real
u
u
r
u
r
vetor A é um vetor B tal que:
u
r
n , não nulo, por um
u
u
r
Ø
Módulo: B =
n ×
A
A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da
força pelo deslocamento. Por essa razão, o trabalho é
escalar.
u
u
r
u
r
W=
F×
d®
W=
F×
d×
cos q
6.1.
Propriedades do produto escalar
a) comutativa:
u
u
r
Ø
Direção: A mesma de A
u
r
r
r
u
r
a×
b=
b×
a
u
u
r
Ø
Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto
u
u
r
ao de A se n for negativo.
b) associativa em relação a um escalar:
u
r
r u
r
r
u
rr
c ××=
a b
c ××
a b=
a c×
b
(
)
(
)(
)
Observações:
u
u
r u
r
Ø
Observe que F =
m×
a , assim podemos observar que
como a massa m de um corpo é sempre positiva
concluímos que a força e a aceleração estarão
sempre na mesma direção e sentidos.
u
u
u
ru
r
Ø
Observe que FE =
q×
E , assim podemos observar que
c) distributividade:
u
r
r u
r
r
u
r
a ×+
b c =
a×
b+
ac
(
)
d) quadrado de um vetor:
u
u
u
r
u
r
se q >
0 , FE e E terão a mesma direção e sentidos,
u
u
u
r
u
r
mas se q <
0 , FE e E terão a mesma
direção e
sentidos opostos.
u
ru
r
u
r
2
a)
=
a×
a
(
e) ortogonalidade de vetores:
u
r
r
ru
r
r
ru
r
r
0 e a×
b=
0®
a^
b
Se a e b ¹
Tópico Avançado
6. PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES
É a operação entre dois vetores que resulta um número
escalar. É indicado por ab×e definido por:
6.2.
Produto vetorial de dois vetores
É a operação de produto entre vetores de grandezas
diferentes que resulta num vetor de uma grandeza física
diferente das originais.
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04
Figura 15
u
r
r
O vetor a ´
b aparece na direção perpendicular ao plano
u
r
r
determinado por a e b ; seu módulo é dado por:
u
r
r
a´
b =
a×
b×
sen q
u
r
r
O sentido do vetor produto a ´
b pode ser obtido pela
“regra da mão direita”: mantém- se a mão direita de
u
r
forma que os dedos se curvem seguindo a rotação de a
r
u
r
r
para b , o polegar dará o sentido de a ´
b.
Figura 16
u
rrr
a=
1×
i+
7×
j
r rr
b=
i+
j
4×
0×
r rr
c=
ij
0×
3×
u
r rr
d =
2×
i+
0×
j
-
APLICAÇÕES
u
rr
r
S=
3i +
4j
O produto vetorial ocorre na definição de torque e
momento angular.
O produto vetorial também pode ser utilizado para
calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o
que é importante no ramo da computação gráfica e do
desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir
efeitos que simulam iluminação, dentre outros.
6.3.
Propriedades do produto vetorial
Anotações...
a) anticomutativa:
u
r
rr
u
r
a´
b=
b´
a
b) associativa em relação a um escalar:
u
r
r u
r
r
u
rr
c ×´
a b =
c ×´
a b=
a´
c×
b
(
)
(
)(
)
c) distributividade:
u
r
r
r
u
r
r
u
r
r
a´
b+
c =
a´
b+
a´
c
(
)
d) produto vetorial de um vetor por ele mesmo
u
r
u
r
r
a´
a =
0
e) paralelismo de vetores:
u
r
r
ru
rr
u
r
r
r
b=
0®
a
b
0 e a´
Se a e b ¹
EXERCÍCIOS DE CLASSE
01. (UEPG – PR) Quando dizemos que a velocidade de
uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita,
estamos definindo a velocidade como uma
grandeza:
a) Escalar
b) Algébrica
c) Linear
d) vetorial
e) n.d.a.
7. VERSORES
Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários.
r
Usaremos o versor i para a direção horizontal e o versor
r
r
r
j para a direção vertical, sendo i =
j =
1.
02. Suponha dois vetores de mesmo módulo
v.A
respeito da soma desses vetores, podemos afirmar
que:
a) pode ter módulo v 10
OSG10218_09 - Cláudia Neres 2009!
05
05. (Unifor/1998.1) As forças
b) pode ter módulo v
F1 ,
F2 e
F3 , cujas
intensidades são, respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e
3,0 N, têm direções coincidentes com as arestas de
um bloco retangular, conforme esquema abaixo.
c) tem módulo 2 v
d) é nula
e) tem módulo v 2
03. (UFC-2006) Analisando a disposição dos vetores
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
ru
u
u
r
BA , EA , CB , CD e DE , conforme figura a
seguir, assinale a alternativa que contém a relação
vetorial correta.
A intensidade da resultante dessas três forças vale,
em newtons,
a) 3,7
b) 5,5
c) 7,0
d) 9,3
e) 11
06. Determine o vetor resultante nos casos abaixo.
u
u
u
ru
u
u
ru
u
u
ru
u
u
ru
u
u
u
r
a) CB + CD + DE = BA + EA
u
u
u
ru
u
u
u
r
u
u
u
ru
u
u
ru
u
u
r
b) BA + EA + CB = DE + CD
u
r
Todas as figuras são polígonos regulares de lado v .
u
u
u
u
r
u
u
u
ru
u
u
ru
u
u
ru
u
u
r
c) EA – DE + CB = BA + CD
u
u
u
u
r
u
u
u
ru
u
u
ru
u
u
r
u
u
u
r
d) EA – CB + DE = BA – CD
u
u
u
r
u
u
u
ru
u
u
ru
u
u
u
r
u
u
u
r
e) BA – DE – CB = EA + CD
04. (Mackenzie -SP) O vetor resultante da soma de
u
u
u
r
u
u
u
r
BE e CA é:
u
u
u
r
AB ,
07. Duas forças cujos módulos valem
F1 e
F2 , estão
aplicadas sobre uma partícula de modo que a força
resultante é perpendicular a F1 . Se F2 tem o dobro
do módulo de F1 , então o ângulo entre elas vale:
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
a) AE
b) AD
u
u
u
r
c) CD
u
u
u
r
e) BC
u
u
u
r
d) CE
a) 30°
b) 60°
c) 90°
d) 120°
e) 150°
08. Dois vetores perpendiculares
u
r
r
u
r
r
a +
b =
17 e a +
b =
13 .
u
rr
a e b são tais que:
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06
u
r
r
u
r
r
Determine os módulos de a e b sabendo que a >
b .
a)
c)
r
u
r
a =
12 b =
5
;
b)
u
r r
a =
3 b =
10
;
d)
u
r r
a =
5 b =
12
;
r
u
r
a =
10 b =
3
;
a) são corretas apenas a (I) e a (II).
b) são corretas apenas a (II) e a (III).
c) são corretas apenas a (I) e a (III).
d) são todas corretas.
e) há apenas uma correta.
e) n.r.a.
09. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador
circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos
minutos tem comprimento igual ao raio do
mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor
de origem no centro do relógio e direção variável. O
módulo da soma dos três vetores determinados pela
posição desse ponteiro quando o relógio marca
exatamente 12 horas, 12 h e 20 minutos e, por fim,
12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a:
12. (UFTMA) figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja
resultante da soma de todos os vetores
representados tem módulo, em cm, igual a:
a) 8.
b) 26
()
a) 30
3
b) 10 1+
c) 34.
c) 20
d) zero
d) 40.
e) 52.
10. (UnB -DF) Ao se determinar a resultante de seis
vetores de mesmo módulo
k , pelo método do
polígono, foi obtido um hexágono regular dando
resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles,
alternadamente, a resultante terá módulo igual a:
a)
c)
2k
u
r
b) 2 3 k
3
k
2
13. Na figura abaixo estão representados os vetores a e
u
r r
r
5 e b =
8.
b , com a =
d) zero
e) 6 k
11. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão re presentados três
u
r
rr
rr
vetores a , b e c . Os vetores i e j são unitários.
Analise as expressões:
r
r
u
r
r
a+
b.
a) Determine o módulo do vetor s tal que s =
u
r
r
b) Determine o ângulo q
entre os vetores a e s .
(I)
u
rrr
a=
2i +
3j
(II)
rr
b=
2j
(III)
r
rr
b+
c=
+
1i
14. (FACS - BA) Considerando o conjunto de vetores
representado abaixo, dê o valor verdadeiro (V) ou
falso (F) para as sentenças a seguir:
Podemos afirmar que:
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07
u
r r
ì
a ==
7 c 3
ï
í
r u
r
b =
6 d =
9
ï
î
e)
u
r
r
r
z =
s
a) y +
u
r
u
u
ru
r
r
(
)
w=
y+
z
b) x +
u
r
u
u
r
ru
r
w+
z=
x
c) y +
r
u
r
u
r
u
r
x=
u+
v
d) s u
r
u
r
r
u
r
r
v+
s+
x=
0
e) u +
f)
u
r
u
r
u
r
r
u
r
r
u+
x+
y+
zv=
0
f) -
g)
u
r
u
r
x =
y =
10
u
r
r
r
a =
b =
c =
5
15. A figura ilustra 3 vetores apoiados num cubo de
aresta a =
3 . A resultante desses três vetores tem
módulo:
a) 6
b) 10
c) 12
d) 14
u
r
ae
r
u
r
u
r u
u
u
r
10 e a =
6 . Determine o vetor w tal
x , com x =
u
r
u
r
u
u
r
que x =
aw.
02. Na figura abaixo estão representados os vetores
e) 16
EXERCÍCIOS DE CASA
01. Em cada caso a seguir, determine o módulo da
resultante dos vetores dados:
a=
13
ì
b
=
7
î
a) í
03. (Fund. Carlos Chagas -SP) A figura mostra três vetores,
u
u
r
u
ru
r
A , B e C . De acordo com a figura podemos
afirmar que:
a=
15
ì
b) í
b=
7
î
u
u
r
u
r
u
r
r
B+
C=
0
a) A +
u
u
r
u
r
u
r
BC
b) A =
u
r
u
u
r
u
r
A=
C
c) B u
u
r
u
r
u
r
x=
5
ì
c) í
y=
12
î
B=
C
d) A +
a=
4
ì
í
b
=
6
d) î
04. (Fund. Carlos Chagas -SP) Qual é a relação entre os
u
u
r
u
r
u
r
B+
C
e) A =
u
u
r
u
u
r
u
ru
u
r
vetores M , N , P e R representados na figura?
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08
Marque a opção que melhor representa a resultante
dessas dez forças.
N+
P+
R=
0
a) M +
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
M=
R+
N
b) P +
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
R=
M+
N
c) P +
a)
b)
c)
d)
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
R=
MN
d) P u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
R+
N =
M
e) P +
05. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u , construiuse o h exágono regular a seguir. O módulo do vetor
resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u
b)
32 u
c)
24 u
d)
16 u
08. Dois vetores de módulos iguais são tais que o
módulo da soma deles vale (x) e, o módulo da
diferença vale (y). Pode - se afirmar que cada um
deles vale:
a)
2
c)
06. (UFC – 1999) Na figura abaixo, onde o reticulado
forma quadrados de lados l
=
0,5cm , estão
xy
módulo da soma de todos esses vetores é, em
centímetros:
.O
2
d)
2
x +
y )
(
2
b)
x +
y
()
2
e) zero
desenhados 10 vetores contidos no plano
x+
y
()
2
2
x y
()
2
2
2
09. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados
u
r
rr
rr
os vetores a , b e c e os versores i e j . Assinale
a sentença errada:
ru
r
a) b =
2j
u
rr
b) a =
3i
rr
r
c) c =
2 i+
j
(
)
a) 0,0
b) 0,5
c) 1,0
d) 1,5
e) 2,0
r
u
r
r
d) c =
a +
b
u
u
r
e) c =
2 2
u
u
r
10. No esquema, estão representados os vetores
v1 ,
u
u
r
u
u
r
u
u
r
v 2 , v 3 e v 4 . A relação vetorial correta entre esses
valores é:
07. (UECE
– 2005.2/2) Considere as 10 forças
representadas pelos vetores na figura.
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
a) v1 +
v4 =
v2 +
v3 .
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r
r
b) v1 +
v2 +
v3 +
v4 =
0.
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14. Determine em cada caso a expressão vetorial que
u
r
r
r
relaciona os vetores a , b e c .
c) v1 +
v3 +
v4 =
v2 .
u
u
r
u
u
r
u
u
r
d) v1 +
v4 =
v2 .
u
u
r
u
u
r
u
u
r
e) v1 +
v3 =
v4 .
11. Seis vetores fecham um hexágono regular, dando
resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles,
alternadamente, a resultante terá módulo:
15. (Unifor) A figura mostra 3 forças
u
u
r
u
u
ru
u
r
F1 , F2 e F3 de
intensidades iguais a 6 N, 3 N e 2 N. A resultante
dessas forças tem intensidade:
a) igual ao de um vetor componente;
b) 2 vezes o módulo de um vetor componente;
c) 2 3 vezes o módulo de um vetor componente;
d) 3 2 vezes o módulo de um vetor componente;
e) nulo.
12. Na figura, estão representadas quatro forças,
u
r
u
u
r
u
u
ru
F2 , F3 e F4 , de intensidades iguais a
u
u
r
F1 ,
2N ,
superpostas às diagonais dos quadrados em que
estão inseridos.
a) 3 N
b) 4 N
c) 5 N
d) 7 N
e) 11 N
A intensidade da resultante dessas quatro forças é
igual a:
a) 0.
b) 1 N.
c) 2 N.
d) 4 N.
e) 8 N.
u
rr
13. Dados os vetores a e b representados na figura,
determine o módulo de:
r
u
r
r
a) s =
a +
b;
u
r
u
r
r
b) d =
ab.
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