F UNDAMENTOS
DA
M ATEMÁTICA
1a Edição - 2008
SOMESB
S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .
G ERVÁSIO M ENESES
DE O LIVEIRA
P RESIDENTE
S AMUEL S OARES
S UPERINTENDENTE A DMINISTRATIVO E F INANCEIRO
G ERMANO TABACOF
S UPERINTENDENTE DE E NSINO, P ESQUISA E E XTENSÃO
P EDRO DALTRO G USMÃO DA S ILVA
S UPERINTENDENTE DE D ESENVOLVIMENTO E P LANEJAMENTO ACADÊMICO
FTC-EAD
FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA
R EINALDO DE O LIVEIRA B ORBA
D IRETOR G ERAL
M ARCELO N ERY
D IRETOR ACADÊMICO
R OBERTO F REDERICO M ERHY
D IRETOR
DE
D ESENVOLVIMENTO
E I NOVAÇÕES
M ÁRIO F RAGA
D IRETOR C OMERCIAL
J EAN C ARLO N ERONE
D IRETOR
DE
T ECNOLOGIA
A NDRÉ P ORTNOI
D IRETOR A DMINISTRATIVO
E
F INANCEIRO
R ONALDO C OSTA
G ERENTE DE D ESENVOLVIMENTO E I NOVAÇÕES
J ANE F REIRE
G ERENTE DE E NSINO
L UÍS C ARLOS N OGUEIRA A BBEHUSEN
G ERENTE DE S UPORTE T ECNOLÓGICO
O SMANE C HAVES
C OORD. DE T ELECOMUNICAÇÕES E H ARDWARE
J OÃO J ACOMEL
C OORD. DE P RODUÇÃO DE M ATERIAL D IDÁTICO
M ATERIAL D IDÁTICO
P RODUÇÃO ACADÊMICA
J ANE F REIRE
G ERENTE DE E NSINO
A NA PAULA A MORIM
S UPERVISÃO
F ERNANDA L ORDÊLO
A NA PAULA A NDRADE M ATOS M OREIRA
M ARIA VALESCA S ILVA
C OORDENADORES
DE
C URSO
M ARIA VALESCA S ILVA
C OORDENADOR
G ECIARA
DA
DE
C URSO
S ILVA C ARVALHO
AUTOR ( A )
P RODUÇÃO T ÉCNICA
J OÃO J ACOMEL
C OORDENAÇÃO
C ARLOS M AGNO
R EVISÃO DE T EXTO
B RITO A LMEIDA S ANTOS
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO
R EVISÃO DE C ONTEÚDO
PAULO
R EVISÃO
DO
N ASCIMENTO
H ENRIQUE R IBEIRO
DE
DO
N ASCIMENTO
C ONTEÚDO
A DRIANO P EDREIRA C ATTAI
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
E DIÇÃO
EM
LATEX 2ε
E QUIPE
A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER
F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, I VES A RAÚJO, J OHN C ASAIS, MARCIO
S ERAFIM , MARIUCHA S ILVEIRA P ONTE E RUBERVAL DA F ONSECA .
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Sumário
Bloco 1: Estudo das Funções e sua Aplicabilidade na Economia
6
Tema 1: O Estudo das Funções Econômicas
6
◦
◦
1.1
O Estudo das Funções do 1 e 2 Graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Funções do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
1.4
1.2.1
Gráfico de uma Função Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2
Zeros ou Raízes de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
o
Funções do 2 Grau (ou Quadráticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1
Zeros da Função do 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2
Gráfico de uma Função Quadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Funções Custo, Receita e Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1
Função Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2
Função Receita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5
Funções Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6
Outras Funções Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1
Um Vínculo Orçamentário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2
Funções de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3
Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7
Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8
Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.1
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tema 2: Estudos de Outras Funções Matemáticas e Suas Aplicações
2.1
2.2
2.3
2.4
Funções Exponenciais e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1
Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2
Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Funções Logarítmicas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1
Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2
Propriedades Fundamentais dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1
2.5
32
Aplicações dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1
Características de Algumas Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bloco 2: O Estudo do Cálculo e suas Implicações Econômicas
44
Tema 3: Estudo do Cálculo Diferencial e suas aplicações
44
3.1
Noções Básicas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1
3.2
Derivadas e suas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1
3.3
Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Pontos de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Fundamentos da Matemática
3
3.4
Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Notação de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Derivadas de Algumas Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Taxas de Variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Taxa de Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7
Aproximação por Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
51
51
52
52
52
3.7.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
Aproximação da Variação Percentual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
53
54
Tema 4: Estudo do Cálculo Integral e Aplicações
4.1
4.2
Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regras de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Integração da Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4.2.2 A Integral da Função f (x ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
4.2.3 A Integral da Função f (x ) = e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 A Integral do Produto de uma Constante por uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 A Integral da Soma é a Soma das Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Integral por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Área e Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Área com Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Lucro Líquido Excedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Excedente do Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Excedente do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências Bibliográficas
4
FTC EAD |
55
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56
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59
59
59
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60
60
62
62
62
62
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64
64
66
A PRESENTAÇÃO
DA
D ISCIPLINA
Prezados,
Sejam bem vindos! Neste impresso, dialogaremos sobre a disciplina Matemática. Ele foi concebido e escrito com o objetivo de tratar, da melhor maneira possível, alguns aspectos da Matemática,
seus objetivos, utilidades e aplicabilidades necessárias aos estudantes dos cursos de Bacharelado
em Administração, Bacharelado em Ciências Contábeis, dentre outros. Certamente, sua organização e abordagem possibilitam que o assunto seja interessante e facilitador da aprendizagem.
Com ênfase em aplicações e na solução de problemas do cotidiano, utilizaremos, principalmente,
os conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral. No entanto, ressaltamos que alguns cuidados devem
ser tomados para se obter SUCESSO nessa disciplina:
1. Não transfira para o professor a responsabilidade de fazer com que você aprenda todos os
conteúdos programáticos. A Matemática se aprende lendo, refletindo e exercitando MUITO.
2. Refaça os exercícios resolvidos entendendo cada raciocínio utilizado no desenvolvimento para
encontrar a solução.
3. Resolva todos os exercícios complementares e propostos.
4. Aplique o conteúdo à sua vida diária e teste os conhecimentos em exercícios que o estimulam
a escrever a respeito da Matemática usando não apenas símbolos, mas também palavras.
5. Revise os conceitos básicos de vários assuntos vistos nas séries finais do ensino fundamental
e do ensino médio, como, por exemplo, o de números reais, equações e funções.
6. Utilize uma calculadora científica quando julgar necessário.
Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira
que somente os técnicos possam interpretá-los, buscamos uma linguagem simples e objetiva que
possa lhe levar a compreensão dessa maravilhosa ferramenta que é a Matemática.
Estejam sempre atentos, pois acreditamos que devemos buscar entender todo o conteúdo e os
mecanismos que facilitam a compreensão de uma determinada teoria ou problema. Desta forma,
vocês aprenderão e sentirão cada vez mais prazer em estudar.
Prof.
Profa . Geciara da Silva Carvalho e Prof. Jones Garcia da Mata.
Estudo das Funções e sua
BLOCO 01
Aplicabilidade na Economia
Apresentação
A formulação matemática de um problema proveniente de uma situação prática frequentemente origina
expressões que envolvem combinação de funções.
Considere os seguintes questionamentos:
• Como a alteração na demanda de certo produto afeta o preço do mesmo?
• Que efeitos têm os impostos sobre o preço e a quantidade para certo produto? Quem paga a conta? O
produtor ou o consumidor?
• Será possível, determinar a depreciação de um determinado bem?
• Como o Lucro de uma empresa está relacionado com seu nível de produção?
O uso do conceito e propriedades de algumas funções nos permite responder tais perguntas, pois elas
representam uma “fatia da matemática” que possibilita descrevê-las como ferramentas para o desenvolvimento
de modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. Além disso, constitui-se o objeto fundamental do
Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações, objeto de estudo do Bloco 2. Nesta perspectiva, faremos uma
abordagem prática de tais conteúdos de modo que você possa compreender e apreender sobre os Modelos
econômicos e financeiros.
Neste bloco, trabalharemos, no tema I, o estudo das funções econômicas e, no tema 2, aplicações de
outras funções, tais como função exponencial e a logarítmica. Portanto, tais conceitos serão trabalhados de
forma contextualizada e, sempre que possível, faremos uma revisão dos conteúdos matemáticos envolvidos.
TEMA 01
O Estudo das Funções Econômicas
O Conceito de Função no Cotidiano
As funções surgem quando uma variável depende da outra, como, por exemplo, o custo C de se enviar uma
carta pelo correio depende do seu peso P . Embora não haja uma fórmula simples conectando o custo de envio
e o peso da carta, o correio a possui essa fórmula específica que permite calcular C quando é dado P . Assim:
1.1 Definição. Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se que y é função
de x e escreve-se y = f (x ) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca, no sentido x → y .
A x chama-se variável independente e a y variável dependente.
Existem quatro maneiras de representar uma função:
• verbalmente: descrevendo-a com palavras
6
FTC EAD |
• numericamente: por meios de tabelas
• graficamente: visualização através de gráficos
• algebricamente: utilizando-se uma fórmula explícita
Segundo Duvall, o estudante só consegue efetivamente dominar o conceito de função quando este é capaz
de compreendê-lo ao menos em duas formas de representação e é capaz de passar de uma representação a
outra com desenvoltura.
Nos conteúdos a seguir, buscamos exemplos que contemplassem esta abordagem, primeiro porque o conteúdo matemático não deve ser comprometido e a precisão matemática garantida; segundo, fazer uso destes
conteúdos no cotidiano do aluno, é uma condição necessária para a aprendizagem dos mesmos e, por fim,
desenvolver significativamente uma metodologia que possibilite a compreensão conceitual, ou seja, a visualização, experimentação numérica e gráfica e aplicada do objeto apreendido. No entanto, cabe ao estudante
considerar a abordagem a ser estuda como ponto de partida para outros estudos que lhe permita desenvolver
a capacidade de “tomar partes de descobertas”.
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de
descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele
desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta".
George Polya
Portanto, trataremos especificamente no tema I de aplicações de funções econômicas de 1o e 2o graus,
a saber: Função Custo, Receita e Lucro, Função de Demanda e Oferta; Função Depreciação, dentre outras
aplicações. No entanto, de forma sucinta, destacaremos as propriedades de cada função a ser trabalhada,
tendo como foco a contextualização do conhecimento matemático a ser apreendido, favorecendo conexões
entre diversos conceitos matemáticos com a área dos negócios, da Economia e das Ciências Humanas.
1.1
O Estudo das Funções do 1◦ e 2◦ Graus
A qualquer conexão entre os elementos de dois conjuntos A e B damos o nome de "relação"de A em B .
Embora o estudo das relações entre conjuntos seja importante, vamos nos ater ao estudo de um tipo especial,
em que cada elemento de A tem como correspondente somente um elemento de B , o qual é denominado
função.
Uma evidência prática deste conceito pode ser compreendida através da situação a seguir.
Suponha que você necessite utilizar um táxi para deslocar-se até a sua unidade pedagógica. O preço a
pagar pela corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y a ser paga é composta de duas partes:
uma parte fixa denominada de bandeirada e uma variável, que depende do número x de quilômetros rodados.
Supondo que a bandeirada custe R $3, 00 e o quilômetro rodado R $0, 60. A tarifa de táxi é obtida através da
fórmula:
y = 0, 60 · x + 3.
Esta expressão matemática se constitui em um exemplo de função, particularmente, uma função do 1o grau.
Para seu melhor entendimento sobre funções, vamos relembrar alguns aspectos importantes.
1. Uma função f de A em B é uma relação em A × B que associa a cada variável x em A, um único y em B .
Fundamentos da Matemática
7
2. Uma das notações mais usadas para uma função f de A em B é:
f :A→B
3. O conjunto A é chamado de domínio da função.
4. O elemento y é chamado imagem de x por f e denota-se y = f (x ).
5. O conjunto B é o contradomínio da função.
1.2
Funções do 1o Grau
1.2 Definição. Uma função real do 1o grau ou afim, é qualquer função que pode ser escrita sob a forma
f (x ) = ax + b , com a um número real não nulo e b um real. Simbolicamente,
f : R → R; f (x ) = ax + b em que a, b ∈ Rea 6= 0 é função real afim.
Os exemplos a seguir facilitarão a compreensão dos conceitos que envolvem uma função de 1o grau.
Exemplo 1.1. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a função f : A → B definida por
f (x ) = 2x + 1. Observe que
x
f (x )
y ou f (x )
0
f (0) = 2 · 0 + 1 = 1
1
1
f (1) = 2 · 1 + 1 = 3
3
2
f (2) = 2 · 2 + 1 = 5
5
Numa função f : A → B ,
• Seu domínio é o conjunto A e é indicado por Dom(f ). No exemplo, note que Dom(f ) = {0, 1, 2}.
• A imagem de uma função f é um subconjunto de B que é indicado por ℑ(f ). No exemplo anterior,
ℑ(f ) = {1, 3, 5}.
• Seu contradomínio é o conjunto B . Nele, temos que ℑ(f ) ⊂ B .
No exemplo, verifica-se que:
• f (0) = 1, isto é, 1 é a imagem de 0 pela função f ;
• f (1) = 3, isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f ;
• f (2) = 5, isto é, 5 é a imagem de 2 pela função f .
Exemplo 1.2. Seja f : R → R uma função definida por f (x ) = 3x − 5. Determine o valor real de x para que
se tenha f (x ) = 10, ou seja, sua imagem seja igual a 10, a partir desta função.
Solução: Veja como é fácil!
Observe que quando igualamos a imagem da função a 10, essa expressão se constitui numa equação de
1o grau. Para saber mais sobre isso consulte um livro qualquer das séries finais do ensino fundamental (8a
série). De fato, f (x ) = 3x − 5 e f (x ) = 10 ⇒ 3x − 5 = 10 ⇒ 3x = 15 ⇒ x =
Logo, para a imagem por f ser 10, o valor atribuído a x deve ser 5.
8
FTC EAD |
15
= 5.
3
1.2.1
Gráfico de uma Função Afim
O gráfico de uma função de 1o grau (f (x ) = ax + b ) é uma reta.
A fim de compreender o esboço do gráfico desta função, recordaremos que:
Um fato bastante conhecido da geometria plana (axioma de Euclides) é que dois pontos são suficientes
para determinar uma reta. Portanto, para construir o gráfico de uma função afim f é suficiente termos as
coordenadas de dois de seus pontos. Estes pontos são pares ordenados da forma (x , f (x )).
Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim f (x ) = 2x + 3, basta determinar as coordenadas de
dois pontos distintos e, em seguida, traçarmos a reta que passa por estes pontos. Para isso, escolheremos
dois valores quaisquer para x sem critério algum. Por exemplo, x = 1 e x = 2.
Em seguida, encontraremos a imagem para estes pontos. Sendo assim,
f (1) = 2 · 1 + 3 = 5
f (2) = 2 · 2 + 3 = 7
Desta forma, os pontos A(1, 5) e B (2, 7) pertencem ao gráfico da função f . Para esboçar o gráfico de f ,
devemos marcá-los no plano cartesiano e, em seguida, traçar a reta que passa por eles, conforme as figuras a
seguir.
y
y
8
8
B
B
b
6
b
6
A
b
-2
A
b
4
4
2
2
2
x
-2
2
x
Observe que no ponto em que a reta corta o eixo-x , a imagem é zero! Este ponto será importante para
traçarmos o gráfico desta função.
1.2.2
Zeros ou Raízes de uma Função Afim
Denomina-se zero ou raiz de uma função real f , a todo valor x ∈ Dom(f ) tal que f (x ) = 0.
Nota 1.
• A abscissa do ponto de interseção do gráfico de uma função real f com o eixo-x é um zero
de f .
• O valor f (0) é a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo-y .
b
Portanto, se f (x ) = ax + b , com a 6= 0, então f (x ) = 0 ⇒ ax + b = 0. Segue que, o zero de f é x = − .
a
Temos, ainda, que f (0) = a · (0) + b = b . Assim, o gráfico de uma função afim intercepta o eixo-y no ponto
(0, b ).
Fundamentos da Matemática
9
Nota 2. Na função f (x ) = ax + b , a é chamado de coeficiente angular, pois está relacionado com a
inclinação da reta, e b é chamado de coeficiente linear pois determina, no plano cartesiano, a ordenada
do ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo-y .
A fim de esboçar, de maneira prática, o gráfico, marque, no plano cartesiano,

‹
b
1. o ponto de interseção com o eixo-x (zero da função) − , 0 ;
a
2. o ponto de interseção com o eixo-y (coeficiente linear) (0, b ).
Exemplo 1.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x + 3 utilizando os pontos de interseção do gráfico com
os eixos coordenados.
Solução: Calculemos, inicialmente, o zero da função
f.

‹
3
Logo, A − , 0 é
f (x ) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x =
2
o ponto em que o gráfico de f intercepta o eixo-x .
Graf(f )
4
− 23 .
B
b
2
Agora, encontremos o valor f (0).
f (0) = 2 · 0 + 3 = 3. Logo, B (0, 3) é o ponto em que o
gráfico de f intercepta o eixo-y .
b
-4
-2 A
Finalmente, marcando estes pontos, obtemos o gráfico
2
-2
de f conforme a figura ao lado.
Exemplo 1.4. Construir o gráfico da função afim f (x ) = −3x + 6.
Solução: Para encontrar o zero da função f , devemos resolver a equação f (x ) = 0. Segue que,
−3x + 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.
Desta forma, o gráfico da função f intercepta o eixo-x no ponto A(2, 0).
y
Determinemos, agora, o valor de f (x ) quando x = 0. Então,
6
b
B
f (0) = −3 · 0 + 6 = 6.
Portanto, o gráfico da função f intercepta o eixo-y no ponto
4
Graf(f )
B (0, 6).
Marcando estes dois pontos no plano cartesiano e traçando
2
uma reta que passa pelos pontos (0, 6) e (2, 0), obtemos o gráfico
b
de f conforme a figura ao lado.
Note, respectivamente, que nas funções f (x ) = 2x + 6 e f (x ) = −3x + 9, temos:
1. a = 2 (a é positivo) e o gráfico da função é CRESCENTE;
2. a = −3 (a é negativo) e o gráfico da função é DECRESCENTE.
10
FTC EAD |
2
A
x
Em resumo, dada uma função afim f (x ) = ax + b , temos que:
Nota 3.
1. Se a > 0, então a função f é crescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação
positiva e passa pelos pontos

b
− ,0
a
‹
e (0, b ).
2. Se a < 0, então a função f é decrescente e o seu gráfico é o de uma reta com inclinação negativa
e passa pelos pontos

b
− ,0
a
‹
e (0, b ).
Veja, portanto, que:
1. a função f (x ) = 2x + 6 é crescente (a = 2 > 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação positiva.
2. a função f (x ) = −3x + 9 é decrescente (a = −3 < 0) e é um exemplo em que a reta possui inclinação
negativa.
1.3
Funções do 2o Grau (ou Quadráticas)
1.3 Definição. Uma função real f , da forma f (x ) = ax 2 + bx + c , em que os coeficientes a, b e c são números
reais, com a 6= 0, é uma função quadrática ou do 2◦ grau.
São exemplos de quadráticas as funções:
• f (x ) = x 2 − 5x + 6
• f (x ) = x 2 − 4x
• f (x ) = x 2 − 9
1.3.1
Zeros da Função do 2o Grau
Ao igualarmos uma função f a 0, estamos interessados em descobrir, caso existam, os valores pertencentes
ao domínio de f os quais se associam ao valor 0. Estes valores são chamados de zeros ou raízes da função.
O processo algébrico a seguir, atribuído a Bhaskara, determina, caso existam, quem são os zeros de uma
função quadrática. Neste, devemos calcular, primeiramente, o valor do discriminante
∆ = b 2 − 4ac
e, caso ∆ ≥ 0, os zeros da função quadrática são calculados através das fórmulas:
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
e x2 =
2a
2a
É importante que você faça uma revisão sobre a teoria que envolve equações do 2o grau, ok? Isso facilitará
a compreensão de certos aspectos que envolvem este tipo de função.
Fundamentos da Matemática
11
1.3.2
Gráfico de uma Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e, para construí-la, devem-se seguir os passos:
1. Verificar a sua concavidade:
• se a > 0, a concavidade da parábola é positiva ou voltada para cima;
• se a < 0, a concavidade da parábola é negativa ou voltada para baixo.
a<0
a>0
2. Determinar o ponto de interseção com o eixo-y , ou seja, (0, f (0)).
Para encontrar este ponto devemos calcular quem é a imagem para x = 0. Sendo assim, f (0) = a · 02 +
b · 0 + c = c . Logo, o ponto de interseção com o eixo-y tem coordenadas (0, c ).
3. Calcular o discriminante ∆ e, se
• ∆ > 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e distintos e o seu gráfico interceptará o
eixo-x em dois pontos.
• ∆ = 0, a função quadrática então possui dois zeros reais e iguais e interceptará o eixo-x em apenas
um ponto.
• ∆ < 0, a função quadrática então não possui zeros e o seu gráfico, portanto, não interceptará ponto
algum sobre o eixo-x . Você é capaz de dizer o porquê desta afirmação?
4. Calcular as raízes da função.
5. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.
Elas são determinadas por

V
−b −∆
,
2a 4a
‹
6. Marcar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano e atentar para a concavidade da
parábola.
Exemplo 1.5. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 5x + 6.
Solução: Seguiremos os passos descritos anteriormente.
1. Verificação da concavidade
Como a = 1, temos que a concavidade da parábola é voltada para cima.
2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.
f (0) = 02 − 5 · 0 + 6 = 6. Logo, (0, 6) é este ponto.
12
FTC EAD |
3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.
Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,
x 2 − 5x + 6 = 0
Como a = 1, b = −5 e c = 6, temos que
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.
Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√
√
√
√
−(−5) + 1
5+1
−b − ∆
−(−5) − 1
5−1
−b + ∆
=
=
= 3 e x2 =
=
=
= 2.
x1 =
2a
2·1
2
2a
2·1
2
4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

Como V
‹
−b −∆
,
, temos
2a 4a
xV =

Portanto, V
−(−5)
5
−∆
−1
1
−b
=
= e yV =
=
=−
2a
2·1
2
4a
4·1
4
‹
5 1
,− .
2 4
O gráfico da função é, portanto:
6
f
3
b
1
2 V 3
4
Exemplo 1.6. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 5x − 6.
Solução:
Vamos acompanhar os passos descritos para a construção do gráfico de uma função
quadrática.
1. Verificação da concavidade
Como a = −1, temos que a concavidade da parábola é voltada para baixo.
2. Determinar o ponto (0, c ) de interseção com o eixo das ordenadas.
f (0) = −02 + 5 · 0 − 6 = −6. Logo, (0, −6) é este ponto.
3. Calcular o discriminante ∆ e, caso existam, os zeros da função.
Fundamentos da Matemática
13
Para isso, basta resolver a equação f (x ) = 0, ou seja,
−x 2 + 5x − 6 = 0
Como a = −1, b = 5 e c = −6, temos que
∆ = 52 − 4 · (−1) · (−6) = 25 − 24 = 1
Isto significa que a função quadrática f possui dois zeros reais e distintos.
Para determiná-los, utilizemos a fórmula de Bhaskara.
√
√
√
√
−5 + 1
−5 + 1
−b − ∆
−5 − 1
−5 − 1
−b + ∆
=
=
= 2 e x2 =
=
=
= 3.
x1 =
2a
2 · (−1)
−2
2a
2 · (−1)
−2
4. Encontrar as coordenadas do vértice da parábola.

Como V
‹
−b −∆
, temos
,
2a 4a
xV =

Portanto, V
−b
−5
5
−∆
−1
1
=
= e yV =
=
=
2a
2 · (−1)
2
4a
4 · (−1)
4
‹
5 1
,
.
2 4
O gráfico da função é, portanto:
V
b
-1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
f
Veremos, no exemplo a seguir, que se ∆ = 0, então a função quadrática tem dois zeros reais e iguais, isto
é, a função corta o eixo-x em apenas um ponto.
Exemplo 1.7. Construir o gráfico da função f (x ) = x 2 − 2x + 1.
1. Verificação da concavidade.
Como a = 1, a concavidade da parábola é voltada para cima.
2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .
f (0) = 1 · 02 − 2 · 0 + 1 = 1.
Logo, o ponto procurado é (0, 1).
3. Calcular os zeros da função.
Para isso, resolvemos a equação quadrática x 2 − 2x + 1 = 0:
Como a = 1, b = −2 e c = 1, temos que
∆ = b 2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0.
14
FTC EAD |
Observe, aqui, a função quadrática tem dois zeros reais e iguais.
Os zeros da função:
√
√
√
√
−(−2) + 0
2
−b − ∆
−(−2) − 0
2
−b + ∆
=
= = 1 e x2 =
=
= =1
x1 =
2a
2·1
2
2a
2·1
2
4. As coordenadas do vértice da parábola:
xV =
Portanto, V (1, 0).
−b
−(−2)
2
−∆
−0
=
= = 1 e yV =
=
=0
2a
2·1
2
4a
4·1
O esboço do gráfico da função é:
4
3
2
1
V
b
-1
1
2
3
Exemplo 1.8. Construir o gráfico da função f (x ) = −x 2 + 2x − 1.
Solução: Temos que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · (−1) · (−1) = 4 − 4 = 0, ou seja, a função quadrática tem
dois zeros reais e iguais. Analogamente à função anterior, obtemos que os zeros da função são x1 = x2 = 1
e o vértice V (1, 0).
O esboço do gráfico da função f é:
1
V
b
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Exemplo 1.9. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x 2 + x + 3.
Solução:
1. Verificação da concavidade.
Como a = 2, a concavidade da parábola é voltada para cima.
2. Determinar o ponto de interseção do gráfico da parábola com o eixo-y .
f (0) = 2 · 02 + 1 · 0 + 3 = 3.
Fundamentos da Matemática
15
Logo, o ponto procurado é (0, 3).
3. Calcular os zeros da função.
Para isso, resolvemos a equação quadrática 2x 2 + x + 3 = 0:
Como a = 2, b = 1 e c = 3, temos que
∆ = b 2 − 4ac = 12 − 4 cdot 2 · 3 = 1 − 24 = −23.
Observe, aqui, que a função quadrática não possui zeros reais.
4. As coordenadas do vértice da parábola:
xV =

Portanto, V
‹
−1
−1
−∆
−(−23)
23
−b
=
=
e yV =
=
=
2a
2·2
4
4a
4·2
8
−1 23
.
,
4 8
O esboço do gráfico da função f é:
b
V
23
8
− 41
Observe que o gráfico da função não corta o eixo-x .
Exemplo 1.10. Construir o gráfico da função f (x ) = −2x 2 − x − 3.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que ∆ = −23 e, portanto, a função não possui zeros
reais. Como f (0) = −3, o ponto (0, −3) e o de interseção como o eixo das ordenadas. Como a = −2, temos

que a parábola tem concavidade voltada para baixo. As coordenadas do vértice são V
O esboço do gráfico da função f é:
− 41
b
− 23
8
V
Observe que o gráfico da função não intercepta o eixo-x .
16
FTC EAD |
‹
−1 −23
.
,
4
8
1.4
1.4.1
Funções Custo, Receita e Lucro
Função Custo
1.4 Definição. Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total é
chamada de função custo.
Para refletir
Que tipo de função você espera que seja C (q )?
Nota 4. Quanto maior for a quantidade de bens produzidos, maior será o custo. Sendo assim, C (q ) é
uma função definida para valores não negativos de q , não somente para inteiros.
Suponha que você seja dono de uma grande companhia que fabrica cadernos escolares. A fábrica e o
maquinário necessários para começar a produção são custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhum
caderno seja produzido. Os custos de trabalho e matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem da
quantidade de cadernos feitos.
Imagine que em um determinado momento, os custos fixos de sua fábrica sejam de R $36.000, 00 e os custos
variáveis de R $3, 00 por caderno. Então
Custo total para a companhia
=
=
Custo fixo + Custo variável
36.000 + 3, 0 · q ,
em que q representa o número de cadernos produzidos. Assim,
C (q ) = 36.000 + 3, 0 · q .
Esta é uma função afim e seu gráfico é o de uma reta com inclinação 3, 0 e intercepto vertical 36.000.
milhares
C (q )
36.000
q (quantidade)
Em resumo, os custos de produção podem ser divididos em duas partes:
1. Custos fixos CF , que existem ainda que nada seja produzido. São representados pelo intercepto vertical.
2. Custos variáveis CV (q ), que varia dependendo de quantas unidades são produzidas.
3. Custos totais CT (q ) que é a soma dos custos fixos e dos variáveis, isto é, Ct (q ) = CF + CV (q ).
Fundamentos da Matemática
17
1.4.2
Função Receita
1.5 Definição. Uma função R que associa a venda de uma quantidade q de algum bem ao valor total monetário
recebido por uma firma é chamada de função receita.
Suponha que a fábrica de cadernos venda cada um por R $12, 00, a receita por 100 cadernos é 12 · 100 =
1.200.
Representando o preço por p e a quantidade vendida por q , temos
Receita =
R (q ) =
Preço · Quantidade
.
p·q
Portanto, R (q ) = 12q .
Nota 5. Utilizaremos as letras q ou x para indicar a quantidade de um determinado produto.
Se o preço não depender da quantidade vendida, o gráfico da receita em função da quantidade de um
determinado produto é uma reta que passa pela origem.
R
q
Considerando a função receita anterior, que o custo de produção de cada caderno é de R $3, 00 e que o
custo fixo é de 36.000, para que valores de q a fábrica ganha dinheiro, ou seja, tem lucro?
A fábrica ganha dinheiro sempre que a receita é maior que os custos (R (q ) ≥ C (q )), de modo que queremos
achar os valores de q para os quais o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ).
Observe que o gráfico R (q ) está acima do gráfico de C (q ), quando q ≥ QN .
Recei ta
C usto
qN
q
Observando o gráfico acima, verifique que o gráfico de R (q ) está acima do gráfico de C (q ) para todos os
18
FTC EAD |
valores de q maiores que qN , onde os gráficos de R (q ) e C (q ) se cruzam. Em outras palavras, as imagens da
função R (q ) são maiores que as imagens da função C (q ) quando os valores de q são maiores que qN .
No ponto N (qN , R (qN )) ou N (qN , C (qN )), chamado ponto de nivelamento, a receita é igual ao custo. Assim,
para obtermos qN (quantidade de nivelamento), ou seja, a quantidade de produto em que a receita é igual ao
custo, basta:
R (q ) = C (q ) ⇒ 12q = 36.000 + 3q ⇒ 9q = 36.000 ⇒ q = 4.000
Portanto, qN = 4.000 cadernos.
Assim, a fábrica terá lucro se produzir e vender mais que 4.000 cadernos. Perderá dinheiro se produzir e
vender menos que 4.000 cadernos.
R$
Receita
Custo
48.000
36.000
4.000
q
Contextualizando o Saber
Problema 1. O dono de um restaurante vende, em média, 300 refeições por dia a R $5, 00 a refeição, que tem
um preço de custo de R $3, 00. Ele observou que, a cada R $0, 20 que ele oferece de desconto no preço da
refeição, sua venda aumenta em 40 refeições. A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja
máximo?
Solução: Podemos extrair deste problema que
p = 5 → x = 300 ⇒ (5; 300)
p = 4, 8 → x = 340 ⇒ (4, 8; 340)
Considerando p (x ) = ax + b , temos que:
8
<
:
5
= 300a + b
4, 8 = 340a + b
Resolvendo este sistema linear, encontramos a = −0, 005 e b = 6, 5.
A função que representa o valor do preço em decorrência da quantidade de refeição vendida é:
p (x ) = −0, 005x + 6, 5.
Fundamentos da Matemática
19
Sabendo que R (x ) = p (x ) · x , temos que:
R (x ) = (−0, 005x + 6, 5) · x = −0, 005x 2 + 6, 5x .
Considerando que o custo total, nesse problema, está diretamente relacionado com o custo variável,
encontramos a função custo fazendo:
C (x ) = Cu · x = 3x .
Logo, a função lucro é obtida como segue abaixo:
L(x ) = R (x ) − C (x ) = −0, 005x 2 + 6, 5x − 3x = −0, 005x 2 + 3, 5x
Voltemos à pergunta: A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu lucro seja máximo?
Perguntamos ainda: que “ferramenta matemática” podemos utilizar para, enfim, respondermos esta
questão?
O vértice da parábola é a ferramenta procurada, pois através dele determinarmos os pontos de máximo
ou de mínimo. Neste caso, como a < 0 na função lucro acima, temos que esta admite ponto de máximo.
Logo,
x=
−3, 5
−b
=
= 350
2a
2 · (−0, 005)
Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é x = 350 e, para obtermos o preço que maximiza o lucro,
basta substituir x por 350 na função preço:
p = −0, 005 · 350 + 6, 5 = 4, 75.
Exemplo 1.11. O custo fixo mensal de uma empresa é R $5.000, 00, o custo variável por unidade produzida é
R $30, 00 e o preço de venda é R $40, 00.
(a) Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R $2.000, 00 mensal,
sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro?
(b) Qual a quantidade produzida que apresenta nem lucro e nem prejuízo?
Solução:
(a) Temos que o custo total é encontrado por
C (x ) = CF + Cu · x ,
em que CF é o custo fixo e Cu é o custo unitário. Assim,
C (x ) = 5.000 + 30x .
A receita é encontrada por
R (x ) = p · x ,
20
FTC EAD |
Em que p é o preço de venda e x é a quantidade. Assim,
R (x ) = 40 · x .
O lucro total é dado por
LT (x ) = R (x ) − C (x ) = 40x − (5.000 + 30x ) = 10x − 5.000.
O lucro líquido é obtido por
LL (x ) = LT (x ) − I (x ).
Em que I (x ) = 0, 35 · LT (x ). Daí, segue que
LL (x ) = LT (x ) − 0, 35LT (x ) = 0, 65LT = 0, 65(10x − 5.000) = 6, 5x − 3.250.
Como LL (x ) = 2.000, temos 6, 5x − 3.250 = 2.000. Resolvendo esta equação, em x , temos:
6, 5x = 2.000 + 3.250 ⇒ x =
5.250
⇒ x ≈ 807, 7.
6, 5
(b) Neste caso, temos R (x ) = C (x ) ⇒ LL (x ) = 0 ⇒ 6, 5x − 3.250 = 0 ⇒ x = 500.
Exemplo 1.12. Sejam RT (q ) = −q 2 + 10q e CT (q ) = q + 8, com 0 ≤ q ≤ 10, as funções receita total e custo
total, respectivamente.
(a) Determine os pontos de nivelamento.
(b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções RT e CT destacando os pontos de nivelamento.
(c) Determinando a função lucro e construindo seu gráfico, para quais valores de q temos: lucro máximo,
lucro, prejuízo e nenhum lucro?
(d) Qual a quantidade produzida, que produz a maior receita?
Solução:
(a) Para determinar o ponto de nivelamento devemos fazer RT (q ) = CT (q ), logo
−q 2 + 10q = q + 8 ⇒ q 2 − 9q + 8 = 0.
Resolvendo esta equação de 2o grau, obtemos qN1 = 1 e qN2 = 8.
(b) Vamos analisar, primeiramente, a função receita RT (q ) = −q 2 + 10q , que é quadrática.
Sendo a = −1, então a concavidade é voltada para baixo;
Seu discriminante é ∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 0 = 100;
Fundamentos da Matemática
21
Suas raízes são assim determinadas:
√
−10 ± 100
q=
⇒ q = 0 ou q = 10.
2 · (−1)
O vértice V tem coordenadas xV = −
100
−10
= 5 e yV = −
= 25. Assim V (5, 25).
2 · (−1)
4 · (−1)
Como c = 0, a parábola corta o eixo vertical em P (0, 0).
R
V
25
b
5
10
q
Para a função custo CT (q ) = q + 8, vamos determinar dois pontos do seu gráfico por se tratar uma reta.
Para tanto, temos:
O zero é obtido fazendo CT (q ) = 0, ou seja, q + 8 = 0 implicando em q = −8. Logo, o ponto é
(−8, 0);
Como o coeficiente linear é 8, isto é, seu gráfico corta o eixo vertical em P (0, 8).
C
18
b
b
b
10 q
Como não existe quantidade negativa, iremos considerar a parte positiva do eixo das abscissas. Além
disso, temos 0 ≤ q ≤ 10.
Abaixo, o esboço gráfico das funções num mesmo plano cartesiano, em que, 0 ≤ q ≤ 10.
R$
25
b
18
16
9
b
b
b
1
22
FTC EAD |
5
8
10
q
Observe que CT (0) = 0 + 8 = 8 e CT (10) = 10 + 8 = 18.
(c) Sabemos que LT (q ) = RT (q ) − CT (q ) = −q 2 + 10q − (q + 8) = −q 2 + 9q − 8. Portanto, a função lucro
(Lt (q )) é quadrática e seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1.
R$
• O discriminante é ∆ = (9)2 − 4 · (−1) · (−8) = 49 e suas
raízes são q = 1 e q = 8.

‹
9 25
,
.
2 2
• Como c = −8, a parábola corta o eixo vertical em
• O seu vértice tem coordenadas V
P (0, −8).
1
9
2
8
q
• O esboço do gráfico da função lucro total está ao lado.
Os zeros da função lucro são os pontos de nivelamento. De fato, LT (x ) = 0 implica RT (x ) = CT (x ).
Conforme a figura acima, podemos perceber que a função lucro é positiva, ou seja, teremos lucro,
no intervalo (1, 8); prejuízo (LT (x ) < 0): 0 < q < 1 ou 8 < q < 10. Não se tem lucro e nem prejuízo
quando q = 1 ou q = 8.
O lucro máximo é determinado pela ordenada do vértice da parábola, ou seja, Lmax = yV =
25
2
(d) A quantidade produzida que determina a maior receita é o xV da função receita, ou seja, q = 5.
Confirme este resultado no item (b).
1.5
Funções Oferta e Demanda
A quantidade q de um produto ou bem que é manufaturado e vendido depende de seu preço p . Usualmente,
se assume que quando o preço sobe, os produtos têm disposição para fornecer mais do produto e a demanda
(procura) do consumidor cai. Como os produtores e consumidores têm reações diferentes à variação do preço,
há duas funções ligando p e q . Estas funções podem ser representadas por qualquer curva. Criteriosamente
trabalharemos com funções do primeiro e do segundo grau.
A função oferta relaciona o preço e quantidade do ponto de vista do produtor, ou seja, quanto mais interessante (alto) o valor da mercadoria, maior
será a sua disponibilidade por parte dos produtores no mercado. Enquanto
que a função demanda relaciona o preço e a quantidade do ponto de vista do
consumidor, ou seja, quanto mais interessante (baixo) o valor da mercadoria
maior será a sua procura pelos consumidores no mercado. Assim, as funções
de oferta e demanda são, respectivamente, crescentes e decrescentes, como
mostra a figura ao lado.
p (q )
Oferta
Demanda
q
Para pensar
A figura ao lado mostra as curvas de oferta e demanda para um dado produto.
Fundamentos da Matemática
23
(a) Qual é o preço de equilíbrio para esse produto? A
p (q )
este preço, que quantidade será produzida?
(b) Escolha um preço acima do preço de equilíbrio,
por exemplo, p = 12. A este preço, quantos
itens os fornecedores estarão dispostos a produzir? Quantos itens os consumidores quererão
comprar? Use suas respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem
acima do preço de equilíbrio, o mercado tende
a empurrar os preços para baixo (em direção ao
equilíbrio).
50
Oferta
40
30
20
10
b
Demanda
3000
6000
q
(c) Agora escolha um preço abaixo do preço de equilíbrio, por exemplo, p = 8. A este preço, quantos itens os
fornecedores estarão dispostos a fornecer? Quantos itens os consumidores quererão comprar? Use suas
respostas a estas perguntas para explicar porque, se os preços estiverem abaixo do preço de equilíbrio,
o mercado tende a empurrar os preços para cima (em direção ao equilíbrio).
Nota 6. No Ambiente Virtual de Aprendizagem existe uma espaço para discussão coletiva, chamado
Fórum da Disciplina. Acesse e poste a resolução desta questão.
Situação Problema
Suponha que as curvas de demanda e oferta para um produto são, respectivamente, p = 100 − 0, 5x e
p = 10 + 0, 5x .
(a) Qual o ponto de equilíbrio de mercado?
(b) Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço
e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
A oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os vendedores desejam
oferecer no mercado e a demanda de um bem, num certo intervalo de tempo, é a quantidade do bem que os
consumidores pretendem adquirir no mercado.
O preço do bem define a oferta ou escassez de um produto no mercado, pois se o preço na análise do produtor é baixo, o mesmo não disponibiliza-o no mercado, para que a procura do produto (ausência no mercado)
gere aumento no preço. Claro que, quanto mais alto o preço estiver, mas dispostos os produtores estarão a
colocar sua mercadoria para circular no mercado. No entanto, o consumidor não compra. Para equilibrar este
impasse, o governo estabelece um ponto de equilíbrio, a fim de se garantir o produto no mercado a um preço
que o consumidor possa adquiri-lo.
Portanto, é preciso saber que o preço este diretamente ligado a escassez ou a oferta de um bem no mercado.
Como encontraremos o ponto de equilíbrio?
A resposta é simples. Basta igualar a função oferta à função demanda.
Sendo assim, 100 − 0, 5x = 10 + 0, 5x ⇒ x = 90.
Fazendo a substituição de x por 90 em uma das equações (isso se deve ao fato, de para x = 90, ambas as
equações são equivalentes. Daí,
p = 10 + 0, 5 · 90 = 55
24
FTC EAD |
Logo, o ponto de equilíbrio, é (90, 55), ou seja, o preço de mercado para o produto é 55 reais e a quantidade
que o consumidor estará disposto a comprar é de 90 unidades do produto.
Se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de R $3, 00, que efeitos têm os impostos sobre o preço
e a quantidade para este produto? Quem paga a conta? O produtor ou o consumidor?
Como o imposto é acrescido na função oferta, devemos acrescer 3, ou seja, p = 10 + 0, 5x + 3 = 13 + 0, 5x .
Em virtude da cobrança do imposto, precisamos estabelecer um novo ponto de equilíbrio, a saber: x = 87, que
é a solução da equação 100 − 0, 5x = 13 + 0, 5x .
Atenção: Para encontrar este novo ponto de equilíbrio igualamos a nova oferta à função demanda.
Para o novo ponto de equilíbrio, x = 87 representa a quantidade de equilíbrio e, o novo preço de equilíbrio
é:
p = 10 + 0, 5 · 87 = 56, 5.
Como podemos perceber, o imposto sobre o produtor resultou no aumento do preço do produto, o consumidor pagou R $1, 5 a mais. Sendo assim, o consumidor sempre paga a conta e, neste caso, assume parte do
imposto que deveria ser aplicado sobre o produtor que repassa, através do aumento do preço do produto, para
o consumidor. Pode?
1.6
1.6.1
Outras Funções Importantes
Um Vínculo Orçamentário
Um debate constante envolve a alocação entre defesa e programas sociais. Em geral, quanto mais é gasto
com a defesa, menos fica disponível para programas sociais e vice-versa. Simplifiquemos o exemplo para
armas e manteiga. Assumido que um orçamento constante é afim, mostraremos que a relação entre o número
de armas e a quantidade de manteiga é afim. Suponha que existem R $12.000, 00 para serem gastos e que
devem ser divididos entres armas, custando R $400, 00, e manteiga, custando R $2.000, 00 a tonelada. Suponha,
também, que o número de armas comprado é g e que o número de toneladas de manteiga é b . Então a quantia
gasta com armas é R $4.000, 00 a quantia gasta com manteiga é R $2.000 · b .
Supondo que todo o dinheiro é gasto,
quantia gasta com armas + quantia gasta com manteiga = 12.000,
ou
400g + 2.000b = 12.000.
Dividindo por 400, obtemos
g + 5b = 30
A equação é o vínculo orçamentário. Seu gráfico é uma reta, pois é afim. Observe:
b
6
30
g
Como o número de armas compradas determina a quantidade de manteiga comprada (porque todo o dinheiro não gasto com armas vai para manteiga), b é função de g . Logo,
g = 30 − 5b ,
Fundamentos da Matemática
25
que é uma formula explícita para g em termos de b . Do mesmo modo,
g + 5b = 30 ⇒ 5b = 30 − g ⇒ b =
30 − g
ou b = 6 − 0, 2g ,
5
que explicita b como função de g .
Como tais funções são afins, o gráfico do vínculo orçamentário é uma reta, como já foi visto.
1.6.2
Funções de Depreciação
A função de depreciação D (t ) fornece o valor de um produto ou bem que deprecia, linearmente, em função
do tempo t , desde que o produto foi comprada.
Será representado por
D (t ) = vi + m · t ,
em que
vi é o valor do bem quando novo;
vf é o valor do bem após t anos.
m é a inclinação dada pela fórmula m =
vf − vi
.
tf − ti
Exemplo 1.13. Suponha que a fábrica de cadernos tem uma máquina que custa R $18.000, 00. Os gerentes
da empresa planejam conservar a máquina por dez anos e, então, vendê-la por R $2.500, 00. Dizemos, neste
caso, que o valor da máquina se deprecia de R $18.000, 00 hoje a um valor de revenda de R $2.500, 00 reais em
dez anos.
Solução: O valor da máquina nova é R $18.000, 00 e t = 0, pois a máquina nunca foi usada. Neste caso,
vI = 18.000 e D (0) = 18.000 + ·0 = 18.000.
Quando t = 10 e vf = 2.500. Logo,
m=
−15.500
2.500 − 18.000
=
= −1.550.
10 − 0
10
A inclinação nos diz que o valor da máquina é decrescente a uma taxa de R $1.550 por ano.
R$
18.000
2.500
12
10
1.6.3
Composição de Funções
Observe a situação abaixo.
26
FTC EAD |
q
Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em
crediário. No mês de outubro, a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira
quinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f (x ), dado
pela função: f (x ) = 0, 8x .
O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia de
t reais recebidos, o banco transfere para conta da loja a quantia g (t ) = 0, 95t .
Entenda bem o esquema:
Banco
f (x ) = t
g
f
Cliente
Loja
x
g (t )
A prestação do mês de outubro de um cliente é de 150 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
do mês, quanto pagará?
A resposta para essa questão é dada pela função f (x ) = 0, 8x . O cliente vai pagar f (150) = 0, 8 · 150 = 120
reais
Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja?
A resposta é dada pela função g (t ) = 0, 95 · t . Como o banco terá recebido t = 120 reais do cliente, a loja
receberá do banco:
g (120) = 0, 95 · 120 = 114reais
A prestação de um cliente para o mês de outubro é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena
de outubro, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função de
x , sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena?
Banco
0, 8 · x
g
f
Loja
Cliente
x
h
0, 9 · 0, 8 · x
A função h é que expressa o valor recebido pela loja em função de x , ou seja,
h(x ) = 0, 95 · 0, 8x = 0, 76x .
A função h é chamada de função composta de g com f .
Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f : A → B e g : B → C . A função h : A → C tal que
h(x ) = g (f (x )) é chamada de função composta de g com f . Indicaremos essa composição por g ◦ f , lê-se g
composta com f .
Fundamentos da Matemática
27
Em diagramas, temos:
B
f (x )
g
f
A
C
x
h =g ◦f
g (f (x ))
Para Fichar
Pesquisadores ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração de monóxido de carbono no
ar será dada pela função C (n) = 0, 37n + 3, 9 partes por milhão (p .p .m) de monóxido de carbono, quando sua
população for de n mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade é dada pela
função n(t ) = 0, 67t 2 + 12, 9 mil habitantes, onde t é dado em anos.
(a) Determine a função que nos dá a concentração de monóxido de carbono no ar em função do tempo t .
(b) Daqui a quanto tempo teremos uma concentração de 13,87 p.p.m de monóxido de carbono no ar dessa
cidade?
(a) Temos que
C (n(t )) = 0, 37(0, 67t 2 + 12, 9) + 3, 9 = 0, 2479t 2 + 8, 6730p.p.m.
(b) Nesse caso,
C (n(t )) = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2+8, 6730 = 13, 87 ⇒ 0, 2479t 2 = 5, 197 ⇒ t 2 ⊥ 20, 96 ⇒ t ⊥
√
20, 96 ⇒ t ∼
= 4, 58 anos
ou seja, daqui a aproximadamente 4 anos e 7 meses.
1.7
Funções Definidas por mais de uma Sentença
Consideremos a seguinte situação:
Um elevador é construído mediante as seguintes especificações:
• Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg , são usados cabos de aço de 20mm de diâmetro.
• Para carga de massa xkg , em que x > 100, são usados cabos de aço de
x
mm de diâmetro.
50
A função seguinte mostra o diâmetro f (x ) de cada cabo, em função da massa x , f (x ) em mm e x em kg :
(
f (x ) =
20 ,
x
,
50
se 0 ≤ x ≤ 1.000
se x > 1.000
Esta função é um exemplo de função definida por sentenças, neste caso, duas sentenças, são elas:
28
FTC EAD |
1. f (x ) = 20, se 0 ≤ x ≤ 1.000;
2.
x
, se x > 1.000.
50
Constrói-se o gráfico de uma função com várias sentenças a partir de cada sentença, respeitando as
condições de existência, num mesmo sistema de coordenadas.
O gráfico está exibido a seguir.
y
50
20
x
1000
1.8
Funções de Duas Variáveis
Uma loja vende dois produtos, o primeiro a $600, 00 a unidade e o segundo a $800, 00 a unidade. Considere
x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo, respectivamente:
(a) Determine a função receita:
(b) Qual o valor da receita se forem vendidos 7 unidades do primeiro produto e 13 do segundo:
(c) Quais as quantidades do primeiro produto e quais as quantidades do segundo produto a loja precisa
vender para ter uma receita de $12.000, 00.
Solução: (a) A função receita é dada por R (x , y ) = 600x + 800 · y .
(b) R (7, 13) = 600 · 7 + 800 · 13 = 14.600, 00 unidades monetárias.
3
(c) R (x , y ) = 12.000 ⇒ 600x + 800y = 12.000 ⇒ 800y = −600x + 12.000 ⇒ y = − x + 20
4
y
20
80
3
1.8.1
x
Exercícios Propostos
EP 1.1. Uma fábrica de equipamento Eletrônico estima que o custo variável por unidade de produção de x
calculadoras por dia é dado por:
Fundamentos da Matemática
29
• Matéria-prima: R $8, 00 por unidade.
• Mão de obra: R $7, 00 por unidade.
Sabendo que cada calculadora é vendida por R $30, 00 e o custo fixo mensal é de R $3.000, 00, podemos
afirmar que a quantidade de calculadoras que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de no
mínimo R $4.000, 00 por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do lucro, é?
(a) 50
(b) 51
(c) 52
(d) 54
EP 1.2. Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R $500, 00 a unidade e o segundo a R $600, 00 a unidade.
Considere x e y as quantidades vendidas do primeiro e do segundo respectivamente. Qual das alternativas
abaixo responde as seguintes perguntas:
(I) Qual o valor da receita se for vendidos 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo.
(II) Qual expressão representa a quantidade do primeiro produto e do segundo produto que a loja precisa
vender para ter uma receita de R $300.000, 00.
5x
6
5x
(b) R $15.000; y = 500 +
6
5x
(c) R $14.000; y = 500 +
6
5x
(d) R $15.000; y = 500 −
6
(a) R $14.000; y = 500 −
EP 1.3. Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da base é o dobro da largura.
O material da base custa R $10, 00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R $6, 00 por
metro quadrado. A expressão que representa o custo total em função da largura da caixa é:
(a) C (l ) = 20l 2 +
180
,l >0
l
(b) C (l ) = 20l 2 + 36l , l > 0
(c) C (l ) = 20l +
180
,l >0
l
(d) C (l ) = 20l 2 +
180
,l >0
l2
EP 1.4. Para produzir um determinado produto, uma firma gasta R $1, 20 por unidade. Além disso, há
uma despesa fixa de R $4.000, 00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R $2, 00 por
unidade. Qual é o mínimo de unidades, a partir de qual a firma começa a ter lucro?
(a) R $1.800, 00
(b) R $2.500, 00
(c) R $3.600, 00
(d) R $5.000, 00
EP 1.5. Admita que o Sr. Cardoso seja um empresário que se dedica exclusivamente à produção de leite e
que
30
FTC EAD |
Preço da caixa de leite
Quantidade de caixas de leite oferecidas
10
1
40
5
70
9
100
13
130
17
160
21
Admita, também, que a caixa de leite, comprada pelo Sr. Cardoso, possui a função demanda p = 102, 5 −
2, 5x . Marque a alternativa que determina o ponto de equilíbrio.
(a) (77, 5; 10)
(b) (10; 77, 5)
(c) (10; 25)
(d) (25; 10)
Gabarito
1.1. (d) 1.2. (a) 1.3. (a) 1.4. (d) 1.5. (b)
Fundamentos da Matemática
31
Estudos de Outras Funções
TEMA 02
Matemáticas e Suas Aplicações
Apresentação
Neste tema, nosso objeto de estudo será a aplicação de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas
na área de Ciências Sociais.
2.1
Funções Exponenciais e suas Aplicações
Você já parou para pensar como tem sido crescente o aumento da internet neste últimos anos?
Observamos que não se espera uma interrupção de crescimento entre,
aproximadamente, 15 a 20 anos, ou melhor, não se conhecem, neste momento, barreiras científicas ou tecnológicas que impossibilitem a continuação
do processo de evolução tecnológica exponencial da área de informática ou
de telecomunicações... Desta forma, não está descartada a possibilidade de
uma nova melhora da ordem de 1.000 vezes, nos próximos 15 a 20 anos, na
capacidade de processamento de computadores.
..., não estão descartadas velocidades de 25 T bps (25 trilhões de bits por segundo) num futuro não muito
distante. Estes ganhos, se concretizados, mais uma vez mudarão completamente o perfil global da área em
direções que são absolutamente imprevisíveis neste momento. Como será o mundo em que cada mesa terá
um computador que hoje valeria US $2.000.000, 00, comunicando-se com velocidades um milhão de vezes
maiores do que as atuais? Que “software” rodará em tal ambiente?
Texto retirado em
http://www.ime.usp.br/∼is/abc/abc/node17.html
com acesso efetuado em 23 de Maio de 2008.
Ao resolver problemas de juros compostos, usando logaritmos e funções exponenciais, você percebe que
tais conteúdos têm sentido em sua vida presente e futura. Vejamos:
“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática
acumulação de riqueza".
Albert Einstein
Suponha que seja investido um capital C , a uma taxa de juros i . O montante M será:
M = C + C · i ⇒ M = C (1 + i ).
Você sabia que se os pais guardam e investem R $10, 00 por dia desde o nascimento de seu filho, quando
este completar 18 anos, terá R $150.000, 00 acumulados a juros compostos, supondo que a taxa de retorno
anual seja de 12%. Em 33 anos, se mantido o mesmo plano com a mesma razão de investimento, ele já terá
R $1milho e , em65anos , R 2,35 milhões.
32
FTC EAD |
Exemplo 2.1. Foram investidos R $1.000, 00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual o montante após o
primeiro mês?
Solução: M = C · (1 + i ) = 1.000 · (1 + 0, 02) = 1.000 · 1, 02 = 1.020.
Exemplo 2.2. Qual o montante deste capital se o período do investimento for de dois meses, supondo o
regime de capitalização composto, isto é, os juros incidem tanto sobre o capital com sobre os juros acumulados?
Solução: Observe o seguinte comportamento:
1◦ mês
M1
2◦ mês
M2
3◦ mês
..
.
M3
= C · (1 + i )(1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )3
..
.
n◦ mês
Mn
= C · (1 + i )(1 + i ) · . . . · (1 + i ) = C · (1 + i )n
= C · (1 + i )
= C · (1 + i )(1 + i ) = C · (1 + i )2
|
{z
n
}
Sendo assim, se investirmos um capital C por um período n a uma taxa de juros i , teremos um montante
M = C · (1 + i )n ao fim do período.
Portanto, para o segundo mês, teremos:
M = 1.000 · (1 + 0, 02)2 = 1.000 · (1, 02)2 = 1.000 · 1, 0404 = 1.040, 40,
ou seja, um montante de 1.040, 40 reais.
Podemos notar que o montante é uma função exponencial crescente que depende do período n, pois, neste
caso, C é uma constante, (i + 1) = a > 1 e n é a variável independente que está fazendo o papel da variável
x . É por esta razão que dizemos que o montante na capitalização composta cresce exponencialmente. Temos,
então, que o montante é uma função exponencial M (n) = C · (1 + i )n , em que (1 + i ) > 0 e C é uma constante.
Antes de continuarmos abordagem do conteúdo, faremos uma revisão das características principais das
funções exponenciais.
2.2
Funções Exponenciais
Uma função f : R → R, tal que f (x ) = ax , em que a ∈ R, com a > 0 e a 6= 1 é dita uma função exponencial.
Exemplo 2.3. Construir o gráfico da função f (x ) = 2x .
Fundamentos da Matemática
33
y
Solução:
(x , y ) ∈ Graf(f )

‹
1
−2,
4‹

1
−1,
2
(0, 1)
5
x =0
y = f (x ) = 2x
 ‹2
1
1
=
f (−2) = 2−2 =
2
4
 ‹1
1
1
=
f (−1) = 2−1 =
2
2
f (0) = 20 = 1
x =1
f (1) = 21 = 2
(1, 2)
2
x =2
f (2) = 22 = 4
(2, 4)
x
x = −2
x = −1
4
f (x ) = 2x
3
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função crescente f (x ) = 2x como
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
na figura ao lado.

Exemplo 2.4. Construir o gráfico da função f (x ) =
1
2
‹x
.
Solução:

x
y = f (x ) =

x = −2
x = −1
x =0
‹
1
2
f (x ) =
‹x
1 −2
= 22 = 4
2 ‹
1 −1
f (−1) =
=2
2
f (0) = 20 = 1
f (−2) =
y
€ Šx
1
2
(x , y ) ∈ Graf(f )
5
(−2, 4)
4
(−1, 2)
3
(0, 1)
x =1
f (1) = 21 = 2
(1, 2)
x =2
f (2) = 22 = 4
(2, 4)
2
1
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
esboçar o gráfico da função decrescente f (x ) = 2x
-3
-2
-1
1
2
4x
3
como na figura ao lado.
De modo geral, dada uma função exponencial f (x ) = ax , temos:
• Se 0 < a < 1, então a função será decrescente;
• Se a > 1, então a função será crescente.
• Se x = 0, então f (0) = a0 = 1. Logo, (0, 1) ∈ Graf(f ), isto é, uma função exponencial, f (x ) = ax , passará
sempre pelo ponto (0, 1).
y
Veremos, oportunamente, a definição do número irracional e , que será bastante utilizado nesta seção.
Obtido por Euler e, por isso, denotado pela letra e . Seu
valor é, aproximadamente, 2, 7182818284.
Como e > 1, temos que o gráfico da função f (x ) = e x é
crescente.
f (x ) = e x
1
x
34
FTC EAD |
Exemplo 2.5. Suponha que uma empresa contrate um financiamento de um capital de giro de R $18.750, 00
por 30 meses, à taxa de 4, 75% ao mês. Qual o montante a ser pago pela empresa ao fim do período, supondo
que a capitalização é composta? Esboce o gráfico desta função.
M (n)
Solução:
30
(1, 0475)
M = 18.750 · (1 + 0, 0475)30 = 18.750 ·
80000
= 75.443, 57 reais.
O gráfico da função montante M = 18.750 · (1, 0475)30,
60000
em que 0 ≤ n ≤ 30. Observe que o crescimento do
40000
montante é exponencial.
20000
n
10
20
30
Exemplo 2.6. Uma pessoa aplicou R $1.575, 78 em fundos de renda fixa. Após 76 dias, seu saldo era de
R $2.476, 98. Qual foi a taxa de juros mensal desta aplicação?
Solução: Como 76 dias equivalem a
76
meses e M = C · (1 + i )n , temos:
30

76
2.476, 98 = 1.575, 78 · (1 + i ) 30
‹ 30
”
— 30
2.476, 98 76
76 76
= (1 + i ) 30
1.575, 78 30

‹
2.476, 98 76
= 1+i
⇒
1.575, 78

‹ 30
2.476, 98 76
⇒ i=
−1
1.575, 78
⇒ i ≈ 0, 1955 = 19, 55%
⇒
De modo geral, temos que:
M = C · (1 + i )n ⇒ (1 + i )n =
2.2.1
1
M
⇒ [(1 + i )n ] n =
C

M
C
‹1

n
⇒1+i =
M
C
‹1

n
⇒i =
M
C
‹1
n
−1
Crescimento Exponencial
Na Matemática, o crescimento exponencial ocorre quando a taxa de crescimento de uma função é proporcional a própria função. Isso implica que, para qualquer quantidade crescendo exponencialmente, quanto maior
a quantidade existente, mais rápido crescerá, se nós usarmos a escala correta de tempo.
Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um crescimento
exponencial. Por exemplo, os juros compostos têm um crescimento exponencial.
Exemplo 2.7. O produto nacional bruto (PNB) do Brasil era de U $100 bilhões em 1975 e de U $180 bilhões
em 1980. Admitindo que o PNB do Brasil cresça exponencialmente, estime de quanto foi o PNB em 1985.
Solução: P (t ) = P0 · e kt , em que
P (t ) é o PNB no tempo t ;
Fundamentos da Matemática
35
P0 é o PNB inicial
K é uma constante positiva
Calculemos o PNB inicial:
P (0) = P0 · e k 0 = P0 · 1 = P0 = 100,
ou seja, o PNB inicial P0 é de U $100 bilhões e escrevemos P0 = 100.
Para t = 5, temos:
cdot 5
P (5) = P0 · e k
= P0 · e 5k = 180,
isto é, 5 anos após 1975, o PNB era U $180 bilhões.
Desta forma, 100 · e 5k = 180 e e 5k =
180
= 1, 8.
100
Estimaremos o PNB do Brasil em 1985, isto é, 10 anos depois de 1975:
P (10) = 100 · e k ·10 = 100 · (e 5k )2 = 100 · (1, 8)2 = 324.
O PNB do Brasil em 1985 foi de U $324 bilhões.
Exemplo 2.8. A receita de uma determinada empresa está crescendo exponencialmente, em 1990 era de
R $52 mil e em 1998 de R $63 mil. Estime sua receita em 2003?
Solução: R (t ) = R0 · e k ·t , em que R (t ) é a receita no tempo t , R0 é a receita inicial e K é uma constante
positiva.
Calculemos o PNB inicial:
R (0) = R0 · e k ·0 = R0 · 1 = R0 = 52,
isto é, a receita inicial R0 é de U $52 mil e escrevemos R0 = 52.
Para t = 8, R (8) = R0 · e 8k = 63, ou seja, 8 anos após 1998 era de U $63 mil. Podemos escrever e 8k =
63
.
52
Estimaremos agora, a receita desta empresa em 2003, isto é, 13 anos depois de 1990:

R (13) = 52 · e
k ·13
= 52 · (e
13k
8
8
8k
) = 52 · (e )
13
8
= 52 ·
63
52
‹ 13
8
= 71, 03
A receita do Brasil, em 2003, foi de U $71, 03 mil.
2.2.2
Decrescimento Exponencial
Uma grandeza da forma Q (t ) = Q0 · e −kt , em que Q0 e k são constantes positivas, tem um decrescimento
exponencial.
Exemplo 2.9. O FMI - Fundo Monetário Internacional, emprestou U $13 bilhões a um determinado país no ano
de 1960 e determinou que a dívida do país referente a este empréstimo deveria decrescer exponencialmente.
Se em 1971 o país devia U $7 bilhões, estime qual deveria ser a dívida do país em 1977.
36
FTC EAD |
D (t ) = D0 · e −k ·t ,
em que D (t ) é o valor da dívida no tempo t , D0 é a dívida inicial e k é uma constante positiva.
A dívida incial é a dívida em t = 0. Portanto,
D (0) = D0 · e −k ·0 = D0 · 1 = D0 = 13.
Assim, D0 = 13 é a dívida inicial.
Como em 1971 o país devia U $7 bilhões, ou seja, 11 anos após, temos que D (11) = 7. Assim,
D (11) = D0 · e −k ·11 ⇒ 7 = 13 · e −11k ⇒ e −11k =
7
13
Estimaremos a dívida do país em 1977, isto é, 17 anos após 1960:

17
11
D (17) = 13 · e −k ·17 = 52 · (e −17k ) 11 = 52 · (e −11k ) 11 = 52 ·
7
13
‹ 17
11
= 4, 99
Logo, a dívida do país em 1977 era de U $4, 99 bilhões.
Exemplo 2.10. Um determinado modelo de carro tem o seu preço depreciado após t anos segundo a função
P (t ) = P0 · e −f r ac 14·t . Após 7 anos, o valor desse carro era de R $7.000, 00. Por quanto esse carro foi comprado?
Solução: Para t = 7, temos P (7) = 7.000, isto é, 7 anos após a compra, o valor do carro era de
R $7.000, 00. Queremos encontrar P0 , que é o valor em que o carro foi comprado. Como P (t ) = P0 · e −f r ac 14·7 ,
temos P0 =
2.3
7.000
e −f r ac 14·t
≈ 40.282, 22, ou seja, o carro foi comprado por R $40.282, 22.
Funções Logarítmicas e suas Aplicações
Para facilitar a compreensão da função logarítmica, trataremos, inicialmente, dos conceitos e propriedades
básicas do logaritmo.
2.1 Definição. Sejam a e b números reais positivos, em que b 6= 1. O logaritmo de b na base a, o expoente x
tal que ax = b . Em símbolos,
loga b = x ⇒ ax = b .
Exemplo 2.11. Calcule:
(b) log 1 81
(a) log2 8
3
Solução: (a) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3.

(b) log 13 81 = x ⇒
1
3
‹x
= 81 ⇒ (3−1 )x = 34 ⇒ 3−x = 34 ⇒ x = −4.
Para que servem os Logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele
é fundamental, também, em outras disciplinas, como, por exemplo, na Química para o cálculo do PH (potencial
de hidrogênio). Na Física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos à intensidade (decibel) de
um som, e muito mais. Observe como as ciências são intimamente ligadas.
Fundamentos da Matemática
37
2.3.1
Um Pouco de História
Os logaritmos foram descobertos no início do século XVII, pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a
exemplo de John Napier (escocês: 1550-1617), Jobst Bürgi (suíço: 1552-1632) e Henry Briggs (inglês: 15561631). A idéia original, entretanto, coube a John Napier.
2.3.2
Propriedades Fundamentais dos Logaritmos
1. log a (b · c ) = log a b + log a c
2. log a
€ Š
b
c
= log a b − log a c
3. log a (b c ) = c · log a b
4. b logb a = a
5. loga b =
logc b
logc a
Nota 7. Lembre-se de que:
1. log(x ) = log10 (x ).
2. loge (x ) = ln(x )
Exemplo 2.12. Admitindo que log(2) = 0, 30 e log(3) = 0, 48, temos:
(a) log(16) = log(24 ) = 4 · log(2) = 4 · 0, 30 = 1, 20
(b) log(36) = log(22 ) · 32 = log(22 ) + log(32 ) = 2 log(2) + 2 log(3) = 2 · 0, 30 + 2 · 0, 48 = 1, 56

(c) log
1
3
‹
(d) log3 2 =
= log(1) − log(3) = 0 − 0, 48 = −0, 48
0, 30
log(2)
=
= 0, 625
log(3)
0, 48
(e) Quanto deverá ser o valor de x para satisfazer a equação exponencial 2x = 3?
Podemos fazer de duas formas, que são equivalentes. Vejamos.
i. Pela definição de logaritmos, temos que 2x = 3 ⇔ x = log2 3, ou seja,
x=
0, 48
log 3
=
= 1, 6
log 2
0, 30
ii. A partir da igualdade 2x = 3, podemos escrever: log 2x = log 3 e, então prosseguimos:
log(2x ) = log(3) ⇒ x · log(2) = log(3) ⇒ x =
2.4
0, 48
log(3)
=
≈ 1, 6.
log(2)
0, 30
Funções Logarítmicas
2.2 Definição. Uma função f : R∗+ → R, tal que f (x ) = loga (x ), em que 0 < a 6= 1, é dita uma função
logarítmica na base a.
38
FTC EAD |
Para compreender o comportamento da função logarítmica utilizaremos sua representação gráfica. Observe
nos exemplos a seguir como esboçar o gráfico desta função.
Exemplo 2.13. Construir o gráfico da função f (x ) = log2 (x ).
Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log2 (x ), para observarmos como se
comportam esses pontos do seu gráfico. Para tanto, pegaremos alguns valores para x , como segue:
• Se x =
1
, então f
4

1
4
‹

que y = −2, ou seja, f
• Se x =
1
, então f
2

1
2
que y = −1, ou seja, f

= log2
1
4
‹

= log2
1
2
‹
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =

= −2. Logo, o ponto
‹

1
4
‹
1
2
‹
1
, −2 ∈ Graf(f ).
4
‹
= y . Assim, pela definição de logaritmo 2y =
= −1. Logo, o ponto

1
. Obtemos, então,
4
‹
1
. Obtemos, então,
2
1
, −1 ∈ Graf(f ).
2
• Se x = 1, então f (1) = log2 (1) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 1. Obtemos, então, que
y = 0, ou seja, f (1) = 0. Logo, o ponto (1, 0) ∈ Graf(f ).
• Se x = 2, então f (2) = log2 (2) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 2. Obtemos, então, que
y = 1, ou seja, f (2) = 1. Logo, o ponto (2, 1) ∈ Graf(f ).
• Se x = 4, então f (4) = log2 (4) = y . Assim, pela definição de logaritmo 2y = 4. Obtemos, então, que
y = 2, ou seja, f (4) = 2. Logo, o ponto (4, 2) ∈ Graf(f ).
y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log2 (x ),
-1
-1
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log2 (x ) é crescente.
-3
1
2
3
4
5
6
x
Exemplo 2.14. Construir o gráfico da função f (x ) = log 21 (x ).
Solução: Vamos pegar alguns pontos do gráfico da função f (x ) = log 12 (x ), para observarmos como se
Fundamentos da Matemática
39
comporta seu gráfico. Observe a seguinte tabela.
1
x=
4
1
x=
2
x =1
y = f (x )
‹
 ‹
1
1
f
= log 21
=2
4
 ‹
4‹
1
1
f
= log 21
=1
2
2
f (1) = log 12 (1) = 0
(x , y ) ∈ Graf(f )

‹
1
,2
4
‹
1
,1
2
(1, 0)
x =2
f (2) = log 12 (2) = −1
(2, −1)
x =4
f (1) = log 12 (4) = −2
(4, −2)
x

y
Marcando estes pontos no plano cartesiano, podemos
2
ver o comportamento do gráfico da função
1
f (x ) = log 12 (x ),
-1
-1
como figura ao lado.
-2
Note que a função f (x ) = log 21 (x ) é decrescente.
-3
2.4.1
1
2
3
4
5
6
x
Aplicações dos Logaritmos
Exemplo 2.15. Uma pessoa investiu R $3.000, 00 na poupança e deseja retirar sua aplicação quando o saldo
for de R $5.000, 00. Supondo que a taxa de juros da poupança seja fixa de 0, 67% ao mês, determine o tempo
que o investidor deve deixar seu dinheiro investido.
Solução: Como M = C · (1 + i )n . Logo,
5.000 = 3.000 · (1 + 0, 0067)n ⇒ (1, 0067)n =
5.000
.
3.000
Aplicando a função logarítmica na base e , temos:


ln(1, 0067)n = ln
5
3
‹

⇒ n · ln(1, 0067) = ln
5
3
‹
‹
5
3
⇒n=
≈ 76, 50
ln(1, 0067)
ln
O tempo será de 76, 5 meses ou 6 anos, 4 meses e 12 dias.
2.5
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são importantes no estudo de fenômenos que apresentam comportamento periódico, como por exemplo, os movimentos harmônicos (molas, pêndulos de abertura pequena, projeções de
movimentos circulares são exemplos comuns que utilizam funções trigonométricas para seu estudo), ou ainda
para tentar modelar fenômenos que se repitam de ciclos em ciclos, (ondas sonoras, ou ainda ciclos geológicos
/ astronômicos / climáticos / turísticos que se repitam de tempos em tempos).
40
FTC EAD |
Fique Sabendo
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gono (ângulo) e metron (medida);
significando, assim, “medida dos triângulos”. Inicialmente, considerada como uma extensão da geometria, a
trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 a.C. - 125 a.C.),
considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os
ângulos de um triângulo retângulo. No século V I I I , com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira
tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém, o primeiro
trabalho matemático sobre trigonometria foi o “tratado dos triângulos”, escrito pelo matemático alemão Johann
Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discípulo de Purback. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos
da Matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a
Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.
Apresentamos aqui uma situação do nosso dia-a-dia, em que podemos encontrar tais relações funcionais.
Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica. Esses produtos apresentam
épocas de safra e épocas de entressafra. Suponha que o preço médio de venda da saca de soja do produtor
ao atacadista, numa determinada região, possa ser representado pela função
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
,
6
sendo p o preço médio da saca (60kg ) de soja, em reais, e x o mês do ano. Pergunta-se:
(a) Qual o valor máximo obtido na venda de uma saca de farinha?
(b) Em qual mês foi obtido esse valor?
(c) Qual foi o pior valor de venda dessa saca?
(d) Qual foi a variação do valor da saca de soja?
(e) Qual foi o período de variação do preço da saca?
Vamos lá!
Solução: (a) Valor máximo: sen x ·
π
= 1. Então:
6
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
⇔ p (x ) = 30 + 10 · 1 = 40.
6
O valor máximo obtido foi R $40, 00.
π
π
π
= 1 ⇔ x · = ⇔ x = 3. Portanto, no mês de março.
6
6
2
π
(c) Valor mínimo: sen x ·
= −1. Então:
6
(b) sen x ·
p (x ) = 30 + 10 · sen x ·
π
⇔ p (x ) = 30 + 10 · (−1) = 20.
6
O valor mínimo obtido foi R $20, 00.
(d) O conjunto imagem (variação do preço da saca de 60kg de soja) será:
ℑ(p ) = [20, 40].
Fundamentos da Matemática
41
(e) Para o arco inicial, temos x = 0; θ0 = 0 ·
π
⇔ θ0 = 0. Para completar o período, acrescenta-se 2πrad
6
ao arco inicial:
θ0 + 2π = x ·
2.5.1
π
⇔ x = 12 meses.
6
Características de Algumas Funções Trigonométricas
• Função Seno f (x ) = sen(x ).
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais.
(b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = sen(0) = 0 e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto
(0, 0). A intersecção como eixo-x é feita fazendo f (x ) = sen(x ) = 0 e, portanto, x = k · π, k ∈ Z.
(c) O gráfico da função f (x ) = sen(x ).
y
−1
1
0
2π
π π π
6 4 3
π
2
π
x
3π
2
(d) Como o maior valor de seno é 1 e o menor é −1 e tendo em conta o gráfico dessa função, concluímos
que o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1].
• Função cosseno f (x ) = cos(x ).
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais.
(b) Interceptos: se x = 0, f (0) = cos(0) = 1 e, portanto, a intersecção com o eixo-y é o ponto (0, 1). A
π
intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = cos(x ) = 0 e, portanto, x = + k π, k ∈ Z.
2
(c) O gráfico da função f (x ) = cos(x )
y
1
2π
0
π π π
6 4 3
π
2
π
3π
2
x
−1
(d) Como o maior valor do cosseno de um ângulo é 1 e o menor −1 e tendo em conta o gráfico dessa
função, concluímos que o conjunto imagem [−1, 1].
Função Tangente f (x ) = tg(x )
(a) Domínio: o conjunto R dos números reais, excluindo os valores de x para os quais cos(x ) = 0, ou
π
seja, os valores da forma x = + k π, k ∈ Z.
2
(b) Interceptos: se x = 0, temos f (0) = tg(0) e, portanto, a interseção com o eixo-y é o ponto (0, 0). A
intersecção com o eixo-x é feita fazendo f (x ) = tg(x ) = 0 e, portanto, x = k π, k ∈ Z.
42
FTC EAD |
(c) O gráfico da função f (x ) = tg(x )
y
1
0
2π
π π π
6 4 3
π
π
2
x
3π
2
(d) O conjunto imagem é o conjunto R dos números reais, pois para todo y real, existe x tal que tg(x ) =
y.
2.5.2
Exercícios Propostos
EP 2.1. Daqui a t anos, o valor de um automóvel será V = 2.000 · (0, 75)t dólares. A partir de hoje, daqui a
quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote: log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48.
(a) 3 anos
(b) 2, 5 anos
(c) 2 anos
(d) 4, 5 anos
EP 2.2. Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado pela função: P (t ) = P0 · e 0,01·t ,
em que a variável t indica o tempo dado em dias. Qual é a população inicial, sabendo que após 40 dias a
população é de, aproximadamente, 400.000 indivíduos?
(a) 268.000
(b) 368.000
(c) −268.000
(d) −368.000
EP 2.3. O preço de um carro é R $11.261, 62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses.
Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11, 2%. Qual a taxa de juros cobrada nesta
operação?
(a) 1%
(b) 0, 02%
(c) 0, 2%
(d) 2%
EP 2.4. Foi feito um empréstimo pessoal de R $1.500, 00, e a taxa de juros cobrada foi de 4, 32% a.m.,
determine quanto tempo se passou quando o devedor saldou a dívida em R $3.078, 50.
(a) 4 anos
(b) 3 anos
(c) 5 anos
(d) 2 anos
EP 2.5. O valor das ações da Petrobrás na Bolsa de Valores variou, durante determinado mês, segundo a
π π
+ · t , em que V (t ) é o valor de venda de um lote de 1.000 ações, em reais,
equação V (t ) = 3 + 1, 2 · sen
2
2
e t é o tempo em dias. Assinale a alternativa que representa o período de oscilação do valor das ações na
Bolsa.
(a) 10
(b) 15
(c) 20
(d) 24
Gabarito
2.1. (b) 2.2. (a) 2.3. (d) 2.4. (a) 2.5. (a)
Fundamentos da Matemática
43
O Estudo do Cálculo e suas
BLOCO 02
Implicações Econômicas
Apresentação
Inicialmente, no Bloco I, foram trabalhadas as características principais de funções e suas aplicações, estas
voltadas para a economia, negócios e outros temas que importam ao profissional de Administração e Contábeis, dentre outros. Neste bloco trabalharemos de forma sucinta os conceitos de limites e suas principais
propriedades, para, enfim, adentrarmos no conteúdo de Derivadas e Integrais, no mesmo contexto.
Estudo do Cálculo Diferencial e suas
TEMA 03
aplicações
3.1
Noções Básicas de Limites
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida
com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Estudo das
funções, limites, derivas e integrais. O conceito de limite tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento delas quando x aumenta
muito (tende ao infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito).
Para entender os conceitos mais importantes daquela lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é
fundamental. Antes de compreender aspectos básicos de limites, vejamos a seguinte situação:
Uma empresa fabrica uma linha de cadeiras para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de
x mesas de certo modelo é C (x ) = 100x + 200.000 em reais por ano, de modo que o custo médio da fabricação
de x cadeiras é dado por:
C (x )
100x + 200.000
200.000
CM (x ) =
=
= 100 +
x
x
x
em reais por cadeira.
Nota 8. O custo médio, em economia, é definido como o custo total de produção (C (x )), dividido pela
quantidade produzida (x ).
Observe, abaixo, o comportamento do valor do custo quando se aumenta a produção de cadeiras:
Quantidade de cadeiras produzidas
1
1.000
10.000
1.000.000
10.000.000
..
.
x → +∞
44
FTC EAD |
Custo médio quando × cadeiras são produzidas
C (1) = 100 +
200.000
1
= 100 + 200.000 = 200.100
200.000
1.000 = 100 + 200 = 300
C (10.000) = 100 + 200.000
10.000 = 100 + 20 = 120
200.000
C (1) = 100 + 1.000.000 = 100 + 0, 2 = 100, 2
200.000
C (10.000.000) = 100 + 10.000.000
= 100 + 0, 02 = 100, 02
C (1.000) = 100 +
..
.
100 +
200.000
x
→ 100, pois
200.000
x
→0
Visualize graficamente
y
A partir da análise do gráfico concluir-se que o resultado que
obtivemos é certamente esperado se considerarmos suas implicações econômicas. Intuitivamente, observa-se que à medida que
o nível de produção cresce, o custo fixo aumenta por cadeira pro200.000
, diminui sensivelmente.
duzida, representado pelo termo
x
O custo médio se aproxima de um valor constante por unidade produzida, R $100, neste caso. Logo, algebricamente, temos que:

lim C (x ) = lim
x →∞
100 +
x →∞
200.000
x
‹
x
10000
-10000
200.000
= 100,
x →∞
x }
|
{z
= lim 100+ lim
x →∞
tende a 0
em que lim C (x ) representa o limite da função custo médio quando x cresce indefinidamente, ou seja , a mex →∞
dida que quantidade de cadeiras produzidas crescem, o custo médio diminui, se aproximando de 100 reais
por mês. Observe, ainda, que quando a produção é pequena, o custo é muito alto. Para compreender isto,
calcularemos o custo médio quando uma unidade é produzida:
C (1) = 100 +
200.000
= 200.100 (muito alto).
1
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto.
Para fixar a compreensão intuitiva de limites, consideremos a função f : R − {1} → R, definida por f (x ) =
x2 − 1
:
x −1
Para x 6= 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma equivalente:
f (x ) =
(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
=
= x + 1 ⇒ f (x ) = x + 1.
x −1
x −1
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao
domínio de f , constatamos que esta função se aproxima do valor y = 2, quando os valores de x se aproximam
de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) como por valores x > 1 (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f , para valores x à
esquerda e à direita de x = 1.
• Pela esquerda de x = 1:
x
0
0, 5
0, 9
0, 99
0, 999
0, 9999
f (x )
1
1, 5
1, 9
1, 99
1, 999
1, 9999
y
• Pela direita de x = 1:
x
2
1, 5
1, 1
1, 01
1, 001
1, 0001
f (x )
3
2, 5
2, 1
2, 01
2, 001
2, 0001
2
Neste caso, dizemos y = 2 é o limite da função f quando x se
aproxima de 1, o que denotaremos por:
1
x
lim f (x ) = 2.
x →1
Este resultado pode ser visto através do esboço gráfico de f ,
ao lado:
Fundamentos da Matemática
45
3.1.1
Propriedades dos Limites
Apresentaremos as propriedades que podem ser usadas para obtenção das regras e propriedades da
derivação.
1. Se f (x ) = C , em que C é constante, então:
lim f (x ) = lim C = C .
x →a
x →a
2. Se k e b são constantes e f (x ) = kx + b , então:
lim f (x ) = lim (kx + b ) = ka + b .
x →a
x →a
3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e, além disso, lim f (x ) = A e
x →a
lim g (x ) = B , então:
x →a
4. (a) lim (f ± g )(x ) = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B
x →a
x →a
x →a
5. (b) lim (f · g )(x ) = lim f (x ) · lim g (x ) = A · B
x →a
x →a
x →a
6. (c) lim (k · f )(x ) = k · lim f (x ) = k · A
x →a
x →a
n
7. (d) lim (f ) (x ) = ( lim f (x ))n = An
x →a
x →a

8. (e) lim
x →a
f
g
‹
lim f (x )
(x ) =
x →a
lim g (x )
x →a
h
=
A
, se B 6= 0.
B
i
9. (f) lim exp[f (x )] = exp lim f (x ) = exp(A)
x →a
x →a
10. Se acontecer uma das situações abaixo:
11. i. lim f (x ) = 0
x →a
12. ii. lim f (x ) > 0 e n é um número natural
x →a
È
13. iii. lim f (x ) < 0 e n é um número natural ímpar, então lim
x →a
3.2
x →a
n
q
f (x ) =
n
lim f (x ).
x →a
Derivadas e suas Aplicações
y
Neste conteúdo introduziremos a taxa de variação instantânea
de uma função num ponto. A taxa de variação num dado instante f (x )
nos leva ao conceito de derivada. Esta pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente como
taxa de variação. Veremos que a noção de limites, vista no conteúdo anterior, permite-nos definir a noção de derivada e também
discutirmos algumas aplicações que provam a utilidade de sua in- f (x0 )
terpretação.
Graf(f )
b
b
x0
x
x
f (x ) − f (x0 )
, que está definido se x 6= x0 .
x − x0
Logo, temos uma função q : I − {x0 } → R, cujo valor q (x ) nos dá a inclinação da reta secante ao gráfico de f
nos pontos (x0 , f (x0 )) e (x , f (x )).
Dada uma função f : I → R e x0 ∈ I , considere o quociente q (x ) =
46
FTC EAD |
Se imaginarmos x sendo o tempo e f (x ) a posição de um carro em uma estrada, teremos que q (x ) é a
velocidade média deste carro no intervalo de tempo de x0 a x .
vm =
f (x ) − f (x0 )
S − S0
∆S
=
= q (x ).
=
∆t
t − t0
x − x0
Temos que q (x ) é a relação entre a variação de (x ) e de x a partir do ponto x0 . Vamos fazer x se aproximar
cada vez mais de x0 , isto é, x → x0 (x tender a x0 ). Isto é, considere o seguinte limite:
lim
x →x0
f (x ) − f (x0 )
.
x − x0
y
Notamos que se este limite existir obteremos a inclinação da
f (x )
reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , f (x0 )), que é a velocidade instantânea do carro no instante x = x0 . Em outras palavras,
a “taxa de variação instantânea” da função f no ponto.
Definimos a derivada de f no ponto x0 , sendo o limite:
f (x ) − f (x0 )
x − x0
lim
x →x0
Graf(f )
b
f (x0 )
b
x0
x
x
Fazendo ∆x = x − x0 , se x → x0 , temos que ∆x → x0 e que x = x0 + ∆x . Logo,
lim
x →x0
f (x + ∆x ) − f (x0 )
f (x ) − f (x0 )
= lim
= f ′ (x0 ).
∆x →0
x − x0
∆x
Se este limite existe, dizemos que é derivável no ponto x0 . Se existe f ′ (x ), ∀ x ∈ I , dizemos que f é
derivável em I .
3.2.1
Regras de Derivação
1. (f ± g )′ = f ′ ± g ′ .
2. (f · g )′ = f ′ · g + f · g ′ .
3. Se f (x ) = c , então f ′ (x ) = 0.

4. Se g 6= 0, então
f
g
‹
=
f ′ · g − f · g′
.
g2
Como conseqüência destas propriedades, obtém-se as seguintes regras de derivação:
5. [k · g (x )]′ = k · g ′ (x ), em que k é uma constante.
6. [k · x n ]′ = kn · x n−1 , ∀ n ∈ R
•
7.
1
g (x )
˜′
=−
g ′ (x )
[g (x )]2
Exemplo 3.1. Derive as seguintes funções.
(a) f (x ) = 7x 6 + 3xx4 + 8
(b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6)
(c) f (x ) =
x 4 + 3x
x −1
Fundamentos da Matemática
47
Solução: (a) f (x ) = 7x 6 + 3x 4 − x + 8 ⇒ f ′ (x ) = (7x 6 )′ + (3x 4 )′ − (x )′ + (8)′ = 42x 5 + 12x 3 − 1
(b) f (x ) = (x 2 + 3) · (x 5 − 6) ⇒ f ′ (x ) = (x 2 + 3)′ · (x 5 − 6) + (x 2 + 3) · (x 5 − 6)′ = 2x · (x 5 − 6) + 5x 4 · (x 2 + 3) =
2x 6 − 12x + 5x 6 + 15x 4 = 7x 6 + 15x 4 − 12
4x 4 − 4x 3 + 3x − 3 − x 4 − 3x
(4x 3 + 3) · (x − 1) − (x 4 + 3x ) · 1
x 4 + 3x
=
=
⇒ f ′ (x ) =
x −1
(x − 1)2
(x − 1)2
(c) f (x ) =
3x 4 − 4x 3 − 3
(x − 1)2
3.3
Pontos de Máximos e Mínimos
Dada uma função f (x ), os valores de x tais que f ′ (x ) = 0, são ditos pontos críticos de f . Se a segunda
derivada de f (f ′′ (x )) calculada nestes pontos críticos for positiva (f ′′ (x ) > 0) dizemos que estes pontos críticos
são pontos de mínimo, se os valores nesses pontos críticos forem negativos (f ′′ (x ) < 0) dizemos que estes
pontos críticos são pontos de máximo.
Exemplo 3.2. Considere a função quadrática f (x ) = x 2 − 4x + 3.
Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do
seu vértice são V (2, −1). O esboço do seu gráfico está ao lado.
Notamos que x = 2 é um ponto de mínimo da função, que é
justamente xV .
Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = 2x − 4. Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função.
y
6
3
f ′ (x ) = 0 ⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
x
2
4
Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da
função f neste ponto crítico.
f ′′ (x ) = 2 ⇒ f ′′ (2) = 2 > 0.
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f .
Note que f ′ (x ) < 0, se x < 2, e que f ′ (x ) > 0, se x > 2. Observe pelo gráfico que a função f (x )
é decrescente, para x < 2, e é crescente, para x > 2, justamente onde a derivada é negativa e positiva,
respectivamente.
Exemplo 3.3. Considere a função quadrática f (x ) = −x 2 + 4x − 3.
Temos que seus zeros são x = 1 ou x = 3 e as coordenadas do
seu vértice são V (2, 1). O esboço do seu gráfico está ao lado.
Notamos que x = 2 é um ponto de máximo da função, que é
justamente xV .
Se nós derivarmos a função f (x ), teremos f ′ (x ) = −2x + 4.
Igualando f ′ (x ) a zero, encontramos o ponto crítico da função.
y
2
4
x
-3
-6
′
f (x ) = 0 ⇒ −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2.
Para sabermos se este ponto crítico é de máximo ou de mínimo, nós calculamos a segunda derivada da
função f neste ponto crítico.
f ′′ (x ) = −2 ⇒ f ′′ (2) = −2 < 0.
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo da função f .
48
FTC EAD |
Note que f ′ (x ) > 0, se x < 2, e que f ′ (x ) < 0, se x > 2. Observe pelo gráfico, que a função f (x ) é crescente,
para x < 2, e é decrescente, para x > 2, justamente onde a derivada é positiva e negativa, respectivamente.
Com esta observação e com a anterior, nós vamos enunciar o seguinte resultado:
Dada uma função f (x ), temos que se f ′ (x ) > 0, para x pertencente a um determinado intervalo, então a
função f será crescente neste mesmo intervalo. Se f ′ (x ) < 0, para x pertencente a um determinado intervalo,
então f será decrescente neste mesmo intervalo.
Exemplo 3.4. Dada a função f (x ) =
13x 2
x3
−
+ 30x + 10, em que 0 < x < 13. Determine os pontos de
3
2
máximo e mínimo de f .
Solução: Derivando a função f , obtemos f ′ (x ) = x 2 − 13x + 30. Igualando f ′ (x ) a zero, obtemos os
pontos críticos x = 3 ou x = 10.
Derivando, agora, a função f ′ (x ), obtemos f ′′ (x ) =
2x − 13. Logo, f ′′ (3) = −7 < 0 e f ′′ (10) = 7 > 0. Con-
y
50
cluímos que x = 3 é um ponto de máximo e x = 10 é um
ponto de mínimo. Através do estudo do sinal da função
f ′ (x ) obtemos os intervalos onde a função f é crescente
ou decrescente, isto é, f ′ (x ) < 0, se 3 < x < 10 e
f ′ (x ) > 0, se 0 < x < 3 ou 10 < x < 13. Logo, f é decres-
40
30
20
cente, se 3 < x < 10 e f será crescente, se 0 < x < 3
ou 10 < x < 13. Temos, também, que f (3) = 50, 5 e
10
f (10) = −6, 67. O esboço do gráfico da função f (x ) está
5
ao lado.
x
10
Exemplo 3.5. O lucro obtido por um determinado fabricante com a venda de determinado produto é dado
pela função L(p ) = 400 · (15 − p ) · (p − 2), em que p é o preço de venda do seu produto. Calcule o preço que
maximiza o lucro.
Solução: Primeiro derivamos a função lucro e igualamos esta derivada a zero para obtermos os pontos
críticos.
L′ (p ) = 400 · [(−1) · (p − 2) + (15 − p ) · 1] = 400 · (−p + 2 + 15 − p ) = 400 · (−2p + 17)
Igualando-se esta deriva da a zero, encontramos p = 8, 5 que é a abscissa do ponto crítico da função lucro.
A segunda derivada da função lucro é L′′ (p ) = −800 e, para
p = 8, 5, temos L′′ (8, 5) = −800 < 0. Logo, p = 8, 5 é um ponto de
10000
máximo, isto é, o preço de 8, 5 maximiza o lucro.
Note que a função lucro é quadrática L(p ) = −400p 2 + 6.800p −
12.000. O seu gráfico está logo ao lado.
8.5
17.0
p
-10000
Exemplo 3.6. A receita de uma empresa é dada em função do preço (p ) do seu produto pela função
13p 2
p3
−
+ 30p + 10, em que 0 < p < 13. Determine o preço p que maximiza a receita R .
R (p ) =
3
2
Solução: R ′ (p ) = p 2 − 13p + 30 = 0 → p = 10 ou p = 3.
Fundamentos da Matemática
49
R
Como R ′′ (p ) = 2p − 13, então R ′′ (3) = −7 < 0 e R ′′ (10) =
7 > 0. Portanto, temos que p = 3 é a abscissa de um ponto de
máximo e que p = 10 é a abscissa de um ponto de mínimo, isto
é, p = 3 maximiza a receita e p = 10 minimiza a receita.
6.5
Analogamente ao que foi feito para a função f (x ) do exemplo
p
anterior, temos o esboço do gráfico da função R ′ .
Exemplo 3.7. O lucro de uma empresa é dada em função do preço do seu produto pela expressão L(p ) =
p3
− 15p 2 + 200p − 300, em que 0 < p < 23. Determine o preço que maximiza o lucro. Esboce o gráfico da
3
função L.
Solução: L′ (p ) = p 2 − 30p + 200 = 0 ⇒ p = 10 ou p = 20. Temos que L′′ (p ) = 2p − 30, temos que
L′′ (10) = −10 < 0 e L′′ (20) = 10 > 0. Logo, p = 10 é ponto de máximo da função L(p ) e p = 20 é ponto de
mínimo de função L(p ), isto é p = 10 maximiza o lucro e p = 20 minimiza o lucro.
Temos que L′ (p ) < 0, se 10 < p < 20. Logo, L(p ) é decrescente, se 10 < p < 20 e temos que L′ (p ) > 0, se 0 < p < 10
ou 20 < p < 23. Logo, L(p ) é crescente, se 0 < p < 10 ou
20 < p < 23. Temos que L(10) = 533, 3 e L(23) = 420, 67. O
esboço do gráfico de L está logo ao lado.
3.4
10
20
p
Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
Sejam f (x ) e g (x ) funções e h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x ) as compostas de f e g , isto é h(x ) = f (g (x )) e
l (x ) = g (f (x )). Temos que as derivadas de h(x ) e l (x ) são:
h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ).
A derivada da função composta é conhecida por regra da cadeia.
Exemplo 3.8. Sejam f (x ) = x 2 + 2x e g (x ) = x + 1. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x )
e de suas derivadas.
Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = x 2 +4x +3 e l (x ) = g of (x ) = x 2 +2x +1. Logo, suas derivadas são
h′ (x ) = 2x +4 e l ′ (x ) = 2x +2. Pela regra da cadeia obtemos que h′ (x ) = f ′ (g (x ))·g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x ))·f ′ (x ),
como a derivada de f ′ (x ) = 2x + 2 e g ′ (x ) = 1, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = (2(g (x )) + 2) · 1 =
2(x + 1) + 2 = 2x + 4 e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = 1 · (2x + 2) = 2x + 2.
Exemplo 3.9. Sejam f (x ) = x 5 e g (x ) = 2x 2 +3x +5. Determine a expressão de h(x ) = f og (x ) e l (x ) = g of (x )
e de suas derivadas.
Solução: Temos que h(x ) = f og (x ) = (2x 2 + 3x + 5)5 e i (x ) = g of (x ) = 2x 1 0 + 3x 5 + 5.
Pela regra da cadeia temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) e l ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ), como a derivada de f é
f ′ (x ) = 5x 4 e g ′ (x ) = 4x + 3, temos que h′ (x ) = f ′ (g (x )) · g ′ (x ) = 5(g (x ))4 · (4x + 3) = 5(2x 2 + 3x + 5)4 · (4x + 3)
50
FTC EAD |
e i ′ (x ) = g ′ (f (x )) · f ′ (x ) = (4f (x ) + 3) · f ′ (x ) = (4x 5 + 3) · 5x 4 .
Exemplo 3.10. Derive a função f (x ) =
1
√
3
x 2 + 3x + 1.
Solução: f (x ) = (x 2 + 3x + 1) 3 ⇒ f ′ (x ) =
1 2
2x + 3
1
√
.
(x + 3x + 1) 3 −1 · (2x + 3) =
3
3 · 3(x 2 + 3x + 1)2
2
Exemplo 3.11. Calcule a derivada da função f (x ) = − √
, em x = 1.
5x 3 + 7
1
3
Solução: f (x ) = −2 · (5x 3 + 7)− 2 ⇒ f ′ (x ) = (5x 3 + 7)− 2 · 15x 2 ⇒ f ′ (x ) =
3.4.1
È
15x 2
(5x 3
+
7)3
15
.
⇒ f (1) = √
123
Notação de Derivadas
Podemos denotar a derivada de uma função das seguintes maneiras:
df (x )
, como podemos considerar f (x ) = y (x )
dx
dy (x )
df (t )
dy (t )
temos que f ′ (x ) = y ′ (x ) =
. Se temos a função f (t ) = y (t ), temos f ′ (t ) = y ′ (t ) =
=
.
dx
dt
dt
A derivada da função f (x ) pode ser denotada por f ′ (x ) =
3.4.2
Derivadas de Algumas Funções Elementares
Dada a função exponencial f (x ) = ax , temos que f ′ (x ) = ax · ln(a), em que 0 < a 6= 1. Como exemplo,
vamos derivar a função f (x ) = e x ⇒ f ′ (x ) = e x · ln(e ) ⇒ f ′ (x ) = e x . Como outro exemplo, ao derivar a função
f (x ) = 5x , temos f ′ (x ) = 5x · ln(5).
1
Dada a função f (x ) = loga (x ), temos que f ′ (x ) = · loga (e ), em que 0 < a 6= 1 e x > 0. Como exemplo,
x
1
1
ao derivar a função f (x ) = ln(x ), temos f ′ (x ) =
· ln(e ) = . Como outro exemplo, ao derivar a função
x
x
1
f (x ) = log5 (x ), temos f ′ (x ) = · log5 (e ).
x
f (x + ∆x ) − f (x )
. A taxa
∆x
f (x + ∆x ) − f (x )
de variação instantânea de f é dada pelo limite da variação média de f , isto é, lim
.
∆x →0
∆x
Dada uma função f (x ), temos que a taxa de variação média de f é o quociente
Exemplo 3.12. A população de uma cidade é estimada a partir de agora pela função P (t ) = t 2 + 10t + 16.000,
em que t é o tempo dado em meses.
(a) A que taxa a população estará variando daqui a 2 meses?
(b) Qual a variação real da população durante o 3o mês?
Solução: (a) Temos que a taxa de variação da população é dada pela derivada da função P (t ), isto
é, P ′ (t ) = 2t + 10. Como queremos a taxa de variação da população daqui a 2 meses, calculamos, então
P ′ (2) = 14 pessoas por mês.
(b) A variação real da população durante o terceiro mês é dada pela diferença da população no terceiro
Fundamentos da Matemática
51
mês pela população do segundo mês, isto é, P (3) − P (2) = 15 pessoas. Podemos notar que o valor da taxa
de variação no segundo mês é bem próximo do valor real da variação da população durante o terceiro mês.
Logo, podemos estimar a variação real da população pela taxa de variação da população.
3.5
Taxas de Variação
Temos que a taxa de variação real é dada por
f (x + ∆x ) − f (x ) e a taxa de variação média pelo quof (x + ∆x ) − f (x )
ciente
, se tivermos ∆x = 1, teremos
∆x
que a variação real será igual à variação média e temos
que a taxa de variação instantânea é dada pelo limite da variação média quando ∆x tende a zero, isto
f (x + ∆x ) − f (x )
. Logo, podemos ver graficaé, lim
∆x →0
∆x
mente que a taxa de variação instantânea é uma boa
aproximação da variação real da função.
3.6
y
Graf(f )
f (x + ∆x )
f (x )
b
b
x
x + ∆x
x
Taxa de Variação Percentual
Para transformarmos a variação da função em porcentagem montamos uma regra de três simples, da
seguinte forma:
f (x )
f (x + ∆x ) − f (x )
100%
∆%
Logo,
∆f % =
f (x + ∆x ) − f (x )
· 100%,
f (x )
pois, f (x + ∆x ) − f (x ) ≈ f ′ (x ), como já visto acima.
Exemplo 3.13. Considere o exemplo anterior. Qual a taxa percentual de variação da população no segundo
mês?
Solução: ∆P % =
3.7
P ′ (2)
14
· 100% =
= 0, 087%.
P (2)
16.024
Aproximação por Diferenciais
Seja f (x ) uma função, temos que se ∆x for pequeno, então f ′ (x ) ≈
f (x ) ≈ f ′ (x ) · ∆x , isto é ∆f ≈ f ′ (x ) · ∆x .
f (x + ∆x ) − f (x )
. Logo, f (x + ∆x ) −
∆x
Análise marginal é a técnica de aproximação utilizada em economia para estimar a variação de uma função
quando pequenas variações são feitas na variável independente.
52
FTC EAD |
3.7.1
Exercícios Propostos
EP 3.1. O custo total em reais de uma fábrica para produzir q unidades é dado pela função C (q ) = 5q 2 +
10q + 20. O nível atual de produção é de 55 unidades. Uma estimativa para a variação do custo se a produção
for de 55, 4 unidades e a variação real do custo, em reais, são, respectivamente:
(a) 224 e 224, 6
(b) 224, 8 e 224, 6
(c) 224 e 224, 8
(d) 224, 8 e 224, 8
EP 3.2. Um estudo ambiental feito em Camaçari indicou que, t anos a partir de agora o nível médio de
monóxido de carbono no ar será de C (t ) = 0, 04t 3 + 0, 3t 2 + 0, 2t + 2, 1ppm. Uma estimativa para a variação do
monóxido de carbono nos próximos 3 meses é:
(a) 0, 04ppm
3.8
(b) 0, 05ppm
(c) 0, 055ppm
Aproximação da Variação Percentual
Partindo de uma regra de três simples, mostramos facilmente que ∆f % ≈
3.8.1
(d) 0, 5ppm
f ′ (x ) · ∆x
· 100%.
f (x )
Exercícios Propostos
EP 3.3. Nos exemplos 3.1 e 3.2, uma estimativa para as variações percentuais são, respectivamente:
(a) 1, 48% e 2, 30%
(b) 1, 40% e 2, 30%
(c) 1, 40% e 2, 38%
EP 3.4. A produção de uma indústria é dada pela expressão P (C ) = 2.500 ·
(d) 1, 43% e 2, 38%
√
3
C 2 unidades, em que C é o
capital investido. A estimativa para a variação percentual da produção se aumentarmos o capital investido em
3% é:
(a) 1%
(b) 2%
(c) 3%
(d) 4%
Em economia o uso da derivada para aproximar a variação de uma função, quando temos uma variação de
uma unidade na variável independente, é denominado de análise marginal.
Seja C (q ) e R (q ) as funções custo e receita total. Temos, então, que o custo marginal é a aproximação da
seguinte variação: ∆C = C (q + 1) − C (q ) ≈ C ′ (q ) · ∆q = C ′ (q ) · 1 = C ′ (q ). Analogamente, temos que a receita
marginal é a aproximação da variação da receita pela derivada quando ∆q = 1, isto é, ∆R ≈ R ′ (q ). Notamos
que C ′ (q ) e R ′ (q ) são, respectivamente, a aproximação do custo para produzir a (q + 1)a unidade e a receita
referente à venda da (q + 1)a unidade.
Exemplo 3.14. Uma indústria tem custo total dado por C (q ) = 3q 2 + 5q + 10.000 reais, para produzir q
unidades. O preço de venda do seu produto é dado por P (q ) = −2q + 30 reais quando q unidades são
vendidas.
(a) Determine as funções custo e receita marginal.
(b) Use o custo e a receita marginal para estimar o custo de produção e a receita da venda da 5o unidade.
Fundamentos da Matemática
53
Solução: (a) C ′ (q ) = 6q + 5 e R ′ (q ) = −4q + 30.
(b) C ′ (4) = 29 reais por unidade e R ′ (4) = 14 reais por unidade. A variação real do custo e da receita da
produção e venda da 5a unidade são, respectivamente, ∆C = C (5)− C (4) = 32 reais e ∆R = R (5)− R (4) = 12
reais.
3.8.2
Exercícios Propostos
EP 3.5. Um pequena loja de gravatas vende cada uma por U $3, 5. A função custo diário é estimada em C (x )
dólares, em que x é o número de gravatas vendidas em um dia típico e C (x ) = 0, 006x 3 − 0, 03x 2 + 2x + 20. O
valor de x que irá maximizar o lucro diário é:
(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12
75
− 25, 0 ≤ x ≤ 10.000,
x
em que p denota o preço unitário por atacado em dólares e x denota a quantidade demandada. A receita real
EP 3.6. A demanda semanal por modelo de televisor Pulsar é igual a p = 3x −
obtida pela venda da 101o unidade, assumindo que 100 unidades são vendidas deste produto e uma estimativa
para a receita produzida pelo 101o televisor, utilizando análise marginal, são, respectivamente:
(a) 538 e 575
(b) 581 e 538
(c) 538 e 581
(d) 531 e 588
√
EP 3.7. O custo para se manufaturar x caixas de cereal é de C Dólares, em que C = 3x + 4 x + 2. A
produção semanal em t semanas, contadas a partir do presente, é estimada em x = 6.200 + 100t . O custo
dC
dC
marginal
, a taxa de variação do custo
e a velocidade com que os custos estão crescendo quando t = 2
dx
dt
são, respectivamente:
4
dC
=3+ √ ,
dx
x
dC
20
(c)
=3+ √ ,
dx
x
(a)
20
dC
= 300 + √
e 300, 5
dt
62 + t
dC
20
e 302, 5
= 300 + √
dt
64 + t
dC
=3+
dx
dC
(d)
=3+
dx
(b)
4
√ ,
x
2
√ ,
x
200
dC
= 300 + √
e 300, 5
dt
62 + t
dC
20
e 302, 5
= 300 + √
dt
62 + t
q3
− 4q 2 + 15q + 2.000, em que 0 ≤ q ≤ 6. A
3
quantidade q que minimiza o custo e o custo mínimo aproximado são, respectivamente:
EP 3.8. O custo de uma indústria é dado pela função C (q ) =
(a) 3 e 216, 67
(b) 4 e 217
(c) 5 e 216, 67
(d) 5 e 650
EP 3.9. Um produtor observou que quando o preço unitário de seu produto era R $5, 00, a demanda mensal
era de 3.000 unidades e, quando o preço era R $6, 00, a demanda mensal era 2.800 unidades. Admitindo-se que
a demanda é uma função do 1o grau, o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita mensal é:
(a) R $5, 50
(b) R $7, 00
(c) R $10, 00
Gabarito
3.1. (c) 3.2. (b) 3.3. (d) 3.4. (b) 3.5. (c) 3.6. (a) 3.7. (d) 3.8. (c) 3.9. (c)
54
FTC EAD |
(d) R $12, 00
Estudo do Cálculo Integral e
TEMA 04
4.1
Aplicações
Integral Indefinida e suas Propriedades Operatórias
4.1 Definição. Uma função F (x ) tal que F ′ (x ) = f (x ) é dita uma primitiva da função f .
Exemplo 4.1. A função F (x ) =
F ′ (x ) = f (x ).
2x 5
3x 2
+
+ 5x + 10 é uma primitiva da função f (x ) = 2x 2 + 3x + 5, pois
3
2
2x 5 3x 2
+
+ 5x + C , em que C é uma constante, é também, uma primitiva da
3
2
2
′
função f (x ) = 2x + 3x + 5, pois F (x ) = f (x ).
Exemplo 4.2. A função F (x ) =
Simbolicamente, escrevemos a integral indefinida de f por
Z
f (x )dx = F (x ) + C ,
em que C é uma constante e lemos a integral indefinida de f (x )dx é igual a F (x ) + C .
Z
2x 2 + 3x + 5dx .
Exemplo 4.3. Calcular a integral
Z
Solução:
2x 2 + 3x + 5dx =
2x 3
3x 2
+
+ 5x + C .
3
2
Nota 9. Temos que
Z
Z
′
f (x )dx = F (x ) + C ⇔ F (x ) = f (x ) ⇔
4.2
F ′ (x )dx = F (x ) + C .
Regras de Integração
4.2.1
Integração da Função Potência
Dada a função f (x ) = x n , temos que f ′ (x ) = n · x n−1 . Logo,
Z
Z
f ′ (x )dx = f (x ) + C ⇒
Z
nx n−1 dx = x n + C ⇒ n
Z
x n−1 dx = x n + C ⇒
x n−1 dx =
xn
+ C.
n
De modo geral, dada a função f (x ) = x n , em que n 6= −1, temos:
Z
x n dx =
x n+1
+ C.
n+1
Exemplo 4.4. Obtenha as integrais indefinidas das seguintes funções:
(a) f (x ) =
√
x
1
(b) f (t ) = √
t
(c) f (t ) =
√
3 2
t
(d) f (x ) = 1
Fundamentos da Matemática
55
Z
Z
Z
3
1
2√ 3
x2
x 2 +1
+C =
+C =
Solução: (a) f (x )dx =
x dx =
x +C
1
3
3
+1
2
2
Z
Z
Z
1
− 21 +1
√
1
t2
1
t
√ dt = t − 2 dt =
+C =2 t +C
+C =
(b) f (t )dt =
1
1
t
− +1
2
2
Z
Z
Z
2
5
+1
√
t3
3√
x3
2
3
3
+C =
+C =
(c) f (t )dt =
t 2 dt = t 3 dt =
t5 + C .
2
5
5
+1
3
3
Z
Z
Z
0+1
x
+ C = x + C.
(d) f (x )dx = 1dx = x 0 dx =
0+1
4.2.2
√
xdx =
1
2
A Integral da Função f (x) =
1
x
Z
Z
1
1
= x −1 , a integral de f (x ) é dada por f (x )dx =
dx = ln(x ) + C , pois notamos
Temos que f (x ) =
x
x
1
que a derivada de ln(x ) + C é a função f (x ) = . Como na função ln(x ), temos que x > 0, tomamos, então, a
x
1
integral da função f (x ) = sendo ln |x | + C , isto é,
x
Z
Z
f (x )dx =
4.2.3
1
dx = ln |x | + C .
x
A Integral da Função f (x) = e x
Z
Como a derivada de e x + C é igual a e x , temos que f (x ) = e x ⇒
4.2.4
Z
f (x )dx =
e x dx = e x + C .
A Integral do Produto de uma Constante por uma Função
Z
Z
K · f (x )dx = K
f (x )dx , em que K é uma constante. Como exemplo, temos que
Z
Z
3x 2 dx = 3
4.2.5
x 2 dx = 3
x3
+ C = x3 + C.
3
A Integral da Soma é a Soma das Integrais
Z
Z
(f (x ) + g (x ))dx =
Z
f (x )dx +
√
g (x )dx . Como exemplo, vamos integrar a função f (x ) = 3 x + 4e x +
5
2
+√
3
x
x2
Z
Z
f (x )dx =
√
2
5
(3 x +4e x + + √
)dx = 3
3
x
x2
Z
Z
1
x 2 dx +4
Z
e x dx +2
1
dx +5
x
Z
√
2
x − 3 dx = 2 x 3 +4e x +2 ln(x )+C .
√
√
Para treinar: Mostre que a derivada da função F (x ) = 2 x 3 + 4e x + 2 ln |x | + 15 3 x + C é igual a função
√
5
2
f (x ) = 3 x + 4e x + + √
.
3
x
x2
Exemplo 4.5. Integre a função f (x ) =
56
FTC EAD |
5x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7
.
4x 3
Z Z
Solução:
f (x )dx =
5x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7
4x 3
dx =
5
4
Z
x 3 dx +
1
2
Z
x 2 dx −
3
4
Z
1
7
dx +
x
4
Z
x −3 dx =
5 4 1 3 3
7 1
+ C.
x + x − ln |x | −
16
6
4
8 x2
Agora é sua vez!
EP 4.1. Mostre que a derivada da função F (x ) =
5x 6 + 2x 5 − 3x 2 + 7
.
4x 3
5 4 1 3 3
7 1
+ C é igual a função f (x ) =
x + x − ln |x | −
16
6
4
8 x2
3
Exemplo 4.6. Qual a função cuja inclinação da reta tangente ao seu gráfico em x é x 3 + 2x + 5 e que passa
4
pelo ponto (1, 2).
Solução: Temos que a derivada da função f (x ) que queremos determinar é f ′ (x ) =
3 3
x + 2x + 5. Logo,
4
para determinar f (x ), integramos sua derivada f ′ (x ), isto é,
Z
f (x ) =
Z 
f ′ (x )dx =
‹
3
3 3
x + 2x + 5 dx =
4
4
Z
Z
x 3 dx + 2
Z
xdx + 5
dx =
3 4
x + x 2 + 5x + C .
16
Temos que f (1) = 2, isto é,
f (1) =
Logo, C = −
3
· 14 + 12 + 5 · 1 + C = 2.
16
3 4
67
67
. Então, temos que f (x ) =
x + x 2 + 5x − .
16
16
16
Exemplo 4.7. O custo marginal de uma indústria é calculado pela expressão 5q 2 − 10q + 100 reais por
unidade, quando q unidades são produzidas. O custo de fabricação das três primeiras unidades é de 800 reais.
Qual o custo de fabricação das 10 primeiras unidades?
Solução: Como o custo marginal é a derivada da função custo, então C ′ (q ) = 5q 2 − 10q + 100. Logo,
Z
Z
5 3
q − 5q 2 + 100q + C . Como C (3) = 800, temos que C = 500.
3
5
5
Desta forma, temos que C (q ) = q 3 − 5q 2 + 100q + 500. Logo, C (10) = 103 − 5 · 102 + 100 · 10 + 500 = 2.666, 67
3
3
C (q ) =
C ′ (q )dq =
(5q 2 − 10q + 100)dq =
reais.
Exemplo 4.8. Estima-se que a população de uma determinada cidade esteja variando a uma taxa de 3t 2 +
√
3
t + 1 pessoas por ano. A população atual é de 11.000 pessoas. Qual será a população daqui a 2 anos?
Solução: Queremos determinar a função população P (t ), onde t é o tempo. Sabemos que a taxa de
√
variação de uma função é sua derivada. Logo, P ′ (t ) = 3t 2 + 3 t + 1. Desta forma, temos que
Z
P (t ) =
Z
P ′ (t )dt =
(3t 2 +
√
3√
3
3
t + 1)dt = t 3 +
t4 + t + C .
4
Como a população atual é de 11.000 pessoas, isto é, P (0) = 03 +
a população daqui a 2 anos será P (2) = 23 +
3√
3
04 + 0 + C = 11.000, C = 11.000. Logo,
4
3√
3
24 + 2 + 11.000 = 11.011, 89 pessoas.
4
Fundamentos da Matemática
57
4.3
Integração por Substituição
Dada a função composta f ◦ g (x ) = f (g (x )), temos que sua derivada é dada pela regra da cadeia, isto é,
(f ◦ g (x ))′ = (f (g (x ))′ = f ′ (g (x )) · g ′ (x ). Logo, a integral da derivada da função composta será:
Z
Z
′
f ′ (g (x )) · g ′ (x )dx = f ◦ g (x ) + C
(f ◦ g (x )) dx =
Exemplo 4.9. Dada a função f (x ) = (5x 2 +2x +3)3 , temos que sua derivada é f ′ (x ) = 3(5x 2 +2x +3)2 ·(10x +2).
Logo, a integral da função derivada f ′ (x ) será a função f adicionada a uma constante C , pois é uma integral
indefinida, isto é,
Z
Z
f ′ (x )dx =
3(5x 2 + 2x + 3)2 · (10x + 2)dx = (5x 2 + 2x + 3)3 + C = f (x ) + C .
Logo, quando tivermos integrais de funções produto, nós podemos verificar se o integrando é proveniente da
derivada de uma função composta. Para sabermos se o integrando é proveniente da derivada de uma função
composta, nós devemos observar se a derivada de uma das funções do integrando pode ser escrita em função
da outra função.
Exemplo 4.10. Integre a função f (x ) = 4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4).
Z
Z
4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4)dx .
f (x )dx =
Solução:
Note que a derivada da função (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 é igual a função 3x 2 + 4x + 4. Logo, esta integral pode
ser resolvida pela técnica de integração por substituição.
Chamando de u = x 3 + 2x 2 + 4x + 1 ⇒
Z
du
= (3x 2 + 4x + 4) ⇒ du = (3x 2 + 4x + 4)dx . Logo,
dx
Z
f (x )dx
=
Z
4 · (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)3 · (3x 2 + 4x + 4)dx
Z
3
u 3 du = 4 ·
4u du = 4
=
u4
+ C = u4 + C
4
= (x 3 + 2x 2 + 4x + 1)4 + C
Z
Exemplo 4.11. Determine a integral da função f (x ) =
Z
6
+11
dx .
Z
x5 · ex
f (x )dx =
Solução:
x5 · ex
6
+11
dx . Seja u = x 6 + 11. Logo,
du
du
= 6x 5 ⇒
= x 5 dx . Temos, desta
dx
6
forma, que
Z
Z
f (x )dx =
Z
x5 · ex
6
+11
dx =
Z
ex
Exemplo 4.12. Integre a função f (x ) =
Z
Solução:
Z
que
58
Z
FTC EAD |
+11
· x 5 dx =
eu
1
du
=
6
6
Z
e u du =
1 6
1 u
e + C = e x +11 + C .
6
6
2x 3
.
5x 4 − 11
2x 3
du
dx . Seja u = 5x 4 − 11 ⇒ du = 20x 3 dx ⇒
= 2x 3 dx . Logo, temos
4
5x − 11
10
du
Z
Z
1
1
2x 3
du
10 = 1
dx
=
=
ln |u | + C =
ln |5x 4 − 11| + C .
5x 4 − 11
u
10
u
10
10
f (x )dx =
Z
f (x )dx =
6
4.3.1
Exercícios Propostos
EP 4.2. Integre as funções:
(a) f (x ) =
È
3
20x + 5
(4x 2
+ 2x −
2)2
(b) f (x ) =
;
EP 4.3. Integre a função f (x ) =
4.4
8x + 3
È
3
(4x 2
+ 3x −
2)2
;
(c) f (x ) =
(ln(x ))5
.
x
du
u+3
x
. Sugestão: Faça u = 2x − 3 e veja que dx =
ex =
.
2x − 3
2
2
Integral por Partes
É a técnica de integração proveniente da derivada da função produto, isto é, se tivermos a derivada seguinte:
(u (x ) · v (x ))′ = u ′ (x ) · v (x ) + u (x ) · v ′ (x ). Logo, temos que a integral
Z
Z
(u (x ) · v (x ))′ dx =
Z
Z
Z
v (x ) · u ′ (x )dx = u (x ) · v (x ) −
⇒
Z
u (x ) · v ′ (x )dx
Z
u ′ (x ) · v (x )dx +
⇒ u (x ) · v (x ) =
Logo, temos que
Z
u ′ (x ) · v (x )dx +
u (x ) · v ′ (x )dx
u (x ) · v ′ (x )dx .
Z
′
u (x ) · v ′ (x )dx .
v (x )u (x )dx = u (x ) · v (x ) −
Z
Exemplo 4.13. Determine
xe 2x dx .
Z
′
Solução: Seja u (x ) = e
2x
e v (x ) = x . Logo, u (x ) =
Z
Então, temos que
Z
′
u (x )dx =
Z
v (x )u ′ (x )dx = u (x ) · v (x ) −
Z
u (x ) · v ′ (x )dx ⇒
1 2x
e e v ′ (x ) = 1.
2
Z
e 2x
·x−
· 1dx =
2
e 2x dx =
xe 2x dx =
1 2x
e
2
1 2x
1
e · x − e 2x + C .
2
4
4.4.1
Exercícios Propostos
EP 4.4. Calcule:
Z
(a)
4.5
Z
√
x x + 5dx ;
(b)
ln(x )dx ;
Área e Integral Definida
dF (x )
Seja f (x ) =
= F ′ (x ), a taxa de variação da função F (x ). Queremos saber qual de a variação de F (x )
dx
entre x = a e x = b .
Z
Z
b
b
f (x )dx =
a
Z b
a
F ′ (x )dx = F (b ) − F (a),
f (x )dx é lido como “a integral (definida) de f de a até b ”. Os
em que F é uma primitiva de f . O símbolo
a
números a e b são denominados limites de integração.
Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é comum usar o símbolo F (x )|ba para representar a diferença F (b ) − F (a).
Fundamentos da Matemática
59
√
3
Exemplo 4.14. Uma população de uma cidade está crescendo a uma taxa de 5 t 2 + 3t + 10 pessoas por
mês, onde t é o tempo dado em meses. Qual o crescimento da população nos próximos 6 meses?
√
3
Solução: P ′ (t ) = 5 t 2 + 3t + 10 ⇒ P (6) − P (0) =
5
t 3
t2
5
+3 +
5
2
3
173 pessoas
6
10t ]
0
Z 6
√
3
5 t 2 + 3t + 10dt =
Z 6
2
5t 3 + 3t + 10dt =
0
0
6
√
√
3
3
3
3
3
= [3t + t 2 + 10t ] = 3 65 + 62 + 10 · 6 − [3 05 + · 0 + 10 · 0] = 173, 43 pessoas ≈
2
2
2
0
5
3
Exemplo 4.15. Calcule as seguintes integrais definidas:
Z 1
(a)
Z 2
e x dx
(b)
0
Z 5
(x 2 + 5)dx
(c)
1
Z 1
Solução: (a)
0
Z 2
€
(b)
1
Z 5
(c)
1
Z 3
(d)
0
4.5.1
(d)
2x
dx
+1
x2
0
e x dx = e x |10 = e 1 − e 0 = e − 1
Š
2
1
Z 3
dx
x
x + 5 dx =
x3
+ 5x
3
2
1
=
8
1
7
22
+ 10 − − 5 = + 5 =
3
3
3
3
dx
5
= ln(x )|1 = ln(5) − ln(1) = ln(5)
x
3
2x
dx = ln x 2 + 10 = ln(10) − ln(1) = ln(10)
x2 + 1
Exercícios Propostos
EP 4.5. Calcule:
Z 10
Z 2
€
4dx ;
(a)
1
Z 1
Š
x 3 + 3 dx
(b)
(c)
0
Z e
8x (x 2 + 1)3 dx
(d)
1
0
2
ln(x )
dx
x
2
Exemplo 4.16. O custo marginal de uma fábrica é de 6(q + 2q + 3) · (q + 1) reais por unidade. De quanto
o custo aumentará se a produção aumentar de 5 para 8 unidades?
Z 8
Solução: C ′ (q ) = 6(q 2 + 2q + 3)2 · (q + 1) ⇒ C (8) − C (5) =
5
Seja u = q 2 + 2q + 3 ⇒ du = (2q + 2)dq ⇒ du = 2(q + 1)dq ⇒
Z 8
C (8) − C (5) =
=
4.5.2
5
C ′ (q )dq = 6
8
Z 8
5
C ′ (q )dq = 6
Z 8
5
(q 2 + 2q + 3) · (q + 1)dq .
du
= (q + 1)dq . Logo,
2
(q 2 + 2q + 3)2 · (q + 1)dq = 6
Z 8
5
u2 ·
du
=3
2
Z 8
u 2 du
5
u3 8
8
3 = u 3 |5 = (q 2 + 2q + 3)3 |5 = (82 + 2 · 8 + 3)3 − (52 + 2 · 5 + 3)3 = 516.915 reais.
3 5
Área com Integral Definida
Suponha que f é uma função não negativa definida no intervalo a ≤ x ≤ b . Então, a região R limitada pelo
gráfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas x = a e x = b tem uma área de
Z b
A(R ) =
f (x )dx .
a
60
FTC EAD |
y
f (a)
y = f (x )
f (b )
R
a
b
x
Exemplo 4.17. Encontre a área da região limitada pela reta y = 2x , o eixo-x e a reta vertical x = 2.
Z 2
Solução: A área A(R ) =
0
y
4
2
2xdx = x 2 0 = 22 − 02 = 4. Observe
o esboço gráfico.
2 x
Exemplo 4.18. Encontre a área da região limitada pela curva y = −x 2 + 4x − 3 e pelo eixo-x .
y
Solução:
Fazendo o esboço gráfico
(veja figura ao lado),
Z
vemos que a área é A(R )
−
x3
4x 2
+
−
3
2
3
3x 1
3€
=
1

Š
−x 2 + 4x − 3 dx
=
1
x
3
‹
1
4
= −9 + 18 − 9 − − + 2 − 3 = .
3
3
y
y =x
Exemplo 4.19. Encontre a área da região R no primeiro quadrante que se
1
situa sob a curva y = e é limitada por esta curva e pelas retas y = x , y = 0
x
(eixo x ) e x = 2.
y=
R1
R2
1
2
1
x
x
Solução: Calculemos as áreas da regiões R1 e R2 .
Z 1
A(R1 ) =
0
Z 2
A(R2 ) =
1
Portanto, A(R ) = A(R1 ) + A(R2 ) =
1
x 2 1
xdx =
= .
2 0 2
dx
= ln(x )|21 = ln(2) − ln(1) = ln(2)
x
1
+ ln(2) ≈ 1, 19.
2
Fundamentos da Matemática
61
4.5.3
Área entre Duas Curvas
y
Sejam f (x ) e g (x ) funções definidas no intervalo a ≤ x ≤ b , com f (x ) ≥
g (x ). Se R é a região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e
x = b , então
Z b
A(R ) =
a
Z b
f (x )dx −
f (x )
Z b
g (x )dx =
a
a
R
(f (x ) − g (x )) dx .
g (x )
a
x
b
Exemplo 4.20. Encontre a área da região R limitada pelas curvas y = x 2 + 1 e y = 2x − 2 entre x = −1 e
x = 2.
y
Solução:
Z 2
€
−1
A(R )
Š
Z 2
”
=
x 2 − 2x + 3 dx =
−1
x3
− x2 +
3
27
=9
3
4.5.4
—
(x 2 + 1) − (2x − 2) dx
2
3x −1

=
13
14
− −
3
3
=
‹
=
−1
2
x
−2
Exercícios Propostos
Z 5
(2x + 3)dx
EP 4.6. Calcule
2
EP 4.7. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções f (x ) = x 2 − 4x + 4, g (x ) = x e pelo
eixo-x .
4.6
4.6.1
Aplicações: O Excedente do Consumidor e do Produtor
Lucro Líquido Excedente
T
Suponha que daqui a t anos dois planos de investimento estarão gerando lucros às taxas T1 (x ) e T (x ) u.m por ano, respectivamente, e que nos próximos N anos a taxa T2 será maior que a
taxa T1 , como mostra a figura abaixo.
Z N
O Lucro líquido excedente é
0
[T2 (x ) − T1 (x )]dx .
Graf(T2 )
Lucro líquido
excedente
Graf(T1 )
N
62
FTC EAD |
t
Exemplo 4.21. Suponha que daqui a t anos, um plano de investimento estará gerando lucro a uma taxa de
T1 (t ) = 50 + t 2 u.m. por ano, enquanto um segundo plano estará gerando lucro a uma taxa de T2 (t ) = 200 + 5t
u.m. por ano.
(a) Esboce os gráficos de T1 e T2 no mesmo plano.
(b) Calcule o lucro líquido excedente.
Solução: (a) T1 (t ) = T2 (t ) ⇒ 50 + t 2 = 200 + 5t ⇒ t =
T
275
−10 ou t = 15 ⇒ T2 (15) = 275.
(b) O lucro líquido excedente é:
Z 15
0
Z 15
[T2 (t ) − T1 (t )]dt
=
Z0 15
=
0

=
4.6.2
Graf(T2 )
200
Lucro Líquido
[(200 + 5t ) − (50 + t 2 )]dt
50
(150 + 5t − t 2 )dt
5
150t + t 2 −
2
‹15
1 3 t 3
0
Graf(T1 )
15
= 1.687, 5
t
Excedente do Consumidor
p
Suponha que a função p = D (q ), representada no gráfico da
figura I, descreva a demanda de uma mercadoria e que , no instante considerado, o preço dessa mercadoria seja p0 , o que faz
com que os consumidores a demandam numa quantidade q0 . Note
que p0 não é o preço máximo que os consumidores estão dispostos
a pagar por essa mercadoria, pois, para preços um pouco maiores
que p0 , ainda há quantidades demandadas, embora menores que
q0 .
p = D (q )
p0
q0
q
Então, a economia do consumidor, pelo fato de o preço ser menor do que aquele que ainda pagaria pela
mercadoria é representado pela diferença entre o preço que seria capaz de pagar por uma quantidade menor
para não ficar sem a mercadoria e o preço que paga pela quantidade que compra. Essa economia, chamada
Excedente do Consumidor é representada pela área assinalada no gráfico, ou seja, pela expressão:
Z q0
0
Z q0
(D (q ) − p0 ) dq =
0
Z q0
D (q )dq −
Z q0
p0 dq =
0
0
D (q )dq − p0 q0
Exemplo 4.22. Determine se o excedente do consumidor de uma mercadoria cujo preço é 10 e cuja demanda
é descrita pela função p = 40 − 2q :
p
Solução: p = 10 ⇒ 10 = 40 − 2q ⇒ 2q = 30 ⇒ q = 15. Logo,
Z 15
EC =
0
Z 15
(40 − 2q − 10) dq =
0
€
(30 − 2q ) dq = 30q −
Š15
q2 0
O resultado é a área da região hachurada na figura ao lado.
40
p = 40 − 2q
= 450−225 = $225.
10
15 20 q
Fundamentos da Matemática
63
4.6.3
Excedente do Produtor
Da mesma forma que acontece com o consumidor, o produtor também tem uma sobra quando é fixado um
preço p0 para a mercadoria que oferece. Se ao preço p0 o produtor oferece uma quantidade q0 , a preços mais
baixos ainda estaria interessado em oferecer uma quantidade, embora menor, dessa mercadoria.
Nota 10. A diferença entre o preço ao qual o produtor oferece uma quantidade da mercadoria e aquele
ao qual ainda estaria disposto a oferecê-la é também uma sobra ou uma renda econômica chamada
Excedente do Produtor.
p
p0
Supondo que a função Oferta é dada por p = S (q ) e que o preço da
mercadoria está fixado em p0 , o excedente do produtor é representado pela
área hachurada do gráfico da figura abaixo, ou seja, pela expressão:
Z q
0
Z q
0
[p0 − f (q )] dq =
0
0
Z q
0
p0 dq −
0
Z q
0
S (q )dq = p0 q0 −
S (q )dq .
0
q0
q
Exemplo 4.23. Seja p = 2q + 10 a função oferta para uma mercadoria cujo preço atual é 50. Determine o
Excedente do Produtor.
Solução: O excedente do produtor será calculado da seguinte forma:
p
50
p = 50 ⇒ 50 = 2q + 10 ⇒ 2q = 40 ⇒ q = 20.
Portanto,
Z 20
Z 20
[50−(2q +10)]dq =
EP =
0
0
€
(40 − 2q ) dq = 40q − q 2
Š20
0
= 400−0 = $400.
A região assinalada no gráfico da figura ao lado, mostra a área que repre-
10
senta o Excedente do produtor.
q
20
p
Para treinar
20
Seja p = e q+1 a função oferta para certo produto.
(a) Observe o gráfico da função e assinale a área que representa o Excedente do produtor quando o preço do produtor é 20 (use e 3 = 20).
(b) Determine o Excedente do produtor para p = 20.
e
2
4.6.4
q
Exercícios Propostos
EP 4.8. Quando uma companhia produz e vende x unidades por semana, o seu lucro total de P milhares de
dólares, em que
P=
200x
.
100 + x 2
O nível de produção em t semanas contadas a partir do presente é x = 4 + 2t .
(a) Encontre o lucro marginal
64
FTC EAD |
dP
, ou seja, derive P em a função de x .
dx
(b) Encontre a taxa de variação do lucro
dP
, ou seja, substitua x = 4 + 2t e derive agora em função da
dt
variável t .
(c) Com que velocidade (em relação ao tempo) o lucro está variando quando t = 1? Substitua t = 1 na
questão anterior.
EP 4.9. Um fabricante de mountain bikes tem a seguinte função de custo marginal
C ′ (x ) =
100
,
0, 1q + 5
em que q é a quantidade de bicicletas produzidas.
(a) Se o custo fixo da produção de bicicletas é R $800, 00, ache o custo total para produzir 50 bicicletas.
Considere ln(5) = 1, 6 e ln(10) = 2, 3.
(b) Se as bicicletas forem vendidas a R $100, 00 cada, qual é o lucro (ou perda) sobre as 50 primeiras bicicletas?
(c) Determine, aproximadamente, o lucro marginal sobre a 51a bicicleta.
EP 4.10. Estima-se que a receita anual (em milhões de unidades) de uma determinada empresa varia de
18.000x
, em que x é medido em anos. Determine a receita
acordo com a função receita marginal R ′ (x ) =
(−x 2 − 200)2
adicional se a empresa aumentar a produção de 10 para 20 milhões de unidades.
EP 4.11. Sejam p = −2q + 7 e p = q 2 /2 + 1 as funções demanda e oferta para determinado produto.
(a) Esboce os gráficos das funções e determine o ponto de equilíbrio;
(b) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é o de equilíbrio;
(c) Determine o Excedente do Produtor para p = 20
EP 4.12. Seja p = −q 2 − 2q + 24 a função demanda para certo produto.
(a) Faça gráfico da função e assinale a área que representa o Excedente do consumidor quando o preço do
produto é 9.
(b) Determine o excedente do consumidor para p = 9.
(c) Determine o excedente do consumidor para p = 16.
EP 4.13. Após um período de testes, um fabricante determina que se x unidades de um certo produto são
produzidos por semana, o custo marginal C ′ (x ) = −10 − 2x , em que C (x ) é o custo total de produção de x
x2 9
unidades. Se o preço de venda do produto é dado por p =
− x reais e o custo fixo é R $10, 00 por semana,
3
2
ou seja C (0) = 10, ache, aproximadamente, o lucro total máximo que pode ser obtido por semana.
Gabarito
4.1.
4.2. (a)
p
15 p
[ln(x )]6
3
+ C.
4x 2 + 2x − 2 + C ; (b) 3 3 4x 2 + 3x − 2 + C ; (c)
2
6
3
10
(x + 5) 2 · (3x + 10) + C ; (b) −x + x ln |x | + C 4.5. (a) 36; (b) 10; (c) 2; (d) 12 .
3
R $3497, 42; (c) R $83, 33. 4.10. 15 4.11. (a) O ponto de equilíbrio (2, 3) (b) 4 4.12.
4.3.
4.6. 30.
1
[2x − 3 + 3 ln |2x − 3|] + C .
4
4.7.
5
6
u.a 4.8.
4.4. (a)
4.9. (a) R $1502, 58; (b)
4.13. R $ − 1, 33. (menor prejuízo)
Fundamentos da Matemática
65
Referências Bibliográficas
[1] TAN, S. T.; Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Pioneira, 2001.
[2] MEDEIROS, Sebastião; et. al.; Matemática para Economia, Administração e Ciências Contábeis. São
Paulo: Atlas,
[3] HOFFMAN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L.; Cálculo: um Curso Moderno e suas Aplicações. 7a
edição. Campinas: LTC, 2002.
[4] ANTON, Howard; Cálculo: Um Novo Horizonte VOL. 1. 6a edição. Porto Alegre: Bookman, 2000.
[5] PATTERSON, D. A.; Microprocessors in 2020. Scientific American, 273(3):48-51, September 1995. 150th
Anniversary Issue.
[6] CHAN, V. W. S.; All-optical networks. a edição. Scientific American, 273(3):56-59, September 1995. 150th
Anniversary Issue.
66
FTC EAD |
FTC-EAD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
www.ead.ftc.br