Polı́gonos Fundamentais Regulares Provenientes de Raı́zes de
Polinômios sobre Corpos Finitos
Dijiani Ludovino Guanais
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Edson Donizete de Carvalho
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Jaime Edmundo Apaza Rodriguez
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Dep. de Matemática, FEIS-UNESP
Ilha Solteira SP
RESUMO
Um polı́gono regular P é dito polı́gono fundamental em R2 , se existe um grupo G tal que, a
ação deste grupo sobre P satisfaz as condições
∪T ∈G T (P ) = R2 e P ∩ T (P ) = φ, onde T (P ).
Em R2 , os polı́gonos fundamentais regulares são triângulos, quadrados e hexágonos.
Mostraremos ser possı́vel determinar estes
polı́gonos a partir das raı́zes de um polinômio,
p(x), no anel de polinômios Fq [X], onde q = p2
e p primo.
Sabemos que F∗q = Fq \{0} é um grupo ciclı́co
multiplicativo, isto é, existe ao menos um elemento β ∈ Fq que gera todos os elementos de
F∗q . Asim temos que β q−1 = 1, o que implica
que β q−1 − 1 = 0, ou seja, β é raı́z do polinômio
p(x) = xq−1 − 1.
Com o intuito de fornecer uma representação
geométrica para os elementos de Fq , seguiremos
as seguintes etapas:
Etapa 1: Considerar a fatoração do polinômio
p(x), módulo p. Supomos que seja da forma
Observação: Lembre-se que os elementos de
Fp podem ser vistos como classes resto de inteiros módulo o inteiro primo p.
A Etapa 3, juntamente com a Observação,
fornecem as ferramentas para determinarmos
polı́gonos fundamentais P em R2 , onde os elementos de Fq estão geometricamente distribuidos
em P . Assim teremos uma distribuição uniforme
no quadrado, se α ∈ Z[i] = {x + yi : x, y ∈ Z} e
no hexágono regular, caso α ∈ Z[ω] = {x + yω :
x, y ∈ Z}, onde ω 6 = 1.
Referências
[1] Armstrong M.A., Groups and Symmetry,
Springer-Verlag, New York (1988).
[2] Herstein I.N. Topics in Algebra, 2a ed. Wiley, New York, (1975).
[3] Stewart I. and Tall D., Algebric Number
Theory, Chapman & Hall, New York (1987).
p(x) = pn1 1 (x). . . . .pnk k (x).
Etapa 2: Considerar um polinômio de grau 2
da fatoração da Etapa 1; seja pni i (x), para algum
i ∈ {1, . . . , n}, e determinar suas raı́zes em C.
Etapa 3: Seja α ∈ C uma das raı́zes da Etapa
2. Da Teoria de Anéis de Polinômios sabemos
que
Fq ' Fp [X]/pni i (x) ' Fp (α)/pni i (α) = {x+yα : x, y ∈ Fp }.
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