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Resumo do projeto
Dinâmica Discreta Polinomial Aplicada à Biologia
Pedro Henrique Ribeiro de Assis
Considere n agentes biológicos dentro de um sistema fechado. Faça medições
em intervalos de tempo regulares de suas expressões, onde expressões podem ser
consideradas um número relacionado à sua atividade em questão.
O projeto analisa um conjunto de dados feitos por esse tipo de medição e
aplicará um modelo matemático discreto para sua simulação.
Tal modelo matemático empregará corpos finitos, k = Fp , sendo p um primo
e funções de evolução. Os dados da tabela passam por um processo de discretização para que sejam aplicáveis a corpos finitos, pois os dados biológicos
são reais.
Esse processo ainda está em fase de estudo, mas há implementações feitas
pelos autores do método que possibilitou a sua utilização e avanço do projeto.
Tal processo retorna a caracterı́stica do corpo finito a ser utilizado e um conjunto
de vetores discretizados correspondentes à tabela biológica.
Para criar o sistema de simulação é necessário buscar funções interpoladoras multivariadas para o conjunto discretizado dado.A técnica de interpolação
multivariada é semelhante à Lagrange com algumas modificações.
Ao fim da interpolação obteremos polinômios extensos e de alto custo para
cálculos computacionais. Tais polinômios devem ser reduzidos utilizando ferramentas algébricas. A primeira forma de redução é utilizando o Pequeno Teorema
de Fermat. Fazendo-se a redução ao polinômio de Fermat xpi − xi para todo
1 ≤ i ≤ n, para n a quantidade de agentes biológicos.Com isso temos a garantia
de que nenhum monômio em questão terá um grau maior ou igual a n.
O próximo passo é reduzir tais polinômios interpolados módulo o ideal de
polinômios que se anulam nos pontos dados. É calculado, então, cada ideal com
relação a cada vetor discretizado e por fim faz-se a interseção. Tal interseção é
feita utilizando-se bases de Gröbner e o algoritmo de Burchberger para o cálculo.
Com o ideal final em mãos, basta reduzir os polinômios interpolados módulo
esse ideal. A redução é drástica e a simulação continua a mesma. Esse conjunto
final de polinômios é chamado sistema dinâmico finito.
Para a análise da simulação desenha-se o grafo de evolução olhando-se para
todos os conjuntos possı́veis no corpo finito. A partir da forma do grafo, conclusões podem ser tiradas.
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