1
Funções reais: racionais, raiz,
exponencial, logaritmo
1.1
1.1.1
(g)
4. Indique o grau do polinómio produto de p(x) por
q(x), sendo:
Funções racionais; função raiz
Polinómios
Definição 1 Zeros de um polinómio p(x) são os números
α tais que p(α) é zero.
Definição 2 (Grau) Seja 0 ̸= a ∈ R e n ∈ N. Grau
do monómio axn é o número n. Grau de um polinómio
é o maior grau de entre os graus dos monómios constituintes.
(a)
p(x) = x3 − 5x2 + 1, q(x) = x2 − x − 3;
(b)
p(x) = x − 1 e q(x) um polinómio
do quinto grau;
(c)
grau(p) = 7 e q(x) um polinómio do terceiro grau.
5. Em cada caso, exprima h como função das restantes variáveis:
B+b
h
2
(valor numérico da área de um trapézio);
1
(b)
V = πr2 h
3
(volume de um cone).
(a)
As operações elementares entre potências induzem as
seguintes propriedades: o grau do polinómio-soma de
dois polinómios é o máximo de entre os graus dos polinómios-parcela; o grau do polinómio-produto de dois
polinómios é a soma dos graus dos fatores.
Sendo N (x) e D(x) dois polinómios em R[x], se
grau(N ) > grau(D), então, na divisão inteira de polinómios, o grau do quociente é grau(N ) − grau(D) e
o grau do resto é menor do que grau(D).
7. Depois de efetuar a divisão inteira de N (x) por
D(x), indique o grau do quociente e o do resto:
(a) N (x) = x3 − 3x2 + 8x − 1,
1. Calcule o valor de:
(b)
(c)
t2 − 6t + 10, quando t = 2;
(b)
(c)
D(x) = x + 2;
x2 − 5x − 9, quando x = −3;
(c) N (x) = 2x − 3x + 6x − 5,
D(x) = 2x + 3;
3
m3 − 9m, quando m = −1.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
(d) N (x) = x5 + x3 − x + 1,
D(x) = x2 − 3;
(e) N (x) = x5 − 7x3 − 12x − 15,
D(x) = x − 3;
1 + 6x + 9x2 − 8x3 ;
(f) N (x) = x4 − 6x2 + x − 8,
3 − 9x2 + 24x4 ;
x5 + 8x3 − 6x6 − 7x.
3. Apresente cada polinómio numa soma de monómios
de grau decrescente:
(a)
D(x) = x2 − 1;
(b) N (x) = x4 − x2 + 8,
2. Em cada caso, escreva por ordem decrescente das
potências de x, indique o grau e os coeficientes
dos termos do polinómio:
(a)
A=
6. Num campeonato entre n equipas, cada uma joga
duas vezes com todas as outras. De quantos jogos é constituı́do o campeonato?
Exercı́cios
(a)
(x2 − 4x + 3) − (x − 2x3 + 5x2 );
(g) N (x) = x5 − 4x3 + 1,
D(x) = x − 2;
D(x) = x2 − 6;
(h) N (x) = x3 − 6x2 + 12x − 8,
(x2 − 4x + 3) + (x − 2x3 + 5x2 );
D(x) = x − 2;
(i) N (x) = x4 + 8x3 + 4x2 − 14x + 6,
D(x) = x + 2;
(x + 1)(x + 3);
(2x − 3)(x2 − 5x);
(j) N (x) = x3 − 1,
(3x − 1)(x2 + x + 1);
D(x) = x2 + x + 1;
(x − 1)(x + x + 1);
2
(k) N (x) = x3 + 1,
(x + 1)(x3 − x2 + x − 1);
D(x) = x + 1.
2
14. Verifique que N (x) = 2x4 − 3x − 26 é divisı́vel
por x − 2.
8. Em cada caso, e usando a regra de Ruffini, identifique os polinómios Q(x) e R(x) tais que
15. Calcule k de modo que p(x) = x3 − kx2 − 2x − 4
seja divisı́vel por x + 2.
N (x) = D(x)Q(x) + R(x).
(a) N (x) = x3 − 3x2 + 3x + 1,
16. Duas das raı́zes da equação
D(x) = x − 1;
(b) N (x) = 4x4 − 5x2 + 8,
D(x) = x +
(c) N (x) = x3 − 5x + 4,
são 2 e 3. Identifique as restantes.
D(x) = x − 3;
(d) N (x) = x − 5x + 4,
4
x4 − 13x2 + 36 = 0
1
;
2
2
D(x) = x +
17. Em cada caso, verifique se o número 1 é zero
do polinómio p(x), uma ou duas vezes. Exprima
p(x) num produto de fatores irredutı́veis em R[x].
√
2;
(e) D(x) = 3x4 − 2x2 + 1,
(a)
D(x) = x + 2/3.
18. Em R, resolva cada uma das seguintes equações:
(a)
x3 − x2 + 2x + 6 = D(x)Q(x) + R(x).
(b)
(c)
(c)
D(x) = 2x + 4;
D(x) = 3x − 6.
(e)
11. Seja N (x) = x − 3x − 4x + 6.
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)
(e)
x3 + 2x2 − x − 2 = 0;
m3 + 3m2 − 4m − 12 = 0;
y 5 + y 4 − 16y − 16 = 0.
(f)
19. Apresente um modelo para cada enunciado:
(a) Três números pares consecutivos cujo produto é 2688.
(b) Três números inteiros consecutivos cujo produto é 990.
D(x) = x − 3;
D(x) = x + 2;
20. Resolva as inequações:
D(x) = 2x + 4;
(a)
D(x) = 3x + 1.
(x + 1)2 > x(x + 2);
(x + 3)2 > x(x + 3);
(b)
12. Exprima cada polinómio num produto de dois
fatores:
(a)
w4 − 13w2 + 36 = 0;
2
Calcule o resto da divisão inteira do polinómio
N (x) por:
(b)
t3 − 7t + 6 = (t − 1)2 (t + 3);
(d)
10. Mostre que o resto da divisão inteira do polinómio
N (x) por β(x − α) não depende de β.
(a)
(x + 1)(x − 1) = x2 + 2x + 1;
(b)
D(x) = x + 2;
3
p(x) = x4 + 2x3 − 4x2 − 2x + 3.
(b)
9. Em cada caso, identifique os polinómios Q(x) e
R(x) tais que
(a)
p(x) = 6x3 − 11x2 + 6x − 1;
(c)
(x − 2)2 − (x − 3)2 6 3 − x;
(x − 3/2)2 (x + 6) 6 0;
(d)
p(x) = x3 − a3 ;
(e)
p(x) = x3 + a3 ;
(x2 − 1)(x − 2) > 0;
4x2 + 15x 6 4;
(f)
p(x) = x5 − 1;
(g)
p(x) = x3 − 27;
x3 − 6x2 + 8x 6 0;
(h)
p(x) = x3 − 125.
(x − 2)2 (x − 1)3 > 0.
21. O polinómio
13. Quais dos números −2, 0, 1, 2, 3 são zeros do
polinómio p(x) = x3 − 3x2 − 4x + 12?
y 3 − my 2 + y + 6
é divisı́vel por y + 2. Identifique m.
3