Universidade Comunitária da Região de Chapecó
UNOCHAPECÓ
Engenharia Elétrica - Chapecó
1a Prova de Cálculo Numérico - G1
Disciplina: Cálculo Numérico
Série: 4a Perı́odo
Acadêmico:
Prof. Ms Fernando Tosini
Data:
R.A:
Atenção: Ler as Instruções Antes da Realização da Prova.
1. Preencher o cabeçalho das folhas de avaliação;
2. Ler atentamente as questões, e resolver de forma clara e legı́vel (sem rasuras);
3. O desenvolvimento do cálculo das questões pode ser feito a lápis, mas a resposta a caneta;
4. Peso da prova: 9.0 (nove);
1. (1.75 pt) Dado o polinômio: P (x) = x5 + x4 − 8x3 − 16x2 + 7x + 14
(a) Utilize o método de horner e calcule P (−2);
(b) Determine o número de operações: adição e multiplicação do item a);
(c) Calcular os limites reais das raı́zes positivas e negativas;
(d) Determine o número de raı́zes positivas e negativas ou complexas do polinômio (Quadro das
possibilidades).
2. (1.75 pt) Dada a função f (x) = cos(x3 )−ln(x). Por meio do método do gráfico, encontre um intervalo
de amplitude 0.1 que contém a menor raiz positiva. Com este intervalo encontre uma aproximação
para essa raiz, usando o Método da Bisseção até a segunda iteração e apartir desta, use o Método da
Newton até satisfazer a tolerância 10−5 .
2
3. (1.75 pt) Considere o sistema de equações não-lineares:

 x2 + 2y 2 − 2
= 0
F (x, y) =
1 2
 x + 3(1 − cos(y))2 − 1 = 0
2
Aplique o método de Newton com aproximação inicial X (0) = (2; 0.5)T e um erro menor que 0.1. Use
||F (X (k+1) )|| < ϵ.
3
4. (1.75 pt) Dada a função y = sin(x) tabelada:
x
f (x)
1.2
0.932
1.3
0.964
1.4
0.985
1.5
0.997
(a) Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton (diferenças divididas);
(b) Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Gregory Newton (diferenças finitas);
(c) Calcular o valor aproximado de sin(1.35).
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5. (2.0 pt) O método da secante é utilizado para encontrar as raı́zes de equações não-lineares. Ele é
muito parecido com o método de Newton, e é considerado uma opção a mais quando calculamos raı́zes
de equações em que a derivada é muito complexa. No método da secante a derivada da fórmula de
Newton é substituı́da por um quociente de diferenças, tornando a convergência mais rápida e diminuindo
o esforço computacional. Além disso, esse método inicia com dois chutes iniciais diferentemente do
método de Newton que inicia com um porque utiliza uma reta tangente que só toca em um ponto a
função, enquanto a reta secante toca em dois.
Geometricamente a figura (1), mostra a reta secante passando pelas aproximações iniciais x0 e
x1 intercepta o eixo Ox em x2 , que é a primeira estimativa para raiz. Se o valor x2 não satisfaz a
condição de parada, é necessário fazer mais iterações até que o critério de parada seja satisfeito.
Figura 1: Processo Geométrico do Método da Secante
Considere a função y = f (x) que contém os pontos (xk−1 , f (xk−1 )) e (xk , f (xk )), por onde passa
uma reta secante, que intercepta o eixo Ox no ponto xk+1 conforme a figura (2). A partir dessas
informações, demonstre a fórmula de iteração do método da Secante.
Figura 2: Método da Secante
BOA PROVA
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