Semana 11: Polinómio de Taylor
1 e 2. Seja f (x) = sen(3x).
1. Escreva o polinómio de Taylor p(x) de ordem 4 de f (x) em x = −π/12.
2. Estude o sinal de f (x) − p(x) no intervalo [ −π/6, π/6 ].
3 a 6. Seja f (x) = x−2 .
3. Determine o polinómio de Taylor p(x) de ordem 2 de f no ponto x = 1.
4. Estude o sinal de f (x) − p(x) no intervalo ] 0 , +∞ [ .
5. Esboce os gráficos de f (x) e p(x). Quantas soluções tem a equação f (x) =
p(x)?
6. Use p(x) para calcular aproximadamente 1/(0.95)2 e estime o erro cometido
na aproximação.
7 e 8. Seja pn o polinómio de Taylor de ordem n de ex em x = 0.
7. Mostre que, para x < 0,
n+1
x
e − pn (x) < |x|
(n + 1)!
8. Aproveite para calcular e−0.2 com precisão de 5 casas decimais.
9. Seja f : R → R uma função 5 vezes diferenciável com polinómio de Taylor de ordem
5 em a = 1 dado por
p(x) = 3x5 − 10x3 + 15x
(k)
Determine f (1) para k = 0, 1, . . . , 5, e indique justificando se f tem ou não um
extremo local no ponto a = 1.
10. Verifique que a função f (x) = x sen x + 2 cos x tem um ponto crı́tico na origem e
classifique-o.
11 e 12. Encontre os valores máximo e mı́nimo das seguintes funções nos intervalos indicados:
11. f (x) = x3 − 3x + 3,
x ∈ [0, 2]
12. f (x) = |x − 1|,
x ∈ [−1, 2]
13. Um agricultor tem 800m de vedação e pretende vedar uma região rectangular usando como um dos lados uma parede já existente. Quais as dimensões do rectângulo
que maximizam a área?
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14. Comente o seguinte raciocı́nio: Seja f (x) = xx4 +1
+3 . Então f é diferenciável com
derivada
2x(x2 − 1)(x2 + 3)
f ′ (x) = −
(x4 + 3)2
que se anula nos pontos −1, 0, 1. Comparando os valores de f nesses pontos vemos
que o valor máximo de f é f (−1) = f (1) = 1/2 e o valor mı́nimo é f (0) = 1/3.
15. Prove que se f : R → R é (n + 1)-vezes diferenciável e
f (n+1) (x) = 0 , ∀x ∈ R ,
então f é um polinómio de grau menor ou igual a n.
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