UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT
APOSTILA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS
JONES CORSO
Joinville - 2015
ii
Sumário
1 INTRODUÇÃO
1
1.1
Noções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Nomenclatura usual para classiﬁcar ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.1
Solução particular e solução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5.2
Problemas de valor inicial e valores no contorno . . . . . . . . . . .
7
2 EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
11
2.1
Equações com variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2
Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4
Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5
Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6
Equação de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7
Aplicações das ED de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.1
Problemas de variação de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.2
Equação do movimento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.3
Circuitos em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
3.1
23
EDL: Teoria das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1
Dependência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2
Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3
Soluções linearmente independentes. O Wronskiano . . . . . . . . . 24
iii
3.2
A equação caracterı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3
Solução geral - sistema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1
3.4
3.5
Solução em termos das raı́zes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Equações lineares não homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1
Resolução de equações lineares não homogêneas . . . . . . . . . . . 30
3.4.2
Método Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Aplicação fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n
37
4.1
Equações de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2
Equações de ordem superior usando coeﬁcientes a determinar . . . . . . . . 39
4.3
Equação de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 SÉRIES NUMÉRICAS
5.1
43
Método de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1
O método da Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2
Solução em Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2
Método de Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3
Equação de Bessel
5.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Funções de Bessel de segunda espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE
51
6.1
Deﬁnição da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2
Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3
Transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4
6.3.1
Método do complemento do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.2
Método das frações parciais (FP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.3
Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.4
Função impulso unitário ou função delta de Dirac . . . . . . . . . . 58
6.3.5
Convoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Resolução, pela TL, de EDL com coeﬁcientes constantes . . . . . . . . . . 60
6.4.1
Transformadas de Laplace de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.2
Solução do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iv
7 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
63
7.1
Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem
7.2
Cálculo de eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2.1
7.3
63
Uso da Transformada de Laplace para o Cálculo de eAt . . . . . . . 68
Resolução de sist. lineares com coeﬁcientes constantes . . . . . . . . . . . . 69
8 FÓRMULAS
71
Referências Bibliográficas
74
v
vi
Capı́tulo 1
INTRODUÇÃO
1.1
Noções elementares
(
)
Uma equação da forma F x, y, y ′ , y”, ..., y (n) = 0, onde a incógnita x é uma função de
uma variável, chama-se equação diferencial ordinária. Muitas leis gerais da Fı́sica, Biologia
e Economia encontram sua espressão natural nestas equações. Por outro lado, inúmeras
questões na própria matemática (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no
Cálculo de Variações) são formuladas por equações diferenciais ordinárias ou se reduzem
a elas.
O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e
Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII
para resolver problemas motivados por considerações fı́sicas e geométricas. Esses métodos,
na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações diferenciais como
um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa
disciplina independente.
Neste estágio, a procura e análise de soluções tornou-se uma ﬁnalidade própria.
Também nesta época ﬁcaram conhecidos os métodos elementares de resolução (integração)
de vários tipos especiais de equações diferenciais, tais como as de variáveis separáveis
(x′ = f (x) g (t)), as lineares (x′ = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x′ = p (t) x + q (t) xn ),
as de Clairaut (f (x′ ) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a0 (t) + a1 (t) x + a2 (t) x2 ).
A natureza daquilo que era considerado solução foi mudando gradualmente, num processo que acompanhou e, às vezes, propiciou o desenvolvimento do próprio conceito de
função. Inicialmente buscavam-se soluções expressas em termos de funções elementares,
isto é, polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais. Posteriormente passou-se
2
1.1. Noções elementares
a considerar satisfatório expressar a solução na forma de uma integral (quadratura) contendo operações elementares envolvendo estas funções, ainda que a mesma não admitisse
uma expressão em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os
problemas focalizados, surgiram as soluções expressas por meio de séries inﬁnitas (ainda
sem a preocupação com a análise da convergência das mesmas).
Em ﬁns do século XVIII a Teoria das Equações Diferenciais se transformou numa
das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para a pesquisa
cientı́ﬁca. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente
o conhecimento dentro do Cálculo das Variações, Mecânica Celeste, Teoria das Oscilações,
Elasticidade, Dinâmica de Fluidos, etc. Nesta época iniciou-se também a descoberta das
relações das equações diferenciais com as funções de variável complexa, séries de potências
e trigonométricas e funções especiais (conhecidas posteriormente como de Bessel, etc.). O
grau que o conhecimento matemático atingiu nesta primeira fase ﬁcou registrado na obra
de Euler ”Institutiones Calculi Integralis”em quatro volumes, o último deles publicado
em 1794.
No século XIX os fundamentos da Análise Matemática experimentaram uma revisão
e reformulação gerais visando maior rigor e exatidão. Assim, os conceitos de limite, derivada, convergência de séries numéricas e séries de funções e outros processos inﬁnitos
foram deﬁnidos em termos aritméticos. A integral, que no século anterior era concebida
como primitiva, foi deﬁnida como limite de uma sequência de somas. Este movimento
de fundamentação não deixou de atingir as equações diferenciais. Enquanto no século
anterior procurava-se uma solução geral para uma dada equação diferencial, passou-se a
considerar como questão prévia em cada problema a existência e unicidade de soluções
satisfazendo dados iniciais (este é o problema de Cauchy). Tomava-se então uma classe
ampla de equações diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existência e
unicidade das soluções estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas soluções a
partir de caracterı́sticas das funções que deﬁniam a equação diferencial. Por outro lado, o
método de separação de variáveis aplicado a certas equações diferenciais parciais conduziu
a equações ordinárias que não admitem soluções em termos de funções elementares conhecidadas, como é o caso das equações de Sturm-Liouville e das equações de Fuchs (lineares
com coeﬁcientes analı́ticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primeiras fornecem um exemplo caracterı́stico de um problema linear de contorno, enquanto que
as equações Fuchsianas sistematizam vários tipos de equações especiais surgidas original-
1.1. Noções elementares
3
mente no século XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas também por Gauss
e Riemann. Incluem equações de relevância da Fı́sica-Matemática, como as de Bessel, de
Legendre e de Gauss (ou hipergeométrica).
Um marco de referência fundamental na evolução das equações diferenciais é o trabalho
de Poincaré ”Mémoire sur les courbes déﬁnies par une équation diﬀerentielle”(1881) no
qual são lançadas as bases da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Esta teoria
visa a descrição da conﬁguração global das soluções e o efeito de pequenas perturbações
das condições iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande
importância na tecnologia contemporânea, teve sua origem em questões de Mecânica
Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma
pequena perturbação na posição e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma órbita
que se afasta ou converge para a órbita original. O problema geral da estabilidade foi
simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincaré, é considerado
fundador da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais.
Outro aspecto da Teoria Qualitativa, também estudado por Poincaré, visa descrever
o comportamento assintótico das soluções e a estrutura de seus conjuntos limites. O
comportamento assintótico de uma solução se obtem quando se faz a variável independente
(tempo) tender para inﬁnito. O conjunto limite pode ser um ponto de equilı́brio, uma
solução periódica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincaré-Bendixson,
responde a este tipo de questões no plano e em superfı́cies bidimensionais, respectivamente.
O estudo de oscilações não lineares de fenômenos elétricos realizado no primeiro quarto
do século passado conduziu a equações especiais de segunda ordem tais como as de Van
der Pol e Lienard.
A introdução do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937)
e os trabalhos de Peixoto (1958-62) relativos à caracterização, abertura e densidade das
equações diferenciais estruturalmente estáveis em superfı́cies constituem um marco fundamental para o desenvolvimento contemporâneo das equações diferenciais. Trata-se de
determinar as condições necessárias e suﬁcientes para que o retrato de fase de uma equação
diferencial não experimente mudanças qualitativas bruscas por pequenas perturbações das
funções que as deﬁnem.
Ao estudar um fenômeno variável, expresso por uma função y = f (x), é comum
acharmos uma lei que o governe dada por uma relação entre a variável independente, a
função e suas derivadas ou diferenciais.
4
1.3. Nomenclatura usual para classificar ED
(
)
Definição 1.1 Chama-se equação diferencial a uma equação F x, y, y ′ , y”, ..., y (n) = 0
que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y e suas
derivadas y ′ , y”, . . . , y (n) , se y = f (x) é a função de uma só variável independente x a
equação diferencial diz-se ordinária.
Um exemplo simples é dado por uma relação do tipo
dy
dx
− 1 = 0. Procura-se então
uma função y = f (x) que satisfaça a equação, e que no caso é fácil ver que se trata de
f (x) = x, ou também f (x) = x + c, onde c é uma constante qualquer. Vê-se então que
a equação dada deﬁne uma famı́lia de curvas no plano, que são retas todas paralelas, de
declividade 1.
1.2
Notação
Usam-se freqüentemente os sı́mbolos y ′ , y ′′ , y ′′′ , y (4) , ..., y (n) para representar as derivadas
de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., enésima de y em relação
à variável independente x. Assim, y” representa
representa
d2 y
dp2
d2 y
dx2
se a variável independente é x, mas
se a variável independente é p. Se a variável independente é o tempo,
··
usualmente denotada por t, é comum substituı́rem-se as linhas por pontos. Assim, ẏ, y e
···
y representam
dy d2 y
,
dt dt2
e
d3 y
,
dt3
respectivamente.
Observe-se o uso dos parênteses em y (n) para distinguir da potência y n .
1.3
Nomenclatura usual para classificar ED
Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdade que relaciona a variável
independente à n-ésima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior)
da variável dependente. Assim como há equações algébricas de vários graus, também há
equações diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de
derivada que comparece na equação. Por exemplo, a equação dada acima é de 1a ordem,
enquanto a equação y” + y = 0 é de 2a ordem. Neste exemplo, vê-se que y = sin x é uma
solução, pois y ′ = cos x e y ′′ = − sin x, e portanto y ′′ + y = 0. Aqui outras soluções são
y = c sin x, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x + c não é solução.
Chama-se grau da equação diferencial o expoente mais elevado com que comparece a
derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas são de
1o grau, enquanto a equação yy ′′2 − y ′3 =
yy ′
1+x
é de 2o grau e de 2a ordem.
1.3. Nomenclatura usual para classificar ED
5
Uma equação diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como
por exemplo
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0.
Como outro exemplo consideremos a equação
∂z
∂x
= 2x.
Analisemos as seguintes equações diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada
uma:
Exemplo 1
dy
dx
= 5x + 3
2
d y
Exemplo 2 ey dx
2 + 2
( dy )2
=1
dx
3
2
d y
d y
Exemplo 3 4 dx
3 + (sin x) dx2 + 5xy = 0
(
Exemplo 4
Exemplo 5
d4 y
dx4
∂2y
∂t2
)3
(
+ 3y
d2 y
dx2
)7
+ y3
( dy )2
dx
= 5x
2
∂ y
− 4 ∂x
2 = 0
Observação 1 Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função
incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depende
de mais de uma variável independente, temos uma equação diferencial parcial (E.D.P.),
ou equação de derivadas parciais.
Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se
possı́vel), (c) função incógnita (FI), (d) variável independente (VI).
Exercı́cio 1.1 y ′′′ − 5xy ′ = ex + 1
√
Exercı́cio 1.2 ty ′′ + t2 y ′ − (sin t) y = t2 − t + 1
2
d t
dt
Exercı́cio 1.3 s2 ds
2 + st ds = s
(
Exercı́cio 1.4 5
d4 b
dp4
)5
( )10
+7
db
dp
+ b3 − b5 = p
Exercı́cio 1.5 (y ′′ )2 − 3yy ′ + xy = 0
Exercı́cio 1.6
dn x
dy n
= y2 + 1
6
1.5. Soluções
1.4
Equações diferenciais lineares
Uma E.D.O. de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se
tem a forma
bn (x)
dn y
dn−1 y
dy
+
b
(x)
+ · · · + b1 (x) + b0 (x)y = g(x)
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
(1.1)
As funções bj (x)(j = 0, 1, 2, ..., n)e g(x) supõem-se conhecidas e dependem apenas da
variável independente x. As combinações atitivas podem ter multiplicadores (coeﬁcientes)
que dependem de x; nenhuma restrição é feita sobre a natureza dessa dependência em x.
As equações diferenciais que não podem ser postas sob a forma da equação (1.1) dizem-se
não-lineares.
Ou seja, uma equação diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo
a variável dependente e suas derivadas até ordem n são de 1o grau com relação a esta
variável. Por exemplo, y ′′ + xy ′ + y = sin x é linear de 2a ordem, enquanto y ′′ + yy ′ + y =
sin x é não linear, devido ao termo yy ′ .
1.5
Soluções
Introdução
O estudo de equações diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equação
diferencial que descreve uma situação fı́sica especı́ﬁca e, achar a solução apropriada dessa
equação.
Em álgebra tipicamente procuramos números desconhecidos que satisfazem uma
equação como x3 + 7x2 − 11x + 41 = 0. No caso de uma equação diferencial, por outro lado, somos desaﬁados a encontrar funções desconhecidas y = f (x) para as quais
uma identidade como y ′ (x) = 2xy(x) - isto é, a equação diferencial
dy
dx
= 2xy - vale em
algum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se possı́vel, todas as soluções
da equação diferencial.
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, no intervalo I, é uma função y(x) que veriﬁca identicamente a equação para todo
x em I.
Exemplo 6 Determine se y = x2 − 1 é uma solução de (y ′ )4 + y 2 = −1.
1.5. Soluções
7
Exemplo 7 Mostre que, para qualquer escolha das constantes c1 e c2 , a função ϕ(x) =
c1 e−x + c2 e2x é uma solução explicita para a equação linear y ′′ − y ′ − 2y = 0.
Exemplo 8 Demonstrar que a função dada sob a forma paramétrica y (x)

 x = a sin t
2
é a solução da equação diferencial y ′ = − ab 2xy .
 y = b cos t
2
Exemplo 9 Demonstrar que a função implı́cita (1 + y 3 )
x(1+y 3 )
equação diferencial y ′ = y2 (1+x2 ) .
=
3
= (1 + x2 ) é solução da
Exemplo 10 Mostre que x = y + exy = 0 é uma solução implicita para a equação não
dy
linear (1 + xexy dx
+ 1 + yexy = 0.
Exemplo 11 Determinar a equação diferencial da famı́lia de curvas c1 x + (y − c2 )2 = 0.
1.5.1
Solução particular e solução geral
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. A
solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções.
A solução geral da equação diferencial y” + 4y = 0 é y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x. Isto
é, toda solução particular da referida equação tem esta forma geral. Algumas soluções
particulares são:
(a) y = 5 sin 2x − 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 = −3)
(b) y = sin 2x (com c1 = 1 e c2 = 0), e
(c) y ≡ 0 (com c1 = c2 = 0).
A solução geral de uma equação diferencial nem sempre pode ser expressa mediante
uma fórmula única. Como exemplo, consideremos a equação diferencial y ′ + y 2 = 0, que
admite duas soluções y = 1/x e y ≡ 0.
1.5.2
Problemas de valor inicial e valores no contorno
Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente com
condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas - tudo dado para
um mesmo valor da variável independente. As condições subsidiárias são condições iniciais se as condições subsidiárias se referem a mais de um valor da variável independente,
8
1.5. Soluções
o problema é um problema de valores de contorno, e as condições dizem-se condições de
contorno.
Uma solução de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, é uma função
y(x) que satisfaz não só a equação diferencial dada, mas também todas as condições
subsidiárias.
Exemplo 12 Determine se y(x) = 2e−x + xe−x é solução de y ′′ + 2y ′ + y = 0.
Exemplo 13 y(x) ≡ 1 é solução de y ′′ + 2y ′ + y = x?
Exemplo 14 Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x + 1 satisfaça
√
y(π/8) = 0 e y ′ (π/8) = 2 .
Nos problemas, determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin x + c2 cos x satisfaça as
condições dadas. Determine se tais condições são iniciais ou de contorno.
Exercı́cio 1.7 y(0) = 1,
y ′ (0) = 2
sol. c1 = 2 e c2 = 1
Exercı́cio 1.8 y(0) = 1,
y ′ (π) = 1
sol. c1 = −1 e c2 = 1
Exercı́cio 1.9 y(π/2) = 1,
y ′ (π/2) = 2
sol. c1 = 1 e c2 = −2
Nos problemas a seguir, determine c1 e c2 de modo que as funções dadas satisfaçam
as condições inicias prescritas.
Exercı́cio 1.10 y(x) = c1 ex + c2 e−x + 4 sin x;
y(0) = 1, y ′ (0) = −1
sol. c1 = −2 e
c2 = 3
Exercı́cio 1.11 y(x) = c1 ex + c2 e2x + 3e3x ;
y(0) = 0, y ′ (0) = 0 sol. c1 = 3 e c2 = −6
Exercı́cio 1.12 y(x) = c1 sin x + c2 cos x + 1;
y(π) = 0, y ′ (π) = 0
sol.
c1 = 0 e
c2 = 1
Exercı́cio 1.13 y(x) = c1 ex + c2 xex + x2 ex ;
c2 = −2 −
y(1) = 1, y ′ (1) = −1
sol. c1 = 1 +
3
e
e
2
e
Exercı́cio 1.14 Demonstrar que a função y = e−5x +c é a solução da equação diferencial
y ′′ + 5y ′ = 0.
1.5. Soluções
9
Exercı́cio 1.15 Mostrar que a função implı́cita y(x), x2 + 4xy − y 2 = 1 é a solução da
equação diferencial (x + 2y) dx + (2x − y) dy = 0.
Exercı́cio 1.16 Verificar se as funções: a) y = −e−x ; b) y = xe−x e y = 5e−3x , são
as soluções da equação diferencial y ′′ − 2y ′ − 3y = 0. sol. a) sim, b) não, c) sim
Exercı́cio 1.17 Determinar as equações diferenciais das famı́lias de curvas: a) y = ecx
e b) y = cx3 . sol. a) xy ′ − y ln y = 0. b) xy ′ − 3y = 0.
Exercı́cio 1.18 Determinar a equação diferencial
y = (c1 + c2 x) ex + c2 .
sol.
(ex − 1) y ′′ + (1 − 2ex ) y ′ + ex y = 0.
Exercı́cio 1.19 Determinar a equação diferencial y = c1 e2x +c2 e3x . sol.
0.
y ′′ −5y ′ +6y =
10
1.5. Soluções
Capı́tulo 2
EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM
A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é M (x, y)dx + N (x, y)dy =
0, onde M (x, y)dx e N (x, y)dy são as funções de x e y.
A solução geral da equação diferencial de primeira ordem chama-se a função y =
φ(x, c), que é a solução desta equação para todos os valores da constante arbitrária. A
solução obtida da solução geral y = φ(x, c) para um valor determinado da constante
arbitrária, chama-se solução particular. O gráﬁco da solução particular da equação diferencial chama-se curva integral da equação diferencial. E a interpretação geométrica da
solução geral y = φ(x, c) é a famı́lia das curvas integrais.
2.1
Equações com variáveis separáveis
Muitas equações diferenciais de primeira ordem, Linear ou não, podem ser reduzidas por
manipulações algébricas à forma:
h(y)y ′ = g(x)
→ y′ =
h(y)dy = g(x)dx
dy
dx
(2.1)
(2.2)
A equação (2.2) é chamada equação de variáveis separáveis, ou equação separável,
porque as variáveis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece
unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando
12
2.1. Equações com variáveis separáveis
ambos os membros de (2.2), obtemos:
Exemplo 15 Seja as equações:
dy
dx
∫
h(y)dy =
= y 2 xe3x+4y e
∫
g(x)dx + c
dy
dx
= y + sin x.
Exemplo 16 Seja, y ′ = −2xy, resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 17 Seja, y ′ = 1 + y 2 , resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 18 Seja,
dy
dx
= y 2 − 4, resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 19 Resolver o problema de valor inicial y ′ =
3x2 +4x+2
,
2(y−1)
y(0) = −1.
Resolver pelo método das equações separáveis:
Exercı́cio 2.1 y ′ =
x2
y
Exercı́cio 2.2 y ′ =
x2
y(1+x3 )
sol. y = ±
√
2 3
x
3
+c
√
sol. y = ±
2
3
ln |1 + x3 | + c
Exercı́cio 2.3 y ′ + y 2 sin x = 0 sol. y = c −
1
cos x
(
Exercı́cio 2.4 y ′ = 1 + x + y 2 + xy 2 sol. y = tan x +
Exercı́cio 2.5 y ′ = (cos2 x).(cos2 2y) sol. y = 12 arctan
x2
2
)
+c
(1
sin 2x + x + c
2
)
Exercı́cio 2.6 xy ′ = (1 − y 2 )1/2 sol. y = sin (ln |x| + c)
Exercı́cio 2.7
dy
dx
=
x−e−x
y+ey
sol. y = ±
√
x2 + 2 (−ey + e−x ) + c
Determine a solução do problema de valor inicial dado, em forma explı́cita.
Exercı́cio 2.8 xdx + ye−x dy = 0, y(0) = 1 sol. y 2 = 2ex (1 − x) + c → c = −1 → y =
1
[2ex (1 − x) − 1] 2
Exercı́cio 2.9 y ′ =
2x
,
(y+x2 y)
y(0) = −2
sol.
y2
2
= ln |1 + x2 | + c → c = 2 → y =
1
[2 (ln |1 + x2 | + 2)] 2
Exercı́cio 2.10 y ′ = xy 3 (1 + x2 )−1/2 ,
√
]− 1
[
c = − 32 → y = 3 − 2 1 + x2 2
Exercı́cio 2.11 y ′ =
√
− 12 + 12 4x2 − 15
2x
,
1+2y
y(2) = 0
1
y(0) = 1
sol.
sol.
− 2y12 = (1 + x2 ) 2 + c →
y + y 2 = x2 + c → c = −4 → y =
2.2. Equações Homogêneas
2.2
13
Equações Homogêneas
Iniciemos com a deﬁnição de equações homogêneas
Definição 2.1 Se o lado direito da equação
dy
= f (x, y)
dx
(2.3)
puder ser expresso como uma função da razão y/x somente, então dizemos que a
equação é homogênea.
Um teste para a homogeneidade da Equação (2.3) é dada pela seguinte deﬁnição:
Definição 2.2 Se uma função f satisfaz f (tx, ty) = tn f (x, y) para algum número real
n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 20 f (x, y) = x2 − 3xy + 5y 2
Exemplo 21 f (x, y) =
√
3
x2 + y 2
Exemplo 22 f (x, y) = x3 + y 3 + 1
Exemplo 23 f (x, y) =
x
2y
+4
Se f (x, y) for uma função homogênea de grau n, podemos escrever
y)
e f (x, y) = y n f
f (x, y) = x f 1,
x
n
(
(
)
x
,1
y
(2.4)
em que f (1, xy ) e f ( xy , 1) são ambas homogêneas de grau zero.
Definição 2.3 Uma equação diferencial da forma
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(2.5)
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas de
mesmo grau.
14
2.3. Equações Exatas
Em outras palavras, M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 é homogênea
se M (tx, ty) =
tn M (x, y) e N (tx, ty) = tn N (x, y).
Método de Solução
Uma equação diferencial homogênea M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 pode ser resolvida
por meio de uma substituição algébrica. Especiﬁcamente, a substituição y = ux ou
x = vy, em que u e v são as novas variáveis independentes, transformará a equação em
uma equação diferencial de primeira ordem separável. Seja y = ux; então, sua diferencial
dy = udx + xdu. Substituindo em (2.5), temos M (x, ux)dx + N (x, ux)[udx + xdu] = 0.
Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.4), podemos escrever
xn M (1, u)dx + xn N (1, u)[udx + xdu] = 0
ou
[M (1, u) + uN (1, u)]dx + xN (1, u)du = 0,
assim
dx
x
+
N (1,u)du
M (1,u)+uN (1,u)
= 0.
Exemplo 24 Resolva (x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0
dy
Exemplo 25 Resolva o problema de valor inicial x dx
= y + xey/x ,
y(1) = 1.
Resolva as equações :
Exercı́cio 2.12 2x3 ydx + (x4 + y 4 )dy = 0
Exercı́cio 2.13 (y 2 + xy)dx + x2 dy = 0
Exercı́cio 2.14 (x2 + 2y 2 )dx = xydy para y(−1) = 1
dy
Exercı́cio 2.15 2x2 dx
= 3xy + y 2 para y(1) = −2
2.3
Equações Exatas
Definição 2.4 Uma expressão diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy é uma diferencial
exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função
f (x, y). Uma equação diferencial da forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
é chamada de
uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Exemplo 26 A equação x2 y 3 dx+x3 y 2 dy = 0 é exata, pois d
(1
O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.
3
)
x3 y 3 = x2 y 3 dx+x3 y 2 dy.
2.3. Equações Exatas
15
Teorema 2.1 Sejam M (x, y)dx e N (x, y)dy funções contı́nuas com derivadas parciais
contı́nuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma
condição necessária e suficiente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy
seja uma diferencial
exata é
∂N
∂M
=
.
∂y
∂x
(2.6)
Método de solução
Dada a equação (2.5) mostre primeiro que
Depois suponha que
∂f
∂x
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
= M (x, y) daı́ podemos encontrar f integrando M (x, y) com
relação a x, considerando y constante. Escrevemos,
∫
f (x, y) =
M (x, y)dx + g(y),
(2.7)
em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (2.7) com
relação a y e supondo ∂f /∂y = N (x, y):
∫
∂f
∂
= ∂y
M (x, y)dx + g ′ (y) = N (x, y).
∂y
Assim,
∂
g (y) = N (x, y) −
∂y
′
∫
M (x, y)dx.
(2.8)
Finalmente, integre (2.8) com relação a y e substitua o resultado em (2.7). A solução
é f (x, y) = c.
Exemplo 27 Resolva 2xydx + (x2 − 1)dy = 0.
Exemplo 28 Resolva (e2y − y cos xy)dx + (2xe2y − x cos xy + 2y)dy = 0.
Exemplo 29 Resolva o problema de valor inicial (cos x sin x − xy 2 ) dx+y(1−x2 )dy = 0,
y(0) = 2.
Veriﬁque se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Exercı́cio 2.16 (5x + 4y) dx + (4x − 8y 3 ) dy = 0 sol.
5 2
x
2
+ 4xy − 2y 4 = c
Exercı́cio 2.17 (2y 2 x − 3) dx + (2yx2 + 4) dy = 0 sol. x2 y 2 − 3x + 4y = c
Exercı́cio 2.18 (y 3 − y 2 sin x − x) dx + (3xy 2 + 2y cos x) dy = 0 sol. xy 3 + y 2 cos x −
1 2
x
2
=c
16
(
Exercı́cio 2.19 (y ln y − e−xy ) dx +
1
y
2.4. Fator integrante
)
+ x ln y dy = 0 sol. não exata.
dy
Exercı́cio 2.20 x dx
= 2xex − y + 6x2 sol. xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição incial indicada.
Exercı́cio 2.21 (x + y)2 dx+(2xy + x2 − 1) dy = 0,
y (1) = 1 sol.
1 3
x +x2 y+xy 2 −y
3
=
4
3
Exercı́cio 2.22 (y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sin x − x3 + ln y) dy = 0,
y (0) = e sol.
y 2 sin x − x3 y − x2 + y ln |y| − y = 0
2.4
Fator integrante
Em geral, a equação diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(2.9)
não é exata, mas a equação
µ(x, y)M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,
que resulta da multiplicação da Equação (2.9) pela função µ(x, y), for exata, então µ(x, y)
é chamado de fator integrante da Equação (2.9).
Exemplo 30 A equação ydx − xdy = 0 não é exata, pois
∂M
∂y
=1e
∂N
∂x
= −1.
Definição 2.5
Uma função I(x, y) é um fator integrante de (2.9) se a equação
I(x, y)[M (x, y)dx + N (x, y)dy] = 0
(2.10)
é exata.
Considerando a equação
dy
+ p(x)y = g(x)
dx
(2.11)
e o fator integrante como
∫
µ(x) = e
p(x)dx
,
(2.12)
2.4. Fator integrante
17
a solução é dada por
∫
y=
µ(x)g(x)dx + c
.
µ(x)
(2.13)
Passos para resolução
1. Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.11);
2. Identifique P (x) e encontre o fator de integração equação (2.12);
3. Multiplique a equação obtida em (2.11) pelo fator integrante;
4. O lado esquerdo da equação em (3) é a derivada do produto do fator de integração e a
variável dependente y ;
5. Integre ambos os lados da equação encontrada em (4).
Exemplo 31 y ′ = 2xy − x
Exemplo 32 y ′ + 3y = x + e−2x
Exemplo 33 Determine a solução do problema de valor inicial y ′ −y = 2xe2x e y(0) = 1.
Resolver pelo método do fator integrante:
′
Exercı́cio 2.23 y − 2y = x e
2 2x
2x
y=e
sol.
Exercı́cio 2.24 y ′ + y = xe−x + 1 sol.
Exercı́cio 2.25 y ′ +
(1)
x
Exercı́cio 2.27 xy ′ + 2y = sin x sol.
2
)
+c
y=
(
3
2
( x2
2
+c
sin 2x +
)
1
2x
)
cos 2x +
c
x
y = ex (2x + c)
sol.
Exercı́cio 2.28 y ′ + 2xy = 2xe−x
x3
3
y = 1 + e−x
y = 3 cos 2x sol.
Exercı́cio 2.26 y ′ − y = 2.ex
(
sol.
y=
1
x
(1
sin x − cos x +
x
)
y = e−x (x2 + c)
2
−2
Exercı́cio 2.29 (1 + x2 )y ′ + 4xy = (1 + x2 )−2 sol.
Exercı́cio 2.30 xy ′ + (x + 1)y = x sol.
c
x
y =1+
y = (arctan x + c) (1 + x2 )
1
x
(
c
ex
−1
)
Determine a solução do problema de valor inicial:
Exercı́cio 2.31 y ′ + 2y = xe−2x ,
2
y(1) = 0 sol.
Exercı́cio 2.32 xy ′ + 2y = x2 − x + 1,
Exercı́cio 2.33 xy ′ + 2y = sin x,
Exercı́cio 2.34 x3 y ′ + 4x2 y = e−x ,
y(1) =
y=
1
2
y( π2 ) = 1 sol.
e−x
2
(x2 − 1)
2
1
y > 0 sol. y = x4 − x3 + 21 + 12x
2
(
)
2
y = x−2 −x cos x + sin x + π4 − 1
y(−1) = 0 sol.
y = − xx+1
4 ex
18
2.6. Equação de Ricatti
2.5
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli
dy
+ P (x)y = Q(x)y n ,
dx
n ̸= 1
(2.14)
pode ser reduzida para uma equação linear e ter sua solução, através dos métodos descritos
anteriormente.
Teorema 2.2 A equação diferencial de Bernoulli não-linear
dy
+P (x)y
dx
= Q(x)y n , sendo
n ̸= 0 ou 1, pode ser transformada numa equação diferencial linear através da mudança
de variáveis z = y 1−n que resulta numa equação diferencial linear em z.
dy
Exemplo 34 Resolver a equação (1 + x2 ) dx
+ xy = x3 y 3 .
Exemplo 35 Resolver a equação
dy
dx
√
= x4 y + x y.
Resolva a equação diferencial de Bernoulli.
2
Exercı́cio 2.35
dy
dx
−
y
x
= − yx
sol. y =
Exercı́cio 2.36
dy
dx
+
y
x
= xy 2
sol. y =
x
x+c
1
cx−x2
dy
Exercı́cio 2.37 3 (1 + x2 ) dx
= 2xy (y 3 − 1)
sol. y = √
3
dy
Exercı́cio 2.38 x2 dx
− 2xy = 3y 4 para y(1) =
2.6
1
2
1
1+c(1+x2 )
sol. y =
1
1
(− 95 x−1 + 495 x−6 ) 3
Equação de Ricatti
A equação diferencial não-linear
dy
= P (x) + Q(x)y + R(x)y 2
dx
(2.15)
é chamada de equação de Ricatti. Se y1 é uma solução particular para (2.15), então as
substituições
y = y1 + u e
dy
dy1 du
=
+
dx
dx
dx
em (2.15) produzem a seguinte equação diferencial para u:
du
− (Q + 2y1 R)u = Ru2 .
dx
(2.16)
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
19
Como (2.16) é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida
à equação linear
dz
+ (Q + 2y1 R)z = −R
dx
(2.17)
através da substituição z = u−1 .
Exemplo 36 Resolva
dy
dx
= 2 − 2xy + xy 2 para y = 2x.
Resolva a equação de Ricatti dada; y1 é uma solução conhecida para a equação.
Exercı́cio 2.39
dy
dx
= −2 − y + y 2 , y1 = 2
Exercı́cio 2.40
dy
dx
= − x42 − x1 y + y 2 , y1 =
Exercı́cio 2.41
dy
dx
= e2x + (1 + 2ex )y + y 2 , y1 = −ex
Exercı́cio 2.42
dy
dx
= sec2 x − (tan x)y + y 2 , y1 = tan x
2.7
2.7.1
sol.
2
x
sol.
y =2+
y=
1
ce−3x − 13
2
x
sol.
+
1
cx−3 − x4
y = −ex +
1
ce−x −1
Aplicações das ED de Primeira Ordem
Problemas de variação de temperatura
A lei de variação de temperatura de Newton aﬁrma que a taxa de variação de temperatura
de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.
Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa
de variação da temperatura do corpo é
dT
,
dt
e a lei de Newton relativa à variação de
temperatura pode ser formulado como
dT
= −k (T − Tm ) , ou como
dt
dT
+ kT = kTm
dt
(2.18)
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de
Newton, a ﬁm de tornar
dT
dt
negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em
tal processo, T > Tm ; assim T − Tm é positiva.
A equação (2.18) é a diferencial linear. A solução geral dessa equação é:
T = Tm + Ce−kt , onde C é a constante arbitrária.
Se T |t=0 = T0 , então:
C = T0 − Tm .
Assim, a solução tem a forma:
T = Tm + (T0 − Tm ) e−kt .
20
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
Resulta dessa fórmula que para t suﬁcientemente grande a temperatura T depende
pouco de T0 .
2.7.2
Equação do movimento de um corpo
Equação do movimento de um corpo para um meio em que a resistência é
proporcional à velocidade
Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a
lei de variação da velocidade da queda V , se o corpo experimentar uma resistência do ar
proporcional à velocidade (sendo o coeﬁciente de proporcionalidade k), isto é, encontrar
V = f (t).
m dV
= F,
dt
Em virtude da segunda lei de Newton
em que
dV
dt
é a aceleração do
corpo em movimento (a derivada da velocidade em relação ao tempo) e F , a força que
age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta força é constituı́da por duas forças: pela
força de gravidade mg e pela resistência do ar −kV (toma-se o sinal menos porque
esta força é oposta à velocidade). Assim,
m
dV
= mg − kV .
dt
(2.19)
Temos uma equação diferencial sobre a função desconhecida V. (É a equação do movimento de certos tipos de para-quedas). A solução geral da equação diferencial (2.19)
é:
k
t
mg
V = Ce m +
.
k
−
(2.20)
Para encontrar a constante arbitrária C, vamos supor uma condição suplementar: uma
velocidade inicial V0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida;
suporemos que esta velocidade incial é conhecida. Então, a função procurada V = f (t)
deve ser tal que se tenha para t = 0 (no começo do movimento) V = V0 . Substituindo
mg
mg
t = 0, V = V0 na equação (2.20), temos: V0 = C +
,
de onde
C = V0 −
k
k
Assim, a dependência entre V e t é:
k
mg ) − t mg
e m +
.
V = V0 −
k
k
(
Resulta desta fórmula que para t suﬁcientemente grande a velocidade V
(2.21)
depende
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
21
pouco de V0 .
2.7.3
Circuitos em série
A equação básica que rege a quantidade de corrente i em um circuı́to simples do tipo RL
consistindo de uma resistência R, um indutor L e uma força eletromotriz E é:
L
di
+ Ri = E(t),
dt
(2.22)
onde i(0) = i0 .
Esta equação é linear; sua solução
é:


R
R
) R
(
− t
− t
− t
E
E
E
1 − e L  = i0 −
i(t) = i0 e L +
e L + .
R
R
R
(
) R
− t
E
A quantidade
i0 −
e L na solução é chamada corrente transitória, pois tende
R
E
a zero quando t → ∞. A quantidade
é chamada corrente estacionária. Quando
R
t → ∞, a corrente i tende para a corrente estacionária.
Para um circuı́to do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C, uma
força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica
q no capacitor é
R
A relação entre q e i é
i=
dq
1
+ q = E(t).
dt C
dq
.
dt
A solução desta equação diferencial é
(2.23)
1
t
q(t) = q0 (t)e RC + CE.
−
Exemplo 37 Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutâ
1
ncia é de henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial
2
é zero.
Exemplo 38 Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300o F . Três
minutos depois, sua temperatura passa para 200o F . Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado
for de exatamente 70o F ?
22
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
Exercı́cio 2.43 Uma força eletromatriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em
série L − R no qual a indutância é de 0, 5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a
corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t → ∞.
Sol. i =
3
5
(
)
1 − e−100t .
Para t → ∞, temos i = 35 .
Exercı́cio 2.44 Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R − C em
série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10−4 farad. Encontre a carga
q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t).
i=
dq
dt
Sol. q (t) =
1
100
(
)
1 − e−50t e,
temos i (t) = 12 e−50t .
Exercı́cio 2.45 Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de
fora, em que a temperatura é de 5o C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20o C; após
5 minutos, 10o C. Qual a temperatura da sala? Sol. T ∼
= 24, 7411 que é a temperatura da
sala.
Capı́tulo 3
EQUAÇÕES LINEARES DE
SEGUNDA ORDEM
3.1
3.1.1
EDL: Teoria das soluções
Dependência linear
Um conjunto de funções {y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)} é linearmente dependente em a ≤ x ≤
b se existem constantes c1 , c2 , . . . , cn , não todas nulas, tais que
c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) ≡ 0, em
a≤x≤b
(3.1)
Exemplo 39 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} é linearmente dependente em [−5, 1] pois
existem constantes c1 = −5, c2 = 1, c3 = 0 e c4 = 0, não todas nulas, tais que (3.1)
se verifica. Em particular, −5x + 1 · 5x + 0 · 1 + 0 · sin x ≡ 0
Note que c1 = c2 = . . . = cn = 0 é um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1).
Um conjunto de funções é linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes,
não todas nulas, tais que (3.1) se veriﬁca.
3.1.2
Independência linear
Um conjunto de funções {y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)} é linearmente independente em a ≤
x ≤ b se não é linearmente dependente aı́; isto é, se as únicas constantes que satisfazem
(3.1) em a ≤ x ≤ b são c1 = c2 = . . . = cn = 0.
24
3.1. EDL: Teoria das soluções
3.1.3
Soluções linearmente independentes. O Wronskiano
Teorema 3.1 A equação diferencial linear homogênea de ordem n L(y) = 0 sempre tem
n soluções linearmente independentes. Se {y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)} representam essas
soluções, então a solução geral de L(y) = 0 é
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x)
(3.2)
onde c1 , c2 , . . . , cn são constantes arbitrárias.
O teorema (3.1) acima realça a importância de podermos determinar se um conjunto
de soluções de L(y) = 0 é linearmente independente ou não. Em geral, o problema não
pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); não se pode experimentar todos os valores
possı́veis dos c′ s. Existe, entretanto, um outro método para abordar o problema.
Seja {y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)} um conjunto de funções no intervalo I, cada uma das
quais possui n − 1 derivadas. Então o determinante na forma seguinte
y1
y2
y1′
y2′
W (y 1 , . . . , y n ) = ..
..
.
.
(n−1) (n−1)
y1
y2
···
yn
···
...
yn′
..
.
(n−1)
· · · yn
(3.3)
é chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de funções. Se um conjunto
de funções {y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)} é linearmente dependente no intervalo I então
Wronskiano de W (y1 , y2 , . . . , yn ) ≡ 0 neste intervalo.
Exemplo 40 As funções y1 = e−x , y2 = ex , y3 = e2x são soluções da equação y ′′′ − 2y ′′ −
y ′ + 2y = 0.
Mostrar que as funções dadas formam um sistema fundamental das equações diferenciais correspondentes.
Exercı́cio 3.1 ex , e2x , e3x ,
y ′′′ − 6y ′′ + 11y ′ − 6y = 0
Exercı́cio 3.2 e−x , ex , xex , y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0
Exercı́cio 3.3 x1/2 , x−1/2 , 1,
x2 y ′′′ + 3xy ′′ + 34 y ′ = 0
Exercı́cio 3.4 ex , xex , x2 ex , x3 ex ,
Sol. 2e6x ̸= 0
Sol. 4ex ̸= 0
Sol.
1 −3
x
4
y (4) − 4y ′′′ + 6y ′′ − 4y ′ + y = 0
̸= 0
Sol. 12e4x ̸= 0
3.2. A equação caracterı́stica
3.2
25
A equação caracterı́stica
Iniciemos considerando as equações homogêneas, isto é, as equações da forma:
y ′′ + ay ′ + by = 0
(3.4)
onde a e b são constantes.
Suponhamos que a e b são reais e que o intervalo de variação de x é o eixo dos x.
Lembremos que a solução da equação homogênea linear de 1a ordem com coeﬁcientes
constantes y ′ + ky = 0 é uma função exponencial, a saber,
y = ce−kx
(3.5)
de onde temos y = eλx , possa ser uma solução de (3.4) se λ for escolhido adequadamente.
Substituindo (3.5) e suas derivadas
y ′ = λeλx e
y ′′ = λ2 eλx , na equação (3.4). Então
(3.5) será uma solução de (3.4) se λ for uma solução da equação do 2o grau.
λ2 + aλ + b = 0
(3.6)
Esta equação é chamada a equação caracterı́stica (ou equação auxiliar) de (3.4). Suas
raı́zes são: (λ − λ1 )(λ − λ2 ) = 0 ou
λ1 =
)
√
1(
−a + a2 − 4b ,
2
λ2 =
)
√
1(
−a − a2 − 4b ,
2
(3.7)
Em vista da dedução segue-se que as funções
y 1 = e λ1 x
e
y2 = eλ2 x
(3.8)
são soluções de (3.4).
Da álgebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equação caracterı́stica (3.6) pode possuir: duas raı́zes reais distintas; duas raı́zes complexas conjugadas
ou, uma raiz dupla real.
Determinar as soluções das equações:
Exemplo 41 y ′′ + y ′ − 2y = 0
Exemplo 42 y ′′ + y = 0
26
3.3. Solução geral - sistema fundamental
Exemplo 43 y ′′ − 2y ′ + y = 0
Determinar as soluções das equações diferenciais seguintes:
Exercı́cio 3.5 y ′′ − 9y = 0
Exercı́cio 3.6 y ′′ + 2y ′ = 0
Exercı́cio 3.7 y ′′ − 3y ′ + 2y = 0
Exercı́cio 3.8 y ′′ + w2 y = 0
Exercı́cio 3.9 y ′′ + 4y ′ + 5y = 0
Exercı́cio 3.10 y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
Determinar uma equação diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes funções são
soluções.
Exercı́cio 3.11 e−x , e−2x
Exercı́cio 3.12 1, e2x
Exercı́cio 3.13 e3ix , e−3ix
sol.
y ′′ − 2y ′ = 0
sol.
sol.
Exercı́cio 3.14 e(−3+4i)x , e(−3−4i)x
3.3
y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
y ′′ + 9y = 0
sol.
y ′′ + 6y ′ + 25y = 0
Solução geral - sistema fundamental
Uma solução de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou não) é chamada uma solução
geral se ela contém duas constantes arbitrárias independentes (o intervalo de variação
das constantes pode ser restrito em alguns casos a ﬁm de evitar expressões imaginárias
e outras degenerações). Aqui, independência signiﬁca que a mesma solução não pode ser
reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitrária ou nenhuma. Quando
atribuı́mos valores deﬁnidos a estas duas constantes, então a solução obtida é chamada
uma solução particular.
Consideremos a equação linear homogênea
y ′′ + f (x)y ′ + g(x)y = 0
(3.9)
3.3. Solução geral - sistema fundamental
27
e desejamos mostrar que uma solução geral de tal equação pode ser facilmente obtida se
duas soluções adequadas y1 e y2 são conhecidas.
Se y1 (x) e y2 (x) são soluções de (3.9) em um dado intervalo I, então, temos:
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)
(3.10)
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, será uma solução de (3.9) no intervalo I. De vez
que ela encerra duas constantes arbitrárias, ela será uma solução geral de (3.9), desde que
não possa ser reduzida a uma expressão contendo menos que duas constantes arbitrárias.
3.3.1
Solução em termos das raı́zes
A solução de (3.4) se obtém diretamente a partir das raı́zes de (3.7). Há três casos a
considerar.
• caso 1. λ1 e λ2 são ambas reais e distintas.
e λ1 x e e λ2 x
são duas soluções
linearmente independentes. A solução geral é
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) ou y(x) = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x
(3.11)
• caso 2. λ1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b supõem-se reais, as raı́zes
de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz é λ2 = p−iq. Duas
soluções linearmente independentes são e(p+iq)x e e(p−iq)x . O que nos interessa agora
é obter soluções reais a partir destas soluções complexas. Isto será feito aplicando
as relações de Euler.
eiqx = cos qx + i sin qx e e−iqx = cos qx − i sin qx
De onde nós obtemos
y(x) = c1 epx cos qx + c2 epx sin qx
y(x) = epx (c1 cos qx + c2 sin qx)
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias reais.
ou
(3.12)
28
3.3. Solução geral - sistema fundamental
• caso 3. λ1 = λ2 . eλ1 x e xeλ1 x são duas soluções LI; a solução geral é
y(x) = c1 eλ1 x + c2 xeλ1 x
(3.13)
Observação 2 As soluções acima não são válidas se a equação diferencial não é linear
ou se não tem coeficientes constantes.
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exemplo 44 y ′′ + y ′ − 2y = 0 sol.
y(x) = c1 ex + c2 e−2x
Exemplo 45 y ′′ − 2y ′ + 10y = 0 sol. y(x) = ex (c1 cos 3x + c2 sin 3x)
Exemplo 46 y ′′ + 8y ′ + 16y = 0
sol. y(x) = (c1 + c2 x) e−4x
Resolver o problema de valor inicial:
Exemplo 47 y ′′ − 4y ′ + 13y = 0
y(0) = 4, y ′ (0) = 1
Exemplo 48 y ′′ + 4y ′ − 21y = 0
y(0) = 3, y ′ (0) = 0
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exercı́cio 3.15 y ′′ − y ′ − 12y = 0
sol.
y(x) = c1 e4x + c2 e−3x
Exercı́cio 3.16 y ′′ + 4y ′ + 5y = 0
sol. y(x) = e−2x (c1 cos x + c2 sin x)
Exercı́cio 3.17 y ′′ + 0, 2y ′ + 0, 26y = 0
Exercı́cio 3.18 4y ′′ + 17y ′ + 4y = 0
sol.
)
x (
y(x) = e− 10 c1 cos x2 + c2 sin x2
y(x) = c1 e− 4 + c2 e−4x
x
sol.
Exercı́cio 3.19 y ′′ + 5y ′ + 12, 5y = 0
Exercı́cio 3.20 2y ′′ + 2y ′ + y = 0
sol.
sol.
)
5x (
y(x) = e− 2 c1 cos 5x
+ c2 sin 5x
2
2
)
x (
y(x) = e− 2 c1 cos x2 + c2 sin x2
Exercı́cio 3.21 25y ′′ − 20y ′ + 4y = 0
sol.
Exercı́cio 3.22 y ′′ + 0, 25y = 0
y(x) = c1 cos x2 + c2 sin x2
sol.
Exercı́cio 3.23 y ′′ + 2αy ′ + (α2 + 1)y = 0
2
y(x) = (c1 + c2 x) e 5 x
sol.
y(x) = e−αx (c1 cos x + c2 sin x)
3.4. Equações lineares não homogêneas
Exercı́cio 3.24 4y ′′ − 4y ′ − 3y = 0
29
sol.
y(x) = c1 e− 2 + c2 e 2 x
x
3
Resolver o problema de valor inicial proposto.
Exercı́cio 3.25 y ′′ + 2y ′ + 10y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 3
sol.
Exercı́cio 3.26 9y ′′ − 12y ′ + 4y = 0, y(0) = 2, y ′ (0) = −1
y(x) = e−x sin 3x
sol.
(
) 2
y(x) = 2 − 73 x e 3 x
Exercı́cio 3.27 y ′′ − 6y ′ + 9y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 2
sol. y(x) = 2xe3x
Exercı́cio 3.28 9y ′′ + 6y ′ + 82y = 0,
)
x (
e− 3 − cos 3x + 59 sin 3x
y ′ (0) = 2
y(0) = −1,
Exercı́cio 3.29 y ′′ − 3y ′ + 2y = 0, y(0) = −1, y ′ (0) = 0
sol.
y(x) =
sol. y(x) = e2x − ex sin 3x
Exercı́cio 3.30 y ′′ +4y ′ +5y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = −3 sol. y(x) = e−2x (cos x − sin x)
Exercı́cio 3.31 y ′′ +4y ′ +4y = 0, y(−1) = 2, y ′ (−1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e−2(x+1)
3.4
Equações lineares não homogêneas
Temos
y ′′ + f (x)y ′ + g(x)y = r(x)
(3.14)
y ′′ + f (x)y ′ + g(x)y = 0
(3.15)
Teorema 3.2 Uma solução geral y (x) da equação diferencial linear (3.14) é a soma de
uma solução geral yh (x) da equação homogênea correspondente (3.15) e de uma solução
particular arbitrária yp (x) de (3.14).
y(x) = yh (x) + yp (x)
(3.16)
Em cada caso veriﬁcar que yp (x) é uma solução particular da equação diferencial dada
e determinar uma solução geral.
Exemplo 49 y” + y = 2ex
Exemplo 50 y” + y = 2 cos x
yp (x) = ex
yp (x) = x sin x
30
3.4. Equações lineares não homogêneas
Em cada caso veriﬁcar que yp (x) é uma solução particular da equação diferencial dada
e determinar uma solução geral.
Exercı́cio 3.32 y ′′ − y = 2ex ,
yp (x) = xex
Exercı́cio 3.33 y ′′ −3y ′ +2y = 2x2 −6x+2,
Exercı́cio 3.34 y ′′ + 4y = −12 sin 2x,
sol
y (x) = c1 ex + c2 e−x + xex
yp (x) = x2 sol y (x) = c1 e2x +c2 ex +x2
yp (x) = 3x cos 2x
sol
y (x) = c1 cos 2x +
c2 sin 2x + 3x cos 2x
Exercı́cio 3.35 y ′′ + 9y = 18x,
yp (x) = 2x
Exercı́cio 3.36 y ′′ +y = 2 sin x,
yp (x) = −x cos x sol y (x) = (c1 − x) cos x+c2 sin x
3.4.1
sol
y (x) = c1 cos 3x + c2 sin 3x + 2x
Resolução de equações lineares não homogêneas
O método a ser utilizado é dos coeﬁcientes a determinar. Este método é adequado para
equações com coeﬁcientes constantes
y ′′ + ay ′ + by = r(x)
(3.17)
onde r(x) é tal que a forma de uma solução particular yp (x) de (3.17) pode ser prognosticada; por exemplo, r pode ser uma potência única de x, um polinômio, uma função
exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais funções. O método consiste em
imaginar para yp (x) uma expressão semelhante à de r(x), contendo coeﬁcientes incógnitas
que são determinados substituindo yp (x) e suas derivadas em (3.17).
Resolver as equações não homogênea.
Exemplo 51 y ′′ + 4y = 8x2
Exemplo 52 y ′′ − y ′ − 2y = 10 cos x
Termo em r (x)
Escolha para yp (x)
Kxn (n = 0, 1, . . .)
Kn xn +K n−1 xn−1 + . . . + K 1 x + K 0
Kepx
cepx

K cos qx 
K sin qx 
K1 cos qx + K 2 sin qx
3.4. Equações lineares não homogêneas
31
Observação 3 Se r (x) é uma soma de funções da primeira coluna, escolhemos para yp (x) a
soma das funções nas linhas correspondentes.

 sin βx
αx
• Pn (x) = e
 cos βx
• Caso em que a solução homogênea é igual ao valor da função r (x), conforme (3.14)
xs [(A0 xn + A1 xn−1 + ... + An )eα cos βx + (B0 xn + B1 xn−1 + ... + Bn )eα sin βx]
s → é o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2, ...) que assegura não haver nenhum termo
em yi (x) que seja solução homogênea correspondente.
Exemplo 53 y ′′ − 3y ′ + 2y = 4x + e3x
Exemplo 54 y ′′ − y = ex cos x
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
Exercı́cio 3.37 y ′′ + y = x2 + x
y (x) = x2 + x − 2 + c1 cos + c2 sin x
sol
Exercı́cio 3.38 y ′′ + 5y ′ + 6y = 9x4 − x
19 2
x
2
sol
y (x) = c1 e−2x + c2 e−3x + 69 x4 − 5x3 +
− 11x + 6
Exercı́cio 3.39 y ′′ − y ′ − 2y = sin x
sol
y (x) = c1 e2x + c2 e−x +
1
10
Exercı́cio 3.40 y ′′ + y ′ − 6y = 52 cos 2x
sol
Exercı́cio 3.41 y ′′ + y ′ − 2y = 3ex
y (x) = c1 ex + c2 e−2x + xex
Exercı́cio 3.42 y ′′ + y = 2 sin x
sol
sol
sin x
y (x) = c1 e2x + c2 e−3x − 5 cos 2x + sin 2x
sol
y (x) = ex (c1 cos x + c2 sin x + x sin x)
sol c1 cos x + c2 sin x − x2 − x + 2
Exercı́cio 3.45 y ′′ + y = sin x
sol c1 cos x + c2 sin x − 12 x cos x
Exercı́cio 3.46 y ′′ + 4y = e−x
sol c1 cos 2x + c2 sin 2x + 15 e−x
Exercı́cio 3.47 y ′′ − y ′ − 2y = 4 sin x
3
10
y (x) = c1 cos x + c2 sin x − x cos x
Exercı́cio 3.43 y ′′ − 2y ′ + 2y = 2ex cos x
Exercı́cio 3.44 y ′′ + y = −x − x2
cos x −
sol c1 e2x + c2 e−x +
Resolver os seguintes problemas de valor inicial
4
9
cos x − 43 sin x
32
3.4. Equações lineares não homogêneas
Exercı́cio 3.48 y ′′ − 2y ′ + y = 2x2 − 8x + 4; y(0) = 3,
Exercı́cio 3.49 y ′′ − y ′ − 2y = 10 sin x; y(0) = 2,
2 −x
e
3
y ′ (0) = 3 sol y (x) = 3ex + 2x2
y ′ (0) = −3
sol
y (x) = 13 e2x +
+ cos x − 3 sin x
Exercı́cio 3.50 y ′′ −y ′ −2y = 3e2x ; y(0) = 0,
y ′ (0) = −2 sol y (x) = e−x −e2x +xe2x
Exercı́cio 3.51 y ′′ + 2y ′ + 2y = −2 cos 2x − 4 sin 2x; y(0) = 1,
y ′ (0) = 1 sol y (x) =
e−x sin x + cos 2x
Exercı́cio 3.52 y ′′ + 4y ′ + 8y = 4 cos x + 7 sin x; y(0) = 1,
y ′ (0) = −1
sol
y (x) =
e−2x cos 2x + sin x
3.4.2
Método Geral
Para resolver equações diferenciais lineares de 2a ordem com coeﬁcientes constantes nãohomogêneas pelo método dos coeﬁcientes a determinar nos deparamos com uma limitação
que é o tipo da função r(x). Se esta não for um polinômio, uma função trigonométrica ou
uma exponencial necessitamos de um método geral que supere esta deﬁciência.
Há um método geral para resolver tais equações, no qual r(x) pode ser uma das funções
já citadas, bem como ln x, tan, sec x, x1 , etc. Esse método é conhecido como variação de
parâmetros.
Consideremos a equação
y ′′ + f (x)y ′ + g(x)y = r(x)
(3.18)
Supondo que f , g e r são funções contı́nuas sobre um intervalo I.
Sabemos que a equação homogênea corresponde y ′′ + f (x)y ′ + g(x)y = 0 possui uma
solução geral yh (x) sobre I, que apresenta a formaua solução geral será: y = yh + yp .
A solução da equação homogênea correspondente será dada por
yh (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) .
(3.19)
A idéia do método é trocar c1 e c2 em (3.19) por funções u(x) e v (x) de tal maneira
que a substituição resulte em uma solução particular da equação dada (3.18). Assim,
teremos
yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) ,
(3.20)
3.4. Equações lineares não homogêneas
33
seja uma solução particular de (3.18) sobre I. Derivando vem
yp′ = u′ y1 + uy1′ + v ′ y2 + vy2′ .
(3.21)
Suponhamos que u′ y1 +v ′ y2 = 0, pois é uma solução para a homogênea correspondente.
Isso reduz (3.21) a:
yp′ = uy1′ + vy2′ .
(3.22)
yp′′ = u′ y1′ + uy1′′ + v ′ y2′ + vy2′′ .
(3.23)
Derivando novamente, vem:
Substituindo (3.20), (3.22) e (3.23) em (3.18), vem:
u′ y1′ + uy1′′ + v ′ y2′ + vy2′′ + f (x)(uy1′ + vy2′ ) + g(x)(uy1 + vy2 ) = r(x)
u′ y1′ + uy1′′ + v ′ y2′ + vy2′′ + f uy1′ + f vy2′ + guy1 + gvy2 = r(x)
u(y1′′ + f y1′ + gy1 ) + v(y2′′ + f y2′ + gy2 ) + u′ y1′ + v ′ y2′ = r(x)
As expressões entre parênteses na última linha são nulas, pois são soluções da equação
homogênea correspondente a (3.18). Então só resta:
u′ y1′ + v ′ y2′ = r(x).
(3.24)
Anteriormente, foi suposto que u′ y1 + v ′ y2 = 0. Tomemosesta expressão, juntamente
 u′ y + v ′ y = 0
1
2
com (3.24), e formemos um sistema de equações em u′ e v ′ :
 u′ y ′ + v ′ y ′ = r(x)
1
2
Resolvendo
pela
regra
de
Cramer,
teremos:
y1 y2 = W (y , y 2 ) = y y2′ −y ′1 y2
D = 1
1
′
′
y1 y2 0 y2 = −r(x)y
Du′ = 2
′
r(x) y2 y1
0 = r(x)y
Dv′ = 1
′
y1 r(x) Então, u′ =
Du′
W
=
−r(x)y2
W
com y1 e y2 ).
Integrando, vem: u = −
∫
e v′ =
Dv ′
W
r(x)y2
dx
W
=
r(x)y1
.
W
ev=
∫
(Repare que D é o wronskiano formado
r(x)y1
dx.
W
Logo, uma solução particular para (3.18), pode ser escrita: yp = −y1
∫
r(x)y2
dx
W
+
34
y2
3.5. Aplicação fı́sica
∫
r(x)y1
dx.
W
Portanto, a solução geral de (3.18) será: y = c1 y1 + c2 y2 − y1
∫
r(x)y2
dx + y2
W
∫
r(x)y1
dx.
W
Exemplo 55 Resolver a equação y ′′ + y = sec x.
Exemplo 56 Resolver a equação y ′′ − 4y ′ + 4y = (x + 1)e2x .
Exemplo 57 Resolver a equação 4y ′′ + 36y = csc3 x
Encontre a solução geral, usando o método de variação de parâmetros.
Exercı́cio 3.53 y ′′ + y = csc x
sol
y (x) = c1 cos x + c2 sin x − x cos x + sin x ln (sin x)
Exercı́cio 3.54 y ′′ − 4y ′ + 4y =
e2x
x
sol
Exercı́cio 3.55 y ′′ + 2y ′ + y = e−x cos x
Exercı́cio 3.56 y ′′ − 2y ′ + y = x 2 ex
3
Exercı́cio 3.57 y ′′ + 2y ′ + 2y =
e−x
cos3 x
Exercı́cio 3.58 y ′′ + y = tan x
sol
3.5
sol
sol
y (x) = (c1 + c2 x + x ln x − x) e2x
sol
y (x) = (c1 + c2 x − cos x) e−x
(
y (x) = c1 + c2 x +
4 27
x
35
)
ex
(
y (x) = e−x c1 cos x + c2 sin x −
1 cos 2x
2 cos x
)
y (x) = c1 sin x + c2 cos x − cos x log |sec x + tan x|
Aplicação fı́sica
Consideremos um sistema fı́sico cujas pequenas oscilações sejam regidas pela equação
diferencial
ẍ + a1 ẋ + a0 x = f (t)
(3.25)
Aqui, conhecem-se a função f (t) e as constantes a1 e a0 .
Se f (t) ≡ 0 e a1 = 0, o movimento é livre e não-amortecido. Se f (t) é identicamente
nula mas a1 não é zero, o movimento é livre e amortecido. Para o movimento amortecido,
há três casos separados e considerar, conforme as raı́zes da equação caracterı́stica associada
sejam (1) reais e distintas, (2) iguais, ou (3) complexas conjugadas. Esses três casos se
classiﬁcam, respectivamente, como (1) superamortecido, (2) criticamente amortecido, e
(3) oscilatório amortecido (ou, em problemas de eletricidade, subamortecido). Se f (t)
não é identicamente nula, o movimento se diz forçado.
Um movimento ou corrente se diz transitório se se desvanece (isto é, tende a zero)
quando t → ∞. Um movimento (ou corrente) estacionário é um movimento que não
3.5. Aplicação fı́sica
35
é transitório nem se torna ilimitado. Sistemas livres amortecidos sempre originam movimentos transitórios, enquanto sistemas forçados amortecidos (admitindo senoidal a força
exterior) originam ambos os movimentos - transitório e estacionário.
Movimento de uma mola vibrante
ẍ +
a
k
F (t)
ẋ + x =
m
m
m
onde m → massa; k → constante e a → resistência do ar.
Carga do capacitor
L
d2 q
dq
1
+ R + q = E(t).
2
dt
dt C
As condições iniciais para q são q (0) = q0 e
dq
|
dt t=0
= I (0) = I0 .
Corrente
L
d2 I
dI
1
dE(t)
+R + I =
.
2
dt
dt C
dt
A primeira condição inicial é I (0) = I. A segunda condição inicial é obtida de
1
E
L
(0) − R
I −
L 0
dI
|
dt t=0
=
1
q.
LC 0
Exemplo 58 Uma massa de 10 kg se acha suspensa de uma mola cuja constante é
140N/m . Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilı́brio, com uma
velocidade inicial de 1m/s no sentido ”para cima ”e com uma força externa aplicada
F (t) = 5 sin t. Determine o movimento subseqüente da massa se a resistência do ar é
dada por 90N .
Exemplo 59 Um peso de 128 lb acha-se suspenso de uma mola, cuja constante é 64 lb/pė.
Põe-se o peso em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o de 6 polegadas ”para
cima ”de sua posição de equilı́brio e simultaneamente aplicando-lhe uma força externa
F (t) = 8 sin 4t. Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subseqüente do
peso.
Exemplo 60 Um circuı́to RCL tem R = 180 ohms, C =
1
280
farad, L = 20 henries,
e uma voltagem aplicada de E(t) = 10 sin t. Admitindo que não haja carga inicial no
capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampére em t = 0 quando se aplica inicialmente
a voltagem, determine a carga subseqüente no capacitor.
Exercı́cio 3.59 Um circuı́to RCL tem R = 10 ohms, C = 10−2 farad, L =
1
2
henries, e
uma voltagem aplicada de E(t) = 12 volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem
36
3.5. Aplicação fı́sica
carga inicial quando t = 0, ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a corrente
subseqüente no sistema.
Exercı́cio 3.60 Uma massa de
1
4
slug se acha suspensa de uma mola, distendendo-a de
6 polegadas além de seu comprimento natural. Põe-se então a massa em movimento,
a partir da posição de equilı́brio, com uma velocidade inicial de 4 pés/s ”para cima ”.
Determine o movimento subseqüente da massa, se a resistência do ar é dada por 2ẋ lb.
Exercı́cio 3.61 Um circuı́to RCL, com R = 6 ohms, C = 0, 02 farad, L = 0, 1 henries,
tem uma voltagem aplicada de E(t) = 6 volts. Supondo que não haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga
subseqüente no capacitor e a corrente no circuı́to.
Capı́tulo 4
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES DE ORDEM n
4.1
Equações de ordem superior
Em geral, para resolver uma equação diferencial de ordem n
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0,
(4.1)
onde os ai , i = 0, 1, . . . , n são constantes reais, precisamos resolver uma equação polinomial
de grau n
an m(n) + an−1 m(n−1) + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0.
(4.2)
Se todas as raı́zes de (4.2) forem reais e distintas, então a solução geral de (4.1) será
y = c1 em1 x + c2 em2 x + · · · + cn emn x .
É um pouco mais difı́cil resumir os análogos dos casos em que as raı́zes são reais
repetidas e as complexas conjugadas, pois as raı́zes de uma equação auxiliar de grau
superior a 2 podem ocorrer de várias formas. Por exemplo, uma equação de quinto grau
pode ter cinco raı́zes distintas, três raı́zes distintas e duas raı́zes complexas, uma raiz
real e quatro raı́zes complexas, cinco raı́zes reais iguais ou cinco raı́zes reais, mas duas
das quais iguais, e assim por diante. Quando m1 é uma raı́z de multiplicidade k de uma
equação auxiliar de grau n (isto é, k raı́zes são iguais a m1 ), podemos mostrar que as
38
4.1. Equações de ordem superior
soluções linearmente independentes são
em1 x , xem1 x , x2 em1 x , . . . , xk−1 em1 x
e a solução geral deve conter a combinação linear
c1 em1 x + c2 xem1 x + c3 x2 em1 x + · · · + ck xk−1 em1 x .
Finalmente, deve ser lembrado que, se os coeﬁcientes forem reais, raı́zes complexas da
equação auxiliar aparecerão sempre em pares conjugados. Assim, uma equação polinomial
cúbica, por exemplo, pode ter no máximo duas raı́zes complexas.
Exemplo 61 Resolva y ′′′ + 3y ′′ − 4y = 0
Exemplo 62 Resolva
d4 y
dx4
2
d y
+ 2 dx
2 + y = 0
Exemplo 63 Resolva 3y ′′′ + 5y ′′ + 10y ′ − 4y = 0
Exemplo 64 Resolva y (6) − 16y ′′ = 0.
Determine a solução geral da equação diferencial de ordem superior dada.
Exercı́cio 4.1 y ′′′ − 4y ′′ − 5y′ = 0
Exercı́cio 4.2 y ′′′ − 5y ′′ + 3y′ + 9y = 0
Exercı́cio 4.3 y (4) + y ′′′ + y ′′ = 0
Exercı́cio 4.4 y (4) − 2y ′′ + y = 0
Exercı́cio 4.5
d5 u
dr 5
4
3
2
+ 5 ddru4 − 2 ddru3 − 10 ddru2 +
Exercı́cio 4.6 y ′′′ − 3y ′′ + 3y′ − y = 0
du
dr
+ 5u = 0
sol λ1,2,3 = 1 y(t) = c1 et + c2 tet + c3 t2 et
Exercı́cio 4.7 y (4) + 6y ′′′ + 5y ′′ − 24y′ − 36y = 0
sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = −3
y(t) = c1 e2t + c2 e−2t + (c3 + c4 t)e−3t
Exercı́cio 4.8 y (4) + 5y ′′ − 36y = 0
sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = ±3i y(t) =
c1 e2t + c2 e−2t + c3 cos 3t + c4 sin 3t
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exercı́cio 4.9 y ′′′ + 12y ′′ + 36y′ = 0 , y(0) = 0, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = −7
Exercı́cio 4.10 y ′′′ + 2y ′′ − 5y′ − 6y = 0 , y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1
4.2. Equações de ordem superior usando coeficientes a determinar
4.2
39
Equações de ordem superior usando coeficientes
a determinar
Exemplo 65 Resolva y ′′′ + y ′′ = ex cos x
Use coeﬁcientes a determinar para resolver a equação diferencial dada.
Exercı́cio 4.11 y ′′′ − 6y ′′ = 3 − cos x
Exercı́cio 4.12 y ′′′ + 2y ′′ − y ′ − 2y = 1 − 4x3
sol. y (x) = c1 ex + c2 e−x + c3 e−2x + 2x3 −
3x2 + 15x − 8
Exercı́cio 4.13 y iv − 5y” + 4y = 10 cos x sol y (x) = c1 ex + c2 e−x + c3 e2x + c4 e−2x + cos x
Exercı́cio 4.14 y ′′′ − 2y ′′ − 4y′ + 8y = 6xe2x
Exercı́cio 4.15 y ′′′ − 3y ′′ + 3y′ − y = x − 4ex
Exercı́cio 4.16 y ′′′ − y ′′ − 4y′ + 4y = 5 − ex + e2x
Exercı́cio 4.17 y (4) + 2y ′′ + y = (x − 1)2
Exercı́cio 4.18 y (4) − y ′′ = 4x + 2xe−x
Exercı́cio 4.19 y ′′′ + y ′ = tan x
Exercı́cio 4.20 y ′′′ + 4y ′ = sec 2x
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exercı́cio 4.21 y ′′′ − 2y ′′ + y′ = 2 − 24ex + 40e5x , y(0) = 12 , y ′ (0) = 52 , y ′′ (0) = − 92
Exercı́cio 4.22 y ′′′ + 8y = 2x − 5 + 8e−2x , y(0) = −5, y ′ (0) = 3, y ′′ (0) = −4
40
4.3. Equação de Cauchy-Euler
4.3
Equação de Cauchy-Euler
Uma equação diferencial linear da forma
an xn
n−1
dn y
y
dy
n−1 d
+
a
x
+ · · · + a1 x + a0 y = g(x),
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
(4.3)
onde os coeﬁcientes an , an−1 , . . . , a0 são constantes, é conhecida como uma equação de
Cauchy-Euler. A caracterı́stica observável desse tipo de equação é que o grau k = n, n −
1, . . . , 1, 0 dos coeﬁcientes monomiais xk coincide com a ordem k da diferenciação
dk y
.
dxk
Iniciemos a discussão com um exame detalhado das formas da solução geral de uma
equação homogênea de segunda ordem
2
2d y
x
dx2
+ αx
dy
+ βy = 0.
dx
(4.4)
onde α e β são constantes reais.Temos a equação auxiliar
m2 + (α − 1)m + β = 0
(4.5)
Há três casos diferentes a serem considerados, dependendo de as raı́zes dessa equação
quadrática serem reais e distintas, reais e iguais ou complexas
A solução da equação de ordem superior segue analogamente. Podemos também resolver a equação não homogênea x2 y ′′ + αxy ′ + βy = g(x) por variação de parâmetros,
desde que determinemos primeiro a função complementar yp .
Raı́zes distintas
Se as raı́zes m1 e m2 desta equação são reais e distintas, então as funções
e y2 (x) = xm2
y1 (x) = xm1
constituem um sistema fundamental de soluções de (4.4) para qualquer
valor de x para os quais estas funções são reais e ﬁnitas. A solução geral correspondente é
y = c1 xm1 + c2 xm2
(4.6)
Exemplo 66 x2 y ′′ − 23 x.y ′ − 32 y = 0
Raı́zes reais e repetidas
A equação auxiliar (4.4) possui uma raiz dupla m1 = m2 , se e somente se β = 41 (α−1)2
e então m1 = m2 = 12 (1 − α) são soluções de (4.3) no caso de uma raiz dupla m de (4.5).
4.3. Equação de Cauchy-Euler
41
A solução geral correspondente é:
y (x) = (c1 + c2 ln x)xm .
Exemplo 67 x2 y ′′ − 3x.y ′ + 4y = 0
sol m = 2
(4.7)
→ y (x) = (c1 + c2 ln x)x2
Raı́zes complexas conjugadas
Se as raı́zes de (4.5) forem um par de números complexos conjugados m1 = p + qi e
m2 = p − qi , onde p e q > 0 são reais, então uma solução geral será
y (x) = xp [c1 cos(q ln x) + c2 sin(q ln x)].
(4.8)
Exemplo 68 4x2 y ′′ + 17y = 0, y(1) = −1, y ′ (1) = 0
Equação de terceira ordem
3
2
d y
dy
2d y
Exemplo 69 Resolva x3 dx
3 + 5x dx2 + 7x dx + 8y = 0
Variação de parâmetros
Exemplo 70 x2 y ′′ − 3xy ′ + 3y = 2x4 ex
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exercı́cio 4.23 x2 y ′′ + xy ′ − y = 0
sol y(x) = c1 x + c2 x−1
Exercı́cio 4.24 x2 y ′′ + xy ′ + 4y = 0
sol y(x) = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)
Exercı́cio 4.25 x2 y ′′ + xy ′ − 4y = 0
sol y(x) = c1 x2 + c2 x−2
Exercı́cio 4.26 x2 y ′′ + 3, 5xy ′ + y = 0
sol y(x) = c1 x−2 + c2
√
x
x
Exercı́cio 4.27 25x2 y ′′ + 25xy ′ + y = 0
sol y(x) = c1 cos( 51 ln x) + c2 sin( 15 ln x)
Exercı́cio 4.28 x2 y ′′ − xy ′ + 0, 75y = 0
sol y(x) = (c1 x + c2 )
Exercı́cio 4.29 x2 y ′′ + 0, 25y = 0
√
x
√
sol y (x) = (c1 + c2 ln x) x
Exercı́cio 4.30 x2 y ′′ + 5xy ′ + 3y = 0
sol y(x) = c1 x−1 + c2 x−3
Exercı́cio 4.31 3x2 y ′′ + 6xy ′ + y = 0
sol y(x) = x−1/2 c1 cos(
[
√
3
6
√
ln x) + c2 sin
3
6
]
ln x)
42
Exercı́cio 4.32 x3 y ′′′ − 6y = 0
4.3. Equação de Cauchy-Euler
√
√
sol y(x) = c1 x3 + c2 cos( 2 ln x) + c3 sin 2 ln x)
Exercı́cio 4.33 3x3 y ′′′ + xy ′ − y = 0
Exercı́cio 4.34 x4 y (4) + 6x3 y ′′′ + 9x2 y ′′ + 3xy ′ + y = 0
sol y(x) = c1 cos x + c2 sin x +
c3 x cos x + c4 x sin x)
Resolva a equação diferencial dada por variação de parâmetros.
Exercı́cio 4.35 2x2 y ′′ + 5xy ′ + y = x2 − x
Exercı́cio 4.36 x2 y ′′ − xy ′ + y = 2x
sol y(x) = c1 x + c2 x ln x + x(ln x)2
Exercı́cio 4.37 x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = x4 ex
Exercı́cio 4.38 x2 y ′′ + xy ′ − y = ln x
Exercı́cio 4.39 x2 y ′′ + xy ′ − y =
sol y(x) = c1 x−1 + c2 x − ln x
1
x+1
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exercı́cio 4.40 x2 y ′′ + xy ′ − 0, 25y = 0, y(1) = 2, y ′ (1) = 1
Exercı́cio 4.41 x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0, y(1) = 1, y ′ (1) = 1
sol y =
√
x
sol y (x) = (1 − ln x)x2
Exercı́cio 4.42 x2 y ′′ +xy ′ +y = 0, y(1) = 1, y ′ (1) = 2 sol y(x) = cos(ln x)+2 sin(ln x)
√ (
x x+
Exercı́cio 4.43 x2 y ′′ + xy ′ − 2, 25y = 0, y(1) = 2, y ′ (1) = 0
sol y (x) =
Exercı́cio 4.44 x2 y ′′ − 3xy ′ + 3y = 0, y(1) = 0, y ′ (1) = −2
sol y (x) = (1 − x2 ) x
Exercı́cio 4.45 x2 y ′′ − 5xy ′ + 8y = 8x6 , y( 12 ) = 0, y ′ ( 21 ) = 0
1
x2
)
Capı́tulo 5
SÉRIES NUMÉRICAS
5.1
Método de Séries
As equações diferenciais homogêneas lineares com coeﬁcientes constantes podem ser resolvidas por métodos algébricos e que as soluções são funções elementares conhecidas do
cálculo. No caso de equações com coeﬁcientes variáveis, a situação é mais complicada
e as soluções podem ser funções elementares. As equações de Bessel, Legendre e a hipergeométrica são deste tipo. Como estas e outras equações e suas soluções representam
um papel importante na Matemática aplicada à Engenharia, vamos examinar um método
para resolê-las. As soluções aparecem sob a forma de séries de potências, motivo por que
o método é conhecido como método da série de potências.
5.1.1
O método da Série de Potências
Examinemos a seguir a solução de ED pelo chamado método da série de potências, que
fornece soluções sob a forma de séries de potências.
Recordamos que uma série de potências1 (em potências de x − a) é uma série inﬁnita
da forma
∞
∑
cn (x − a)n = c0 +c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . .,
(5.1)
n=0
onde c0 , c1 , . . . são constantes, denominados coeﬁcientes da série, a é uma constante,
chamada centro, e x é uma variável.
1
O termo série de potências isolado, normalmente se refere a uma série da forma ( 5.1),
incluindo o caso particular (5.14), mas não inclui as séries de potências negativas de x tal como
c0 + c1 x−1 + c2 x−2 + . . . ou as séries envolvendo potências fracionárias de x. Notamos que, em
(5.1), escrevemos, por conveniência, (x − a)0 = 1, mesmo quando x = a.
44
5.1. Método de Séries
No caso particular a = 0, obtemos uma série de potências em potências de x.
∞
∑
cn xn = c0 +c1 x + c2 x2 +c3 x3 + . . .,
(5.2)
n=0
Vamos supor que todas as variáveis e constantes são reais.
As séries de Maclaurin são exemplos de séries de potências:
∞
∑
1
=
xn = 1 + x + x2 +x3 + . . . (|x| < 1, série geométrica) ,
1 − x n=0
ex =
∞
∑
xn
n=0
cos x =
∞
∑
n!
(−1)n
n=0
sin x =
∞
∑
n=0
= 1 + x+
(−1)n
x2 x3
+ + . . .,
2! 3!
x2n
x2 x4
= 1− + − + . . .,
(2n)!
2! 4!
x3 x5
x2n+1
= x− + − + . . .,
(2n + 1)!
3! 5!
A idéia fundamental do método da série de potências para resolver uma equação
diferencial é muito simples e expontânea.
Sendo dada uma equação diferencial, desenvolvemos todas as funções dadas que nela
ﬁguram, em séries de potências de x (ou em potências de x − a, se desejamos a solução
sob a forma de uma série de potências de x − a). Em seguida, imaginamos uma solução
sob a forma de uma série de potências, digamos
y = c0 +c1 x + c2 x2 +c3 x3 + . . . =
∞
∑
cn x n
(5.3)
n=0
e substituı́mos esta série e as séries obtidas por derivação termo a termo
′
2
y = c1 +2c2 x + 3c3 x + . . . =
∞
∑
ncn xn−1
n=1
y ′′ = 2c2 +3.2c3 x + 4.3c4 x2 + . . . =
∞
∑
n (n − 1) cn xn−2
(5.4)
n=2
etc, na equação. Adicionando todos os termos que contêm a mesma potência de x, a
5.1. Método de Séries
45
equação resultante pode ser escrita
k0 + k1 x + k2 x2 + k3 x3 + . . . = 0
(5.5)
onde as constantes k0 , k1 , k2 , . . . são expressões que contêm os coeﬁcientes incógnitos
c0 , c1 , c2 , . . . em (5.15). A ﬁm de que (5.5) se veriﬁque para qualquer x em um intervalo dado, devemos ter k0 = 0, k1 = 0, k2 = 0, . . ..
Empregando estas equações podemos determinar os coeﬁcientes c0 , c1 , c2 , . . . sucessivamente.
Exemplo 71 Resolver y ′ − y = 0.
Exemplo 72 Resolver y ′′ + y = 0.
5.1.2
Solução em Série de Potências
Considere a equação diferencial ordinária de 2a ordem
a0 (x)
d2 y
dy
+a1 (x) +a2 (x)y = 0
2
dx
dx
(5.6)
que agora tem coeﬁcientes variáveis. Queremos obter pelo menos uma solução y(x), na
forma de uma série de potências como
y(x) =
∞
∑
an (x − x0 )n
(5.7)
n=0
onde x0 é o ponto em torno do qual queremos achar a solução. Esta expressão é uma
série, mas não necessariamente a série de Taylor de alguma função f (x).
Podemos reescrever a equação diferencial na forma normalizada
dy
d2 y
+P 1 (x) +P 2 (x)y = 0
2
dx
dx
onde P1 (x) =
a1 (x)
a0 (x)
e P2 (x) =
(5.8)
a2 (x)
.
a0 (x)
Note que P1 (x) e P2 (x) são duas funções racionais a qual não se pode escrever a série de
Taylor de uma função racional em torno dos pontos x0 que são as raı́zes do denominador.
Definição 5.1 Se ambas as funções P1 (x) e P2 (x) são analı́ticas em x0 , este ponto é
46
5.1. Método de Séries
dito ordinário. Se pelo menos uma das funções P1 (x) e P2 (x) não é analı́tica em x0 , este
ponto é dito singular.
Por exemplo, na equação diferencial
d2 y
dx2
dy
+ x dx
+ (x2 + 5)y = 0 temos P1 (x) = x
e P2 (x) = x2 + 5 que são polinômios e não tem ponto singular. Todos os pontos são
ordinários. Já a equação diferencial
d2 y
dx2
+
1 dy
x dx
+ (x2 − 4x + 5)y = 0 onde P1 (x) =
1
x
e
P2 (x) = x2 − 4x + 5 tem um ponto singular em x0 = 0, apesar de P2 (x) ser analı́tica em
todos os pontos.
Teorema 5.1 A equação diferencial 5.8 tem duas soluções diferentes, linearmente in∞
∑
an (x − x0 )n desde que x0 seja um ponto
dependentes, na forma da equação y(x) =
n
ordinário. Ou seja, se x0 for um ponto ordinário de 5.8, através do método de séries é
possı́vel encontrar as duas soluções LI em torno de x0 que formam a solução geral da
equação diferencial. O que diferencia as duas soluções são os an .
Como exemplo, no caso das duas equações diferenciais anteriores, a primeira não tem
nenhum ponto singular, e assim podemos achar a solução para qualquer valor de x0 , como,
∞
∞
∞
∑
∑
∑
an (x)n , y(x) =
an (x + 4)n . No entanto,
an (x − 2)n , y(x) =
por exemplo, y(x) =
n
n
n
a segunda tem um ponto singular em x0 = 0. Com certeza ela tem duas soluções LI para
∞
∞
∑
∑
an (x − 2)n , y(x) =
an (x + 4)n mas não sabemos ainda o que
x0 ̸= 0, isto é, y(x) =
n
n
ocorre se x0 = 0.
Exemplo 73 Consideremos o método para pontos ordinários, a primeira equação diferencial do exemplo anterior,
dy
d2 y
+x +(x2 +5)y = 0
2
dx
dx
(5.9)
que não tem nenhum ponto singular. Vamos achar uma solução em torno de x0 = 0 (são
duas soluções, pois x0 = 0 é um ponto ordinário), na forma
y(x) =
∞
∑
an xn
(5.10)
n=0
Exemplo 74 Considerando a equação diferencial
x
d2 y dy
+ +2y = 0
dx2 dx
(5.11)
5.2. Método de Fröbenius
47

 y (1) = 2
com as condições iniciais
. Fazendo a suposição 5.10 e analisando a série
 y ′ (1) = 4
em torno do ponto x0 = 1, por causa das condições iniciais que são dadas nesse ponto.
Então
y(x) =
∞
∑
an (x − 1)n
(5.12)
n=0
será nossa solução tentativa.
Classiﬁque, se houver, os pontos singulares das equações diferenciais abaixo:
Exercı́cio 5.1
d2 y
dx2
−
1 dy
x−3 dx
+ 2y = 0
2
d y
Exercı́cio 5.2 (x2 − 9) dx
2 −
2
d y
Exercı́cio 5.3 x3 dx
2 −
x−3 dy
x+4 dx
x−3 dy
2 dx
+y =0
+ 2xy = 0
Resolva, pelo método de séries em torno de x0 = 0, as seguintes equações diferenciais:
Exercı́cio 5.4
d2 y
dx2
dy
+ x dx
+ (2x2 − 1) y = 0
2
Exercı́cio 5.5 (t − 3) ddt2x +
Exercı́cio 5.6
5.2
d2 y
dx2
dy
− x dx
dx
dt
− (t − 1) x = 0

 y (0) = 1
− xy = 0 com
 y ′ (0) = 0
Método de Fröbenius
Analisemos dois casos em que o ponto seja singular.
Definição 5.2 Considere a equação (5.8)
d2 y
dx2
dy
+ P1 (x) dx
+ P2 (x)y = 0 sendo x0 um ponto
singular da equação. Se (x − x0 ) P1 (x) e (x − x0 )2 P2 (x) forem ambas analı́ticas, então
x0 é um ponto singular regular. Se pelo menos uma não for analı́tica, x0 é um ponto
singular irregular.
Exemplo 75 Seja a equação diferencial
d2 y
dx2
1 dy
−1
+ x−3
+ xx−3
y = 0, verifique se tem ponto
dx
2
singular e se for, verifique se é regular ou irregular.
Quando um ponto singular é regular, temos o seguinte teorema:
48
5.2. Método de Fröbenius
Teorema 5.2 Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial
d2 y
dx2
dy
+ P1 (x) dx
+
P2 (x) y = 0 então existe pelo menos uma solução na forma
y (x) = |x − x0 |
r
∞
∑
an (x − x0 )n
(5.13)
n=0
em torno de x0 , onde r é um parâmetro a ser determinado.
Exemplo 76 Seja a equação diferencial
d2 y
dx2
+
1 dy
x dx
+
( x−5 )
2x2
y = 0.
O teorema a seguir, estabelece as condições para a obtenção de soluções:
Teorema 5.3 Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial
d2 y
dx2
dy
+ P1 (x) dx
+
P2 (x) y = 0 e r1 e r2 são as raı́zes da equação indicial associada a x0 , com R (r1 ) ≥
R (r2 ), as soluções da equação diferencial são:
1. Se r1 − r2 ̸= N, onde N é um número
natural, as soluções LI em série são
y1 (x) = |x − x0 |
r1
∞
∑
an (x − x0 )n
n=0
e
y2 (x) = |x − x0 |r2
∞
∑
bn (x − x0 )n
n=0
2. Se r1 − r2 = N, N ̸= 0, as soluções LI em série são
y1 (x) = |x − x0 |
r1
∞
∑
an (x − x0 )n
n=0
e
y2 (x) = Cy 1 (x) ln |x − x0 | + |x − x0 |r2
∞
∑
bn (x − x0 )n
n=0
onde C é uma constante.
3. Se r1 = r2 , as soluções LI em série ficam
y1 (x) = |x − x0 |
r1
∞
∑
an (x − x0 )n
n=0
e
y2 (x) = y1 (x) ln |x − x0 | + |x − x0 |r1 +1
∞
∑
bn (x − x0 )n
n=0
Nas soluções acima se percebe que sempre há uma série para o valor maior de r, que
∞
∑
no caso é r1 , dada por y1 (x) = |x − x0 |r1
an (x − x0 )n e o que muda é a outra solução,
n=0
5.3. Equação de Bessel
49
y2 (x). Dependendo da equação diferencial do problema, achar a solução y2 (x) pode ser
bastante complicado, e não há um método genérico para encontrar y2 (x).
( 2 5)
d2 y
dy
Exemplo 77 Resolva pelo método de Fröbenius x2 dx
2 − x dx − x + 4 y = 0.
Resolva pelo método de Fröbenius as equações diferenciais.
2
d y
dy
Exercı́cio 5.7 2x2 dx
2 − x dx − (1 + x)y = 0.
[
∞
∑
= 0. sol. y1 (x) = x 1 +
Exercı́cio 5.8
(−1)n
n=1
]
[
∞
∑
1
n
x
x > 0 e y2 (x) = x 2 1 +
(−1)n [1.3.5...(2n−1)]n!
,x>0
dy
d2 y
2x2 dx
2 −x dx +(1+x)y
]
xn
[3.5.7...(2n+1)]n!
,
n=1
2
d y
Exercı́cio 5.9 2x dx
2 +
dy
dx
+ xy = 0.
2
d y
dy
2
Exercı́cio 5.10 3x2 dx
2 + 2x dx + x y = 0.
2
d y
dy
Exercı́cio 5.11 x2 dx
2 − x(x + 3) dx + (x + 3)y = 0.
2
d y
dy
2
Exercı́cio 5.12 2x2 dx
2 + 3x dx + (2x − 1)y = 0.
5.3
Equação de Bessel
Uma das equações diferenciais mais importantes da matemática aplicada é a equação
diferencial de Bessel
x2
d2 y
dy
+
x
+ (x2 − v 2 )y = 0
dx2
dx
(5.14)
onde o parâmetro v é um dado número. Imaginamos que v é real e não negativo.
Como x = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel, portanto, esta admite
uma solução da forma
y (x) =
∞
∑
cn xn+r (c0 ̸= 0)
(5.15)
n=0
Uma solução particular da equação de Bessel para o primeiro expoente r1 = v é
representado por :
Jv (x) = x
v
∞
∑
n=0
(−1)n x2n
22n+v n!Γ(v + n + 1)
(5.16)
50
5.3. Equação de Bessel
Além disso, exatamente da mesma forma, obtemos para o segundo expoente r2 = −v
−v
J−v (x) = x
∞
∑
n=0
(−1)n x2n
22n−v n!Γ(1 − v + n)
(5.17)
Esta solução é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem v.
5.3.1
Funções de Bessel de segunda espécie
Para v = n inteiro, as funções de Bessel Jn (x) e J−n (x) são linearmente dependente e não
constituem um sistema fundamental. Assim:
Teorema 5.4 (solução geral) Uma solução geral da equação de Bessel para todos os valores de v é
y(x) = c1 Jv (x) + c2 Yv (x)
onde Yv (x) =
cos vπJv (x)−J−v (x)
sin vπ
esta função, Yv , é conhecido como a função de Bessel de
segunda espécie de ordem v ou função de Neumann de ordem v.
Exercı́cio 5.13 x2 y” + xy ′ + (4x2 − 9)y = 0
Exercı́cio 5.14 x2 y” + xy ′ + (25x2 − 49 )y = 0
Exercı́cio 5.15 x2 y” + xy ′ + (2x2 − 81)y = 0
Finalmente necessitamos de soluções da equação de Bessel que sejam complexas para
valores reais de x. Assim, as soluções
Hv1 (x) = Jv (x) + iYv (x)
Hv2 (x) = Jv (x) − iYv (x)
Essas funções linearmente independentes são chamadas funções de Bessel de terceira
espécie de ordem v ou primeira e segunda funções de Hankel de ordem v.
Capı́tulo 6
A TRANSFORMADA DE
LAPLACE
6.1
Definição da transformada de Laplace
O método da Transformada de Laplace, é um método operacional que pode ser usado com
vantagens para resolver equações diferenciais lineares. Usando transformadas de Laplace,
podem-se converter muitas funções comuns, tais como funções senoidais, funções senoidais amortecidas, e funções exponenciais em funções algébricas de uma variável complexa.
Seja f (t) uma função deﬁnida em 0 ≤ t < ∞ e seja s uma variável real arbitrária. A
transformada de Laplace de f (t), designada por L {f (t)} ou F (s), é
∫
L {f (t)} = F (s) =
∞
e−st f (t) dt
(6.1)
0
para todo os valores de s que tornem convergente a integral.
Determine a transformada de Laplace das funções
Exemplo 78 f (t) = a,
t≥0
Exemplo 79 f (t) = ae−αt ,
t≥0
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções (a e b são constantes reais)
Exercı́cio 6.1 f (t) = sin bt
Exercı́cio 6.2 f (t) = e−at cos bt
52
6.2. Propriedades da transformada de Laplace
Exercı́cio 6.3 f (t) = teat
Exercı́cio 6.4 f (t) = t sin at
6.2
Propriedades da transformada de Laplace
Os teoremas que seguem, além de outros aspectos, são úteis para o cálculo de transformadas de Laplace.
Teorema 6.1 Multiplicação por uma constante
L {af (t)} = aL {f (t)}
Teorema 6.2 Linearidade - Se a e b são constantes, então
L {af (t) + bg (t)} = aL {f (t)} + bL {g (t)}
para todo s tal que as transformadas de Laplace das funções f e g ambas existem.
Teorema 6.3 Derivadas - Suponha que a função f (t) é contı́nua e suave por partes para
t ≥ 0 e é de ordem exponencial quando t → +∞, de modo que existem constantes não
negativas M , c e T tais que |f (t)| >M ect para t ≥ T . Então L {f ′ (t)} existe para s > c,
e
L {f ′ (t)} = sL {f (t)} − f (0) = sF (s) − f (0)
Teorema 6.4 Integral - Se f (t) é uma função contı́nua por partes para t ≥ 0 e satisfaz
a condição de ordem exponencial |f (t)| <M ec.t para t>T . Então
{∫
L
}
t
f (T )dT
0
1
F (s)
= L {f (t)} =
s
s
para s > c.
Teorema 6.5 Translação no eixo s - Se F (s) = L {f (t)} existe para s > c, então
L {eat f (t)} existe para s > a + c, e
{
}
L eat f (t) = F (s − a)
6.3. Transformadas inversas de Laplace
53
Teorema 6.6 Para qualquer inteiro positivo n,
L {tn f (t)} = (−1)n
dn
[F (s)]
dsn
Determine F (s) para as seguintes funções:
Exemplo 80 f (t) = 3 + 2t2
Exemplo 81 f (t) = 2 sin t + 3 cos 2t
Exemplo 82 f (t) = e−t sin 5t
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Exercı́cio 6.5 f (t) = t3 + 2 cos 3t
Exercı́cio 6.6 f (t) = 5e2t + 7e−t
sol. F (s) =
6
s4
5
s−2
sol. F (s) =
+
+
2s
s2 +9
7
s+1
Exercı́cio 6.7 f (t) = 2t2 cos t
Exercı́cio 6.8 f (t) = t2 sin 4t
6.3
Transformadas inversas de Laplace
Definição 6.1 A operação de obtenção de f (t) a partir da TL, F (s), é denominada
Transformada inversa de Laplace de F (s), é indicada por
Exemplo 83 Se F (s) = 1s , então
Exemplo 84 E se F (s) =
1
,
(s2 +1)
f (t) = L−1 [F (s)].
L−1 [F (s)] = 1
então
L−1 [F (s)] = sin x
Teorema 6.7 (Linearidade) - Se as transformadas inversas de Laplace de duas funções
F1 (s) e F2 (s) existem, então, para quaisquer constantes c1 e c2
L−1 {c1 F1 (s) + c2 F2 (s)} = c1 L−1 {F1 (s)} + c2 L−1 {F2 (s)}
Determine a transformada inversa de Laplace de
Exercı́cio 6.9 F (s) =
1
s2 +4
sol. L−1 [F (s)] =
1
2
sin 2x
Exercı́cio 6.10 F (s) =
2
(s−2)2 +9
sol. L−1 [F (s)] = 23 e2x sin 3x
Exercı́cio 6.11 F (s) =
s
(s+1)2 +5
sol. L−1 [F (s)] = e−x cos
(
√
5x +
√
5
5
√ )
sin 5x
54
6.3. Transformadas inversas de Laplace
6.3.1
Método do complemento do quadrado
Todo polinômio quadrático em s pode ser posto sob a forma a (s + k)2 +h2 . Em particular,
√
2
b
b2
2
2
as + bs + c ≡ a (s + k) + h
onde
k = 2a
e
h = c − 4a
2.
Determine:
Exemplo 85 L−1
Exemplo 86 L−1
{
{
1
s2 −2s+9
s+2
}
}
s2 −3s+4
Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de
Exercı́cio 6.12 F (s) =
1
s2 −2s+2
Exercı́cio 6.13 F (s) =
s+3
s2 +2s+5
Exercı́cio 6.14 F (s) =
6.3.2
sol. L−1 [F (s)] = ex sin x
sol. L−1 [F (s)] = e−x (cos 2x + sin 2x)
(
sol. L−1 [F (s)] = e 2 cos 2x +
x
s
s2 −s+17/4
1
4
)
sin 2x
Método das frações parciais (FP)
Quando a TL da solução de uma equação diferencial é uma função racional em s, podemos
escrever
F (s) =
P (s)
Q(s)
(6.2)
onde P (s) e Q(s) são polinômios em s.
• Expansão em FP quando todos os pólos de F (s) são simples e reais
Se todos os pólos de F (s) são reais e simples a equação (6.2) é escrita como:
F (s) =
P (s)
P (s)
=
Q(s)
(s + s1 )(s + s2 ) · · · (s + sn )
(6.3)
Aplicando a técnica de expansão em FP, a equação (6.3) é escrita
F (s) =
k1
k2
kn
+
+ ··· +
s + s1 s + s2
s + sn
(6.4)
onde os coeﬁcientes ki são determinados como a seguir
[
P (s)
k1 = (s + s1 )
Q(s)
]
=
s=−s1
P (−s1 )
(−s1 + s2 )(−s1 + s3 )(−s1 + sn )
(6.5)
6.3. Transformadas inversas de Laplace
55
Exemplo 87 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) =
s+3
.
s2 +3s+2
• Expansão em FP quando alguns pólos de F (s) são de ordem múltipla
Se r dos n pólos de F (s) são idênticos, isto é, o pólo em s = −σi é de multiplicidade
r, F (s) é escrito como a seguir
F (s) =
P (s)
P (s)
=
Q(s)
(s + s1 )(s + s2 ) · · · (s + si )r (s + sn )
(6.6)
Então F (s) pode ser expandido como
F (s) =
k2
kn
A1
A2
k1
Ar
+
+···+
+
+
+···+
(6.7)
2
s + s1 s + s2
s + sn s + si (s + si )
(s + si )r
e os coeﬁcientes k1 , k2 , ..., kn são determinados como em (6.5) e os coeﬁcientes Ai ,
como a seguir
[
]
P (s)
Ar = (s + si )r Q(s)
s=−si
[
]
P (s)
d
Ar−1 = ds
(s + si )r Q(s)
s=−si
[
]
2
r P (s)
d
Ar−2 = 2!1 ds
(s
+
s
)
i
2
Q(s)
s=−si
...................................................
[
]
r P (s)
dr−1
1
A1 = (r−1)! dsr−1 (s + si ) Q(s)
s=−si
Exemplo 88 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) =
s2 +2s+3
s(s+1)3
• Expansão em FP quando F (s) apresenta pólos complexos conjugados
Se s1 e s2 são pólos complexos conjugados, então F (s) é escrito como a seguir
F (s) =
P (s)
P (s)
=
Q(s)
(s + s1 )(s + s2 )(s + s3 ) · · · (s + sn )
(6.8)
Então F (s) pode ser expandido como
F (s) =
k3
kn
k1 s + k2
+
+ ··· +
(s + s1 ) (s + s2 ) s + s3
s + sn
(6.9)
Os coeﬁcientes k3 , k4 , ..., kn são determinados como em (6.5) e os coeﬁcientes k1 e k2
como a seguir:
[
(k1 s + k2 )s=−s1
P (s)
(s + s1 ) (s + s2 )
Q(s)
]
(6.10)
s=−s1
56
6.3. Transformadas inversas de Laplace
como s1 é uma grandeza complexa, ambos os lados da equação (6.10) são grandezas
complexas, igualando as partes reais obtemos uma equação. Da mesma forma,
obtemos uma equação igualando as partes imaginárias.
Exemplo 89 Determine a transformada inversa de Laplace de F (s) =
s+1
.
s(s2 +s+1)
Determine as transformadas inversas de Laplace de
Exercı́cio 6.15 F (s) =
2s2
(s−1)(s2 +1)
Exercı́cio 6.16 F (s) =
1
s2 −1
Exercı́cio 6.17 F (s) =
2
(s2 +1)(s−1)2
Exercı́cio 6.18 F (s) =
2s−13
s(s2 −4s+13)
Exercı́cio 6.19 F (s) =
2(s−1)
s2 −s+1
Exercı́cio 6.20 F (s) =
1
2(s−1)(s2 −s−1)
6.3.3
sol. y (t) = et + cos t + sin t
sol. y (t) = 21 et − 12 e−t
sol. y (t) = −et + tet + cos t
sol. y (t) = −1 + e2t cos3 t
t
(
sol. y (t) = e 2 2 cos
√
3
t
2
−
sol. y (t) = − 12 et +
√
2 3
3
√
sin
3
t
2
√
√
5+ 5 1+2 5 t
e
20
)
+
√
√
5− 5 1−2 5 t
e
20
Função Degrau Unitário
Algumas entre as mais interessantes aplicações elementares do médoto das transformadas aparecem na resolução de equações diferenciais lineares com funções de entrada descontı́nuas ou impulsivas. As equações deste tipo aparecem, muitas vezes, na análise da
corrente em circuitos elétricos, na de oscilações em sistemas mecânicos ou curvaturas de
vigas. São funções que possuem um valor muito grande por um intervalo muito curto.
A função degrau unitário, também chamada função unitária de Heaviside, é deﬁnida
por

 0,
ua (t) =
 1,
t < a,
t ≥ a,
a ≥ 0.
(6.11)
Em particular, quando a = 0

 0,
u0 (t) =
 1,
t < 0,
(6.12)
t > 0.
A função degrau unitária pode ser usada para escrever funções deﬁnidas por parte em
uma forma compacta.
6.3. Transformadas inversas de Laplace
57
Exemplo 90 Traçar o gráfico de y = h (t), onde h (t) = uπ (t) − u2π (t), t ≥ 0.
A transformada de ua (t) é £ {ua (t)} =
∫∞
e−st ua (t)dt =
0
− 1s e−st |∞
a , isto é, supondo s > 0,
£ {ua (t)} =
∫a
e−st 0dt +
0
∫∞
e−st 1dt =
a
e−as
.
s
(6.13)
Para uma dada função f , deﬁnida para t ≥ 0, é muitasvezes necessário considerar
 0,
t < a, e que
a função g que lhe é relacionada pela deﬁnição y = g(t) =
 f (t − a), t ≥ a , representa uma translação de f , de uma distância a, na direção dos t positivos. Em
termos da função degrau unitário podemos escrever g(t) em forma conveniente
g(t) =
ua (t)f (t − a).
Teorema 6.8 Se F (s) = £ {f (t)} existe para s > c ≥ 0 e se a for uma constante
positiva, então
£ {ua (t)f (t − a)} = e−as £ {f (t)} = e−as F (s),
s > c.
(6.14)
Reciprocamente, se f (t) = £−1 {F (s)}, então
{
}
ua (t)f (t − a) = £−1 e−as F (s) .
(6.15)
O teorema aﬁrma, que a translação de f (t), de uma distância a, na direção dos t
positivos, corresponde à multiplicação de F (s) por e−as .

 sin t ,
0 ≤ t < π/4
Exemplo 91 Seja a função f definida por f (t) =
 sin t + cos (t − π/4) , t ≥ π/4,
achar £ {f (t)}.
Exemplo 92 Achar a transformada inversa de F (s) =
1−e−2s
.
s2
Achar a transformada de Laplace da função dada.

 0,
t<2
−2s
Exercı́cio 6.21 f (t) =
sol. F (s) = 2es3
 (t − 2)2 , t ≥ 2


(
)
0,
t<1
−s 2+s2
Exercı́cio 6.22 f (t) =
sol. F (s) = e
s3
 t2 − 2t + 2, t ≥ 1
58
6.3. Transformadas inversas de Laplace
Exercı́cio 6.23 f (t) = u1 (t) + 6u3 (t) − 2u4 (t)
sol.
Exercı́cio 6.24 f (t) = t − u1 (t) (t − 1) t ≥ 0 sol.
F (s) = 1s (e−s + 6e−3s − 2e−4s )
F (s) =
1−e−s
s2
Achar a transformada inversa de:
Exercı́cio 6.25 G (s) =
1
s2 −4s+5
Exercı́cio 6.26 G (s) =
3!
(s−2)4
6.3.4
g (t) = L−1 {G (s)} = e2t sin t.
sol.
L−1 {G (s)} = t3 e2t .
sol.
Função impulso unitário ou função delta de Dirac
Considere a função

 1/ϵ , 0 ≤ t ≤ ϵ
Fϵ (t) =
 0,
t > ϵ,
(6.16)
onde ϵ > 0.
É geométricamente evidente que, quando ϵ → 0, a altura da região retangular sombreada cresce indeﬁnidamente e que a largura decresce de tal modo que a área é sempre
∫∞
igual a 1, isto é, 0 Fϵ (t)dt = 1.
Essa idéia levou alguns estudiosos a pensar numa função denotada por δ(t), que fossê
aproximada por Fϵ (t) quando ϵ → 0.
Eles chamaram essa função limite de função impulso unitário ou função delta de Dirac.
Algumas de suas propriedades são
1.
2.
3.
∫∞
0
∫∞
0
∫∞
6.3.5
0
δ(t)dt = 1
δ(t)g(t)dt = g(0)
para qualquer função contı́nua g(t).
δ(t − a)g(t)dt = g(a)
para qualquer função contı́nua g(t).
Convoluções
A transformada de Laplace da (inicialmente desconhecida) solução de uma equação diferencial é algumas vezes reconhecida como o produto das transformadas de duas funções
conhecidas.
Exemplo 93 Quando transformamos o problema de valor inicial
x(0) = x′ (0) = 0,
obtemos
X(s) =
s
(s2 +1)2
=
s
s2 +1
·
1
s2 +1
x′′ + x = cost;
= L {cos t}•L {sin t}.
6.3. Transformadas inversas de Laplace
59
A nova função de t deﬁnida como a integral, depende apenas de f e g e é chamada
convolução de f e g. É indicada por f ∗ g, a idéia sendo que é um novo tipo de produto
de f e g, feito sob medida, de modo que sua transformada é o produto das transformadas
de f e g.
Definição 6.2 A convolução de duas funções - A convolução f ∗ g das funções contı́nuas
por partes f e g é definida para t>0 como segue
∫x
f (x) ∗ g(x) =
f (t)g(x − t)dt
(6.17)
0
Teorema 6.9
∫x
f (x) ∗ g(x) = g(x) ∗ f (x)
g(x) ∗ f (x) =
e
g(t)f (x − t)dt
(6.18)
0
Exemplo 94 Calcule f (x) ∗ g (x) e g (x) ∗ f (x) se f (x) = e3x e g (x) = e2x
−1
Exemplo 95 Determine por convoluções L
{
1
s(s2 +4)
}
.
Exercı́cio 6.27 Determine f (x) ∗ g (x) ou g (x) ∗ f (x) se f (x) = 4x e g (x) = e2x .
sol.
g (x) ∗ f (x) = e2x − (2x + 1)
Exercı́cio 6.28 Calcule f (x) ∗ g (x) se f (x) = x e g (x) = x2 .
sol. g (x) ∗ f (x) =
Utilize convoluções para determinar a transformada inversa de Laplace de
Exercı́cio 6.29
1
.
(s−1)(s−2)
Exercı́cio 6.30
1
.
(s)(s)
Exercı́cio 6.31
2
.
s(s+1)
Exercı́cio 6.32 L−1
{
sol. g (x) ∗ f (x) = e2x − ex
sol. g (x) ∗ f (x) = x
sol. g (x) ∗ f (x) = 2 (1 − e−x )
1
(s−1)2
}
.
sol. g (x) ∗ f (x) = xex
1 4
x
12
60
6.4. Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes constantes
6.4
Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes
constantes
6.4.1
Transformadas de Laplace de derivadas
Emprega-se o método das transformadas de Laplace para resolver problemas de valor
inicial dados por uma equação diferencial linear de ordem n com coeﬁcientes constantes
dn−1 y
dy
dn y
bn n + bn−1 n−1 + · · · + b1
+ b0 y = g(x)
dx
dx
dx
(6.19)
juntamente com as condições iniciais
y(0) = c0 ,
y ′ (0) = c1 , ..., y (n−1) (0) = cn−1
(6.20)
Denotemos L {y (x)} por Y (s). Se y (x) e suas n − 1 primeiras derivadas são contı́nuas
para x ≥ 0 e são de ordem exponencial α, e se
{
L
dn y
dxn
dn y
dxn
∈ Eα , então
}
= sn Y (s) − sn−1 y (0) − sn−2 y ′ (0) − ... − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)
(6.21)
Aplicando (6.20), podemos escrever (6.21) como
{
L
dn y
dxn
}
= sn Y (s) − c0 sn−1 − c1 sn−2 − ... − cn−2 s − cn−1
(6.22)
Em particular, para n = 1 e n = 2, obtemos
6.4.2
L {y ′ (x)} = s.Y (s) − c0
(6.23)
L {y ′′ (x)} = s2 Y (s) − c0 .s − c1
(6.24)
Solução do problema de valor inicial
Para resolver o problema de valor inicial dado por (6.19) e (6.20), primeiro tomam-se as
transformadas de Laplace de ambos os membros da equação diferencial (6.19), obtendo-se
uma equação algébrica em Y (s). Resolve-se em seguida esta equação, em relação a Y (s),
e toma-se a transformada inversa de Laplace, obtendo y(x) = L−1 {Y (s)}.
Ao contrário do que ocorre nos métodos anteriores (nos quais primeiro se determina
6.4. Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes constantes
61
a solução geral da equação diferencial, e em seguida se levam nela as condições iniciais
para determinação das constantes arbitrárias), o método das transformadas de Laplace
em geral resolve todo o problema de valor inicial em um só passo. A única exceção é
quando as condições iniciais não são dadas em x = 0.
Utilize a TL para resolver o problema de valor inicial proposto:
Exemplo 96 y ′ − 5y = 0 para y (0) = 2
Exemplo 97 y ′ − 5y = e5x
para y (0) = 0
Exemplo 98 y ′′ − 3y ′ + 4y = 0 para y (0) = 1, y ′ (0) = 5
Utilize a TL para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exercı́cio 6.33 y ′ + 2y = 0 para y (0) = 1 sol. y (x) = e−2x .
Exercı́cio 6.34 y ′ + 2y = ex para y (0) = 1 sol. y (x) = 23 e−2x + 13 ex
Exercı́cio 6.35 y ′′ − y = 0 para y (0) = y ′ (0) = 1 sol. y (x) = ex
Exercı́cio 6.36 y ′′ − y = sin x para y (0) = 0,
1
2
y ′ (0) = 1 sol. y (x) =
3
4
sin x
√
Exercı́cio 6.37 y ′′ −3y = sin 2t para y (0) = y ′ (0) = 0 sol. y(x) = − 213 e−
1
7
(ex − e−x ) −
√
3t
√
+
√
3
3t
e
−
21
sin 2t
Exercı́cio 6.38 y ′′ + y ′ + y = 0
(
)
√
√
√
x
e− 2 4 cos 23 x − 163 3 sin 23 x
para y (0) = 4,
y ′ (0) = −3
sol.
y (x) =
Exercı́cio 6.39 y ′′ + 2y ′ + 5y = 3e−2x para y (0) = y ′ (0) = 1 sol. y (x) = 35 e−2x +
(
)
13
e−x 25 cos 2x + 10
sin 2x
Exercı́cio 6.40 y ′′ + 16y = cos 4t para y (0) = y ′ (0) = 1 sol. y (x) = 14 sin 4t + 18 t sin 4t
Exercı́cio 6.41 2y ′′′ + 3y ′′ − 3y ′ − 2y = e−t
y (t) = − 89 e− 2 + 91 e−2t +
t
5 t
e
18
para y (0) = y ′ (0) = 0 e y ′′ (0) = 1
sol.
+ 21 e−t
Exercı́cio 6.42 y ′′′ + 2y ′′ − y ′ − 2y = sin 3t
para y (0) = y ′ (0) = 0 e y ′′ (0) = 1
No caso de termos as condições iniciais diferentes de zero, isto é, x ̸= 0, temos:
Exemplo 99 y ′′ − 3y ′ + 2y = e−x para y (1) = 0, y ′ (1) = 0
Exercı́cio 6.43 y ′′ − y ′ − 2y = 3e2x para y (1) = 0, y ′ (1) = −2 sol. y (x) = − 23 e−x+1 −
2 2x−2
e
3
62
6.4. Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes constantes
Capı́tulo 7
SISTEMA DE EQUAÇÕES
LINEARES
7.1
Redução de equações diferenciais lineares a um
sistema de primeira ordem
Todo problema de valor inicial da forma
dn y
dn−1 y
dy
bn (t) n + bn−1 (t) n−1 + · · · + b1 (t) + b0 (t)y = g(t)
dx
dx
dx
(7.1)
x(t0 ) = c0 , ẋ (t0 ) = c1 , ..., x(n−1) (t0 ) = cn−1
(7.2)
pode reduzir-se a um sistema matricial de primeira ordem
ẋ(t) = A(t)x(t) + f (t)
e x(t0 ) = c
(7.3)
onde A(t), f (t), c, e o tempo inicial t0 são conhecidos. O método de redução é o seguinte:
• Reescrever (7.1) isolando
dn x
dtn
. Assim,
dn−1 x
dn x
=
a
(t)
+ · · · + a1 (t)ẋ + a0 (t)x + f (t)
n−1
dtn
dtn−1
b (t)
onde aj (t) = − bnj (t)
(j = 0, 1, ..., n − 1) e f (t) =
(7.4)
g(t)
.
bn (t)
• Deﬁnir n novas variáveis (n = número da ordem da equação diferencial original),
64
7.1. Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem
x1 (t), x2 (t),..., xn (t), pelas equações
x1 (t) = x(t), x2 (t) =
d2 x(t)
dn−1 x (t)
dx(t)
, x3 (t) =
,
·
·
·,
x
(t)
=
n
dt
dt2
dtn−1
(7.5)
Essas novas variáveis acham-se interligadas pelas equações
ẋ1 (t) = x2 (t)
ẋ2 (t) = x3 (t)
ẋ3 (t) = x4 (t)
...................
ẋn−1 (t) = xn (t)
• Expimir
(7.6)
dxn
dt
em termos dessas novas variáveis. Primeiro, diferenciamos a última
[ n−1 ]
n
equação de (7.5), obtendo ẋn (t) = dtd d dtnx(t) = d dtx(t)
n . Então, de (7.4) e (7.5),
n−1
x(t)
ẋn (t) = an−1 (t) d dtn−1
+ ... + a1 (t)ẋ(t) + a0 (t)x(t) + f (t)
= an−1 (t)xn (t) + ... + a1 (t)x2 (t) + a0 (t)x1 (t) + f (t)
Por conveniência, reescrevemos esta última equação de modo que x1 (t) apareça antes
de x2 (t) etc. Assim,
ẋn (t) = a0 (t)x1 (t) + a1 (t)x2 (t) + ... + an−1 (t)xn (t) + f (t)
(7.7)
• As equações (7.6) e (7.7) constituem um sistema de equações diferenciais lineares
de primeira ordem em x1 (t), x2 (t), ... , xn (t). Este sistema é equivalente à equação
matricial ẋ(t) = A(t)x(t) + f (t) se deﬁnimos


x (t)
 1

 x2 (t)
x(t) = 
 ..
 .

xn (t)







(7.8)
7.1. Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem






f (t) = 




65

0
0
..
.
0










(7.9)
f (t)








A(t) ≡ 






0
1
0
0
...
0
0
0
1
0
...
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
1
..
.
...
...
0
..
.
0
0
0
0
...
1













(7.10)
a0 (t) a1 (t) a2 (t) a3 (t) . . . an−1 (t)




• Deﬁnamos c ≡ 




c1



. Então as condições iniciais (7.2) podem ser dadas pela



c2
..
.
cn
equação matricial (vetorial) x(t0 ) = c. Esta última equação é consequência imediata de (7.8), (7.5) e (7.2), pois


x1 (t0 )


 x2 (t0 )
x(t0 ) = 

..

.

xn (t0 )


 
 
 
=
 
 
 


x(t0 )
c1
 
 
ẋ(t0 )   c2
=
  ..
..
  .
.
 
x(n−1) (t0 )
cn−1



≡c



Observe-se que se não se prescreve nenhuma condição inicial, os passos 1 a 4 por
si sós reduzem qualquer equação diferencial linear (7.1) à equação matricial ẋ(t) =
A(t)x(t) + f (t).
Colocar o problema de valor inicial na forma (7.3).
Exemplo 100 ẍ + 2ẋ − 8x = et ;
x(0) = 1,
ẋ(0) = −4
Exemplo 101 e−t ddt4x − ddt2x + et t2 dx
= 5e−t ; x(1) = 2, ẋ(1) = 3, ẍ(1) = 4,
dt
4
2
···
Exemplo 102 x = tẍ+x− ẏ +t+1 e ÿ = (sin t)ẋ+x−y +t2 ;
ẍ(1) = 4,
y(1) = 5,
ẏ(1) = 6.
x(1) = 2,
...
x (1) = 5
ẋ(1) = 3,
66
7.1. Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem
Deﬁna x(t), A(t), f (t), c e t0 de modo que o sistema dado seja equivalente ao sistema
(7.1).

Exercı́cio 7.1 ẍ − 2ẋ + x = t + 1 para x(1) = 1,

A (t) ≡ 

0
1
−1 2

 f (t) ≡ 

0
t+1

 c≡
ẋ(1) = 2.
sol
x (t) ≡ 

1

x1 (t)
x2 (t)
 t0 = 1
2


Exercı́cio 7.2 2ẍ + x = 4et para x(0) = 1,

A (t) ≡ 

0
1
− 12 0
Exercı́cio
 7.3
x (t)
 1

x (t) =  x2 (t)

x3 (t)

 f (t) ≡ 

0
2et

 c≡
ẋ(0) = 1.
sol
x (t) ≡ 

1
x1 (t)
 t0 = 0
···
ẋ(−1)
= 0,

0
1




0 C= 0


0
1
ẍ(−1) = 1.


x1 (t)




ẋ(0) = 0 ,

0 1 0
0
0


 



 

A (t) =  0 0 1  f (t) =  0  C =  0


 

0 0 0
t
0
ẍ(0) = 0.
sol

sol


 e t0 = −1.


···

x2 (t)
1
et x − tẍ + ẋ− et x = 0 para 
x(−1) = 1,
0
1
0








 A (t) =  0
0
1  f (t) = 




1 −e−t te−t
Exercı́cio 7.4 x = t para x(0) = 0,



x (t) =  x2 (t)

x3 (t)






 e t0 = 0.




ẍ = ẋ + ẏ − z + t


Exercı́cio 7.5






sol x (t) = 




··
y = tx + y − 2ẏ + t2 + 1



 ż = x − y + ẏ + z; x(1) = 1, ẋ(1) = 15, y(1) = 0, ẏ(1) = −7, z(1) = 4







x1 (t)
0 1 0
0
0
0
1














 0 1 0
 t 
 15 
x2 (t) 
1 −1 














A
(t)
=
f
(t)
=
C
=
 0 0 0
 0 
 0 
y1 (t) 
1
0 












 2

 t 0 1 −2 0 
 t +1 
 −7 
y2 (t) 







z1 (t)
1 0 −1 1
1
0
4
e t0 = 1.
Exercı́cio 7.6 ẍ + 2ẋ − 8x = 0;
x(1) = 2,
ẋ(1) = 3
.
7.2. Cálculo de eAt

 ẍ = −2ẋ − 5y + 3
Exercı́cio 7.7
 ẏ = ẋ + 2y;
x(0) = 0, ẋ(0) = 0,
67
y(0) = 1

 ẋ = x + y
Exercı́cio 7.8
 ẏ = 9x + y.
7.2
Cálculo de eAt
Teorema 7.1 Se A é uma matriz com n linhas e n colunas, então
eAt = αn−1 An−1 tn−1 + αn−2 An−2 tn−2 + . . . + α2 A2 t2 + α1 At + α0 I,
(7.11)
onde α0 , α1 , ..., αn−1 são funções de t a serem determinadas para cada A.
Por exemplo, quando A tem duas colunas e duas linhas, n = 2 então, eAt = α1 At+α0 I,
agora se n = 3, temos eAt =.
Teorema 7.2 Seja A tal como no Teorema anterior, e definimos
r(λ) ≡ αn−1 λn−1 + αn−2 λn−2 + . . . + α2 λ2 + α1 λ + α0 .
(7.12)
Então, se λi é um autovalor de At,
eλi = r(λi ).
(7.13)
Além disso, se λi é um autovalor de multiplicidade k, k > 1, então valem também as
seguintes equações:
e λi =
d
r(λ)|λ=λi
dλ
e λi =
d2
r(λ)|λ=λi
dλ2
............
e λi =
dk−1
r(λ)|λ=λi
dλk−1
Exemplo 103 Seja A uma matriz 4 × 4, e sejam λ = 5t e λ = 2t autovalores de At de
multiplicidade três e um, respectivamente. Então,


1 2
.
Exemplo 104 Calcule eAt para A = 
4 3
68


3 1 0




para A =  0 3 1 .


0 0 3
Exemplo 105 Calcule eAt
7.2.1
7.2. Cálculo de eAt
Uso da Transformada de Laplace para o Cálculo de eAt
Sabemos que x = eAt é uma solução de ẋ = Ax. De fato , como eA0 = I, x = eAt é uma
solução do prolema de valor inicial
ẋ = Ax(t)
, x(0) = I
(7.14)
Se x(s) = L{x(t)} = L{eAt }, então a transformada de Laplace de (7.14) será
sx(s) − x(0) = Ax(s)
ou (sI − A)x(s) = I.
(7.15)
Multiplicando a última equação por (sI − A)−1 obtemos que x(s) = (sI − A)−1 I =
(sI − A)−1 . Em outras palavras,
L{eAt } = (sI − A)−1
ou eAt = L−1 {(sI − A)−1 }.
(7.16)
Calcule eAt para:

Exercı́cio 7.9 A = 


0
1
8 −2
.

Exercı́cio 7.10 A = 

Exercı́cio 7.11 A = 
1
6


1
2
1
2
− 23
5
2
3 −1
1

sol.eAt =
.
2t
4e + 2e
8e − 8e
2t

sol.
eAt = 12 

.
−4t
3e − 3e
3e − e
t
0 0 0




Exercı́cio 7.12 A =  1 0 0 .


1 0 1


=

2t
t+1
−t
t
1−t
sol.
eAt
2t



1
0 0


1 0 

t
t
e −1 0 e
t


2e + 4e
e2t − et
1

−4t
2t
3et − e2t
eAt = e2t 

e −e
−4t

sol.
−4t
2t
t


7.3. Resolução de sist. lineares com coeficientes constantes
7.3
69
Resolução de sist. lineares com coeficientes constantes
Pelo processo anterior, qualquer sistema linear com coeﬁcientes constantes pode ser reduzido a uma única equação diferencial matricial ẋ(t) = Ax(t) + f (t), onde A é uma matriz
constante. Tal equação é formalmente equivalente a (2.11) com p(x) = −a, constante.
O sistema matricial
ẋ(t) = Ax(t) + f (t);
tem a solução
∫
x(t) = e
A(t−t0 )
t
At
c+e
x(t0 ) = c
(7.17)
e−As f (s)ds
(7.18)
t0
ou equivalente
∫
x(t) = e
A(t−t0 )
t
eA(t−s) f (s)ds
c+
(7.19)
t0
Em particular, se o problema de valor inicial é homogêneo (isto é, se
f (t) = 0), então ambas as equações (7.18) e (7.19) se reduzem a
x(t) = eA(t−t0 ) c
(7.20)
Nas soluções acima, as matrizes eA(t−t0 ) , e−As , e eA(t−s) se calculam facilmente a partir
de eAt substituindo a variável t por t − t0 , −s, e t − s, respectivamente. Em geral, x(t)
se obtém mais rapidamente a partir de (7.19) do que a partir de (7.18), pois a primeira
equação envolve uma multiplicação matricial a menos. Todavia, as integrais que surgem
em (7.19) são, em geral, mais difı́ceis do que as que aparecem em (7.18).
Quando não há condições iniciais prescritas, a solução de ẋ(t) = Ax(t) + f (t) é
∫
At
At
x(t) = e k + e
e−At f (t)dt
(7.21)
ou, quando f (t) = 0,
x(t) = eAt k
(7.22)
onde k é um vetor constante arbitrário. Todas as constantes de integração podem ser
desprezadas no cálculo da integral em (7.21), pois já se acham incorporadas em k.
Resolva as equações:
70
7.3. Resolução de sist. lineares com coeficientes constantes
··
·
··
·
··
·
·
Exemplo 106 x + 2x − 8x = 0, sendo x(1) = 2 e x(1) = 3
·
Exemplo 107 x + 2x − 8x = et , sendo x(0) = 1 e x(0) = −4.
Exemplo 108 x − 6x + 9x = t.
Resolva as equações:
··
·
Exercı́cio
7.13 x + 2x − 8x = 0

2e2(t−1) + e−4(t−1)
1

3
2(t−1)
−4(t−1)
4e
− 4e
··
·
··
·
para
Exercı́cio 7.14 x + 2x − 8x = 4 para x(1) = 0,


3
1 −4(t−1)
2(t−1)
−
+
e
+
e
2

sol. x (t) = 31  2
2(t−1)
−4(t−1)
2e
− 2e
···
Resolva os sistemas:

 x·· = 2x· + 5y + 3
Exercı́cio 7.17
 y· = −x· − 2y
x(1) = 0
sol.
·
x(1) = 0
Exercı́cio 7.15 x + 2x − 8x = 9e−t para x(0) = 0,
Exercı́cio 7.16 x = 6t para x(0) = 0,
·
x(1) = 1,
·
x(0) = 0
·
··
x(0) = 0,
x(0) = 0,
x(0) = 12
·
x(0) = 0,
y(0) = 1

 x· = x + 2y
Exercı́cio 7.18
 y· = 4x + 3y

 x·· = 3x· + 5x + 5y + 4
Exercı́cio 7.19
·
·

y = x − 2y
x(1) = 0,
·
x(1) = 0, y(1) = 1
x (t) =
Capı́tulo 8
FÓRMULAS
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
y′ = 0
1.
y=c
c = constante
2.
y = (u)n
y ′ = n.un−1 .u′
3.
y = (c.un )
y ′ = c.n.un−1 .u′
4.
y =u±v
y ′ = u′ ± v ′
5.
y ′ = u′ .v + u.v ′
6.
y = (u.v)
( )
y = uv
7.
y = sin u
y ′ = cos u.u′
8.
y = cos u
y ′ = − sin u.u′
9.
y = tan u
y ′ = sec2 u.u′
10.
y = cot u
y ′ = − csc2 u.u′
11.
y = sec u
12.
y = csc u
13.
y = arcsin u
14.
y = arccos u
15.
y = arctan u
16.
y = arccotu
17.
y = arcsecu
18.
y = arccscu
19.
y = ln u
√1
.u′
u u2 −1
y ′ = u√−1
.u′
u2 −1
y ′ = u1 .u′
20.
y = eu
y ′ = eu .u′
21.
y = au
y ′ = au . ln a.u′
22.
y = a log u
y′ =
u′ .v−u.v ′
v2
y ′ = sec u. tan u.u′ ou y ′ =
tan u ′
.u
cos u
u ′
y ′ = − csc u. cot u.u′ ou y ′ = − cot
.u
sin u
y′ =
√ 1
.u′
1−u2
−1
′
y ′ = √1−u
2 .u
1
′
y ′ = 1+u
2 .u
y′ =
−1
.u′
1+u2
y′ =
y′ =
1
.u′
u·ln a
72
Capı́tulo 8. FÓRMULAS
FÓRMULAS BÁSICAS DA INTEGRAÇÃO
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
un du =
un+1
n+1
+ c (n ̸= −1)
2.
sin udu = − cos u + c
4.
sec2 udu = tan u + c
6.
sec u tan udu = sec u + c
8.
csc u cot udu = − csc u + c
10.
sec udu = ln |sec u + tan u| + c
12.
sin2 udu = 21 u − 14 sin 2u + c
14.
√ du
= sin−1 ua + c
a2 −u2
√ du
= a1 sec−1 ua u u2 −a2
eu du = eu + c
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
du
u
= ln |u| + c
cos udu = sin u + c
csc2 udu = − cot u + c
tan udu = − ln |cos u| + c
cot udu = ln |sin u| + c
csc udu = ln |csc u − cot u| + c
cos2 udu = 21 u + 14 sin 2u + c
tan−1 ua + c
∫
∫
18.
udv = uv − vdu + c
∫ u
u
20.
a du = lna a + c
16.
+c
∫
du
a2 +u2
=
1
a
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
sin2 u + cos2 u = 1
1 + tan2 u = sec2 u
1 + cot2 u = csc2 u
tan u =
cot u =
cos u
sin u
sin u
cos u
tan u. cot u = 1
sin u. csc u = 1
cos u. sec u = 1
2u
sin2 u = 1−cos
2
√
u
sin = 1−cos u
2
2
2u
cos2 u = 1+cos
2
√
cos u = 1+cos u
2
2
sin (u ± t) = sin u cos t ± cos u sin t
cos (u ± t) = cos u cos t ∓ sin u sin t
tan (u ± t) =
sin 2u = 2 sin u cos u
tan u±tan t
1∓tan u tan t
cos 2u = 2 cos2 u − 1 = 1 − 2 sin2 = cos2 u − sin2 u tan 2u =
tan u2 =
1−cos u
sin u
=
sin u
1+cos u
cos u sin t = 12 [sin (u + t) − sin (u − t)]
sin u sin t = 12 [cos (u − t) − cos (u + t)]
2 tan u
1−tan2 u
sin u cos t = 12 [sin (u + t) + sin (u − t)]
cos u cos t = 12 [cos (u + t) + sin (u − t)]
Capı́tulo 8. FÓRMULAS
73
FÓRMULAS BÁSICAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
f (t)
F (s) = £ {f (t)}
1.
1
1
s
2.
t
3.
tn−1 (n = 1, 2, . . .)
√
t
1
s2
(n−1)!
sn
4.
3
1√
πs− 2
2
√ −1
πs 2
5.
1
√
t
6.
tn− 2 (n = 1, 2, . . .)
√
(1)(3)(5)...(2n−1) π
n
2
7.
eat
1
s−a
8.
sin at
a
s2 +a2
9.
cos at
s
s2 +a2
10.
t sin at
2as
(s2 +a2 )2
11.
t cos at
12.
tn−1 eat (n = 1, 2, . . .)
s2 −a2
(s2 +a2 )2
(n−1)!
(s
(s−a)n
13.
ebt sin at
a
(s−b)2 +a2
(s > b)
14.
ebt cos at
s−b
(s−b)2 +a2
(s > b)
15.
t sin at
2as
(s2 +a2 )2
16.
t cos at
s2 −a2
(s2 +a2 )2
17.
sin at + at cos at
2as2
(s2 +a2 )2
18.
sin at − at cos at
2a3
(s2 +a2 )2
1
s−n− 2
> a)
1
74
Capı́tulo 8. FÓRMULAS
Referências Bibliográficas
[1] ABUNAHMAN, S. A. Equações diferenciais. Ed. LTC.
[2] APOSTOL, Tom M. Calculus. VolII, Ed. Reverté S.A., 1967.
[3] AYRES Jr., Frank. Equações diferenciais. SP, Ed. McGraw-Hill, 1959.
[4] BASSANEZI, R. C. e FERREIRA Jr, W. C. Equações diferenciais com aplicações.
SP, Ed. Harbra, 1988.
[5] BOYCE, Willian E. e PRIMA, Richard C. Di. Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. RJ, LTC, 1994.
[6] BRONSON, Richard. Moderna introdução às equações diferenciais. SP: McGraw-Hill,
1977.
[7] EDWARDS Jr., C. H. e PENNEY, David E. Equações diferenciais elementares com
problemas de contorno. RJ: Prentice-Hall do Brasil, 1993.
[8] FIGUEIREDO, Djairo G. de e NEVES, A. F. Eq. diferenciais aplicadas. RJ: IMPA,
CNPq, 1997.
[9] IÓRIO, Valéria. EDP, Um curso de graduação. RJ, IMPA, CNPq, 1991.
[10] KREYSZIG, Erwin. Matemática superior. Vol. 1 RJ, LTC, 1969.
[11] LEIGHTON, Walter. Equações Diferenciais Ordinárias. RJ, LTC,1970.
[12] MACHADO, Kleber Daum. Equações diferenciais aplicadas à fı́sica. Ed. UEPG, 1999.
[13] MAURER, M. A. Cálculo diferencial e integral (Eq. Diferenciais). Vol. 4, Ed. Edgard
Blucher.
[14] PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Vol. 2, Ed. Lopes da Silva.
76
Referências Bibliográficas
[15] SOTOMAYOR, Jorge. Lições de equações diferenciais ordinárias. RJ, IMPA,1979.
[16] SPIEGEL, M. R. Transformadas de Laplace. Coleção Schaum. Ed.McGraw-Hill.
[17] ZILL, Demis G. Equações Diferenciais.