Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A X
1.2 – Triângulo equilátero circunscrito
1 - POLÍGONOS REGULARES E
CIRCUNFERÊNCIAS
A seguir, nós vamos analisar a relação entre
alguns polígonos regulares e as circunferências. Uma
propriedade interessante de qualquer polígono pode
ser inscrito em ou circunscrito a uma circunferência (ou
a um círculo). Os polígonos mais importantes e que
serão estudados agora são o triângulo equilátero
, o quadrado
e o hexágono regular
.
1.1 – Triângulo equilátero inscrito
Figura 2: triângulo equilátero circunscrito
Como o triângulo
é equilátero, o centro
da circunferência inscrita no triângulo (que é o
incentro) coincide com o baricentro e o ortocentro.
Assim, a medida do segmento
vale
da altura
do triângulo equilátero, pois é baricentro!
Sejam o raio da circunferência inscrita e o
lado do triângulo equilátero. Então, tem-se:
√
√
Figura 1: triângulo equilátero inscrito
Como o triângulo
é equilátero, o centro
da circunferência circunscrita ao triângulo (que é o
circuncentro) coincide com o baricentro e o ortocentro.
Assim, a medida do segmento
vale
da altura
do triângulo equilátero, pois é baricentro!
Sejam o raio da circunferência circunscrita e
o lado do triângulo equilátero. Então, tem-se:
√
Comparando o raio
da cincunferência
circunscrita com o raio
da cincunferência inscrita,
tem-se que
. De fato:
√
√
√
√
√
√
Observação: o raio da circunferência inscrita no
triângulo equilátero também é denominado
apótema do triângulo equilátero.
√
Além disso, nota-se que o ângulo ̂
na
figura é inscrito na circunferência e “enxerga” o arco
̂ . Logo, ̂
̂
̂
. Da
̂
̂
mesma forma, pode-se deduzir que
.
Isso significa que o triângulo
divide a
circunferência circunscita em três arcos iguais a
.
Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma
corda é o lado do triângulo equilátero inscrito, ela vai
determinar um arco de
.
Observação: quando se fala em um triângulo inscrito
em uma circunferência (como na figura 1), diz-se que a
circunferência é circunscrita ao triângulo. Quando se
fala em um triângulo circunscrito a uma circunferência
(como na figura 2), diz-se que a circunferência é
inscrita ao triângulo. Então:
A figura INscrita está dentro da outra;
A figura CIRCUNscrita está fora da outra;
Observação: o lado do triângulo equilátero inscrito
determina um arco de
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1
1.3 – Quadrado inscrito
Seja o lado do quadrado
, onde e
são pontos médios de
e
, respectivamente.
Então
. No entanto,
passa pelo centro da
circunferência inscrita, portanto
é um diâmetro.
Seja o raio da circunferência inscrita. Então,
tem-se que
. Logo:
Comparando o raio
da cincunferência
circunscrita com o raio
da cincunferência inscrita,
tem-se que
√ .
Figura 3: quadrado inscrito
Seja o lado do quadrado. Então a diagonal
vale √ . No entanto,
passa pelo centro
da
circunferência circunscrita, portanto
é um diâmetro.
Seja
o raio da circunferência circunscrita.
Então, tem-se que
. Logo:
Observação: o raio da circunferência inscrita no
quadrado também é denominado apótema do
quadrado.
1.5 – Hexágono regular inscrito
√
√
√
Além disso, nota-se que o ângulo ̂
na figura é inscrito na circunferência e “enxerga” o arco
̂ . Logo, ̂
̂
. Da mesma forma,
̂
̂
pode-se deduzir que ̂
.
Isso significa que o quadrado
divide a
circunferência circunscita em quatro arcos iguais a
.
Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma
corda é o lado do quadrado inscrito, ela vai determinar
um arco de
.
Figura 5: hexágono regular inscrito
Observação: o lado do quadrado inscrito determina
um arco de
1.4 – Quadrado circunscrito
Seja
o lado do hexágono regular. No
triângulo
, tem-se que
. Logo, o
̂
triângulo
é isósceles, portanto ̂
.
O ângulo
no triângulo
é um ângulo
interno ao hexágono, logo
, com
.
Logo,
. Além disso, a soma dos
ângulos internos do triângulo
é
. Então:
Além disso, nota-se que o ângulo ̂
na
figura 13 é inscrito na circunferência e “enxerga” o arco
̂ . Logo, ̂
̂
̂
. Da
mesma forma, pode-se deduzir que
̂
Figura 4: quadrado circunscrito
2
Geometria
̂
̂
̂
̂
.
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Isso significa que o hexágono regular
divide a circunferência circunscita em seis arcos iguais
a
. Portanto, em uma circunferência qualquer, se
uma corda é o lado do hexágono regular inscrito, ela
vai determinar um arco de
.
Observação: o lado do hexágono regular inscrito
determina um arco de
1.7 – Área do hexágono regular
Vimos que o triângulo
da figura 5 é
equilátero de lado . Da mesma forma, os triângulos
,
,
,
e
são todos equiláteros de
lado . Assim, o hexágono regular pode ser dividido em
6 triãngulos equiláteros de lado , como na figura 7
abaixo. Então:
Em particular, o arco ̂ vale
. E no
triângulo
, o ângulo ̂
é um ângulo central
que “enxerga” o arco ̂ , portanto
.
Seja
o raio da circunferência circunscrita.
No triângulo
, tem-se que
. Logo, o
̂
triângulo
é isósceles, portanto ̂
.
Além disso, a soma dos ângulos internos do
triângulo
é
. Então:
Figura 7: hexágono regular dividido em
Como o triângulo
possui todos os ângulos
iguais a
, ele é equilátero! Portanto,
.
Mas
é o lado do hexágono regular, o que leva a:
triângulos equiláteros
√
Logo, a área de um hexágono regular de lado
Conclusão: em um hexágono regular, o lado é igual
ao raio da circunferência circunscrita
1.6 – Hexágono regular circunscrito
√
é
√
1.8 – Polígono regular de
lados
A seguir, são listadas algumas propriedades
que valem para qualquer polígono regular, inscrito ou
circunscito:
Figura 6: hexágono regular circunscrito
No hexágono regular, o centro
da
circunferência circunscrita coincide com o centro da
circunferência inscrita. Sejam o raio da circunferência
circunscrita e o raio da circunferência inscrita. Logo,
no triângulo
,
e
.
O ângulo ̂
vale
. Assim, como o
triângulo
é retângulo, pode-se utilizar as relações
trigonométricas:

Em qualquer polígono regular, o centro
da
circunferência circunscrita e o centro
da
circunferência inscrita são pontos coincidentes.
Esse ponto é o centro do polígono regular;

Em qualquer polígono regular, o apótema é o
segmento com uma extremidade no centro do
polígono e outra no ponto médio de um lado do
polígono;

Em qualquer polígono regular, o apótema é o
raio da circunferência inscrita;

Em qualquer polígono regular de
lados, os
lados dividem a circunferência em
arcos
iguais a
;

Em qualquer polígono regular de
lados, o
ângulo cêntrico (cujo vértice está no centro do
polígono e cujos lados passam por vértices
consecutivos do polígono) vale
;

Para calcular a área de um polígono regular de
lados, divida-o em triângulos isósceles cujo
lado é o raio da circunferência circunscrita e
cuja base é o lado do polígono;
√
Observação: o raio da circunferência inscrita no
hexágono regular também é denominado apótema
do hexágono regular.
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Geometria
3
Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. (FUVEST - 00) Na figura abaixo,
é um
pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo é:
Nível I
1. (UNIFESP - 08) Tem-se um triângulo equilátero em
que cada lado mede
cm. O raio do círculo
circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede
a) √
b) √
d) √
c)
e) √
2. Um triângulo equilátero está inscrito em um círculo
de raio . Calcule a área deste triângulo.
3. (PUC-RJ - 01) Qual a razão entre os raios dos
círculos circunscrito e inscrito de um triângulo
equilátero de lado ?
b) √
a)
c) √
e) √
d)
4. (ENEM - 12) Em exposições de artes plásticas, é
usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas
giratórias. Uma medida de segurança é que a base da
escultura esteja integralmente apoiada sobre a
plataforma. Para que se providencie o equipamento
adequado, no caso de uma base quadrada que será
fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico
do evento deve estimar a medida do raio adequado
para a plataforma em termos da medida do lado da
base da estatua.
Qual relação entre
e
o auxiliar técnico deverá
apresentar de modo que a exigência de segurança
seja cumprida?
√
a)
d)
b)
e)
c)
√
√
5. (UEL - 99) Se um círculo de
de raio está
inscrito em um hexágono regular, o perímetro do
hexágono, em centímetros, é igual a
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
a)
b)
c)
d)
e)
10. Na figura,
é um diâmetro, a corda
é o lado
do triângulo equilátero inscrito e
, o lado do
quadrado inscrito. Calcule o ângulo , formado pelas
tangentes
e
.
11. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana IV
12. (MACKENZIE - 03) Na figura,
,
é o
centro da circunferência e
é o lado do polígono
regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da
circunferência é , a área desse polígono é:
e) √
6. (UFU - 01) Sabendo-se que um polígono regular de
lados está inscrito num círculo de raio
e que o
polígono possui
diagonais, encontre a medida do
comprimento de seu lado.
7. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana V
a) √
b) √
c) √
d)
√
e)
√
8. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana V
Correção da apostila do SAS: Na atividade Proposta
nº 10, Geometria Plana V, na alternativa d), troque
por
13. (UNICAMP - 04) Um triângulo equilátero tem o
mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado
mede
. Calcule:
a) O comprimento de cada lado do triângulo.
b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
14. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana IV
4
Geometria
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15. (UFSCAR - 05)
A figura 1 representa um
determinado encaixe no plano de ladrilhos poligonais
regulares ( hexágono, triângulos, quadrados), sem
sobreposições e cortes.
Em relação aos
ladrilhos triangulares colocados
perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado
na figura 2, é correto dizer que
a)
b)
são triângulos equiláteros e
são triângulos
isósceles de ângulo da base medindo
.
são triângulos equiláteros e
são triângulos
isósceles de ângulo da base medindo
.
c)
são triângulos isósceles de ângulo da base
medindo
e são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo
.
d)
são triângulos equiláteros e
retângulos isósceles.
são triângulos
e)
são triângulos equiláteros e
escalenos.
são triângulos
16. (ESPM - 11) Os pontos , , e são vértices
consecutivos de um polígono regular com
diagonais, cujo lado mede . O comprimento do
segmento
é igual a:
a) √
b)
√
c) √
d) √
e) √
18. (UFSCAR - 03) Uma placa de aço quadrada vai
ser transformada em um octógono regular, recortandose os quatro cantos do quadrado de forma a obter o
maior polígono possível, como mostra a figura.
Sendo a medida do lado do quadrado igual a
calcule, em função de ,
,
a) a medida de .
b) o perímetro do octógono obtido.
19. (PUC – PR - 04) Quatro triângulos congruentes
são recortados de um retângulo de
. O
octógono resultante tem oito lados iguais.
O comprimento do lado deste octógono é:
a)
b)
c)
d)
e)
20. A figura representa sete hexágonos regulares de
lado e um hexágono maior, cujos vértices coincidem
com os centros de seis dos hexágonos menores.
Então, a área do pentágono hachurado é igual a
17. (FATEC - 07) O lado de um octógono regular mede
. A área superfície desse octógono, em cetímetros
quadrados, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
√
√
√
√
√
a) √
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Geometria
b) √
c)
√
d) √
e)
√
5
8. Como
é o lado de um octógono regular (com
̂
lados),
. Além disso, seja
o
suplemento de . Como é tangente, é um ângulo d
segmento que enxerga o arco ̂ . Assim, tem-se:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. O lado do triângulo equilátero é
. Então:
√
√
̂
2. Como o triângulo equilátero está inscrito no círculo,
o círculo está circunscrito ao triângulo. Assim,
√
√
é o suplemento de , tem-se:
√
√
√
√
Lembre que a área do triângulo equilátero é
3. Veja o final da seção 1.2
4. Como a base (quadrada) da escultura está
integralmente apoiada sobre a plataforma (circular), o
quadrado está dentro do círculo, isto é, o quadrado
está inscrito.
5. Como o círculo está inscrito no hexágono, o
hexágono está circunscrito ao círculo. Então
√
Como
√
√
9. Trace a circunferência que passa pelos pontos , ,
, , . Como
é um pentágono regular (com
lados), os seus lados dividem a circunferência em
arcos iguais a
. Assim, ̂
Como
é um ângulo inscrito que enxerga o arcos ̂ :
̂
̂
10. Como
é um diâmetro, ̂
.
Como
é o lado do triângulo equilátero inscrito,
̂
. Como
é o lado do
quadrado inscrito, ̂
.
√
̂
√
̂
̂
̂
̂
̂
Note que o perímetro do hexágono é
̂
̂
6. Seja o número de lados do polígono. Como ele
tem diagonais, tem-se:
̂
̂
̂
Como
,
, logo o polígono é um hexágono.
7. Como
é um octógono regular (com
lados), os seus lados dividem a circunferência em
arcos iguais a
. Assim, temos:
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga
os arcos ̂ e ̂ , tem-se:
̂
6
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga
os arcos ̂ e ̂ , tem-se:
Como o hexágono está inscrito no círculo,
̂
̂
̂
̂
11. Note que os hexágonos regulares possuem o
mesmo lado que o quadrado, que por sua vez
possui o mesmo lado que o triângulo. Como o
hexágono regular e o triângulo possuem o mesmo
lado, a área de cada hexágono é seis vezes a área
do triângulo equilátero (veja a figura 7), ou seja, a
área de cada hexágono é
. Logo a ára total dos
hexágonos é
Note que cada um dos outros
triângulos é
retângulo (pois a soma dos ângulos ao redor de
cada vértice do quadrado é
), com os dois
catetos iguais ao lado do quadrado. Assim, a área
de cada um dos triângulos é a área de metade do
quadrado. Logo a área total dos triângulos é
.
Assim, a área do decágono é
Geometria
CASD Vestibulares
é o ângulo inscrito que enxerga ̂ :
12. Como
̂
̂
̂
̂
Seja o número d lados do polígono. Como o polígono
é regular, os seus lados dividem a circunferência em
arcos iguais a
. Assim, temos:
̂
Logo, o polígono é um hexágono inscrito! Como o
comprimento da circunferência é , tem-se:
15. Primeiro note que todos os triângulos hachurados
são isósceles, pois todas os polígonos da figura 1
possuem o mesmo lado.
Além disso, nos dois triângulos hachurados do meio,
o ângulo oposto à base é
(hexágono
regular)
(quadrado), logo o ângulo oposto à
base é
. Como os dois outros ângulos da base
são iguais entre si, os outros ângulos também são
iguais a
.
Já nos outros quatro triângulos, o ângulo oposto à
base é
(hexágono regular)
(quadrado)
(triângulo equilátero) , logo o
ângulo oposto à base é
. Como os dois outros
ângulos da base são iguais entre si, os outros
ângulos são iguais a
16. Seja o número de lados do polígono. Como ele
tem
diagonais, tem-se:
Como o hexágono é inscrito:
A área do hexágono é:
√
√
√
Como
13. a) O perímetro do hexágono é
.
Então o perímetro do triângulo também é
. Além
disso, como o triângulo é equilátero, o perímetro é
. Logo
b) Como o triângulo é equilátero, a sua área é:
√
√
,
, logo o polígono é um octógono.
O ângulo externo do polígono é
Prolongue os segmentos
e
. Seja o ponto em
que as retas
e
se cortam. Note que ̂ e
̂ são ângulos externos, logo ̂
̂
̂
√
̂
̂
̂
Como o hexágono é regular, a sua área é:
√
√
̂
̂
√
Logo, o triângulo
é retângulo isósceles, com
e
. Então:
14. Como o hexágono tem lado
, a sua área é:
√
√
√
Como o triângulo tem lado
(√
√
√
√
√
, a sua área é:
) √
√
√
CASD Vestibulares
√ √
)
√
̂
e
é retângulo isósceles
Note que
. Então o triângulo
√ √
√
Como o quadrado tem lado , a sua área é:
(
√
√
√
Geometria
√
√
7
17. Seja
um lado do octógono, o ponto médio de
e o centro do octógono. Logo ̂
̂
̂
. Como
, o triângulo
é isósceles. Assim, a mediana
também é bissetriz.
̂
Logo ̂
. Além disso, a
mediana
também é altura, logo ̂
.
Finalmente,
.
Usando arco metade em trigonometria, note que
.
√
Usando trigonometria no triângulo retângulo
:
( ̂ )
√
√
(√
)(√
(√
(√
)
A área do hexágono maior é
e a área de
√
cada hexágono menor é
. Além disso,
√
note que a diferença entre a área do hexágono maior e
a área do hexágono menor central é vezes a área do
pentágono hachurado. Então:
(√
)
e altura
√
√
1. B
, logo:
)
√
√
GABARITO
(√
tem base
√
)
√
)
√
√
)
é
O lado do hexágono maior é o dobro desse apótema:
√
(√
O triângulo
20. O apótema de cada um dos hexágonos de lado
√
√
(√
2. A área do triângulo é √
3. A
)
4. A
Note que a área do octónogo é oito vezes a área do
triângulo
18. Note que o lado do octógono é
. Como o
octógono é regular,
é a hipotenusa do triângulo
retângulo de catetos e . Usando Pitágoras:
5. A
6. A medida do comprimento do seu lado é
7. C
8. D
9. C
√
10. O ângulo
√
vale
11. A
√
√
√
12. B
13. a) Cada lado do triângulo mede
b) A razão entre as áreas é
Note que
19. Sejam o cateto horizontal e o cateto vertical dos
triângulos. Então o lado do octógono regular é
, logo
. Além disso, a
hipotenusa do triângulo é o lado do octógono, que vale
. Usando o Teorema de Pitágoras:
14. C
15. D
16. B
17. A
18. a) A medida de
é
√
b) O perímetro do octógono obtido é (√
ou
O lado do octógono é
8
. Como
,
)
19. C
20. E
Geometria
CASD Vestibulares