Atividade: Polígonos (ECA 05 – Atividade para 13/04/2015)
Série: 1ª Série do Ensino Médio
Etapa: 1ª Etapa 2014
Professor: Cadu Pimentel
GEOMETRIA: POLÍGONOS
ATENÇÃO: Estimados alunos, venho lembrar que somente será aceito o ECA daqueles alunos que apresentarem todas
as soluções completas dos exercícios no caderno. Os exercícios de casa serão anotados como COMPLETOS (ECA
realizado ≥ 90%), INCOMPLETOS (60% ≤ ECA realizado < 90%) ou NÃO REALIZADOS (ECA realizado < 60%).
01. (UFSC–SC 2014 – Adaptada) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(AS).
02) Um polígono regular de 17 lados possui uma diagonal que passa pelo centro da circunferência circunscrita a ele.
04) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão 𝑟 > 0. A quantidade de
possíveis valores para 𝑟 é igual a 59.
08) Se um polígono tem todos os seus ângulos congruentes entre si e se ele está inscrito em uma circunferência, então
ele é regular.
16) Em um triângulo 𝐴𝐵𝐶 o segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐻 , com 𝐻 no segmento ̅̅̅̅
𝐵𝐶 é perpendicular a ̅̅̅̅
𝐵𝐶 e ̅̅̅̅
𝐴𝐻 2 = ̅̅̅̅
𝐵𝐻 ∙ ̅̅̅̅
𝐶𝐻 . Se 𝑀 é o
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
ponto médio de 𝐵𝐶 então 2 ∙ 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶 .
02. (CEFET–RJ 2014) Na figura abaixo, 𝐴𝐵𝐶𝐸 é um retângulo e 𝐶𝐷𝐸 é um triângulo equilátero.
Sabendo que o perímetro do polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é 456 𝑐𝑚 e ̅̅̅̅
𝐶𝐷 mede 68 𝑐𝑚, qual é a medida do lado ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ?
(A) 118 cm.
(B) 126 cm.
(C) 130 cm.
(D) 142 cm.
03. (UECE–CE 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados 𝑛 é um terço do número de diagonais, então o
valor de 𝑛 é:
(A) 9.
(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
04. (IF–SP 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na
parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua
Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a
medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de:
(A) 50°.
(B) 60°.
(C) 70°.
(D) 80°.
(E) 90°.
05. (CEFET–RJ 2013) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e une alguns dos seis
pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa figura não é seguramente um:
(A) retângulo.
(B) trapézio.
(C) quadrado.
(D) triângulo equilátero.
06. (IF–CE 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é CORRETO afirmar-se que:
(A) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem √3 𝑐𝑚.
(B) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem √3 𝑐𝑚.
(C) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem √3 𝑐𝑚.
(D) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem √3 𝑐𝑚.
(E) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem √3 𝑐𝑚.
07. (UEG–GO 2006) Na figura a seguir, para quaisquer que sejam 𝑥 e 𝑦, as medidas dos ângulos satisfazem a relação:
(A) 𝑦 = 900 − 𝑥.
(B) 𝑦 = 1800 − 𝑥.
(C) 𝑦 = 2𝑥.
(D) 𝑦 = 3𝑥.
08. (PUC–RJ 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3𝑥 − 450 , 2𝑥 + 100 , 2𝑥 + 150 e 𝑥 + 200 . O menor
ângulo mede:
(A) 90º.
(B) 65º.
(C) 45º.
(D) 105º.
(E) 80º.
09. (UFSCar–SP 2005) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1
hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é
correto dizer que
(A) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15º.
(B) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30º.
(C) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50º e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo
30º.
(D) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
(E) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos.
10. (FUVEST–SP 2000) Na figura abaixo, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é um pentágono regular.
A medida, em graus, do ângulo 𝛼 é:
(A) 32º.
(B) 34º.
(C) 36º.
(D) 38º.
(E) 40º.
11. (FUVEST–SP 1997) 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus, de um dos
ângulos formados pelas diagonais ̅̅̅̅
𝐴𝐶 e ̅̅̅̅
𝐵𝐷 é:
(A) 90.
(B) 100.
(C) 110.
(D) 120.
(E) 150.
12. (UFSCar–SP 2000) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem:
(A) 6 lados.
(B) 9 lados.
(C) 10 lados.
(D) 12 lados.
(E) 20 lados.
13. (USF–SP) O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é:
(A) pentágono.
(B) hexágono.
(C) octógono.
(D) decágono.
(E) dodecágono.
14. (MACKENZIE–SP 1998) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais
desse polígono é:
(A) 90.
(B) 104.
(C) 119.
(D) 135.
(E) 152.
15. (PUC–SP) Qual é o polígono em que o número de diagonais é o dobro do número de lados?
(A) Dodecágono.
(B) Octógono.
(C) Hexágono.
(D) Pentágono.
(E) Heptágono.
16. (ITA–SP) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 2160º. O número de diagonais desse polígono que
não passa pelo seu centro é:
(A) 40.
(B) 50.
(C) 60.
(D) 70.
(E) 80.
17. (ESPM–RJ 2013 – Adaptada) Na figura abaixo, 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado, 𝐵𝐷𝐸 é um triângulo equilátero e 𝐵𝐷𝐹 é um
triângulo isósceles, onde ̅̅̅̅
𝐴𝐹 ≡ ̅̅̅̅
𝐴𝐵. A medida do ângulo 𝛼 é:
(A) 120º.
(B) 135º.
(C) 127º 30’.
(D) 122º 30’.
(E) 110º 30’.
18. (UEPG–PR 2011) Três polígonos regulares 𝐴, 𝐵, e 𝐶, têm números de lados, respectivamente, 𝑎, 𝑏, 𝑐, onde 𝑎 > 𝑏 >
𝑐. Sabendo-se que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 estão em progressão aritmética de razão −2 e que a soma de todos os ângulos internos dos
três polígonos é 3240º, assinale o que for correto.
01) O polígono A tem 35 diagonais.
02) O número de diagonais do polígono C é maior que 10.
04) A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º.
08) Cada ângulo externo do polígono A mede 36º.
16) Cada ângulo interno do polígono B mede 135º.
19. (UFT–TO 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma
progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede:
(A) 90º.
(B) 105º.
(C) 115º.
(D) 118º.
(E) 120º.
20. (CEFET–MG 2011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno tem forma
retangular e dimensões (40 𝑚 x 90 𝑚). Ele pretende cercar essa área com estacas de cimento distanciadas de 2,5 𝑚
uma da outra. O número de estacas necessário para cercar todo esse terreno é:
(A) 102.
(B) 103.
(C) 104.
(D) 108.
°
21. (UNIFESP–SP 2008) A soma de 𝑛 − 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900 . O ângulo
remanescente mede
(A) 120º.
(B) 105º.
(C) 95º.
(D) 80º.
(E) 60º.
22. (CEFET–CE 2007) Se a razão entre o número de diagonais 𝑑 e de lados 𝑛, com 𝑛 > 3, de um polígono, é um
número inteiro positivo, então o número de lados do polígono:
(A) é sempre par.
(B) é sempre ímpar.
(C) é sempre múltiplo de 3.
(D) não existe.
(E) é sempre primo.
23. (ITA–SP 2005) Seja 𝑛 o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de 𝑛 − 1 ângulos (internos) do
polígono é 2004º, determine o número 𝑛 de lados do polígono.
24. (ESPM–RJ 2011.2) Se o número de lados de um polígono convexo fosse acrescido de 3 unidades, seu número de
diagonais triplicaria. Podemos afirmar que a soma dos ângulos internos desse polígono é igual a:
(A) 720°.
(B) 900°.
(C) 1080°.
(D) 1200°.
(E) 1800°.
25. Três polígonos P1, P2 e P3 têm o número de seus lados consecutivos. Exemplo: (𝑛1 = 4, 𝑛2 = 5 e 𝑛3 = 6 ou 𝑛1 = 11,
𝑛2 = 12 e 𝑛3 = 13, entre outras possibilidades). Sabe-se que a soma do número de diagonais que passam pelo centro
destes três polígonos vale 17. Determine o número de diagonais de P2.
26. (FUVEST–SP 1998) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos
internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é:
(A) 6.
(B) 7.
(C) 13.
(D) 16.
(E) 17.
27. (UECE–CE 2010) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo
de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é:
(A) 144º.
(B) 150º.
(C) 156º.
(D) 162º.
28. (ITA–SP 2001) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total
dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:
(A) 63.
(B) 65.
(C) 66.
(D) 70.
(E) 77.
29. (ITA–SP 1998) Considere as afirmações sobre polígonos convexos:
I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.
III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados
do polígono é ímpar.
(A) Todas as afirmações são verdadeiras.
(B) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(C) Apenas (I) é verdadeira.
(D) Apenas (III) é verdadeira.
(E) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
30. Determine o número de lados de um polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 …, sabendo que as bissetrizes ̅̅̅̅
𝐴𝑃 e ̅̅̅̅
𝐶𝑃 dos ângulos 𝐴̂ e
̂
𝐶 formam um ângulo que vale 2/9 do seu ângulo interno.
31. (UESPI–PI 2012) Um polígono convexo com 15 lados tem todos os seus vértices em uma circunferência. Se não
existem três diagonais do polígono que se interceptam no mesmo ponto, quantas são as interseções das diagonais do
polígono?
(A) 1360.
(B) 1365.
(C) 1370.
(D) 1375.
(E) 1380.
32. (UNESP–SP 2012) Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase final de construção.
Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os quais serão cortados a partir de um vidro
pentagonal, com ou sem defeito, que possui 𝑛 bolhas de ar (𝑛 = 0, 1, 2, ⋯ ). Sabendo que não há 3 bolhas de ar
alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do
pentágono, o artesão, para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices
coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono.
Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (𝑇) possíveis de serem cortados pelo
artesão, em função do número (𝑛) de bolhas de ar contidas no vidro utilizado.
33. (UFSC–SC 2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos
medem 20 𝑐𝑚, 13 𝑐𝑚, 15 𝑐𝑚 e 23 𝑐𝑚, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono.
34. (ITA–SP 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200º. O
número de vértices deste prisma é igual a:
(A) 11.
(B) 32.
(C) 10.
(D) 20.
(E) 22.
35. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24º. Determine o número de
diagonais desse polígono.
GABARITO:
01. 16=16.
17. C.
02. B.
03. A.
04. B.
18. 01+04+08+16=29.
05. C.
19. B.
06. C.
20. C.
31. B.
07. B.
21. D.
08. B.
22. B.
09. D.
23. 14.
32. 𝑇 = 2𝑛 + 3, com 𝑛 ∈ ℕ.
10. C.
24. A.
33. 99 cm.
11. D.
25. 119.
34. E.
12. C.
26. B.
35. 90.
13. C.
27. C.
14. D.
28. B.
15. E.
29. B.
16. D.
30. 20.