Universidade Estadual do Oeste do Paraná – CCET – MATEMÁTICA
“XXIV SEMANA ACADÊMICA DE MATEMÁTICA”
Minicurso: Explorando o GeoGebra: Um software para o ensino e
aprendizagem da matemática.
Ministrantes: Daniel Zampieri Loureiro, Daniely Raquel Ghirotto, Diogo Leandro
Piano, Franciele Taís de Oliveira, Jacqueline Gabriela Cantu, Jaqueline Greff, Loise
Dietrich, Luciane Maria Tondo, Marizete Laufer
Bolsitas do Projeto Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência PIBID
Coordenado pela Professora Arleni Elise Sella Langer
Resumo: Neste minicurso serão trabalhados os conceitos básico para manipulação
do software GeoGebra, apresentando suas ferramentas e formas de utilização. Em
seguida serão propostas algumas atividades de construção para fixar a utilização
das ferramentas. No segundo momento pretende-se desenvolver algumas
aplicações matemáticas com a utilização do GeoGebra.
Cascavel
2010
Ministrante: Luciane Maria Tondo.
ATIVIDADES ENVOLVENDO PONTO, RETA E PLANO.
ATIVIDADE 1
1. Abra um arquivo novo.
2. Crie um ponto e nomeie-o P. modifique a cor do ponto para vermelho e seu estilo
para “tamanho 2”.
3. Para isso, escolha a ferramenta “Novo ponto” e clique em qualquer local na área de
desenho. Automaticamente o Geogebra o denominará A, sua cor será azul e de
tamanho 3.
4. Para alterar as características do ponto clique com o botão direito do mouse sobre
ele.
5. Escolha a opção “Propriedades”. Na janela propriedades escolha a paleta “Básico”
e altere o nome do ponto, em seguida escolha a paleta “Cor” e altere a sua cor, na
paleta “Estilo” poderá alterar o tamanho do ponto.
6. Clique em “Fechar” e as alterações já estarão modificadas.
7. Crie uma reta, nomeie-e a r e modifique seu estilo para tracejado de espessura 4.
8. Para isso, escolha a ferramenta “Reta Definida por Dois Pontos”, clique em um
local do plano, mova o cursor, escolha a posição da reta e clique novamente com o
botão esquerdo do mouse. Perceba que é necessário determinar um segundo
ponto para que a reta seja traçada.
9. Por padrão, o Geogebra nomeará o primeiro ponto de A, o segundo de B e a reta
por “a”. Clique com o botão direito sobre a reta e escolha a opção “Propriedades”,
altere seus nomes, cores e espessuras e estilo de linha.
10. Determine um ponto Q pertencente à reta r, distintos dos pontos que deram origem
à reta.
11. Para isso escolha a ferramenta “Novo Ponto” e posicione o cursor sobre a reta,
quando o cursor estiver sobre a reta aparecerá uma caixa de alerta. Clique, nesta
posição será marcado o ponto C. Modifique o nome para Q, conforme já descrito.
12. Determine um ponto T não pertencente à reta r.
13. Com a ferramenta “Novo Ponto” clique sobre um local do plano não pertencente a
reta. Nomeie-o T.
14. Apague o ponto P.
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15. Clique sobre os botões “Desfazer” e “Refazer” e observe suas ações sobre a
construção.
16. Escolha a ferramenta “Mover” e arraste o ponto T, coloque e retire-o do traçado da
reta. Agora, tente retirar o ponto Q da reta. O que acontece? Explique.
17. Apague o ponto A. O que acontece com a reta r? Desfaça a ação e repita o mesmo
com o ponto B.
18. Para finalizar salve o arquivo com o nome “Atividade1.ggb”.
ATIVIDADE 02
1. Abra um novo arquivo.
2. Crie dois pontos, nomeie-os P e Q.
3. Pode-se clicar com o botão direito sobre o ponto e escolher a opção “Renomear”.
4. Desenhe a reta que passa por P e Q e atribua a essa reta o nome s.
5. Use a ferramenta “Reta Definida por dois Pontos”, clique sobre os dois pontos.
Nomeie a reta por s e altere a cor da reta por verde.
6. Agora tente usar a ferramenta “Reta Definida por dois Pontos” para traçar outra
reta de cor preta que passe por P e Q. O que acontece?
7. Desfaça a construção para retornar a reta s.
8. Crie um ponto M fora de s. Crie uma nova reta r que é determinada por M e P.
9. Como consequência o ponto P pertencerá as duas retas r e s. O que chamamos de
interseção de r e s.
10. Tente movimentar, a reta r, o ponto Q, o ponto M, a reta s. O ponto P deixa de
pertencer às duas retas? Tente movimentar o ponto P, tente retira-lo da interseção.
Isso é possível?
11. Salve este arquivo como “Atividade2.ggb”.
Ministrante: Jaqueline Greff.
ATIVIDADES DE POLÍGONOS
ATIVIDADE 03
1. Utilizando a ferramenta polígono construa um polígono qualquer, e determine suas
bissetrizes e movimente os vértices dos polígonos.
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ATIVIDADE 04
1. Construa um triângulo qualquer utilizando a ferramenta polígono regular.
2. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos,
a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus
lados.
ATIVIDADE 05
1. Clique em exibir, exibir malha, construa um quadrado utilizando a ferramenta
polígonos regulares (de cinco unidades por exemplo), depois conte os
quadradinhos e verifique o valor da área fornecida na parte esquerda.
2. Construa agora sem apagar o quadrado um triângulo usando a opção polígonos
(de base 5 unidades e altura 5 unidades por exemplo). Conte os quadradinhos.
3. Identifique a base e a altura dos polígonos desenhados.
4. Faça isso e responda:
a. A partir da medida das bases e das alturas dos polígonos, é possível
construir uma relação numérica para essas áreas?
b. Pense inicialmente no quadrado, qual é a relação entre o valor encontrado
para a área e a medida do lado?
c. Pense agora no triângulo. Qual é a relação entre o valor encontrado para a
área e as medidas da base e da altura?
ATIVIDADE 06
1. Clique em exibir, exibir malha, construa um quadrado utilizando a ferramenta
polígonos (de base maior
7 unidades, base menor de 3 unidades e altura 3
unidades).
2. Construa um retângulo (de base 5 unidades e altura 3 unidades).
3. Faça uma análise das áreas dos dois polígonos, qual conclusão conseguiu chegar?
Tente obter uma relação entre a área do trapézio e a área do retângulo
geometricamente.
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Ministrante: Daniel Zampieri Loureiro.
SEGMENTO ÁUREO
Definição: Dado um segmento AB, determinar um ponto C, interno a AB , tal que
AC CB
=
. O segmento AC que satisfaz as condições do problema anterior, ou
AB AC
qualquer outro segmento congruente a ele, é denominado segmento áureo de AB.
ATIVIDADE 07
1. Construa o segmento áureo de um segmento AB de 7cm de comprimento. Qual é,
aproximadamente, a medida desse segmento áureo?
2. Construa o segmento áureo de
qualquer.
3. Construa um triângulo isósceles cujos lados congruentes tem comprimento 5cm e
cuja base é o segmento áureo de 5cm. Verifique que o ângulo do vértice mede 36º.
Ministrante: Jaqueline Cantu.
ATIVIDADES DE CIRCUNFERÊNCIAS
ATIVIDADE 08
1. Construa uma circunferência com:
a. medida do raio igual a 2 cm;
b. centro O e identifique-o com outra cor;
c. pontos ( A, B e C ) pertencentes á circunferência;
d. pontos ( D, E e F ) exteriores á circunferência;
e. pontos ( G, H e I ) interiores á circunferência;
2. Calcule a área e o perímetro da circunferência.
ATIVIDADE 09
1. Um ponto P dista 10cm do centro O de uma circunferência de raio 5cm. T
2. Trace uma reta tangente á circunferência passando por P.
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ATIVIDADE 10
1. Se construirmos duas circunferências tangentes entre si, seus centros e o ponto de
tangencia serão colineares?
2. Faça uma construção que verifique essa propriedade.
ATIVIDADE 11
1. Por meio de uma construção mostre que vale a seguinte proposição: “Numa
circunferência, se um raio é perpendicular a uma corda, então ele intercepta a
corda no seu ponto médio.”
ATIVIDADE 12
1. Por meio de uma construção mostre que vale a seguinte proposição: “Uma reta
perpendicular a um raio de uma circunferência na sua extremidade final é tangente
á mesma.”
Ministrante: Diogo Leandro Piano.
ATIVIDADES DE ÂNGULOS
ATIVIDADE 13
1. Crie um pentágono regular.
2. Calcule seu perímetro e depois seu apótema.
ATIVIDADE 14
1. Construa um triângulo retângulo de catetos iguais a 6 unidades e 3 unidades.
2. Calcule sua área.
ATIVIDADE 15
1. Construa um ângulo agudo
2. Construa um ângulo obtuso
3. Meça os ângulos formados.
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ATIVIDADE 16
1. Construa dois ângulos adjacentes, utilizando a ferramenta ângulo de amplitude fixa,
sendo um com medida de 60 graus e o outro com 45 graus.
2. Depois de construí-los meça a soma desses dois ângulos.
ATIVIDADE 17
1. Construa uma polígono qualquer, e faça o seguinte:
a. Meça os seus lados;
b. Calcule a medida dos seus ângulos;
c. Calcule a área dessa figura.
Ministrante: Loise Dietrich.
ATIVIDADES DE FUNÇÕES
ATIVIDADE 18
1. Analisando a função linear - como ela se comporta quando os coeficientes mudam?
2. Crie um vetor seletor “a” variando de (-10,10), com incremento 1;
3. Crie um vetor seletor “b” variando de (-10,10), com incremento 1;
4. No campo de entrada de texto crie a função abaixo e pressione Enter.
5. f(x)=a*x+b ou f(x)=a x+b
6. Oscile os seletores criados, clicando e segurando com o botão esquerdo sobre “a”
ou “b” e verifique o que acontece com a função. Ou ative a animação de cada
seletor.
ATIVIDADE 19
1. A função do segundo grau:
2. Crie um vetor seletor “a” variando de (-10,10), com incremento 1;
3. Crie um vetor seletor “b” variando de (-10,10), com incremento 1;
4. Crie um vetor seletor “c” variando de (-10,10), com incremento 1;
5. No campo de entrada de texto crie a função abaixo e pressione Enter.
6. f(x)=a*x^2+b*x + c
7. Fixando a=1, movimente o seletor b e verifique o que acontece com a função;
8. Fixando a=1 e b=0, movimente o seletor “c” e verifique;
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9. Fixando a=1 e c=0, movimente o seletor “b” verificando o movimento da função;
10. Analise o movimento de todos os seletores obtendo conclusões do comportamento
da função.
ATIVIDADE 20
1. Analisando a função seno:
2. Crie um vetor seletor “a” variando de (-5,5), com incremento 0.5;
3. Crie a função seno no campo de entrada de texto
4. g(x)=sin(x+a)
5. Movimente o vetor a e verifique o que acontece;
6. Modifique a função seno escrevendo-a como;
7. g(x)=sin(x a) ou g(x)=sin(x*a)
8. Verifique o que acontece com a função ao movimentar “a”, ou ao colocar a
animação ativada.
9. Modifique a função seno escrevendo-a da forma abaixo e repita o processo anterior
de análise;
10. g(x)=a+sin(x)
11. Faça o mesmo com a função abaixo
12. g(x)=a*sin(x) ou g(x)=a sin(x)
ATIVIDADE 21
1. Analisando a função cosseno:
2. Crie um vetor seletor “a” variando de (-5,5), com incremento 0.5;
3. Crie a função seno no campo de entrada de texto;
4. h(x)=cos(x+a)
5. Movimente o vetor a e verifique o que acontece;
6. Modifique a função seno escrevendo-a como;
7. h(x)=cos(x a) ou h(x)=cos(x*a)
8. Verifique o que acontece com a função ao movimentar “a”, ou ao colocar a
animação ativada;
9. Modifique a função seno escrevendo-a da forma abaixo e repita o processo anterior
de análise;
10. h(x)=a+cos(x)
11. Faça o mesmo com a função abaixo.
12. h(x)=a*cos(x) ou h(x)=a cos(x)
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Ministrante: Daniely Raquel Ghirotto.
CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA
ATIVIDADE 22
1. Construa uma reta a definida por dois pontos, neste caso A e B
2. Marque um ponto C fora da reta
3. Marque um ponto D na reta a.
4. Pelo ponto D, construa uma reta perpendicular a reta a
5. Construa a mediatriz entre os ponto C e D.
6. Na intersecção da mediatriz com a reta perpendicular, marque um ponto E.
7. Temos agora que E é um ponto da parábola, C é o foco, e a é a reta diretriz. Clique
com o botão direito do mouse no ponto E e selecione a opção HABILITAR
RASTRO.
8. Para visualizar o traçado da Parábola, selecione a ferramenta MOVER, clique
sobre o ponto D, e arraste-o por toda a reta a.
9. Agora desabilite o rastro do ponto E, da mesma maneira que foi feito para habilitar.
10. Agora selecione a ferramenta PARÁBOLA, indicada abaixo na figura. Clique
primeiro no foco, neste caso em C, e depois na reta diretriz, neste caso a.
11. Agora selecione a ferramenta MOVER, indicada abaixo na figura, e movimente o
ponto D, por toda a reta a.
Ministrante: Franciele Taís Oliveira
CONSTRUÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
ATIVIDADE 23
1. Construa um segmento de reta passando por dois pontos, A e B.
2. Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando por A.
3. Construa um segmento de reta AC, sobre a reta. E em seguida trace o segmento
BC.
4. Selecione a ferramenta EXIBIR/ ESCONDER OBJETO, e esconda a reta
perpendicular traçada anteriormente, clicando sobre ela. Em seguida clique em
MOVER. Assim a reta ficará escondido.
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5. Clique com o botão direito do mouse sobre os lados do triângulo e renomeie-os de
a, b e c de conforme convenção para triângulos retângulos. Observação: Os lados
são renomeados um de cada vez.
6. Agora marque o ângulo CÂB, clicando primeiro sobre o segmento de reta AB e em
seguido sobre o segmento de reta AC.
7. Selecione a ferramenta POLIGNO REGULAR e clique sobre os vértices do
triângulo, dois a dois, sempre no sentido horário. E clique em OK.
8. Agora mostre que a área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos
quadrados menores. Selecione a ferramenta ÁREA, e clique sobre os quadrados,
um de cada vez.
Ministrante: Marizete Laufer
TEOREMA DE TALES
Definição: Se três ou mais retas paralelas são cortadas por duas transversais, os
segmentos determinados numa das transversais são proporcionais aos segmentos
correspondentes determinados na outra transversal.
ATIVIDADE 24
1. Abra um arquivo novo.
2. Crie uma reta r.
3. Crie outras duas retas s e t paralelas à r.
4. Crie duas retas u e v transversais ao feixe de paralelas {r,s,t}.
5. Determine os pontos A, B e C de interseção de u com r, s e t, respectivamente.
6. Determine os pontos A`, B`e C` de interseção de v com r, s e t, respectivamente.
7. Calcule as razões:
AB A' B '
=
BC B ' C '
8. Movimente as retas u e v e movimente também as retas r, s e t. Observe que as
razões sempre são iguais.
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REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE, Luciane de. O uso do programa no ensino de geometria
plana de 5ª a 8ª seres do ensino fundamental das escolas públicas estaduais
do Paraná. Curitiba, 2008.
BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria
Dinâmica utilizando o software Geogebra. Rio de Janeiro, 2009.
GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO,
Valdeni Soliani Franco. Geometria Euclidiana Plana um estudo com os
Software Geogebra. Maringá: EDUEM, 2010.
SILVEIRA, Enio; MARQUES Claudio. Matemática Compreensão oitavo ano.
São Paulo: Moderna, 2008.
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