GRÁFICOS EM COORDENADAS POLARES: UMA ANÁLISE
SOBRE O DESEMPENHO DE ALUNOS
Gilmer Jacinto Peres
Instituto Superior de Educação Anísio Teixeira
RESUMO: O uso do computador, como ferramenta auxiliar na aprendizagem, pode contribuir
para um melhor desempenho dos alunos. Neste trabalho, descrevemos a análise de uma
atividade que foi aplicada a alunos de Licenciatura em Matemática, essa atividade foi realizada
com o uso de um software no laboratório de informática da instituição na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral III. A atividade envolveu a construção de gráficos em Coordenadas
Polares a partir do software MathGv. Os resultados evidenciam duas posturas dos alunos: um
grupo que utilizou os recursos do computador para fazer suas observações e verificar suas
conjecturas e outro grupo que apenas construiu os gráficos sem, no entanto, registrar as
observações feitas.
PALAVRAS-CHAVE: Coordenadas Polares; Ensino de Matemática; Laboratório de
Informática.
1. Introdução
O presente pôster aborta a análise de uma atividade que foi aplicada em alunos
de graduação no laboratório de informática. A atividade tratou da construção de gráficos
em Coordenadas Polares, e foi realizada por alunos do quinto período da Licenciatura
em Matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III em uma instituição
situada na grande Belo Horizonte.
Frota (2004) descreve, em seu trabalho, uma investigação sobre o uso de
estratégias gráficas na aprendizagem de Cálculo por alunos de engenharia. Embora a
pesquisadora tenha focado sua pesquisa na representação gráfica de funções
integrandas, ela aponta que estratégias gráficas podem evitar o uso indevido de certos
teoremas do Cálculo, e destaca que, dentre os alunos pesquisados, mesmo aqueles que
possuíam calculadoras gráficas na atividade demonstraram resistência em usá-las, e por
isso questiona quais as origens dessa resistência pelos alunos.
Outro trabalho, realizado por Peres (2007), descreve um relato de experiência
que utilizou a construção de gráficos em Coordenadas Polares. O autor destaca que os
alunos, no desenvolvimento da atividade proposta, limitaram-se apenas em resolver as
questões, não utilizando as potencialidades existentes no software para esboçar outras
funções diferentes das propostas.
Nesse contexto, analisar a produção de alunos a partir que uma atividade que
estimule a construção de gráficos e a reflexão após a mudança de variáveis na função,
pode ajudar a entender os motivos pelos quais os alunos não utilizam as estratégias
gráficas e nem as potencialidades das ferramentas que dispõe.
Este trabalho consta de quatro partes: na primeira destacamos os conceitos
principais sobre coordenadas polares e os referenciais sobre o uso do computador; na
segunda parte destacamos os procedimentos metodológicos dessa pesquisa; na terceira
destacamos a análise feita a partir dos registros dos alunos e na última parte destacamos
as considerações referentes a analise dos dados.
2. Coordenadas polares e o uso do computador
No sistema de coordenadas retangulares, um ponto é localizado a partir de um
par ordenado ( x, y ) .
Já o sistema de coordenas polares:
“consiste em um ponto O fixo, chamado de pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo,
chamado eixo polar. Num tal sistema de coordenadas, podemos associar a cada ponto P do
plano um par de coordenadas polares ( r , θ ) , onde r é a distância de P ao pólo e θ é o
ângulo entre o eixo polar e o raio OP .” (ANTON; BIVNES & DAVIS, 2007, p.717).
Nesse sistema, podemos utilizar eixos auxiliares que formam outros ângulos
com o eixo polar.
Outro conceito utilizado na atividade foi o de simetria. Uma curva, quando feita
a partir do sistema de Coordenadas Polares, pode ser simétrica em relação ao eixo polar
quando, na expressão matemática de sua função, o θ for substituído por − θ e a
equação obtida for equivalente à primeira. Também pode ser simétrica ao eixo que
forma um ângulo de
π
2
com o eixo polar quando, na expressão matemática de sua
função, θ for substituído por π − θ e a equação resultante for equivalente. Outra forma
de simetria está em substituir, na expressão matemática de sua função, θ por π + θ ;
neste caso, se a equação obtida for equivalente, a curva será simétrica em relação ao
pólo.
Em seu trabalho, Borba e Penteado (2007) discutem a inserção da informática no
ensino de Matemática. Eles destacam a importância e a necessidade da inserção do
computador nas escolas, e destacam que “a escolha de propostas pedagógicas que
enfatizem a experimentação, visualização, simulação, comunicação eletrônica e
problemas abertos. Consideramos que essas propostas estariam em ressonância e em
sinergia com a informática.” (BORBA & PENTEADO, 2007, p.88).
3. Metodologia
O trabalho foi desenvolvido com uma turma do quinto período do curso de
Licenciatura em Matemática em um Instituto Superior de Educação situado na grande
Belo Horizonte.
A atividade, que utilizou os computadores do laboratório de informática da
instituição, teve como foco estimular os alunos a entender o comportamento de gráficos
em Coordenadas Polares a partir de modificações feitas na expressão matemática de
funções que foram propostas inicialmente. A escolha dos valores era feita pelos próprios
alunos, o que entendemos permitir uma maior participação na atividade.
A atividade teve a duração de cem minutos. Os alunos foram divididos em
duplas, e cada dupla recebeu a atividade impressa em uma folha que continha também
algumas instruções para o uso do software. O software Mathgv1 é um software que foi
desenvolvido por Greg Van Mullem para o traçado de gráficos em duas e três
dimensões e também em Coordenadas Polares nesse programa, a variável θ deve ser
substituída por x.
Na primeira questão, foi solicitado aos alunos que criassem gráficos em
Coordenadas Polares a partir de funções que gerariam circunferências2. Os alunos
deveriam criar funções diferentes e comentar sobre as possíveis mudanças ocorridas no
gráfico da função em relação aos valores escolhidos. O objetivo dessa questão era fazer
com que os alunos percebessem que as três funções gerariam circunferências e que as
mudanças feitas alterariam apenas os raios das mesmas.
1
2
Disponível em: http://www.mathgv.com/ .
As funções sugeridas foram: r = a ; r = 2a cos( x) e
r = 2asen( x) .
A segunda questão, como ampliação da primeira, teve por objetivo trabalhar a
idéia de simetria existente nos gráficos. Em coordenadas polares, uma função pode ser
simétrica em relação ao pólo, ao eixo polar e ao eixo que forma um ângulo de
π
2
com o
eixo polar.
A terceira questão abordou a construção de gráficos que formam rosáceas3, e os
objetivos foram os mesmos apresentados na questão de número um.
Na quarta questão, abordamos os mesmos objetivos presentes na segunda
questão, porém tendo como foco a análise dos gráficos esboçados na terceira questão.
As nove duplas foram identificadas pelas letras do nosso alfabeto: A, B, C,.... H,
I.
Neste trabalho, destacaremos apenas os resultados da dupla B, uma vez que eles
foram os únicos a desenvolverem toda a atividade. As outras duplas optaram em esboçar
primeiro todos os gráficos, o que impediu o registro de suas observações.
4. Análise das respostas
A dupla B, destacada neste trabalho, fez considerações bastante interessantes em
relação à primeira questão. Eles perceberam que o valor atribuído para a constante a
determinava o raio da circunferência, e destacaram que, no caso das funções que
utilizam o seno e o cosseno, o valor atribuído para a determinava o diâmetro da
mesma. Nessa observação, os alunos esqueceram que a expressão dada para a
construção dos gráficos era r = 2a cos( x) e r = 2asen( x) , o que fazia o valor de a
dobrar sempre. Para o caso das circunferências geradas pela função r = a , eles
observaram que os centros estariam sempre na origem.
Na segunda questão, os alunos também fizeram observações bastante
interessantes para cada um dos casos.
No item a, que pedia a troca de f(x) por f(-x), eles destacaram que não há
alterações no gráfico para as funções r = 2a cos( x) . Já para as funções r = 2asen( x) ,
eles perceberam que:
3
As funções sugeridas foram:
r = asen(n θ ) e r = a cos(nθ ) .
“o gráfico foi simétrico, ou seja, rebateu em y, mas em sentido oposto ao da
função primária.” (Alunos da dupla B).
Nesse caso, podemos perceber uma confusão dos alunos que utilizaram o termo
eixo y, enquanto que o correto seria o uso de eixo que forma um ângulo de
π
2
com o
eixo polar. Apesar desse erro, eles foram capazes de perceber a existência de simetria,
um dos objetivos da questão.
Já para o segundo item que pedia a troca de f(x) por f( π -x), eles destacaram
que:
“O gráfico de 4cos(pi-x) é simétrico ao gráfico da função primária, rebate
no eixo x mas em sentido oposto. O gráfico de 4sen(pi-x) manteve igual ao
da função primária.” (Dupla B).
Na terceira questão eles destacaram que:
“Quando atribuímos valores pares, percebemos que na função seno
as pétalas fixam nos eixos, e na função cosseno, as pétalas fixam
nas bissetrizes dos quadrantes. No caso de valores ímpares, sempre
vai existir uma única pétala que se fixará no eixo respectivo da
função, ou seja, quando a função for seno, a pétala fixará no eixo y,
quando for cosseno fixará no eixo x. O número de pétalas para
valores pares será sempre o dobro, para valores ímpares, esse valor
determinará o número de pétalas.” (Dupla B)
Na última questão, eles também foram capazes de perceber quando os gráficos
seriam simétricos.
Essas respostas evidenciam que, para esses alunos, a atividade proporcionou
uma melhor compreensão sobre os gráficos em Coordenadas Polares.
5. Considerações Finais
No desenvolvimento dessa atividade chama a atenção que, das nove duplas
participantes, apenas uma dupla avançou tanto.
Quando indagados sobre a falta de registro, as outras oito duplas alegaram que
consideravam mais importante a realização de todos os gráficos, para depois
observarem e registrarem suas conclusões. Todas essas duplas fizeram o registro apenas
da primeira atividade, destacando que o raio das circunferências era determinado pela
constante a . Embora o professor, no desenvolvimento da tarefa, tenha deixado claro
que não havia a necessidade dos alunos se preocuparem em realizar toda a atividade, e
que seria mais interessante que eles explorassem cada questão esgotando todas as
possibilidades para então passar para a próxima, ainda sim eles optaram em realizar
primeiro a construção de todos os gráficos.
Em relação a essas duas posturas, podemos entender que nesse estudo de caso os
alunos, em sua maioria, ainda apresentam uma preocupação focada na resolução da
atividade, e não na reflexão e análise dos resultados encontrados. No caso da dupla B,
podemos entender que, quando os alunos se preocupam na reflexão e análise dos dados
encontrados, eles conseguem avançar, chegando a várias observações.
Essa situação sugere um trabalho de maior conscientização por parte dos
professores, levando os alunos e entender que, em alguns casos, a análise e a reflexão
permitem um melhor entendimento de conceitos matemáticos.
6. Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Trad. Claus Ivo Doering.
8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação
Matemática. 3.ed. 2. reimp. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
FROTA, Maria Clara R. Estratégias gráficas na aprendizagem de Cálculo. In: VIII
ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática, 2004, Recife. Anais do VIII
ENEM, 2004. p.7-20.
PERES, Gilmer J. Coordenadas Plares: uma experiência no laboratório de
informática. In: IX ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007. Belo
Horizonte. Anais do IX ENEM, 2007.p.2-5.