Ensino Superior
Cálculo 3
9. Integrais Duplas
Coordenadas Polares
Amintas Paiva Afonso
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis
x = x(u, v) e y = y(u, v)
uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser
transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do
plano uv.
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e
podemos retornar de D para D’ através da transformação
inversa
u = u(x, y) e v = v(x, y).
Considerando que as funções em (1) e (2) são
contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D,
respectivamente, temos
(3)
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Onde
é o determinante jacobiano de x e y em relação
a u e v, dado por
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos
(x, y) do plano xy é dada por
(4)
e seu jacobiano é dado por
Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:
(5)
Coordenadas Polares
Obtenção da Fórmula
Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:
Coordenadas Polares
Área A’ do retângulo em D’
Área A do retângulo polar em D
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
dA = dxdy = rdrd
V
x2
x2 y2
2 r 2
x1
x1 y1
1 r1
 A( x)dx   .  f ( x, y)dydx   .  f (r , )rdrd 
Coordenadas Polares
Integral Dupla em D’
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).
Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário
(xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por
(rk cosk , rk sink)
que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em
D’. Assim, a soma de Riemann
é equivalente a
onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.
Coordenadas Polares
Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais
dos n retângulos tendendo a zero, temos
que equivale a integral
dada pela fórmula (5).
Coordenadas Polares
y
P(x,y) = P(r,)
y
r

x
x
Relações:
r2 = x2 + y2
 = arctg(y/x)
x = r.cos
y = r.sen
z=z
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
y
r2 = x 2 + y 2
 = arctg y/x
y
retang.  polares
polares  retang.
P
r

cos  = x/r
sen  = y/r
x
x = r cos 
y = r sen 
x
Curvas em Coordenadas Polares
y
2 r

r = f ()
1    2

P
1
x
Regiões em Coordenadas Polares
y
R
2
f1 ()  r  f2 ()
1    2
1
r = f1 ()
r = f2 ()
x
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
y
R
Rk = (r12 - r22)( - )/2
= [(r1 + r2)/2] (r)
r
2
Rk

r1
unidade de área:
Rk

x
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Cálculo de Integrais Duplas em
Coordenadas Polares
R:    
r1 ()  r  r2 ()
 f ( r , )dA
R

 r ( )
2
 
 r ( )
1
f (r, )rdrd
Exercícios
Exemplo: Calcular
 e
x2  y2
dydx
R
R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo.
R=1
Área de uma superfície
Área  
R
f  f  1dydx
2
x
2
y
Exemplo:
Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2
abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
Exercícios
Exercícios
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y)  0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Teorema de Fubini
b
b d
a
a c
 f ( x, y)dxdy   A( x)dx  [ f ( x, y).dy]dx
Teorema de Fubini
d
d b
c
c a
 f ( x, y)dxdy   A( y)dy  [ f ( x, y).dx]dy
Exercícios
Cálculo Áreas de Regiões Planas
Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é
dada por:
Exercícios