análise de placas
Prof. Pedro Sá
Livro Texto:
Theory of Plates and Shells – Timoshenko and Woinowsky-Krieger
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
análise de placas
Prof. Pedro Sá
Flexão de Placas Longas Retangulares
Seja a placa da figura 1, carregada transversalmente.
A deformada de uma faixa de largura elementar
assemelha-se a de um a viga fletida.
h = espessura da placa
l = largura da placa
x-y: plano médio da placa
Fig.1
A faixa de largura elementar pode ser considerada uma
viga de comprimento l e seção retangular de altura h.
dθ y
du
d 2w
x 
z
 z 2
dx
dx
dx
Assim, x-y é a superfície neutra da placa fletida.
Fig.2
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Flexão de Placas Longas Retangulares
dθ y
du
d 2w
x 
z
 z 2
dx
dx
dx
Pela Lei de Hooke,
x 
x
E

n y
e y 
E
y
E

n x
E
0
Fig.1
onde E é o módulo de Young e n o coeficiente de Poisson.
  y  n x
e
x

1  n 

2
E
x
ou
x 
E x
1 n 2
 Ez d 2 w
Logo,  x 
1  n 2 dx2
Fig.2
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Flexão de Placas Longas Retangulares
 Ez d 2 w
x 
1  n 2 dx2
O momento resultante por unidade de comprimento na faixa de largura elementar é
(figura 2):
2
2
3
2
Ez d w
 Eh d w
m y  M   h z x dz  M   h
dz  M 
2
2
dx
12 1 n 2 dx2
2
2 1 n
h
2
ou
d 2w  M

2
D
dx
h
2
Eh3
onde D 
12 1 n 2




é a Rigidez à Flexão da Placa, equivalente ao produto EIx
para as vigas.
De fato, para uma viga (n = 0) de
h3
seção retangular e largura unitária, I x 
12
Fig.2
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Flexão de Placas Longas Retangulares
d 2w  M
equivale, nas placas, à equação diferencial da LE das vigas.

2
D
dx
Em princípio, portanto, basta integrar esta equação para obter as flechas w.
No entanto, como os apoios da laje não se movem,
surgem reações horizontais S à medida que
aparecem flechas verticais na laje submetida a
cargas transversais. (figura 3)
Em suma, o problema converte-se em determinar
os deslocamentos e, consequentemente, os
esforços, na faixa de largura elementar submetida a
cargas transversais e, simultaneamente, a cargas
axiais que dependem das flechas.
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Fig.3
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
d 2w  M

D
dx 2
Seja q a carga uniformemente distribuída.
O momento fletor numa seção qualquer distante x
do apoio esquerdo (figura 3) é:
ql
qx2
M  x
 Sw
2
2
Assim, a equação diferencial fica:
d 2w S
q
2

w

lx

x
2D
dx2 D
2
2
Sl 2
d
w
4
u
q
2
2
Se u 
, a equação fica

w

lx

x
4D
2D
dx2
l2

Fig.3



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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
d 2w  M

D
dx 2
d 2 w 4u 2
q
2

w

lx

x
2D
dx2
l2
A solução geral desta equação é
2ux
2ux ql 3 x ql 2 x 2
ql 4
w  C1 senh
 C 2 cosh
 2  2 
l
l
8u D 8u D 16u 4 D
onde C1 e C2 são constantes de integração.


Logo,
dw 2u
2ux 2u
2ux
ql 3
ql 2 x

C1 cosh

C 2 senh
 2  2
dx
l
l
l
l
8u D 4u D

e t  e t
e t  e t
 senht  
e cosht  
2
2

e
d 2 w 4u 2
2ux 4u 2
2ux
ql 2
 2 C1 senh
 2 C 2 cosh
 2
2
l
l
dx
l
l
4u D
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


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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
d 2w  M

D
dx 2
De fato, substituindo-se estes valores na equação diferencial, tem-se:
d 2 w 4u 2
q
2

w

lx

x

2
2
2D
dx
l


4u 2
2ux 4u 2
2ux
ql 2
C1 senh
 2 C 2 cosh
 2 
2
l
l
l
l
4u D
4u 2 
2ux
2ux ql 3 x ql 2 x 2
ql 4   q
2

 2  C1 senh
 C 2 cosh
 2  2 

lx

x
l
l
l 
8u D 8u D 16u 4 D  2 D

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
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno
(condições de apoio):
w  0 em x  0 e x  l
ql 4 1  cosh 2u
ql 4
e C2 
C1 
4
senh
2
u
16u D
16u 4 D
A solução, então, fica:
Fig.3
ql 4  1  cosh 2u
2ux
2ux  ql 2 x
w
senh
 cosh
 1  2 l  x 

4
senh
2
u
l
l
16u D 
 8u D
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d 2w  M

D
dx 2
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
ql 4  1  cosh 2u
2ux
2ux  ql 2 x
w
senh
 cosh
 1  2 l  x 

4
l
l
16u D  senh 2u
 8u D
Substituindo-se
cosh 2u  cosh2 u  senh2 u  1  2 senh2 u e
senh 2u  2 senh u. cosh u
Fig.3
tem-se:
2ux
2ux 

 senh u. senh
 cosh u. cosh

 ql 2 x
ql 
l
l  1 
l  x 
w
4
2
cosh
u
 8u D
16u D 




4
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Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
ou

  2 x  
 coshu 1   
4
l   ql 2 x
ql 


w
 1  2 l  x 

4
cosh u
16u D 
 8u D




Fig.3
Daí se conclui que w depende de u que, por sua vez depende da força S.
Sl 2
u 
4D
2
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Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Como determinar S?
O alongamento da faixa elementar l provocado pela força S é a diferença entre o
comprimento da linha elástica e a sua corda:
2
1 l  dw 
l     dx
2 0  dx 
Como
l  l x 



l 1  n  x Sl 1  n

E
Eh
2
Eh
então S 
2l 1  n 2


2

2
 dw 
0  dx  dx
l
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Fig.3
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Substituindo-se w na expressão de S, tem-se:
Ehq2 l 6
S
2D 2 1 n 2


 5 tanhu tanh2 u
5
1 





7
6
6
4 
256u
256u
384u 
 256u
4D 2
Eh3
Como S  2 u e D 
l
12 1 n 2


a equação acima fica
135tanhu 27 tanh2 u 135
9
E2


 6 
9
8
8
2
16u
16u
16u
8u
1 n 2 q 2


8
h
  0
l
(equação em u)
O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u
pode ser determinada por tentativa e erro.
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Em suma, determinando-se a variável u, obtém-se:
4D
S  2 u2
l

  2 x  
 coshu 1   
4
l   ql 2 x
ql 


w
 1  2 l  x 

4
cosh u
16u D 
 8u D




ql
qx2
qxl  x  4 D 2
M  x
 Sw 
 2 u w
2
2
2
l
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
d 2w  M

D
dx 2
Tensões Normais Máximas:
S 4D
 1   2 u 2 constante ao longo do comprimento da faixa
h hl
6 M máx
em x = l/2
2 
2
h
ql 2 4 D 2
M máx 
 2 u w x l 2
8
l
4
w x l
M máx
2

ql  1
ql 4
ql 4

2




1


2
sech
u

1

u


16u 4 D  cosh u  32u 2 D 32u 4 D
ql 2 ql8  2sech u  1  ql 2  21  sech u 


 1 
2


8
8 
8 
u
u2

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Fig.3

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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
S 4D
 1   2 u 2 constante ao longo do comprimento da faixa
h hl
[2(1-sech(u))/u2] x u
6 M máx
1.2
em x = l/2
2 
2
1
h
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-20
-17
-14
-11
-8
-5
-2
-0.5
0.25
1
4
7
10
13
16
19
M máx
ql 2  21  sech u 


8 
u2
Fig.4
Obs.: À medida que u cresce em valor absoluto, o momento tende a zero (Fig. 4);
se u = 0, M máx  ql 2 8
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Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
Substituindo-se D e Mmáx em 1 e 2, tem-se
12{2[sech(u)-1]+u2}/(5u4)
2
Eu 2  h 
1 
 
3 1 n 2  l 
2
3q
l e
 2  2 1  sech u  
2u
h

1
0.8
0.6
0.4
0.2
 máx   1   2
A flecha máxima pode ser escrita como
w x l
2
Fig.5


ql 4
5ql 4 12 2sech u  1  u 2 
2

2sech u  1  u 

 (ver Fig.5)
4
4
384D 
32u D
5u



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19
16
13
10
7
4
1
0.25
-0.5
-2
-5
-8
-11
-14
-20
0
-17

1.2
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Placas biengastadas carregadas uniformemente
d 2w  M

D
dx 2
De acordo com a Fig. 6,
ql
qx2
M  x
 Sw  M 0
2
2
M0
d 2w S
q
2
 w
lx  x 
2
D
2
D
D
dx


Fig.6
A solução geral desta equação é
M 0l 2
2ux
2ux ql 3 x ql 2 x 2
ql 4
w  C1 senh
 C 2 cosh
 2  2 
 2
4
l
l
8u D 8u D 16u D 4u D
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Placas biengastadas carregadas uniformemente
M 0l 2
2ux
2ux ql 3 x ql 2 x 2
ql 4
w  C1 senh
 C 2 cosh
 2  2 
 2
4
l
l
8u D 8u D 16u D 4u D
As condições de apoio são:
w  0 em x  0 e x  l e
dw
 0 em x  0 e x  l
dx
ql 4
ql 4
Daí que: C1 
, C2 
cothu
3
3
16u D
16u D
ql 2 ql 2
ql 2  3u  tanhu 
M0  2 
cothu  
4u
12  u 2 tanhu 
4u
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Fig.6
d 2w  M

D
dx 2
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Placas biengastadas carregadas uniformemente
Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:

  2 x  
 coshu1   
4
l   ql 2 x
ql



w
 1  2 l  x 

3
cosh u
16u D tanhu 
 8u D




2
2
l
Sl
Eh
dw


Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, (u 2 
e S

 dx ),
2 0
4D
2l 1  n   dx 
tem-se
Ehq2 l 6 
3
1
1
1 
S 2




2
5
4
2
6
4 
D 1 n  256u tanhu 256u senh u 64u
384u 


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Placas biengastadas carregadas uniformemente
Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:
Ehq2 l 6 
3
1
1
1 
S 2





D 1 n 2  256u 5 tanhu 256u 4 senh2 u 64u 6 384u 4 


4D 2
Eh3
Como S  2 u e D 
l
12 1 n 2


a equação acima fica
81
27
27
9
E2

 8  6 
7
6
2
2
16u tanhu 16u senh u 4u
8u
1 n 2 q 2


8
h
  0
l
O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u
pode ser determinada por tentativa e erro.
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Placas biengastadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
Eu  h 
1 
2  
3 1 n  l 
2


q  3 u  tanhu  l 
2   2
  e

2  u tanhu  h 

24(u2/2+u/senh(u)-u/tanh(u))/u4
2
2

 máx   1   2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Fig. 7
A flecha máxima é
ql 4  u 2
u
u 
ql 4 24  u 2
u
u 
 
 
 
 (ver Fig.7)
w x l 2 


4
4 
16u D  2 senh u tanhu  384D u  2 senh u tanhu 
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Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente
De acordo com a Fig. 8,
qx2
 ql M 0 
M  
 Sw  M 0
x 
l 
2
2
d 2w S
qx2 M 0
 ql M 0 
 w


x 
2
D
2D
D
dx
 2D lD 
d 2w  M

D
dx 2
l
S
M0
S
ql M 0

2
l
z
w
Fig. 8
A solução geral desta equação é
M 0l 2
2ux
2ux  ql 3  2M 0 l 
ql 2 x 2
ql 4
 x  2 
w  C1 senh
 C 2 cosh
 
 2
2
4
l
l
8u D 16u D 4u D
 8u D 
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ql M 0

2
l
x
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Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente
M 0l 2 d 2 w  M
2ux
2ux  ql 3  2M 0 l 
ql 2 x 2
ql 4
 x  2 
w  C1 senh
 C 2 cosh
 
 2

2
2
4
D
dx
l
l
8u D 16u D 4u D
 8u D 
As condições de apoio são:
l
w  0 em x  0 e x  l e
dw
 0 em x  0
dx
S
M0
S
ql M 0

2
l
z
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w
Fig. 8
ql M 0

2
l
x