PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
EXPLORANDO A TRIGONOMETRIA DO MODELO
HARMÔNICO SIMPLES: uma aplicação ao estudo de sinais
Lana Paula Ricotta Nery
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
Lana Paula Ricotta Nery
CADERNO DE ATIVIDADES
EXPLORANDO A TRIGONOMETRIA DO MODELO HARMÔNICO SIMPLES:
uma aplicação ao estudo de sinais
Produto construído após aplicação e análise
das atividades da pesquisa, apresentado ao
Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais, como
requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
APRESENTAÇÃO
Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada EXPLORANDO A TRIGONOMETRIA
DO MODELO HARMÔNICO SIMPLES: uma aplicação ao estudo de sinais, e tem
como objetivo geral propor atividades que possibilitem aos estudantes dos cursos
técnicos de Eletrônica / Telecomunicações desenvolverem o pensamento trigonométrico
através de visualização e mensuração, utilizando o modelo físico clássico e o software
GeoGebra.
A sequência de atividades, de caráter investigativo sob a visão de Ponte (2005),
foi elaborada com base na organização didática de Zabala (1998). Isto possibilita a
interlocução
e
sugestões de estudos em livros didáticos,
com aplicações
contextualizadas nas funções trigonométricas seno e cosseno, representativas dos
movimentos
oscilatórios.
Apresenta
ainda
uma
perspectiva
interdisciplinar,
contribuindo para o entendimento desses fenômenos.
O software GeoGebra foi utilizado como ferramenta tecnológica, auxiliar ao
processo de ensino e aprendizagem dos conceitos, de forma a possibilitar a articulação
entre seus aspectos algébrico, geométrico e gráfico, com o modelo de geração de sinal
alternado caracterizado pelas funções trigonométricas.
A sequência didática, que conduz ao estudo e contextualização matemática do
sinal alternado a partir de um modelo físico clássico, foi estruturada em 8(oito)
atividades com características específicas de aplicação e desenvolvimento. Buscam a
contextualização de função modelo, a saber, função senoidal, e são complementares ao
processo de ensino e aprendizagem da matemática nos cursos técnicos.
Foram aplicadas a alunos do curso Técnico de Telecomunicações (nível pósmédio) da UTRAMIG, durante a pesquisa de mestrado.
Esperamos, com estas atividades, provocar uma reflexão dos alunos de modo a
favorecer a formação de ideias, a criação de conceitos e a apresentação de conjecturas a
respeito dos tópicos explorados, além de servir de estímulo para que se interessem pela
matemática, conduzindo-os a rever a matemática elementar e a superar dificuldades
conceituais a fim de aplicá-la, tornando-a compreensível e útil.
Os autores
SUMÁRIO
1- APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA ...............................
05
2- INSTRUÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DOS APPLETS .........................
08
3- ATIVIDADES.............................................................................................
10
3.1 Atividade 1 .................................................................................................. 10
3.2 Atividade 2 .................................................................................................. 16
3.3 Atividade 3 .................................................................................................. 19
3.4 Atividade 4 .................................................................................................. 20
3.5Atividade 5 ................................................................................................... 24
3.6 Atividade 6 .................................................................................................. 27
3.7 Atividade 7 ................................................................................................... 29
3.8 Atividade 8 ................................................................................................... 31
SOLUÇÕES DAS ATIVIDADES ...................................................................
34
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 40
ANEXO A – CD contendo os APPLETs 1, 2, 3 e 4
5
1 APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
O software GeoGebra é um software interativo de Geometria Dinâmica,
multiplataforma, disponível em vários idiomas, dentre os quais o português. Foi
desenvolvido por Markus Hohenwarter, na Universidade de Salzburg em 2001.
Prático e de fácil utilização, não necessita de conhecimentos de programação e
permite a manipulação dos objetos geométricos para melhor entendimento dos
conceitos, favorecendo práticas pedagógicas investigativas.
Permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, seções
cônicas como com funções que, a posteriori, podem modificar-se dinamicamente. O
GeoGebra tem a potencialidade de se trabalhar com a Álgebra, a Geometria e o Cálculo.
Possui na sua área de trabalho uma janela algébrica que corresponde a um objeto de
Geometria e vice-versa, ou seja, tem por ideia básica oferecer duas representações de
cada objeto: a geométrica e a algébrica. A possibilidade de alterar um objeto por meio
dessas duas representações é chamada de Conexão Bidirecional e é o que o diferencia
de outros softwares de Geometria Dinâmica e CAS (Computer Algebra System).
O Geogebra é um software de acesso livre que pode ser obtido no site
www.geogebra.org. Antes da sua instalação, deve-se ter instalado no computador o
software Java(www.java.com).
Atualmente já existe o aplicativo GeoGebra para tablets Android.Em 2013, foi
oficialmente lançada a primeira versão para tablets - Windows 8, Android e iPad.
O software GeoGebra apresenta, na parte superior da área de trabalho, a Barra
de Menu, que apresenta os seguintes itens: Arquivo, Editar, Opções, Ferramentas,
Janelas e Ajuda (fig. 1). Destacamos, aqui, algumas destas ferramentas, utilizadas para
execução das atividades.
A Barra de Ferramentas do GeoGebra está dividida em 12 janelas que são
subdivididas em outras várias ferramentas (fig. 2) . Ao se clicar nos ícones, estes
automaticamente são selecionados. Para selecionar outras ferramentas, clica-se na parte
inferior da janela e o programa abre as demais opções.
6
Figura 1: Interface do Geogebra – Área de Trabalho
Barra de Menus
Barra de
Ferramentas
Janela da
Álgebra
Janela deVisualização
(Janela de Gráficos)
Linha/Entrada
de Comandos
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 2: Barra de Ferramentas do GeoGebra
Fonte: Elaborada pela autora.
O quadro a seguir mostra todas as ferramentas da Barra de Ferramentas do
GeoGebra.
7
Quadro 1: Ferramentas do GeoGebra
Ferramenta
Ícones
Ferramenta
Seleção
Ponto
Retas
Retas
Específicas
Polígonos
Curvas
Cônicas
Medidas
Translação
Extras
Fonte: Elaborado pela autora.
Ícones
8
2 INSTRUÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DOS APPLETS
Applets são aplicativos computacionais dinâmicos, que permitem ser acessados a
partir de qualquer dispositivo em que se tenha instalado o software, ou que tenham
instalado o programa Java e disponham de navegadores de internet, para serem
manipulados no formato HTML.
Para a execução das atividades 4, 6 e 7 deste caderno de atividades, foram
criadosapplets utilizando a plataforma do Geogebra. Estes applets foram nomeados
conforme a seguir:

Applet 1 - Função Seno

Applet 2 - Função Cosseno

Applet 3 - Modelo de Geração do sinal alternado e Função representativa

Applet 4 - Função Seno - Suas Transformações
Estes applets estão disponibilizados no CD anexo a este caderno de atividades e
no repositório de arquivos do Mestrado de Ensino de Ciência e Matemática da PUC
Minas – disponível em: [email protected]
Instruções para acessar e manipular os applets:

Clique com o mouse sobre o applet referente à atividade.

Uma vez carregado (“aberto”) o applet, o ícone
, disposto no canto
superior esquerdo da barra de ferramentas e que habilita o comando
MOVER, já estará ativado, basta seguir as instruções, trabalhando com o
mouse, possibilitando efetuar todas as manipulações solicitadas nas
atividades.
Para a manipulação dos applets 3 e 4, além do comando MOVER, pode-se
utilizar também o recurso de animação.

Clique com o botão direito do mouse sobre um dos controles deslizantes
(para o applet 3, estes controles são α e n1 , para o applet 4, são “a”,"b”,
9
“c” e “d’),uma janela será aberta, seleciona-se o comando ANIMAR,
imediatamente a movimentação se inicia. Para desabilitar o comando
ANIMAR, clique novamente sobre o controle deslizante e desabilite este
comando.
As instruções referentes às manipulações estão apresentadas nos enunciados das
questões, bem como nos textos acima de cada applet.
10
3.1-ATIVIDADE 1
OBJETIVOS:
 Construção de conceitos matemáticos de variáveis e de função;
 Visualizar representações de funções no plano cartesiano;
 Relacionar o modelo com sua representação no plano cartesiano.
METODOLOGIA:
Sequência de atividades onde são apresentados, inicialmente, modelos gráficos
para análise e introdução dos conceitos de função, de variáveis, de conjuntos domínio e
imagem. Construção de gráficos após a análise de fenômenos e de situações modelo.
1.1 - Os Gráficos representam, ou são Modelos visuais, das relações estabelecidas entre
as variáveis de um fenômeno observado ou experimento realizado.
Gráfico 1: Venda de Celulares por Anos
Exemplo:
Fonte: Elaborado pela autora.
Têm-se:
Variáveis => ANO: (associada à variável Real contínua x, na matemática).
VENDA (em milhões): (associada à variável Real contínua y,
matemática).
na
11
Na matemática, podemos escrever y = f (x); mas peço que você explique:
Em que situação y = f (x) pode ser chamada de função na matemática?
Resp.:
1.2 - Há fenômenos que oscilam, crescem em um sentido, decrescem em outro sentido.
Seus gráficos se assemelham a montanhas.
Gráfico 2: Quantidade de veículos em BH por horas do dia
Exemplo:
Fonte: Elaborado pela autora.
Responda:
a) Quais são as variáveis observadas neste fenômeno?
Resp.:
b) Qual a variável do “Conjunto Domínio”?
Resp.:
c) Qual a variável do “Conjunto Imagem”?
Resp.:
d) Explique por que você escolheu estas variáveis nos itens b) e c)
Poderia ser diferente?
Resp.:
12
1.3 - Imagine o seguinte experimento:
“Uma pessoa leva um tempo t = 5 segundos para abrir (em câmera lenta), a sua
boca ao máximo. Durante este movimento, suas arcadas dentárias (superior e inferior)
se afastarão a uma distância d. Em seguida, fecha-se a boca, conforme as mesmas
condições de abertura.”
Então:
a) Esboce um gráfico, modelo deste fenômeno, considerando o início do primeiro
movimento com a boca completamente aberta (para d = 6 cm), seguidos de
sucessivos outros movimentos, durante 25 segundos.
Resp.:
b) Qual a variável dependente?
Resp.:
c) Qual a variável independente ou livre?
Resp.:
d) Há um ciclo que se repete ao se observar a sequência de movimentos?
Quantos ciclos completos você visualiza no gráfico do item a?
Resp.:
e) O tempo para que a função execute um ciclo completo é chamado de Período,
na matemática. Qual o valor do período no gráfico do item a?
Resp.:
13
f) A matemática define a Amplitude de funções periódicas (que se repetem em
ciclos) como sendo “a metade da diferença entre os valores máximo e mínimo
de suas imagens”(LARSON,HOSTETLER e EDWARDS,2005, p. 549). Qual
seria o valor da amplitude?
Resp.:
1.4 - Um Gerador de corrente alternada converte energia mecânica em energia elétrica.
Por exemplo, se girarmos uma Espira (bobina similar a uma “placa retangular”) dentro
de um Campo magnético uniforme, obtém-se um sistema gerador de energia.
Uma lâmpada conectada a esse gerador acenderá e emitirá mais luz quanto
maior for a velocidade do movimento imposto à espira (bobina). (Ver figura 1).
Figura 1: Representação de Gerador de corrente alternada
constituído de uma única espira
Fonte: MÁXIMO, 2005
Ao girar, a espira (ou bobina) descreve círculos de raio r. As leis da eletrostática
garantem que, quando a Tensão eletrostática no sistema é nula a face plana da bobina
está em paralelo aos polos Norte (N) e Sul (S) do imã, ficando o ângulo θ nulo entre
eles, e varia (tensão) conforme o ângulo θ(em graus ou radianos) vai se alterando de
acordo com o giro da espira.
Observe que a variável y, na figura a seguir (figura 2) representa o valor de
tensão eletrostática (y varia com o ângulo θ).
As suas diferentes posições são representadas na figura 2.
14
Figura 2: Geração de uma onda senoidal através do movimento de rotação de um
condutor sob a ação de um campo magnético
Fonte: Elaborada pela autora.
A variável observada no giro da espira é o ângulo θ e, como consequência, os
valores x e y da figura, pois também servem para descrever posições relativas ao giro da
bobina.
a) Então, considere um círculo de raio unitário e preencha a tabela a seguir para
algumas posições da espira:
θ
0°
90°
180°
y
b) Esboce o gráfico y=f(θ)
Os pontos podem ser unidos por retas ou curvas?
270°
360°
15
c) Na matemática, você já observou algum gráfico semelhante a este?
Explique sua resposta.
d) Como ficaria o gráfico do item (a) para θ (ângulo de giro da espira) em
radianos, se a espira desse mais de 2 (duas) voltas (no mesmo sentido)?
e) Em radianos (rad), qual o valor do Período da função do gráfico do item (a)?
f) Qual o valor da Amplitude?
16
3.2-ATIVIDADE 2
OBJETIVOS:
 Construção de conceitos matemáticos a partir do modelo físico clássico;
 Visualizar representações de funções no plano cartesiano;
 Relacionar o modelo com sua representação no plano cartesiano;
 Contextualizar o conceito da função modelo.
METODOLOGIA:
Sequência de atividades a partir do modelo clássico de gerador, com a
construção sistemática e parcial do gráfico que representa a função “gerada” conforme
análise deste modelo.
2.1 - A partir do nosso modelo de “gerador” apresentado execute as seguintes
atividades:
A seguir, é apresentado um círculo graduado que representa o giro de uma
espira. Então, imagine esta espira girando (no sentido anti-horário), no intervalo de
θ = 0° a 90°, marcando as posições de 15° em 15° e, sem usar a calculadora, esboce o
gráfico de θ (ângulo de giro) x y (tensão induzida).
y
90°
180°
270°
360°
θ
17
a) O que representa a figura obtida?
Resp.:
b) É possível identificar alguma figura ou função matemática? Qual?
Resp.:
c) Diminua os intervalos entre as medidas e verifique o que ocorre com a figura
obtida.
Resp.:
d) Aumente os intervalos entre as medidas e verifique o que ocorre com a figura
obtida.
Resp.:
e) Continue girando a bobina e representando, no plano cartesiano, os valores
obtidos.

Entre 45º e 80° seria possível identificar alguma figura ou função matemática?
Qual?
Resp.:

Entre 125º e 180° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual?
Resp.:

Entre 200º e 260° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual?
Resp.:
18

Entre 225º e 300° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual?
Resp.:
f) Ao girar totalmente a bobina, ou seja, retornar à posição inicial, o que podemos
observar?
Resp.:
g) É possível identificar alguma figura ou função matemática? Qual?
Resp.:
h) Represente matematicamente esta função (por exemplo: f(x) = senx )
Resp.:
19
3.3-ATIVIDADE 3
OBJETIVOS:
 Contextualizar o conceito de função trigonométrica;
 Visualizar representações de funções seno e cosseno;
 Relacionar a função representada pelo modelo com as funções
trigonométricas seno e cosseno;
 Diferenciar a função seno de função cosseno.
METODOLOGIA:
Atividade guiada para a análise, visualização e representação de funções
trigonométricas seno e cosseno e sua comparação com o gráfico representativo do
modelo de geração de sinais.
Na atividade anterior, a partir da observação do modelo físico, foi possível a
construção de um gráfico que lembra uma função trigonométrica.
A partir das representações gráficas de algumas funções trigonométricas a
seguir, assinale qual seria o gráfico que mais se assemelha ao gráfico obtido?
(
) Gráfico A
(
) Gráfico B
20
a) O gráfico não escolhido poderia também representar a função obtida? Por quê?
Resp.:
b) Existe uma relação entre as funções representadas pela função obtida e estes dois
gráficos? Qual?
Resp.:
c) Você seria capaz de identificar qual função ou quais funções estão sendo
representadas por estes gráficos?
Resp.:
21
3.4-ATIVIDADE 4
OBJETIVOS:
 Visualizar a representação das funções seno e cosseno através do software
Geogebra;
 Utilizar os applets (aplicativos computacionais) para abordar os conceitos
das funções seno e cosseno de uma forma mais atrativa;
 Trabalhar a variação angular das funções seno e cosseno;
METODOLOGIA:
Sequência de atividades utilizando applets representativos das funções seno e
cosseno, permitindo a visualização e representação dessas funções a partir das variações
angulares.
4.1- Utilizando o Applet 1-Função seno movimente o ponto A e registre suas
observações:
Figura 3 - Applet 1 - Função Seno
Fonte: Elaborada pela autora.
a) Pode-se aumentar ou diminuir o valor do ângulo em cada quadrante?
22
Se for possível, o que ocorre com o valor do seno nessas situações?
b) Com o auxílio do Applet 1, encontre os valores de θ que venham a satisfazer as
seguintes sentenças. (Cada sentença apresenta resultados para o seno de um ângulo
desconhecido θ):
sen θ = 0.76
θ = ____________
sen θ = - 0.63 θ =___________
sen θ = 0.83
θ = ___________
sen θ = - 0.47
θ = ___________
c) É possível obtermos mais de um resultado em cada sentença?
Explique.
4.2- Utilizando o Applet 2 - Função cosseno, movimente o ponto A e registre suas
observações:
Figura 4 - Applet 2 - Função Cosseno
Fonte: Elaborada pela autora.
a) Pode-se aumentar ou diminuir o valor do ângulo em cada quadrante?
Se for possível, o que ocorre com o valor do cosseno nessas situações?
23
b) Com o auxílio do Applet 2, encontre os valores de θ que venham a satisfazer as
seguintes sentenças. (Cada sentença apresenta resultados para o cosseno de um
ângulo desconhecido θ):
cos θ = 0.94
θ = __________
cos θ = - 0.36 θ=___________
cos θ = -0.82 θ = ___________
cos θ = 0,69
θ = ___________
c) É possível obtermos mais de um resultado em cada sentença?
Explique.
24
3.5-ATIVIDADE 5
OBJETIVOS:
 Contextualizar a função seno através da representação do sinal de tensão
alternada;
 Tabelar os dados;
 Realizar a transposição de dados tabelados para o plano cartesiano;
 Trabalhar as variações angular e em amplitude da função seno;
METODOLOGIA:
Atividade guiada para a visualização / compreensão e tabelamento de dados
referentes à construção da função seno como sinal alternado representativo da tensão
senoidal.
Uma onda senoidal, mais precisamente um sinal de tensão alternada, é representada
pela seguinte equação: v = VM sen θ , onde :

v representa o valor instantâneo de tensão V (Volts);

VM representa o valor máximo de tensão V (Volts);

θ representa o ângulo de rotação, em graus.
5.1 - Considerando VM = 10V, expresse as equações e calcule os valores de tensão
instantânea para um sistema representa do pela função senoidal quando o ângulo de
rotação θ varie de 0 a 360°.
25
θ
Equação
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
Represente graficamente este sistema θ x v .
v(valor )(Volts)
26
a) O que podemos observar?
b) É possível alterar a amplitude deste sinal?
Como?
c) Se forem alterados os intervalos de θ, com valores negativos e valores superiores a
360°, o que aconteceria com o sistema? Explique.
27
3.6-ATIVIDADE 6
OBJETIVOS:
 Visualizar, através do applet, as variações angulares e de amplitude da
função seno;
 Trabalhar a variação angular da função seno;
 Trabalhar o conceito de função periódica;
 Contextualizar o conceito de alternância do sinal senoidal.
METODOLOGIA:
Atividade utilizando applet representativo da função seno, associado ao modelo
de geração deste sinal com a movimentação de uma bobina, sob a ação de um campo
magnético, permitindo a criação e representação matemática das projeções no eixo das
ordenadas a partir deste movimento caracterizando a alternância do sinal.
6.1 - Utilizando o Applet 3 - Modelo de Geração do sinal alternado - Função
representativa, analise a função seno movimentando o ponto D, utilizando o seletor
(cursor) n1.
Figura -Applet 3 - Modelo de Geração do sinal alternado - Função representativa
Fonte: Elaborada pela autora.
28
a) Ao se completar uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b) O que é uma função periódica?
c) Observando o gráfico, é possível verificar se a função seno é periódica ou não?
Explique.
d) Analisando a projeção vertical deste ponto D, o que é possível verificar?
e) Por que esta projeção ora é positiva, ora é negativa?
29
3.7-ATIVIDADE 7
OBJETIVOS:
 Visualizar, através do applet, a função seno com suas variáveis;
 Contextualizar essas variáveis.
METODOLOGIA:
Sequência de atividades utilizando applet
representativo da função seno,
apresentando a possibilidade de comparação da função seno simplificada e a equação
geral com todas as variáveis, amplitude , período e defasagens.
7.1 - Utilizando o Applet 4 -Função Seno - Suas Transformações,analise a função seno
movimentando os seletores ( cursores ) “a” , “b” , “c” e “d”.
Figura 6 -Applet 4- Função Seno - Suas Transformações
Fonte: Elaborada pela autora.
a) Ao movimentar o seletor (cursor) a , o que podemos observar?
b) Você consegue relacionar esta variação a algum conceito estudado? Qual
30
c) Ao movimentar o seletor (cursor) b , o que pode observar?
d) Você consegue relacionar esta variação a algum conceito estudado? Qual?
e) Ao movimentar o seletor (cursor) c , o que podemos observar?
f) Você consegue relacionar esta variação a algum conceito estudado? Qual?
g) Ao movimentar o seletor (cursor) d , o que podemos observar?
h) Você consegue relacionar esta variação a algum conceito estudado? Qual?
i) Escreva a equação geral da função seno g(x) = d + a. sen (b.x + c), considerando
que os parâmetros (variáveis) “a” e “b” sejam iguais a 1 e os parâmetros
(variáveis ) “c” e “d” sejam nulos. O que podemos observar?
j) Com relação à equação geral da função seno g(x) = d + a.sen(b.x + c),
identifique os parâmetros da seguinte função e dê seu significado:
g(x) =10 + 5 sen (2 x + 30)
31
3.8-ATIVIDADE 8
OBJETIVOS:
 Visualizar, através da atividade prática em laboratório, a função senoidal;
 Concretizar, através de mensurações, o caráter alternado e periódico da
função seno.
METODOLOGIA:
Atividades práticas em laboratório para a visualização da função e, com a análise
de variáveis, amplitude, período com a utilização de instrumentos de medida.
PRÁTICA EM LABORATÓRIO
1
Objetivos:

Verificação do sinal senoidal alternado utilizando o osciloscópio.

Determinação dos valores de tensão máxima (pico), valores médios e
eficazes.

2
Determinação do Período e da frequência do sinal.
Descritivo:
Os transformadores podem ser utilizados para elevar ou abaixar a tensão da linha,
dependendo de sua aplicação.
Os sinais de corrente e tensão tanto no enrolamento primário quanto no enrolamento
secundário são alternados.
Valor pico a pico (Valor máximo)– O valor pico a pico de qualquer sinal é a
diferença entre o seu máximo e mínimo algébrico.
32
O sinal de saída de tensão ou tensão de secundário é um sinal representado pela
seguinte equação:
v = VM sen θ
ou
v = VM sen (ωt)
Lembrete:T = 1 / f , sendo : T = Período do sinal e f = frequência
3
Prática:
3.1– Material:

1º- Kit com transformador 220V – 110V /7,5V+7,5V

2º -Kit com transformador 220V – 110V /12V+12V

Multímetro

Osciloscópio
3.2 – Montagem
a) Alimente o 1º Kit com110 V e meça com o multímetro a tensão no secundário do
transformador.
Vm = ______________________
b) Calibre o osciloscópio. Faça agora a verificação do sinal de tensão obtido na saída
ou secundário do transformador.

É possível verificar alguma forma de onda ou função conhecida? Qual?
Explique.

O sinal é periódico?
Se positivo, meça qual o período deste sinal.
T = ___________________________
33
Calcule o valor da frequência deste sinal.
F=____________________________
c) Você saberia descrever qual relação existe entre a frequência e o período deste
sinal? Explique.
d) Alimente agora o 2º Kit com 110V e meça com o multímetro a tensão no secundário
do transformador.
Vm = ______________________
e) Utilizando o osciloscópio, faça agora a verificação do sinal de tensão obtido na saída
ou secundário do transformador.

É possível verificar alguma forma de onda ou função conhecida? Qual?

O sinal é periódico?
Se positivo, meça qual o período deste sinal.
T = ___________________________
Calcule o valor da frequência deste sinal.
F=____________________________
f) Estabeleça uma relação entre os valores e observações que fez para as medidas,
utilizando os 2 Kits de transformador.
34
SOLUÇÕES DAS ATIVIDADES
ATIVIDADE 1
1.1 - Em que situação y = f (x) pode ser chamada de função na matemática?
Resp.: Sabemos que as funções são definidas abstratamente por certas relações e
podemos chamar esta relação de função, quando associamos a cada valor do argumento
x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função y (também
conhecido como variável dependente).
______________________________________________________________________
1.2 a) Horas do dia e Quantidade de veículos em BH.
b) Horas do dia.
c) Quantidade de veículos em BH.
d) Não. Porque, para caracterizar uma função a cada valor da variável do Conjunto
Domínio, poderá existir um único valor de variável do conjunto imagem. Por
exemplo, se estas variáveis fossem invertidas, poderíamos ter uma mesma
quantidade de carros trafegando em horários diferentes do dia, ou seja, para cada
variável do conjunto domínio teríamos diversos valores possíveis no conjunto
imagem.
______________________________________________________________________
1.3
a)
b) Distância.
c) Tempo.
d) Sim. 2 ciclos completos.
e) 2.
f) 6, ou melhor, Amplitude=(6+6)/2 = 12/2 = 6.
______________________________________________________________________
1.4 a)
θ
y
0°
0
90°
1
180°
0
b)
ou
270°
-1
360°
0
35
Os pontos podem ser unidos por retas? Curvas? Sim, pode ser unido por retas ou
curvas.
c) Sim, semelhante ao gráfico da função seno.
d) Ficaria semelhante a dois ciclos seguidos, ou seja, semelhante a se duplicar este
gráfico.
e) 2π rad.
f) 1, ou melhor, Amplitude = ( 1+1 )/ 2 = 2/2 = 1.
______________________________________________________________________
ATIVIDADE 2
2.1 0° a 90°
a) Ao interligarmos os pontos, a figura se assemelha a uma curva, talvez uma
parábola.
b) Metade de uma parábola.
c) Não vai sofrer alterações, somente o desenho da figura ficará mais preciso.
d) Praticamente não vai sofrer alterações, somente se ligarmos os pontos talvez o
aspecto se assemelhará ao de uma reta e não mais de uma parábola ou outra
curva.
e)
 Entre 45º e 80° seria possível identificar alguma figura ou função matemática?
Qual? Ao ligarmos os pontos, a figura se assemelhará à parte de uma parábola
ou outra curva.
 Entre 125º e 180° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual? Ao ligarmos os pontos, a figura se assemelhará à parte de
uma parábola ou outra curva.
 Entre 200º e 260° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual? Ao ligarmos os pontos, a figura se assemelhará à parte de
uma parábola ou outra curva.
 Entre 225º e 300° seria possível identificar alguma figura ou função
matemática? Qual? Ao ligarmos os pontos, a figura se assemelhará à parte de
uma parábola ou outra curva.
f) Agora é possível observar a formação de uma curva que se assemelha a uma
senoide. Função senoidal.
g) y = sen θ.
36
ATIVIDADE 3
( X ) Gráfico B
a) Não, se for considerado o eixo cartesiano com origem no ponto (0,0). Porém, se
a origem não for considerada, ambos os gráficos poderiam representar a função
obtida (função seno).
b) Sim, o gráfico A pode representar a função cosseno, e o gráfico B, a função seno
e ambas se diferem ou estão defasadas em 90° ou π/2 rad.
c) Gráfico A – Função cosseno e Gráfico B – Função seno.
______________________________________________________________________
ATIVIDADE 4
4.1 a) Sim. O valor do seno vai variar algebricamente entre 0 e 1. Mais especificamente, o
valor da função seno irá variar nos quadrantes conforme a seguir:
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Variação
[0,1]
[1,0]
[0,-1]
[-1,0]
b) sen θ = 0.76
θ= 49,89° ou 130,72° // sen θ = 0.83
θ = 56,11° ou 123,58°
sen θ = - 0.63 θ= 218,73° ou 320,77° // sen θ = - 0.47 θ = 207,9° ou 331,68°
c) Sim. A função seno apresenta a mesma variação para os 1° e 2°quadrantes e para o
3° e 4° quadrantes, assim, a função seno apresenta os mesmos valores para os
ângulos do 1° quadrante e para os ângulos correspondentes no 2º quadrante. O
mesmo ocorre para os ângulos do 3º quadrante e seus correspondentes no 4º
quadrante.
______________________________________________________________________
4.2 a) Sim. O valor do cosseno vai variar algebricamente entre 0 e 1. Mais
especificamente, o valor da função cosseno irá variar nos quadrantes conforme a
seguir:
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Variação
[1,0]
[0,-1]
[-1,0]
[0,1]
b) cos θ = 0.94 θ = 20,35° ou 339,52° // cos θ = -0.82 θ = 145,44° ou 215,22°
cos θ = - 0.36 θ = 111,06° ou 248,87° cos θ = 0,69 θ = 46,14° ou 331,89°
37
c) Sim. A função cosseno apresenta a mesma variação para os 2° e 3°quadrantes e para
o 1° e 4° quadrantes, assim, a função cosseno apresenta os mesmos valores para os
ângulos do 2° quadrante e para os ângulos correspondentes no 3º quadrante. O mesmo
ocorre para os ângulos do 1º quadrante e seus correspondentes no 4º quadrante.
ATIVIDADE 5
5.1 Θ
Equação
v( valor )(Volts)
0°
v = 10 sen 0°
10.0 = 0V
30°
v = 10 sen 30°
10.0,5 = 5V
45°
v = 10 sen 45°
10.0,707 = 7,07V
60°
v = 10 sen 60°
10.0,866 = 8,66V
90°
v = 10 sen 90°
120°
v = 10 sen 120°
10.0,866 = 8,66V
135°
v = 10 sen 135°
10.0,707 = 7,07V
150°
v = 10 sen 150°
10.0,5 = 5V
180°
v = 10 sen 180°
10.0 = 0V
210°
v = 10 sen 210°
10.(-0,5) = -5V
225°
v = 10 sen 225°
10.(-0,707) = -7,07V
240°
v = 10 sen 240°
10.(-0,866) = -8,66V
270°
v = 10 sen 270°
10.1 = 10V
10.(-1) = -10V
300°
v = 10 sen 300°
10.(-0,866) = -8,66V
315°
v = 10 sen 315°
10.(-0,707) = -7,07V
330°
v = 10 sen 330°
10.(-0,5) = -5V
360°
v = 10 sen 360°
10.0 = 0V
Represente graficamente este sistema θ x v .
a) O gráfico representativo da função seno, ou uma senoide.
38
b) Sim. Se o valor de VM for alterado, ou seja, se alterarmos o valor de V M.
É possível alterar o valor da amplitude de um sinal senoidal, ou de uma função seno, se
o valor do parâmetro que multiplica esta função for alterado (aumentado ou diminuído).
c) Nenhuma alteração aconteceria no sistema, pois se trata de uma função periódica.
Tanto para valores negativos ou positivos do ângulo θ o comportamento deste
sistema será o mesmo. Os ciclos se repetirão a cada 360° ou 2π rad.
ATIVIDADE 6
6.1 a) O gráfico se repete, o comportamento do sistema é periódico.
b) A função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica.
c) Sim, é periódica, pois o gráfico tem o mesmo comportamento em intervalos
regulares de tempo.
d) Verifica-se que esta projeção assume valores positivos e negativos, que variam de
zero ao valor máximo positivo ou ao valor máximo negativo.
e) Porque representa a função seno, que tem este comportamento alternado. Seus
valores variam de zero ao valor máximo positivo e de zero ao valor máximo
negativo.
______________________________________________________________________
ATIVIDADE 7
7.1 a) Observa-se que os valores máximos positivos e negativos da função g(x) se
alteram. Ao se aumentar ou diminuir os valores de “a” a função g(x) fica mais
ou menos alongada verticalmente, ou seja, o valor da amplitude da função g(x) é
alterado.
b) Com conceito de amplitude da função (ou do sinal).
c) Ao se aumentar ou diminuir os valores de “b” a função g(x) fica mais ou menos
alongada horizontalmente, ou seja, o valor do período da função g(x) é alterado.
d) Com conceito de período da função (ou do sinal).
e) Ao se aumentar ou diminuir os valores de “c” a função g(x) se desloca
horizontalmente.
f) Com conceito de fase ou de defasagem da função (ou do sinal).
g) Ao se aumentar ou diminuir os valores de “d” a função g(x) se desloca
verticalmente.
h) Com conceito de deslocamento vertical da função (ou do sinal).
i) g(x) = d + a .sen( b.x + c ) => g(x) = 0 + 1 .sen(1.x + 0 ) =>g(x) = sen x
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Observa-se que, quando estes parâmetros assumem estes valores, a função g(x)
fica reduzida à função básica g(x) = sen x.
j) g(x) = 10 + 5 sen ( 2 x + 30 ). Com relação aos parâmetros desta função, temos
que:
Parâmetro “a” é igual a 5 (amplitude da função é igual a 5).
Parâmetro “b” é igual a 2 (período da função é igual a 2).
Parâmetro “c” é igual a 30 (deslocamento horizontal igual a 30).
Parâmetro “d” é igual a 10 (deslocamento vertical igual a 10).
Logo, a função g(x) é uma função senoidal de amplitude 5 unidades, período
igual a 2, deslocada ou defasada com relação à origem do plano cartesiano em
30 unidades e deslocada verticalmente em 10 unidades.
______________________________________________________________________
ATIVIDADE 8
PRÁTICA EM LABORATÓRIO
3.2 a) Vm = ~ 15Volts.
b) Sim, a função seno. Observa-se, utilizando o osciloscópio, um sinal senoidal.
Este sinal é periódico se repete em intervalos regulares de tempo.
T = ~ 16,5 ms.
F= 1/T = 1 / 16,5 x 10-3 = ~ 60,60 Hz.
c) A frequência de um sinal é o inverso do valor do período deste mesmo sinal e viceversa. Ou seja, F= 1/T e T=1/F.
d) Vm = ~ 15Volts.
e) Sim, a função seno. Observa-se, utilizando o osciloscópio, um sinal senoidal.
Este sinal é periódico se repete em intervalos regulares de tempo.
T = ~ 16,5 ms.
F= 1/T = 1 / 16,5 x 10-3 = ~ 60,60 Hz.
f) Como ambos os Kits apresentam a tensão de secundário dos transformadores iguais,
os valores de tensão medidos são também iguais. Como os sinais medidos são iguais
apresentam também o mesmo período, em consequência, apresentam também a
mesma frequência. Para que estes valores sejam alterados seria necessário alterar os
parâmetros deste sinal.
40
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Trigonométrica: um enfoque aplicado ao ensino técnico. Revista Liberato, Canoas
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