FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO E COSSENO
O seno e o cosseno são as duas funções trigonométricas mais comumente mencionadas.
Tomando como base um triângulo retângulo, temos as seguintes relações matemáticas:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ
onde h é a hipotenusa, ca o cateto adjacente ao ângulo  e co o cateto oposto ao .
Uma visualização geométrica útil do seno, do cosseno e das outras funções
trigonométricas podem ser feitas no círculo trigonométrico. Esse círculo tem raio igual a 1 (ou
seja, qualquer reta que liga o centro à qualquer ponto da borda, terá necessariamente tamanho
igual a 1). Imagina-se que o centro esteja exatamente na origem de um plano cartesiano (ou seja,
em x=0 e y=0). Desse modo, imaginando que uma reta que liga o centro a qualquer ponto do
círculo trigonométrico definirá um ângulo  entre a reta e o eixo x positivo. O cosseno pode então
ser definido como a projeção da reta no eixo x, enquanto que o seno é a projeção da reta no eixo
y.
Compreendendo o conceito de projeção e de círculo trigonométrico facilmente podemos
determinar alguns valores de seno e de cosseno para alguns ângulos comuns.
ângulo
seno
cosseno
º
rad
0
0
0
1
90
 /2
1
0
180

0
-1
270
3 /2
-1
0
360
2
0
1
As funções trigonométricas aparecem em uma infinidade de contextos e aplicações.
Nesta aula, estaremos especialmente interessados na interpretação de gráficos. As equações
gerais básicas da função seno e cosseno são:
𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑥)
e
𝑦 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑥)
A partir da equação geral, podemos definir três parâmetros:

Amplitude (A): Valor máximo atingido pela função.


Período (P): largura em x de um ciclo completo.
Frequência angular (): Coeficiente que acompanha a variável independente x. É o
número de ciclos existentes dentro de um intervalo de 2.
A frequência angular e o período (P) estão relacionados entre si pela relação matemática:
𝑃=
2𝜋
𝜔
ou
𝜔=
2𝜋
𝑃
Graficamente as funções seno e cosseno apresentam um padrão chamados de senóide e
cossenóide, respectivamente:
Seno
Cosseno
P
A
A
P
Repare que uma das propriedades das funções seno e cosseno é a repetição indefinida. O padrão
de um ciclo se repete para a direita e para a esquerda. Considerando apenas um ciclo temos:
Seno
Cosseno
EXEMPLOS
Para cada função apresentada nos gráficos abaixo, determine a amplitude (A), a frequência
angular (), o período (P) e a função y(x) que determina a curva.
a)
b)
6
3
4
2
2
1
0
-1 -2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
-1-1 0
-4
-2
-6
-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Solução: Esse exercício requer conhecimento do que cada parâmetro (A, P e ) representa tanto
graficamente quanto na equação. Além disso precisaremos saber identificar se o gráfico se trata
de um seno ou de um cosseno. Antes de prosseguir, cabe o alerta de que estamos lidando com a
forma simplificada do seno e do cosseno. Há dois parâmetros adicionais que não estamos
considerando e que podem modificar a forma de analisar um gráfico.
a) Comecemos definindo se a função representada é um seno ou um cosseno. Como
podemos saber? Basta olhar para a origem, se a função iniciar em 0, então é um seno, do
contrário será um cosseno.
6
A função começa em 5, ou seja, é
um cosseno.
4
2
0
-1 -2 0
Cuidado que não é onde o
gráfico começa que você deve
olhar e sim no eixo y..
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-6
a amplitude A. É simplesmente o maior valor que a função atinge. Assim:
O maior valor que a função
atinge é 5. Logo A=5.
6
4
2
0
-1 -2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-6
O período P e a frequência angular  são dois parâmetros que estão interligados. Podemos definir
os dois graficamente ou determinar um pelo gráfico enquanto o outro definimos
matematicamente. O período é a largura de um ciclo, assim:
6
4
2
0
-1 -2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-6
A largura de um ciclo do cosseno é medida entre duas cristas. Neste caso,
como estamos fazendo a leitura a partir do zero, a largura coincidirá com o
valor em x em que está a 2ª crista. Assim P=1,6 (na realidade, o valor é /2,
o que não é possível definir com precisão apenas olhando no gráfico).
Matematicamente, a frequência angular  pode ser determinada através da relação:
𝜔=
2𝜋
𝑃
2𝜋
= 1,6 = 3,9
Também podemos definir o  graficamente. O primeiro passo é delimitar no gráfico um
intervalo de 2, ou seja, em torno de 6,28.
6
4
2
0
-1 -2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-6
Delimitação do gráfico entre 0 e 6,28 é o primeiro passo para determinar o valor de 
graficamente. Repare que a delimitação parte do 0 e não do começo do gráfico.
Dentro deste intervalo, contamos o número de ciclos existentes. Esse número será o valor de .
6
4
2
0
-1 -2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-6
Entre 0 e 6,28 existem 4 ciclos. Logo =4.
Podemos a partir da definição de , calcular P, se ainda não tivesse sido identificado:
𝑃=
2𝜋 2𝜋 𝜋
=
=
𝜔
4
2
Lembrando que a equação geral do cosseno é 𝑦(𝑥) = 𝐴. cos⁡(𝜔. 𝑥), a função y(x) será:
𝑦(𝑥) = 5. cos⁡(4. 𝑥)
b) Graficamente podemos obter:
3
A = 2.
2
1
A função começa em 0, ou seja, é
um seno.
0
-1-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-3
Repare que o ciclo do seno é diferente do ciclo do cosseno se fizermos a medição a
partir do zero. Atenção também para o fato de que o ciclo do seno corta 3 vezes o eixo
x, um no começo, um no meio e outro no fim. Um erro comum é considerar o ciclo
somente até o segundo zero, ou seja, na metade. De acordo com o gráfico P=4,2
Para determinar o w graficamente, seguimos os mesmos passos do exercício anterior.
Delimitamos o intervalo de 0 a 2p (6,28) e contamos o número de ciclos:
3
2
1
0
-1-1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-3
Repare que não temos um ciclo
completo aqui, somente metade
de um ciclo.
Assim, em um intervalo de 0 a
2, há 1,5 ciclos. Logo  = 1,5.
Assim, a função y(x) será:
𝑦(𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛(1,5. 𝑥)
EXERCÍCIOS – FUNÇÕES SENO E COSSENO
Para entregar: 4 ou mais estrelas.
1. (⋆) Para as funções representadas nos gráficos abaixo, determine a amplitude (A), a
frequência angular (), o período (P) e a função y(x) que determina a curva.
a)
b)
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
4
3
2
1
0
-1 -1 0
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
c)
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
2. (⋆) Para as funções representadas nos gráficos abaixo, determine a amplitude (A), a
frequência angular (), o período (P) e a função y(x) que determina a curva.
a)
b)
20
6
15
4
-1
10
2
5
0
0
-1-5 0
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-10
-4
-15
-6
-20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.
(⋆⋆) Para cada uma das três funções representadas no gráfico abaixo, determine a
amplitude (A), a frequência angular (), o período (P) e a função y(x) que determina a
curva.
8
y
6
4
2
x
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
(a)
-6
(b)
(c)
-8
4. (⋆⋆) Alguns relógios mais antigos utilizavam o pêndulo para fazer a demarcação dos
segundos. Sabendo que em um desses relógios o período (P) dura dois segundos, que a sua
amplitude (A) é de 20 centímetros e que a sua posição inicial é na amplitude, determine a
equação y(x) desse relógio.
5. (⋆⋆⋆) O movimento da Terra em torno do Sol pode ser representado pelo seguinte
gráfico.
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
-1
-1,5
-2
Sabendo que o eixo y é dado em 108 km e o eixo x em dias. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A amplitude (A) da função.
O período (P) da função.
A frequência angular () da função.
A função y(x) representada pelo gráfico.
O que representa o período e a amplitude dessa função do ponto de vista físico?
6. (⋆⋆⋆) O som (ou uma onda sonora) pode ser descrito como uma vibração do meio em que
ela se propaga. Assim, uma senóide pode representar um som monotônico cuja frequência
pode ser medida em Hz. A figura abaixo apresenta o gráfico da reprodução de algumas
notas musicais.
30
25
20
15
10
5
0
-5 0
-10
-15
-20
-25
-30
Lá
Sol
0,001
0,002
0,003
0,004
Dó
Sabendo que o eixo y é a intensidade do som dada em decibéis (dB) e o eixo x é o tempo dado em
segundos (s), determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A amplitude de cada função.
O período P de cada nota musical.
A frequência 𝑓 = 1/𝑃 de cada uma das notas.
A frequência angular () de cada uma das notas.
As funções y(x) representadas no gráfico.
O que representa a frequência e a amplitude dessas funções do ponto de vista físico?