FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
D I N Â M I C A
D E
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E M G A
Fórmulas para funções especiais
Função exponencial e x :
Representação gráfica de e x
e = 2.718281828459045235360287471353
ex
1) e x e y = e x + y ,
ey
= ex −y ,
(e x )y = e xy .
Logaritmo natural ln(x):
Representação gráfica de ln(x)
ln(e ) = 1 ,
ln(1) = 0 ,
2) ln( xy ) = ln( x ) + ln( y ) ,
ln(0) = −∞
x
ln( ) = ln( x ) − ln( y ) ,
y
A função ln(x) é a função inversa de ex , eln( x ) = x,
ln( x )α = α ln( x ) .
e −ln( x ) =
1
.
x
Logaritmo decimal log(x):
3) log( x ) = M ln( x ),
M = log( e ) = 0.4342944819 0325182765 1128918917 ,
1
= 2.3025850929 9404568401 7991454684 ,
M
1
A função log(x) é a função inversa de 10x , 10log( x ) = x,
10 −log( x ) = .
x
4) ln( x ) =
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1
log( x ),
M
1
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As funções seno e coco- seno: sin(x), cos(x)
Representação gráfica de sin(x).
Representação gráfica de cos(x).
Em cálculos medem-se os angulos em radianos, assim as funções sin(x) e cos(x) são funções periódicas de período 2π.
sin (-x) =-sin(x)
função ímpar; cos(-x)=-cos(x)
função par.
1º = 0.017453292519943 radianos;
1 rad = 57º 17’ 44.80625’’ = 57.2957795131º.
5) sin2 x + cos2 x = 1
;
 sin( x + y ) = sin( x ) cos( y ) + cos( x ) sin( y )

 sin( x − y ) = sin( x ) cos( y ) − cos( x ) sin( y )
6) 
cos( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y )
cos( x − y ) = cos( x ) cos( y ) + sin( x ) sin( y )
7) sin(2x ) = 2 sin(x ) cos( x ),
;
cos(2x ) = cos2 ( x ) − sin2 ( x ) ;
π
π

sin( x ) = cos( x − 2 ) = cos( 2 − x )

8) 
;
 cos( x ) = sin( x + π ) = sin( π − x )

2
2

9) sin(π − x ) = sin( x ),
10) cos2 ( x ) =
1
(1 + cos( 2x )),
2
cos(π − x ) = − cos( x ) ;
sin 2 ( x ) =
1
(1 − cos( 2x )) ;
2
1

sin( x ) sin( y ) = 2 [− cos( x + y ) + cos( x − y )]

1

11)  cos( x ) cos( y ) = 2 [cos( x + y ) + cos( x − y )] ;

1
 sin( x ) cos( y ) = [sin( x + y ) + sin( x − y )]
2


u +v
u −v

 sin( u ) + sin( v ) = 2 sin( 2 ) cos( 2 )

u +v
u −v

12) cos(u ) + cos(v ) = 2 cos( 2 ) cos( 2 )

u +v
u −v
) sin(
)
 cos(u ) − cos(v ) = 2 sin(
2
2


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;
2
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tg (δ ) =
14) A cos( x ) + B sin( x ) = A 2 + B 2 sin( x ± δ ),
n
16) e jz
( 2k + 1)π
( 2k + 1)π
) + j sin(
),
n
n
= cos( z ) + j sin( z )
− 1 = cos(
17) cos( z ) =
e jz + e − jz
2
,
sin( z ) =
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sin( δ )
B
=± ;
cos(δ )
A
sin( δ )
A
tg (δ ) =
=± ;
cos(δ )
B
13) A cos( x ) + B cos( x ) = A 2 + B 2 cos( x ± δ ),
15)
–
k = 0,1,2,.., n − 1
e jz − e − jz
2j
As funções tangente, coco- tangente, secante e coco- secante:
Representação gráfica de tan(x).
18) tg ( x ) =
sin( x )
,
cos( x )
19) tg ( x + y ) =
cot g ( x ) =
Representação gráfica de cotg(x).
cos( x )
,
sin( x )
tg ( x ) + tg ( y )
,
1 − tg ( x )tg ( y )
sec( x ) =
tg ( x − y ) =
1
,
cos( x )
cos ec ( x ) =
1
;
sin( x )
tg ( x ) − tg ( y )
;
1 + tg ( x )tg ( y )
Funções hiperbólicas:
Representação gráfica do seno hiperbólico de x.
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Representação gráfica da tangente hiperbólica de x.
3
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20) sinh( x ) =
1 x
(e − e − x ),
2
21) tgh( x ) =
sinh( x ) e x − e− x
=
,
cosh( x ) e x + e− x
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cosh( x ) =
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1 x
(e + e − x ) ;
2
cot gh( x ) =
sinh(x ) e x + e − x
=
;
cosh( x ) e x − e− x
cosh( x ) − sinh(x ) = e− x ;
22) cosh( x ) + sinh(x ) = e x ,
23) cosh2 ( x ) − sinh2 ( x ) = 1 ;
24) sinh 2 ( x ) =
1
(cosh( 2 x ) − 1),
2
cosh 2 ( x ) =
1
(cosh( 2 x ) + 1) ;
2
 sinh(x ± y ) = sinh(x ) cosh( y ) ± cosh( x ) sinh(y )
;
cosh(x ± y ) = cosh( x ) cosh( y ) ± sinh(x ) sinh(y )
25) 
26) tgh( x ± y ) =
tgh ( x ) ± tgh( y )
.
1 ± tgh( x )tgh( y )
A função Gama Γ ( α) ou função factorial:
Representação gráfica da função gama.
∞
27) Γ(α ) = ∫ e −t t α −1dt,
(α 〉0) ,
28) Γ(α + 1) = αΓ(α ),
Γ(1) = 1 ;
0
29) Γ( k + 1) = k! ,
30) Γ(α ) =
(k = 0,1,...) ;
Γ(α + k + 1)
,
α (α + 1)...(α + k )
n! nα
,
n → ∞ α (α + 1)(α + 2)...(α + n )
31) Γ(α ) = lim
(α ≠ 0,−1,−2,...) ;
(α ≠ 0,−1,−2,...) ;
α
e
32) Γ(α + 1) ≈ 2πα ( )α ;
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1
2
33) Γ( ) = π ;
A função beta B(x,y):
1
34) B( x, y ) = ∫ t x −1(1 − t )y −1dt,
( x〉 0,
y 〉0 )
;
0
Representação da função beta em termos da função gama:
35) B( x, y ) =
Γ( x )Γ( y )
.
Γ( x + y )
A função erro erf(x):
Representação gráfica da função erro.
36) erf ( x ) =
37)
37) erf ( x ) =
2
π
2
π
x
∫e
−t 2
dt ;
0
(x −
x3 x5 x7
+
−
+ −...) ;
1!3 2!5 3!7
erf(∞)=1,
Função erro complementar ,erfc(x):
38) erfc( x ) = 1 − erf ( x ) =
2
π
∞
∫e
−t 2
dt
x
Integrais de Fresnel ,C(x), S(x):
Representação gráfica dos integrais de Fresnel.
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x
D E
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x
39) C( x ) = ∫ cos( t 2 )dt ,
S( x ) = ∫ sin( t 2 )dt ;
0
0
π
,
8
Funções complementares:
C(∞) =
S(∞) =
π
;
8
∞
∞
π
− C( x ) = ∫ cos( t 2 )dt ,
8
x
40) c( x ) =
–
s( x ) =
π
− S( x )∫ sin( t 2 )dt ;
8
x
A função seno integral, Si(x):
Representação gráfica da função Si(x).
x
sin( t )
dt ,
t
0
A função complementar:
41) Si( x ) =
∫
42) si( x ) =
π
− Si( x ) =
2
Si(∞ ) =
∞
∫
x
π
;
2
sin( t )
dt ;
t
A função coco- seno integral, ci(x):
∞
∫
43) ci( x) =
x
cos( t )
dt ,
t
x〉0 ;
A função exponencial integral, Ei(x):
∞
44) Ei( x) =
e −t
∫x t dt ,
x〉 0 ;
A função logaritmo integral, li(x):
x
45) li( x ) =
dt
∫ ln(t ) .
0
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