EXAME DA CADEIRA Mecânica dos Meios Contínuos
Ano lectivo: 2006/2007 (20 Semestre)
Época: Normal (2007/07/05)
Cursos: EC
Duração: 3 horas
Nome: _________________________________
Curso: ___________________________
Número: ______________
Atenção: as questões 1 a 5 devem ser respondidas neste enunciado. Nestas questões, não é necessário apresentar deduções nem cálculos.
As outras questões devem ser resolvidas em folhas de prova.
1. [2]
(a) Escreva a equação da conservação da massa (da continuidade) para um meio incompressível:
(b) Considere o seguinte campo de velocidade de um fluido incompressível, sendo k é uma constante:
v1 = 2x21 + k (x2 − 2)2 x3 ; v2 = −x1 x2 ; v3 = kx1 x3 .
Qual é o valor da constante k?
Resposta ___
2. [1] Escreva a condição de fronteira para o tensor de tensão. (As designações devem ser identificadas.)
3. [1] Considere um meio sólido elástico linear que pode ser chamado incompressível. Qual é o valor
de razão de Poisson deste meio?
Resposta ___
4. [1] Escreva o tensor de tensão num fluido ideal. (As designações devem ser identificadas.)
5. [5]
(a) Sabe-se que uma função Φ (x1 , x2 , x3 ) representa potencial de um escoamento de um fluido
incompressível. Qual é a relação entre esta função e o campo de velocidade do escoamento?
Resposta ___
(b) Escreva a equação que determina a função Φ. (Sugestão: esta equação decorre da equação
de continuidade.) Qual é o nome matemático desta equação?
(c) Considere o escoamento para o qual Φ = x31 − Ax1 x22 , onde A é uma constante. Determine o
valor da constante A.
Resposta ___
1
(d) Determine o campo da velocidade do escoamento especificado na alínea anterior.
Resposta ___
(e) Determine o campo de pressão do escoamento especificado na alínea (c) sabendo que o fluido
está sujeito a uma força conservativa com o potencial Ω = gx3 , e que p (0, 0, 0) = p0 (aqui g
e p0 são constantes dadas).
Resposta ___
(f) O plano x2 = 0 pode ser uma fronteira sólida imóvel do escoamento especificado na alínea
(c) (justifique)?
6. [1] Seja T um tensor que transforma os vectores base da seguinte forma:
Te1 = 2e1 − 6e2 + 4e3
Te2 = 3e1 + 4e2 − e3
Te3 = −2e1 + e2 + 2e3
Como é que este tensor transforma o vector a = e1 + 2e2 + 3e3 ?
7. [2] Decomponha o seguinte tensor nas partes simétrica e antisimétrica.


1 2 3
T = 4 5 6
7 8 9
8. [2] O estado de tensão num ponto é dado em MPa pela matriz


9 12 0
T = 12 −9 0
0 0 5
Determine as tensões normais e tangenciais no plano que passa pelo mesmo ponto e é perpendicular
ao vector n = 15 (4e1 + 3e2 ).
9. [4] Considere um meio sólido elástico linear com a densidade ρ0 e coeficientes de Lamé λ e µ. Este
meio executa um movimento ondulatório, cujo campo de deslocamento é dado por

u1 = 0

u2 = 0
.

u3 = sin [β (x3 − ct)] + α sin [β (x3 + ct)]
(a) Caracterize a onda.
(b) Determine a velocidade de fase da onda, considerando as forças de corpo nulas.
(c) Calcule o valor da velocidade de fase da onda sabendo que ρ0 = 7860 kg m−3 e que λ =
119, 2 GPa e µ = 79, 2 GPa.
2
(d) Suponha que existe uma fronteira em x3 = 0 que é livre de tensão. Sob que condições o
movimento satisfaz esta condição fronteira para todo o instante?
10. [1] O sangue flui numa artéria de raio 0.3 cm, onde a velocidade é 10 cm s−1 , para uma região onde
o raio é reduzido para 0.2 cm devido ao espessamento das paredes arteriais (arteriosclerose). Qual
é a velocidade do sangue na região mais estreita?
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