Princípios fundamentais
• 1ª Lei de Newton:
Se a força resultante numa partícula é
zero, a partícula permanece em repouso
ou continua a mover-se em linha recta e
com velocidade constante
• 2ª Lei de Newton:
Uma particula terá uma aceleração
propocional à força aplicada

F  ma
• 3ª Lei de Newton:
As forças de acção e reacção entre
duas particulas tem a mesma linha de
acção, a mesma intensidade e sentidos
opostos.
Princípios fundamentais (cont.)
• Principio da
transmissibilidade
(corpos não deformáveis)
• Lei de gravitação de Newton: Duas
partículas são atraídas com forças iguais e
sentidos opostos
F G
g
Mm
R2
GM
,
,
R2
G  6.673  10 11 Nm 2 Kg  2
M terra  5.976  10 24 Kg
P  mg
g  9.81 ms  2
ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
As Forças são
grandezas vectoriais e
podem ser adicionadas
recorrendo à lei do
paralelogramo.
R
P
A
Q
• Lei do paralelogramo
A intensidade e a
direcção da resultante
R de duas forças P e Q
podem ser
determinadas
graficamente ou
recorrendo à
trigonometria.
Qualquer força F actuando numa particula pode ser
decomposta em duas ou mais componentes, i.e. pode ser
substituída por duas ou mais forças que terão um efeito
equivalente sobre a partícula A.
Q
F
A
P
Uma força F pode ser
decomposta em duas
componentes P
e Q, desenhando um
paralelogramo que tem F
como diagonal
As componentes P e Q
serão então representadas
pelos lados adjacentes do
paralelogramo e podem ser
calculadas graficamente ou
recorrendo à trigonometria.
Uma força F pode ser decomposta em duas componentes
rectangulares estando essas componentes direccionadas
segundo os dois eixos coordenados x , y
Introduzindo os vectores unitários i e j segundo os eixos x e y,
F = Fx i + Fy j
y
Fx = F cos q
Fy = F sin q
Fy
tan q =
Fx
Fy = Fy j
F
j
q
i
F=
Fx = Fx i
x
2
Fx
+
2
Fy
Quando 3 ou mais forças coplanares actuam sobre uma
partícula, as componentes rectangulares da sua resultante
R podem ser obtidas adicionando algébricamente as
correspondentes componentes segundo a direcção x e
segundo a direcção y.
Rx = S Rx
Ry = S Ry
A intensidade e direcção da resultante R são dadas por
Ry
tan q =
Rx
R=
2
Rx
+
2
Ry
Quando duas ou mais forças actuam numa particula no
plano, as componentes rectangulares da resultante R
segundo as direcções x, y são obtidas adicionando as
correspondentes componentes dessas forças
Rx = S Fx
Ry = S Fy
A partícula está em equilibrio quando a resultante de
todas as forças actuantes é zero:
Rx = S Fx = 0
Ry = S Fy = 0
Diagramas de corpo livre
Diagrama de corpo livre
da particula
seleccionada:
Situação real a analisar
Exemplo 1:
P
Adição de vectores
• Lei dos Cosenos
R 2  P 2  Q 2  2 PQ cos B
  
R  PQ
A
B
C
• Lei dos Senos
sin A sin B sin C


P
R
Q
C
B
• A adição de vectores é comutativa
 
 
PQ  Q P
Triângulo de
forças:
TAC = 480,39 N
TAB = 647,23 N
Exemplo 2:
As duas forças Q=60 N e P=40 N actuam no parafuso A.
Determinar a sua resultante.
Aplicando a Lei dos cosenos:
R 2  P 2  Q 2  2 PQ cos B
 40 N 2  60 N 2  240 N 60 N  cos155
R  97.73N
Aplicando a Lei dos senos:
sin A sin B

Q
R
sin A  sin B
Q
R
60 N
 sin 155
97.73N
A  15.04
  20  A
  35.04
Exemplo 3:
Calcular as componentes segundo x e y das forças
indicadas. Calcular a resultante.
Exemplo 4:
Quatro forças actuam no parafuso A como mostra a
figura.
Determinar as componentes segundo x e y bem
como a resultante.
força
F
Fx
Fy

F1 150  129.9  75.0

F2 80  27.4  75.2

F3 110
0  110.0

F4 100  96.6  25.9
Rx  199.1 R y  14.3
R  199.12  14.32
14.3 N
tan  
199.1 N
R  199.6N
  4.1
Exemplo 5:
Determinar as forças de tracção nos cabos AC e BC.
Exemplo 6:
Os dois sinais foram suspensos temporariamente como se
mostra na figura.
Sabendo que o sinal B pesa 300 N, qual o peso do sinal C?
Exemplo 7:
Considere o sistema da figura. Os cabos AB e BC foram lançados a um
náufrago. Sabendo que α = 25º e que a intensidade da força FR
exercida pela corrente do rio sobre o náufrago é de 300 N, calcule:
a) A tracção no cabo AB,
b) A tracção no cabo AC.
Exemplo 8:
Exemplo 9:
Exemplo 10:
Cálculo dos ângulos:
Diagrama de
corpo livre:
Exemplo 11:
Considere o sistema representado na figura. Sabendo que P = 5 kN, e que
o ângulo ∝ = 25º, calcule o valor das forças no cabo AC e no cabo BC.
Desenhe o diagrama de corpo livre e escreva de forma clara as equações
de equilíbrio estático.
TAC = 5235,6 N; TBC = 503,49 N
Problema 9.9 – Folhas HM
3
A
1

y
P
2
A
Peso = P
Figura P-9.9.a
T
/2 /2
T
Figura P-9.9.b
 Fy  P  T cos(  / 2)  T cos(  / 2)  0
T
P
T = -------------2cos(/ 2)
P
2 cos(  / 2)
P
P/2
0º

120º
180º
Exemplo 12:
Exemplo 13:
Exemplo 14:
Forças no
espaço
tridimensional
Componentes de uma força no espaço:

F
• O vector
está contido no
plano OBAC.

• Decompor F nas
suas componentes
horizontal e vertical:
Fy  F cosq y
Fh  F sinq y
• Decompor
Fh
Fx  Fh cos 
 F sin q y cos 
Fz  Fh sin 
 F sin q y sin 
y
y
B
B
Fy
O
Fz
E
F
Fy qy
A
D
qx
Fx
Fz
E
C
Fx
x
y
Uma força F no espaço tridimensional
pode ser decomposta nas 3
componentes:
B
Fx = F cos qx , Fy = F cos qy
O
Fy F
qz
A
Fx
E
z
D
C
z
z
Fz = F cos qz
F
O
x
A
Fz
C
D
x
y
l (versor de F)
Fy j
Os cosenos de
qx , qy , e qz
são designados por
cosenos directores
da força F.
F=Fl
cos qy j
cos qz k
Fx i
x
Fz k
z
cos qx i
Usando os vectores
unitários i , j e k,
temos:
F = Fx i + Fy j + Fz k
ou
F = F (cosqx i + cosqy j + cosqz k )
y
l (magnitude = 1)
cos qy j
cos qz k
F=Fl
Fx i
x
Fz k
F=
2
Fx +
Fx
cosqx =
F
2
Fy +
cosqy
Dado que a
magnitude de l é
unitária, temos:
cos2qx + cos2qy+ cos2qz = 1
cos qx i
z
cosqx i
+ cosqy j
+ cosqz k
l=
Fy j
Fz
=
2
Fy
F
cosqz =
Fz
F
y
N (x2, y2, z2)
F
l
dy = y2 - y1
dz = z2 - z1
<0
dx = x2 - x1
M (x1, y1, z1)
x
z
Um vector força F
em 3-dimensões é
definido pela sua
intensidade F e
dois pontos M e N
ao longo da sua
linha de acção.
O vector MN que
une estes pontos
M e N é dado por:
MN = N-M = dx i + dy j
+ dz k
O vector unitário l ao longo da linha de acção da força é:
l
=
MN
MN
=
1
( dx i + dy j
d
+ dz k
)
y
N (x2, y2, z2)
d=
2
2
dx + dy + dz
2
dy = y2 - y1
M (x1, y1, z1)
dz = z2 - z1
<0
dx = x2 - x1
x
z
F=Fl
=
Uma força F é
definida como o
produto de F e l:
F
( dx i + dy j
d
Sendo:
d
Fx = F x
d
dy
Fy = F
d
dz
Fz = F
d
+ dz k
)
Para resolver um problema envolvendo uma partícula em
equilibrio estático:
1. Desenhar o diagrama de corpo livre da particula,
mostrando todas as forças que actuam na partícula
2. Escrever as equações de equilibrio estático:
S Fx = 0
S Fy = 0
S Fz = 0
Será possível calcular
todas as forças de tracção
nos cabos ilustrados na
figura com as equações de
equilíbrio?
Exemplo 1-b:
O cabo AB de espia da torre representada na figura está ancorado em A. A tracção nesse
cabo é de 2500 N. Determinar:
a) As componentes Fx, Fy e Fz da força que actua em A.
b) Os ângulos Θx,Θy e Θz que definem a direcção da força.
Fx = -1060 N, Fy = 2120 N, Fz = 795N
Θx=115.5º, Θy=32º, Θz=71.5º
Exemplo 2-b:
Determinar:
1.
a) As componentes x, y e z da força de 900 N;
b) Os ângulos Θx, Θy e Θz desta força com os eixos coordenados.
2.
a) As componentes x, y e z da força de 1900 N;
b) Os ângulos Θx, Θy e Θz desta força com os eixos coordenados.
Exemplo 3-b:
Dois cabos BG e BH estão ligados à barra
ACD como ilustrado na figura. Sabendo
que a força de tracção no cabo BG é 450
N, determinar:
a) as componentes da força exercida pelo
cabo BG sobre a barra no ponto B
b) As componentes da força exercida pelo
cabo BH sobre a barra no ponto B
a) -200N, 370N, -160N
b) 150N, 300N, -300N
Exemplo 4-b:
A pála é suportada por dois cabos como ilustrado na figura. Se os cabos
exercerem as forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no olhal fixo na parede em A,
como se representa na figura da direita, determinar a resultante da força que
actua em A. Exprimir o resultado em coordenadas cartesianas.
Exemplo 5-b:
O cilindro com massa de 100 Kg está suspenso do tecto através dos
cabos fixos nos pontos B, C e D.
Calcular as forças de tracção nos cabos AB, AC e AD.
Diagrama de Corpo Livre
Equação de equilíbrio (sob a forma vectorial)
TAB  TAC  TAD  (100 Kg )(9.81 m / s 2 ) j  0

TAB  TAC  TAD  (981N ) j  0
Obter o vector unitário que
tem a direcção da força,
dividindo o vector que vai
de A para B pela respectiva
norma
Exprimir a força TAB em
termos das suas
componentes: TAB . eAB
Fazer o mesmo
procedimento para obter as
forças TAC e TAD.
Substituir estas forças na equação de equilíbrio
TAB  TAC  TAD  (981N ) j  0
Dado que as componentes segundo x, y e têm
de ser nulas, resultam as 3 equações:
 Fx  0
 Fy  0
 Fz  0
Resolvendo o sistema de
equações obtém-se:
TAB  519 N
TAC  636 N
TAD  168 N
Exemplo 6-b:
Considere o sistema
representado na figura
usado para elevar uma
massa de 200 Kg para
o cais.
Determinar as forças
de compressão nos
tirantes AB e CB e a
força de tracção no
cabo do guincho DB.
Assumir que a força em
cada tirante se exerce
segundo o respectivo
eixo.
FAB=2.52 kN; FCB=2.52 kN; FBD=3.64 kN
Problemas diversos de revisão
Considere as 3 barras rebitadas a uma placa gusset como mostra a
figura. Calcular o valor das forças F e T, tomando θ = 100º e sabendo
que as barras OB e OC são simétricas em relação ao eixo x.