Universidade Federal da Bahia
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Unidade VI – Trabalho e Energia Mecânica
FIS121 – Fı́sica Geral e Experimental I - E - Turmas: T09
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Para problemas que envolvem cálculos de integrais, utilize a expressão
Z
xn dx =
xn+1
, para n 6= −1
n+1
1. Uma única força age sobre um objeto de 3,0 kg, que pode ser tratado como uma partı́cula, de
tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por x = 3, 0t − 4, 0t2 + 1, 0t3 ,
com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado sobre o objeto pela força
de t = 0 até t = 4, 0 s. (Sugestão: Quais são as velocidades nesses tempos?)
2. Na Figura 1, uma corda passa por duas roldanas de massas e atrito desprezı́veis; uma lata
cilı́ndrica de massa m = 20 kg está pendurada em uma das roldanas. Se você exercer uma
força F~ sobre a extremidade livre da corda,
Figura 1: Problema 2
(a) qual deve ser a intensidade de F~ a fim de que a lata seja suspensa com velocidade
constante?
(b) Para supender a lata 2, 0 cm, quantos centı́metros você deve puxar a extremidade livre
da corda?
(c) Durante esse levantamento, qual é o trabalho realizado sbre a lata pela força (transmitida
via corda) e
(d) pela força gravitacional sobre a lata?
(Sugestão: Quando uma corda passa em volta e uma roldana como mostrado, ela puxa a
roldana com um força resultante que é o dobro da tração na corda.)
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3. Um bloco de gelo de 45 kg desce deslizando um plano inclinado liso de 1,5 m de comprimento
e 0,91 m de altura. Um trabalhador aplica uma força para cima contra o bloco de gelo
na direção paralela ao plano inclinado, para que o bloco desça deslizando com velocidade
constante.
(a) Encontre a intensidade da força do trabalhador.
(b) Quanto trabalho é realizado sobre o bloco pela força do trabalhor?
(c) Quanto trabalho é realizado sobre o bloco pela força gravitacional?
(d) Quanto trabalho é realizado sobre o bloco pela força normal à superfı́cie do plano inclinado?
(e) Quanto trabalho é realizado sobre o bloco pela força resultante?
4. Um helicóptero eleva uma astronauta de 72 kg verticalmente por 15 m a partir do oceano
g
por meio de cabo. A aceleração da astronauta é
.
10
(a) Quanto trabalho é realizado sobre a astronauta pela força do helicóptero?
(b) Quanto trabalho é realizado sobre a astronauta pela força gravitacional agindo sobre
ela?
(c) Quais são a energia cinética e a velocidade da astronauta imediatamente antes de ela
alcançar o helicóptero?
5. Uma equipe de resgate em cavernas suspende bem na vertical um espeleólogo ferido para fora
de um sumidouro por meio de um cabo tracionado por um motor. O içamento é realizado
em três etapas:
(a) o espeleólogo inicialmente em repouso, é acelerado até uma velocidade de 5,00 m/s;
(b) ele é então suspenso a uma velocidade constante de 5,00 m/s;
(c) finalmente ele é desacelerado até voltar ao repouso.
Quanto trabalho é realizado sobre o espeleólogo resgatado de 80,0 kg pela força que o suspendeu durante cada etapa?
6. Um bloco de 250 g é solto sobre uma mola vertical indeformada que possui uma constante
de mola k = 2, 5 N/cm (Figura 3). O bloco passa a ficar preso à mola comprimindo-a 12 cm
antes de parar por um instante. Enquanto a mola estiver sendo comprimida, qual é o trabalho
realizado sobre o bloco
(a) pela força gravitacional que age sobre ele e
(b) pela força da mola?
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Figura 2: Problema 6
(c) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de ele acertar a mola? (Suponha que
o atrito seja desprezı́vel).
(d) Se a velocidade no impacto for duplicada, qual será a compressão máxima da mola?
7. A única força atuante sobre um corpo de 2,0 kg enquanto ele move-se ao longo do sentido
positivo do eixo x possui uma componente x igual a Fx = −6x N, onde x está em metros. A
velocidade do copor em x = 3, 0 m é de 8,0 m/s.
(a) Qual a velocidade do corpo em x = 4, 0 m?
(b) Em qual valor positivo de x o corpo terá uma velocidade de 5,0 m/s?
8. Um bloco de 5,0 kg move-se em linha reta sobre uma superfı́cie horizontal lisa sob a influência
de uma força que varia com a posição, como mostrado na Figura 3. a escala do eixo vertical
da vigura é tomada por Fs = 10, 0 N. Quanto trabalho esta força realiza para mover o bloco
da origem até a posição x = 8, 0 m?
Figura 3: Problema 8
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9. Um tijolo de 10 kg move-se ao longo de um eixo x. Sua aceleração em função da sua posição
é mostrada na Figura 4. Na figura a escala do eixo vertical é dada por as = 20, 0 m/s2 . Qual
o trabalho resultante realizado sobre o tijolo pela força que causa a aceleração do tijolo ao
se mover de x = 0 até x = 8, 0 m?
Figura 4: Problema 9
10. A única força atuante sobre um bloco de 2,0 kg enquanto este se move ao longo do eixo x
varia como mostrado na Figura 5. No gráfico, a escala vertical é tal que Fx = 4, 0 N. A
velocidade do corpo em x = 0 é de 4,0 m/s.
Figura 5: Problema 10
(a) Qual a energia cinética do corpo em x = 3, 0 m?
(b) Para que valor de x o corpo terá ma energia cinética de 8,0 J?
(c) Qual a energia cinética máxima alcançada pelo bloco entre x = 0 e x = 5, 0 m?
11. A força sobre uma partı́cula está dirigida ao longo de um eixo x e é dada por
F0
F = x
.
−1
x0
4
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Determine o trabalho realizado pela força ao mover a partı́cula de x = 0 até x = 2x0 ,
(a) plotando F (x) e medindo o trabalho a partir do gráfico e
(b) por integração de F (x)
12. Um bloco de 1,5 kg está inicialmente em repouso sobre uma superfı́cie horizontal lisa quando
uma força horizontal no sentido positivo de um eixo x é aplicada ao bloco. A força é dada
por
F~ (x) = (2, 5 − x2 )ı̂ N ,
onde x é dado em metros e a posição inicial do bloco é x = 0.
(a) Qual a energia cinética do bloco ao passar por x = 2, 0 m?
(b) Qual a energia cinética máxima do bloco entre x = 0 e x = 2, 0 m?
13. Um bloco de 100 kg é puxado com velocidade constante de 5,0 m/s sobre um piso horizontal
por uma força aplicada de 122 N que forma um ângulo de 37◦ em relação ao plano horizontal.
Qual a taxa com que a força realiza trabalho sobre o bloco?
14. (a) Em um certo instante, um objeto, que pode ser considerado uma partı́cula, sofre a ação
de uma força
F~ = (4, 0 N )ı̂ − (2, 0 N )̂ + (9, 0 N )k̂ ,
enquanto possui uma velocidade
~v = −(2, 0 m/s )ı̂ + (4, 0 m/s )k̂ .
Qual a taxa instantânea com que a força realiza trabalho sobre o objeto?
(b) Em um outro instante, a velocidade apresenta apenas uma componente na direção y.
Se a força não foi alterada, e a potência instantânea é de −12 W, qual a velocidade do
objeto neste exato momento?
15. Um esquiador é puxado para cima de uma rampa de esqui lisa, que faz um ângulo de 12◦ com
a horizontal, por meio de uma corda de reboque. A corda move-se paralelamente à rampa
com uma velocidade constante de 1,0 m/s. A força da corda realiza um trabalho de 900 J
sobre o esquiador enquanto ele se moveu uma distância de 8,0 m para cima da rampa.
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(a) Se a corda moveu-se com velocidade constante de 2,0 m/s, quanto trabalho a força da
corda realizaria sobre o esquiador quando ele se movesse uma distância de 8,0 m para
cima da rampa?
(b) Qual a taxa com que a força da corda está realizando trabalho sobre o esquiador quando
a corda move-se com uma velocidade de 1,0 m/s?
(c) idem para 2,0 m/s.
16. A cabine de um elevador de cargas, completamente carregado e que se move lentamente,
possui uma massa total de 1200 kg que precisa ser elevada 54 m em 3 minutos, partindo
e retornando ao repouso. O contrapeso do elevador possui uma massa de apenas 950 kg;
portanto o motor do elevador tem que ajudar a puxar a cabine para cima. Qual a potência
média exigida da força que o motor exerce sobre a cabine, por meio do cabo?
17. Uma concha de 0,30 kg deslizando sobre uma superfı́cie horizontal lisa é presa a uma extremidade de uma mola horizontal (com k = 500 N/m) que possui a outra extremidade fixa. A
concha possui uma energia cinética de 10 J ao passar pela sua posição de equilı́brio (o ponto
no qual a força da mola é nula).
(a) Qual a taxa com que a mola realiza trabalho sobre a concha quando esta passa pela sua
posição de equilı́brio?
(b) Qual a taxa com que a mola realiza trabalho sobre a concha quando a mola está comprimida 0,10 m e a concha está se afastando da posição de equilı́brio?
18. A força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante
é proporcional à velocidade. Se uma velocidade é de 4,0 km/h requer 7,5 kW, qual será a
potência necessária para uma velocidade de 12 km/h?
19. Um objeto de 2,0 kg inicialmente em repouso, é acelerado horizontal e uniformemente até
uma velocidade de 10 m/s em 3,0 s.
(a) Nesse intervalo de 3,0 s, quanto trabalho a força de aceleração realiza sobre o objeto?
(b) Qual a potência instantânea devida a essa força ao final do intervalo
(c) e ao final da primeira metade do intervalo?
20. Ao se exercitar em uma barra, levando o queixo até a barra, o corpo de um homem se eleva
0,40 m.
(a) Qual é o trabalho realizado pelo homem por quilograma de massa de seu corpo?
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(b) Os músculos envolvidos nesse movimento podem produzir 70 J de trabalho por quilograma de massa do músculo. Se o homem consegue fazer a elevação de 0,40 m no limite
de seu esforço máximo, qual é o percentual da massa de seu corpo constituı́do por esses
músculos? (Para comparação, é cerca de 43% a porcentagem total de músculos de um
homem de 70 kg com 14% de gordura.)
(c) Repita os cálculos da parte (b) para o filho jovem do homem, cujos braços possuem a
metade do comprimento do seu pai porém com músculos que podem produzir 70 J de
trabalho por quilograma de massa do músculo.
(d) Adultos e crianças possuem aproximadamente a mesma porcentagem de músculos em
seus corpos. Explique por que uma criança pode fazer uma flexão mais facilmente do
que seu pai.
21. Uma senhora está em pé parada em um elevador que sobe com aceleração constante enquanto
ele se desloca a uma distância vertical de 18,0 m. Durante o deslocamento de 18,0 m, a força
normal exercida pelo piso do elevador realiza sobre ela um trabalho de 8,25 kJ e a gravidade
realiza sobre ela um trabalho de –7,35 kJ.
(a) Qual é a massa dessa senhora?
(b) Qual é a força normal exercida pelo piso do elevador sobre ela?
(c) Qual é a aceleração do elevador?
22. Um pacote de 5,00 kg desliza para baixo de uma rampa inclinada de 12, 0◦ abaixo da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a rampa é µc = 0, 310. Calcule
(a) o trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito;
(b) o trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade;
(c) o trabalho realizado sobre o pacote pela força normal;
(d) o trabalho total realizado sobre o pacote.
(e) Se o pacote possui uma velocidade de 2,20 m/s no topo da rampa, qual é sua velocidade
depois de descer 1,50 m ao longo da rampa?
k
. (As forças elétricas
x2
e as gravitacionais possuem esse tipo de dependência com a distância).
23. Um objeto é atraı́do para a origem com uma força dada por Fx = −
(a) Calcule o trabalho realizado pela força Fx quando o objeto se desloca ao longo do eixo
Ox de x1 a x2 . Se x2 > x1 , verifique se o trabalho realizado por Fx é positivo ou
negativo.
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(b) A única força, além dessa, é a força que a sua mão exerce sobre o objeto para deslocá-lo
lentamente de x1 a x2 . Qual trabalho você realiza? Se x2 > x1 , o trabalho realizado
por você é positivo ou negativo?
(c) Explique as semelhanças e as diferenças entre suas respostas das partes (a) e (b).
24. Considere uma certa mola que não obedece a lei de Hooke muito rigorosamente. Uma das
extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de um
distância x, é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo
Ox com módulo dado por Fx = kx − bx2 + cx3 . Aqui k = 100 N/m, b = 700 N/m2 e
c = 12.000 N/m3 . Note que para x > 0 a mola está esticada e para x < 0 a mola está
comprimida.
(a) Qual o trabalho necessário para esticar essa mola 0,050 m a partir do seu comprimento
sem deformação?
(b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola 0,050 m a partir do seu comprimento sem deformação?
(c) É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que em termos da dependência de Fx com x. (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo
modo.)
25. Um próton com massa igual a 1, 67 × 10−27 kg é impulsionado com uma velocidade incial de
3, 00 × 105 m/s diretamente contra um núcleo de urânio situado a uma distância de 5,00 m.
α
O próton é repelido pelo núcleo de urânio com uma força com módulo Fx = 2 , onde x é a
x
distância entre as duas partı́culas e α = 2, 12 × 10−26 Nm2 . Suponha que o núcleo de urânio
permaneça em repouso.
(a) Qual é a velocidade do próton quando ele está a uma distância de 8, 00 × 10−10 m do
núcleo de urânio?
(b) À medida que o próton se aproxima do núcleo de urânio, a força de repulsão faz sua
velocidade diminuir até ele ficar momentaneamente em repouso, depois que ele passa a
se afastar do núcleo de urânio. Qual é a distância mı́nima entre o próton e o núcleo de
urânio?
(c) Qual é a velocidade do próton quando ele está novamente a uma distância de 5,00 m do
núcleo de urânio?
26. Uma força resultante de módulo (5, 00N/m2 )x2 formando um ângulo constante de 31, 0◦ com
o eixo +Ox atua sobre um objeto de massa 0, 250 kg que se desloca ao longo do eixo Ox.
Qual é a velocidade do objeto para x = 1, 50 m, sabendo-se que ele possuı́a uma velocidade
de 4,00 m/s para x = 1, 00 m?
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27. Uma força orientada no sentido positivo do eixo +Ox possui módulo F =
b
, onde b e n são
xn
constantes.
(a) Para n > 1, calcule o trabalho realizado por essa força sobre uma partı́cula que se move
ao longo do eixo Ox desde x = x0 até o infinito.
(b) Mostre que para 0 < n < 1, embora F se anule quando x se torna muito grande, uma
quantidade infinita de trabalho é realizado por F quando a partı́cula se move desde
x = x0 até o infinito.
28. Uma espingarda de mola possui massa desprezı́vel e a constante de mola é dada por k =
400 N/m. A mola é comprimida 6,0 cm e uma bala de massa 0,0300 kg é colocada no cano
horizontal contra a mola comprimida. A seguir a mola é liberada, e a bala recebe um impulso,
saindo do cano da arma. O cano possui 6,0 cm de comprimento, de modo que a bala deixa
o cano no mesmo ponto onde ela perde o contato com a mola. A arma é mantida de modo
que o cano fique na horizontal.
(a) Desprezando o atrito, calcule a velocidade da bala ao deixar o cano da arma.
(b) Calcule a velocidade com que a bala deixa o cano da arma quando uma força resistiva
constante de 6,00 N atua sobre ela enquanto ela se move ao longo do cano.
(c) Para a sistuação descrita no item (b), em que posição ao longo do cano a bala possui
sua velocidade máxima e qual é essa velocidade? (Nesse caso, a velocidade máxima não
ocorre na extremidade do cano.)
29. Sua gata Mimi (massa 7,00 kg) está tentando subir uma rampa sem atrito de 2,00 m de
comprimento e inclinada de 30, 0◦ acima da horizontal. Como a pobre gata não encontra
tração na rampa, você a empurra durante toda a extensão da rampa, exercendo sobre ela
uma força constante de 100 N paralela à rampa. Supondo que Mimi comece a correr de modo
a estar com velocidade de 2,40 m/s na base da rampa, qual será sua velocidade no topo da
rampa?
30. Considere um sistema formado por dois blocos. Um dos blocos possui massa de 8,00 kg e
está sobre o topo de uma mesa cujo o coeficiente de atrito cinético é µc = 0, 250. Este bloco
é ligado por uma corda de massa desprezı́vel e que passa por uma pequena polia sem atrito a
um outro bloco suspenso de massa 6,00 kg. Os blocos são liberados do repouso. Use métodos
de energia para calcular a velocidade do bloco de 6,00 kg no momento em que ele desceu 1,50
m.
31. Em um dia de inverno em uma cidade que neva muito, o trabalhador de um armazém está
empilhando caixas sobre uma rampa rugosa inclinada de um ângulo α acima da horizontal.
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A rampa está parcialmente coberta de gelo e na sua base existe mais gelo do que no seu topo,
de modo que o coeficiente de atrito aumenta com a distância x ao longo da rampa: µ = Ax,
onde A é uma constante positiva e a base da rampa corresponde a x = 0. (Para essa rampa,
o coeficiente de atrito cinético é igual ao coeficiente de atrito estático: µc = µe = µ.) Uma
caixa é empurrada para cima da rampa, de modo que ela sobe a partir da base com uma
velocidade inicial v0 . Mostre que quando a caixa atingir momentaneamente o repouso ela
continuará em repouso se
v02 ≥
3gsen 2 α
A cos α
32. Uma fórmula teórica para a energia potencial associada à força nuclear entre dois prótons,
dois nêutrons, ou um nêutron e um próton é o potencial de Yukawa [ Hideki Yukawa (19071981) – prêmio Nobel em Fı́sica em 1949 por sua previsão da existência de mésons baseada
em trabalho teórico sobre forças nucleares ],
U (r) = −U0
a
r
e−r/a ,
onde U0 e a são constantes positivas e r é a distância de separação entre os dois núcleos.
(a) Determine a força em função da distância de separação dos dois núcleos.
(b) Calcule a razão entre o valor da força para as distâncias r = 2a e r = a.
(c) Calcule a razão entre o valor da força para as distâncias r = 5a e r = a.
33. A força Fx , atuante sobre uma partı́cula é mostrada como função de x na Figura 6. Determine
o trabalho realizado pela força quando a partı́cula se move de x = 0 até os seguintes valores
de x : −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 e 4 m.
Figura 6: Problema 33
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34. Nas palavras de Richard Feynman (1918-1988) – prêmio Nobel em Fı́sica em 1965 por seu
trabalho fundamental em eletrodinâmica quântica, com conseqüências profundas para a fı́sica
de partı́culas elementares –, um dos maiores fı́sicos do século XX, “Se, em um cataclisma, todo
o conhecimento cientı́fico fosse destruı́do e apenas uma frase fosse passada para a próxima
geração, . . . qual a afirmativa que conteria a informação mais importante em menos palavras?
Eu acredito que a afirmativa seria — que todas as coisas são feitas de átomos — pequenas
partı́culas . . . atraı́das entre si quando separadas por uma pequena distância, porém repelidas
quando comprimidas entre si” [ Richard P. Feynman, Matthew L. Sands e Robert B. Leighton,
The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, p. 1.1. Boston: Addison-Wesley (1970).]. Ao
analisar as forças entre os átomos, os fı́sicos modernos e os quı́micos geralmente modelam
suas interações pelo chamado potencial “6–12” (potencial de Lennard-Jones), onde a função
energia potencial entre dois átomos é dada pela função
U (r) =
a
b
− 6
12
r
r
onde r é a distância entre os núcleos atômicos e a e b são constantes que podem ser determinadas espectroscopicamente. Uma vez que eles não formam fronteiras atômicas, os átomos
dos gases nobres possuem funções energia potencial que podem ser bem modeladas por um
potencial 6–12 e medidos com razoável precisão.
(a) Determine a distância de separação (ponto de mı́nimo) entre os átomos.
(b) Determine o valor mı́nimo da energia potencial (comparada com a situação em que os
átomos são separados de uma grande distância).
(c) A distância obtida do item a) é um ponto de mı́nimo. Esse ponto refere-se a um equilı́brio
estável ou instável. EXPLIQUE.
35. Um bloco de massa m repousa em um plano inclinado de inclinação θ, com o coeficiente
de atrito estático conhecido µe , conforme mostrado na Figura 7. Uma mola de constante
elástica k está ligada a uma roldana, de massa desprezı́vel, e é puxada para baixo com força
Figura 7: Problema 35
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gradualmente aumentada. Determine a energia potencial U da mola no momento em que o
bloco começa a se mover em função de m, θ, k, µe e g.
36. A Figura 8 mostra um bloco de gelo escorrega para baixo em uma rampa sem atrito de
inclinação θ ao mesmo tempo em que é puxado para cima com uma força F~c (por meio de uma
corda) que está dirigida para cima ao longo da rampa. Quando o bloco desliza uma distância d
ao longo da rampa, sua energia cinética aumenta por um valor T0 . Determine quão maior seria
esta energia cinética se a corda não estivesse presa ao bloco. Justifique a sua resposta.
Figura 8: Problema 36
37. Uma massa m desliza de cima para baixo por um plano ligeiramente inclinado e sem atrito
a partir de uma altura vertical h, formando um ângulo α com a horizontal.
(a) O trabalho realizado por uma força é a soma do trabalho realizado pelos componentes
da força. Considere os componentes da gravidade paralela e perpendicular à superfı́cie
do plano. Determine o trabalho realizado sobre a massa para cada um dos componentes
e use esses resultados para mostrar que o trabalho realizado pela gravidade é exatamente
o mesmo, caso a massa tivesse caı́do diretamente de cima para baixo pelo ar, de uma
altura h.
(b) Use o teorema do trabalho-energia para provar que a velocidade escalar da massa na
base da inclinação seria a mesma, caso tivesse sido solta da altura h, independentemente
do ângulo α da inclinação. Explique como essa velocidade escalar pode ser independente
do ângulo de inclinação.
12
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RESPOSTAS
1. 528 J
(c) 18 J
11. o trabalho é nulo
2. (a) 98 N
(b) 4,0 cm
12. (a) 2,3 J
(c) 3,92 J
(b) 2,6 J
(d) -3,92 J
13. 487 W
3. (a) 2, 7 × 102 N
14. (a) 28 W
(b) −4, 0 × 102 J
(b) 6, 0̂ m/s
2
(c) 4, 0 × 10 J
15. (a) 9, 0 × 102 J
(d) nulo
(b) 1, 1 × 102 W
(e) nulo
(c) 2, 3 × 102 W
4. (a) 1, 2 × 104 J
16. 735 W
(b) −1, 1 × 104 J
17. (a) 0 W
(c) 1, 0 × 103 J e 5,3 m/s
(b) -350 W
5. (a) 8, 84 × 103 J
18. 6, 8 × 104 W
(b) 7, 84 × 103 J
19. (a) 1, 0 × 102 J
(c) 6, 84 × 103 J
(b) 6, 7 × 10 W
6. (a) -0,29 J
(c) 3, 3 × 10 W
(b) -1,8 J
20. (a) 3,9 J/kg
(c) 3,5 m/s
(b) 5,6%
(d) -0,23 m
(c) 1,96 J/kg e 2,8%
7. (a) 6,6 m/s
(d) Se ambos, o adulto e a criança, po-
(b) 4,7 m
dem fazer o trabalho a uma taxa de
70 J/kg e, se a criança precisa uti-
8. 25 J
lizar apenas 1,96 J/kg ao invés de
9. 800 J
3,92 J/kg, então a criança teria capacidade de realizar mais trabalho.
10. (a) 12 J
21. (a) 41,7 kg
(b) 4,0 m
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(b) 458 N
24. (a) 0,12 J
(c) 408 N
(b) 0,17 J
(d) 1,20 m/s2
(c) É mais fácil esticar a mola.
22. (a) −22, 3 J
25. (a) 2, 41 × 105 m/s
(b) 15,3 J
(b) 2, 82 × 10−10 m
(c) nulo
(c) 3, 00 × 105 m/s
(d) −7, 00 J
26. 6,57 m/s
b
1
27. (a)
n−1
n − 1 x0
(e) 1,43 m/s
1
1
23. (a) k
−
. A força é atrativa,
x2
x1
pois F < 0, logo k > 0. Se x2 >
(b) Mostre!
28. (a) 6,93 m/s
x1 =⇒ W < 0
(b) O deslocamento lento subtende-se
(b) 4,90 m/s
velocidade constante, a força sobre
(c) 0,0150 m e 5,20 m/s
o objeto (resultante) é nula, então a
29. 6,58 m/s
força aplicada pelas mãoes é oposta
a Fx e o trabalho realizado é o ne-
30. 2,90 m/s
gativo daquele encontrado no item
31. Mostre!
anterior, ou seja, o trabalho para
levar o objeto de
x2 até x1 . As1
1
sim k
−
que é positivo se
x1
x2
x2 > x1 .
32. (a)
−U0 e
(c) As respostas possuem o mesmo
módulo, mas com sinais trocados.
3 −1
e
8
3 −1
(c)
e
25
(b)
Isto era esperado, já que, o trabalho
resultante é nulo.
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−r/a
1
a
+
2
r
r
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x1 → x2 (m)
Wx1 →x2 (J)
0 → −4
(−3 − 1)
4+2
(4) +
(−1) = −11
2
2
0 → −3
0 → −2
W0→−4 − W−3→−4 = −11 −
W0→−3 − W−2→−3 = −10 −
2
(−1) = −10
2
4 + 2
(−1) = −7
2
0 → −1
W0→−2 − W−1→−2 = −7 − (4)(−1) = −3
0→0
0
0→1
2
(1) = 1
2
0→2
W0→1 +W1→2 = 1 + 12 (−2) = 0
0→3
W0→2 + W2→3 = 0 + (−2)(1) = −2
0→4
1
W0→3 + W3→4 = −2 + (−2) = −3
2
33.
r
2a
b
2
b
(b) −
4a
(c) Equilı́brio estável.
34. (a)
36. Fc d
6
37. (a) Mostre!
(b) Mostre!
2
[mg(sen θ + µe cos θ)]
35.
2k
15