ELECTROMAGNETISMO II - Práticas
Folha 7: Campo electromagnético. Vector de Poynting
1. Considere um fio condutor cilı́ndrico, longo, não magnetizável, de condutividade σ, comprimento L e secção A = π a2 percorrido por uma corrente I. Determine o fluxo de energia à
superfı́cie do fio e mostre que este fluxo de energia está relacionado com o efeito de Joule.
2. Um gerador de corrente alternada está ligado a um condensador plano, cujas placas são discos
de área A = πa2 ; a carga no condensador é q = q0 sin ωt.
Calcule os campos eléctrico e magnético no espaço entre as placas.
Calcule a variação, por unidade de tempo, da energia associada ao campo electromagnético
no espaço entre as placas. Relacione a expressão obtida com o fluxo do vector de Poynting
através da superfı́cie que delimita o volume considerado.
Nota: considere ω pequeno e que os efeitos dos bordos são desprezáveis.
3. Um condensador plano é formado por duas placas circulares de área A = πa2 separadas,
no instante inicial, por uma distância d0 (d0 ¿ a) e está ligado a uma fonte de tensão que
mantém uma diferença de potencial constante V0 entre as placas.
(a) Considere que as placas começam a oscilar, muito lentamente, mantendo-se paralelas
mas passando a distância entre elas a ser dada por
d = d0 + d1 sin(ωt) .
Calcular o campo magnético H que se estabelece entre as placas .
(b) Calcular o campo H se as placas forem postas a oscilar como se referiu na alı́nea anterior,
mas depois de terem sido desligadas da bateria e isoladas.
4. No interior de um cilindro infinito de raio a existe um campo magnético B = B0 cos(ωt) k̂
que varia muito lentamente com o tempo. No exterior o campo é nulo. Não há distribuições
de carga.
(a) Calcule as densidades volumétricas e superficiais de corrente.
(b) Obtenha o campo eléctrico induzido em todo o espaço.
(c) Calcule o fluxo do vector de Poynting através de uma superfı́cie cilı́ndrica fechada correspondente a um segmento de altura unitária do cilindro e relacione o resultado obtido
com a energia do campo electromagnético armazenada no volume limitado por esta
superfı́cie.
5. Um condutor rectilı́neo indefinido, dirigido ao longo do eixo z, tem secção circular de raio
a e é percorrido por uma corrente contı́nua de densidade não uniforme j = k̂ j0 r, com j0
constante. A condutividade do material é não uniforme, σ = σ0 r.
(a) Calcule os campos E e B em todo o espaço;
(b) Calcule o fluxo do vector de Poynting através da superfı́cie cilı́ndrica fechada que limita
um troço de condutor, de comprimento L. Compare o resultado obtido com a potência
dissipada por efeito Joule na referida porção de condutor.
6. Mostrar que a solução geral da equação de ondas para uma onda plana que se propaga na
direcção do eixo x é
ϕ(x, t) = f− (x − ct) + f+ (x + ct) .
7. Mostrar que a solução geral da equação de ondas para uma onda plana que se propaga na
direcção r̂ = l î + m ĵ + n k̂ (l, m, n são os cosenos directores) é uma função do tipo
ϕ(x, y, z, t) = f− (lx + my + nz − ct) + f+ (lx + my + nz + ct) .
8. Determinar a solução geral da equação de ondas no caso de haver simetria esférica.
9. Uma onda electromagnética plana propaga-se no vazio no sentido positivo do eixo z.
O campo eléctrico é descrito pela equação
·
µ
E = î E0 cos ω t −
z
c
¶¸
.
Determine o vector de Poynting e mostre que o seu módulo é igual ao produto da densidade
de energia pela velocidade c de propagação da onda.
10. Uma onda electromagnética plana, harmónica e com polarização linear propaga-se no vazio.
A amplitude do campo eléctrico é 50 mV/m e a frequência angular da onda é 108 rad/s.
Determinar a grandeza e a direcção dos vectores E, H e S.
11. Entre dois planos paralelos definidos por y = 0 e y = a existe um campo eléctrico dado por
E = E0 cos(kx − ωt)ĵ , sendo E0 , k e ω constantes. O campo é nulo fora da região limitada
pelos planos.
Calcule o campo de indução magnética B associado e obtenha as distribuições de cargas e de
correntes existentes.
Calcule o vector de Poynting e relacione-o com a energia transportada pela onda.
12. Uma onda electromagnética plana harmónica, de amplitude Em e de comprimento de onda
λ propaga-se no espaço ilimitado cheio de um meio dieléctrico de condutividade especı́fica
nula. A direcção de propagação forma com os eixos coordenados os ângulos α, β e γ respectivamente. Escrever as expressões das amplitudes complexas dos vectores campo eléctrico e
campo magnético num ponto cujo vector posicional é R = xî + y ĵ + z k̂. A direcção do vector
E faz com os eixos x, y e z os ângulos α0 , β 0 e γ 0 .
13. Uma onda electromagnética plana e harmónica propaga-se na direcção do eixo y e, em y = 0
passa de um meio dieléctrico para outro meio dieléctrico. O eixo z é paralelo à direcção do
vector campo eléctrico. Os parâmetros dos meios são os seguintes:
−∞ < y < 0 ²1 = ²0 µ1 = µ0 σ1 = 0
0 < y < ∞ ²2 = 4²0 µ2 = µ0 σ2 = 0 .
A frequência angular é ω = 3×108 rad/s. A amplitude do vector campo eléctrico, para y > 0
é Em = 1 mV/m. Obter as expressões do campo eléctrico e magnético em todo o espaço.
14. Considerar uma onda electromagnética com as caracterı́sticas indicadas no Problema 10.
Calcular a força electromotriz gerada numa antena quadrada de lado igual a 3 m colocada no
plano definido pelo vector E e pela direcção de propagação, como mostra a Figura.
z
3 m
D
C
E
H
3 m
A
B
S
y
x
15. Uma onda electromagnética plana, harmónica de frequência 106 Hz, propaga-se na direcção
do eixo x em diferentes meios (todos com condutividade nula, σi = 0 e permeabilidade igual
à do vazio, µi = µ0 ):
meio 1 − ∞ < x < 0 ²1 = ²0 ;
meio 2 0 < x < d ²1 = ²0 ;
meio 3 0 < x < ∞ ²1 = ²0 .
A amplitude do campo magnético é, para x = d = 2 cm, igual a 2 mA/m. Obter o campo
eléctrico, o campo magnético e o vector de Poynting em todo o espaço.
16. Uma onda electromagnética plana, harmónica, linearmente polarizada, propaga-se num meio
condutor. Obter o campo eléctrico e o campo magnético nesse meio sabendo que as caracterı́sticas do meio são σ = 10−2 Ω·m−1 , ² = 10²0 e µ = µ0 , que a frequência angular da onda
é ω = 108 rad/s e que a amplitude do campo eléctrico na origem do sistema de referência é
Em = 5×10−3 V/m.
17. De acordo com as expressões obtidas no problema anterior calcular o fluxo do vector de
Poynting através de uma superfı́cie fechada S cujas dimensões se indicam na Figura. Mostrar
que o valor médio desse fluxo num perı́odo é igual à potência dissipada no volume limitado
pela superfı́cie considerada.
l = 1 m
l = 1 m
l = 1 m
y
x
18. Obter as expressões gerais para as componentes do campo electromagnético num ressoador
de forma paralelipipédica de lados a, b e d como mostra a Figura. Deduzir a expressão
para a frequência de ressonância e respectivo comprimento de onda. Supor que as paredes
do ressoador são supercondutoras e que existe o vazio na cavidade. Considere que não há
componentes dos campos segundo a direcção x.