Risco, Retorno e o Custo de
Oportunidade do Capital
José Fajardo
EBAPE-FGV
Nas próximas aulas
•
•
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•
•
Risco
Medindo o Risco
Risco de Carteiras
Fronteira Eficiente
Carteiras de Markowitz
Notícias Financeiras
– Introdução de pequenas maquinas de impressão
mediados-1880
• Charles Dow (co-fundador com Edward Jones do
Dow, Jones & Co em 1882) foi o primeiro editor do
Wall Street Journal (fundado em 1885).
• A teoria de Dow:
– « tendências são persistentes até que o mercado envie sinais
mostrando que a tendência esta perdendo seu momento e va
reverter ».
– Dow Jones Average (1884): 12 companhias
– Desde então somente General Electric faz parte até hoje do
DJA.
1
Ìndices Financeiros
• Em 1860, Henry Varnum Poor publica
History of Railroads and Canals in the
United States.
– Em 1906 Luther Lee Blake funda the Standard
Statistics Bureau
– 1913: Primeira publicação do indice que se
tornaria (em 1941) o famoso S&P500 cobrindo
97% do 1933 market cap.
» O Objetivo deste índice é mostrar que
obteria um investidor se tivesse investido em
cada ativo do NYSE a inicios de1871.
The Value of an Investment of $1 in 1926
1000
6402
S&P
Small Cap
Corp Bonds
Long Bond
T Bill
2587
64.1
Index
48.9
16.6
10
1
0.1
1925
1940
Source: Ibbotson Associates
1955
1970
1985
2000
Year End
The Value of an Investment of $1 in 1926
Index
1000
S&P
Small Cap
Corp Bonds
Long Bond
T Bill
Real returns
660
267
6.6
10
5.0
1
0.1
1925
1.7
1940
Source: Ibbotson Associates
1955
1970
1985
2000
Year End
2
Rates of Return 1926-2000
40
20
0
90
95
85
80
70
75
65
60
50
55
45
40
Common Stocks
Long T-Bonds
T-Bills
30
26
-60
20
-40
00
-20
35
Percentage Return
60
Year
Source: Ibbotson Associates
Análise Quantitativo
• Cowles
– Pideu a um matemático fazer uma regressão com
20 variáveis
• Dados: 7.500 recomendações de serviços financeiros, 4
anos de transações de companhias de seguros, 255
editoriais do WSJ de 1903 a 1929 e 3.300
recomendações de publicações financeiras
– Cowles’ Conclusion: « even if I did my negative surveys
every five years, or others continued when I’m gone, it
wouldn’t matter. People are still going to subscribe to
these services. They want to believe that somebody really
knows. A world in which nobody really knows can be
frightening. »
Estudo Pioneiro
Em 1952, Markowitz publico um artigo no JF :
« Portfolio Selection »
– Esta discusão somente comezou nos 60s.
– “...investors have a real desire of diversification and that
somewhere, the RISK dimension is as important as the
RETURN dimension”
– Aparece a ideia de « Fronteira Eficiente! »
– Markowitz obteve seu Ph.D na Univ. de Chicago, mesmo
que Milton Friedman não estivesse de acordo em aceitar
que a Tesis estaba no campo da economia e nem da
matemática . Foi a primeira vez que as finanças foram
consideradas um campo de pesquisa.
3
Principais ìdeias
• Dimensões
Valor/Retorno
Risco
– Valor/Retorno
– Risco
– Tempo
Tempo
Risco
Questões Importantes?
• Que se entende por risco?
• Como posso medir este risco?
4
Tipos de Risco
•
•
•
•
•
•
Risco Operacional
Risco de Crédito
Risco de Liquidez
Risco Legal
Risco Soberano
Risco de Mercado
Risco Operacional
• Definição
– Risco inerente à administração
da empresa.
• Tipos:
– Risco Organizacional
• Organização ineficiente
– Risco de Equipamentos
• Falhas de equipamentos
– Risco de Pessoal
• Empregados pouco qualificados
Risco de Crédito
Possível não recebimento dos recursos a que se tem direito.
• Análise de Crédito
– Aspectos Subjetivos
(Qualitativos)
• experiências em
relacionamentos
anteriores
• tradição
• idoneidade dos
controladores
– Aspectos Objetivos
• análise econômicofinanceira
• qualidade das garantias
oferecidas
• existência de títulos
protestados
• análise do desempenho
do setor de atividade
5
Risco de Liquidez
• Desequilíbrio de Caixa
• Descasamento dos
prazos de vencimento
das operações ativas e
passivas
Risco Legal
• Documentação
inadequada
• Proibição legal para
operar
• Problemas na
execução de garantias
Risco Soberano
• Decisões unilaterais de
governos que podem
prejudicar ou adiar a
liquidação de
operações previamente
assumidas
6
Risco de Mercado
• Mudanças nos preços
dos ativos e passivos.
–
–
–
–
Ações
Câmbio
Juros
Commodities
• Descasamento dos
indexadores dos ativos
e passivos e de seus
prazos
Risco de Mercado e Específico
• Na gestão de carteiras de costuma usar o
termo Risco de Mercado ou Risco Sistemico
para identificar incertezas produzidas por
fatores de mercado q afetam os ativos como
um todo.
• E o termo Risco Específico identifica
incertezas produzidas por fatores que
afetam únicamente uma carteira, que não
representa o mercado.
Definições e Conceitos de Risco
• Retorno Esperado
– Aumento do capital
investido
µ = Ε[X ] ← µ̂ =
1 n
∑ Obsi
n i =1
• Risco
– Incerteza mensurada
[
]
σ 2 = Ε ( X − µ )2 ← σˆ =
1 n
2
∑ (Obsi − µ )
n − 1 i =1
7
Variância Problemas
• Que captura a medida:
[
1 n
∑ (Obsi − µ )2
n − 1 i =1
]
σ 2 = Ε ( X − µ )2 ← σˆ =
• Imagine duas carteiras uma com mais observações
a direita da média e outra simétrica somente que
agora a esquerda da média.
Existem outras medidas
importantes
• Skewness
s=
[
Ε (X − µ )
3
σ
]
3
• Kurtosis
k=
[
Ε (X − µ )
4
σ
4
]− 3
8
Daqui em diante assumiremos
que os retornos são “Normais”
Testes de Normalidade
• Existem vários testes de Normalidade
• Importante a frequência considerada.
• Veremos no Lab.
Risco de Carteiras
9
Carteira de dois ativos: Retorno
Retorno esperado:
rc = w1r1 + w2r2
w1 = proporção de recursos no ativo 1
w2 = proporção de recursos no ativo 2
r1 = retorno esperado de 1
r2 = retorno esperado de 2
n
∑w
i
=1
i=1
Carteira de dois ativos: Variância
σc2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2 σ12
2
2
= ∑∑ wi w jσ ij
i =1 j =1
σ12 = variância de 1
σ22 = variância de 2
σ12 = Cov(r1r2) = Covariância dos retornos de 1 e 2
Carteira com 3 ativos
rc = w1r1 + w2r2 + w3r3
σ2c = w12σ12 + w22σ22 + w32σ32 +
2w1w2σ12 + 2w1w3σ13+ 2w2w3σ23
3
3
σ c2 = ∑∑ wi w jσ ij
i =1 j =1
10
Risco da carteira
Se a carteira c tem n ativos:
n
rc =
∑wr
i
i
i =1
n
σ c2 =
n
∑∑wwσ
i
j
n
ij
=
i =1 j =1
∑w σ
2
i
2
i
+ ∑ w i w jσ ij
i =1
i≠ j
= w * Cov * w '
Em geral, para n ativos:
rc = média ponderada de n ativos
σc2= (considera todas as covariâncias)
Redução do risco pela diversificação
lim n → ∞ σ c2 = σ m2 ≠ 0
Desvio Padrão
Risco Específico
Risco do
Mercado
Número
de ativos
11
Covariância
Como:
σ12 = ρ1,2σ1σ2
onde: ρ1,2 = coeficiente de correlação dos
retornos,
e:
− 1 ≤ ρ12 ≤ 1 ,
temos que:
σ 12 ≤ σ 1σ 2
Possíveis valores do coeficiente de correlação
Intervalo de valores para ρ1,2
+ 1.0 > ρ > -1.0
Se ρ = 1.0, ativos são positiva e
perfeitamente correlacionados
Se ρ = - 1.0, ativos são negativa e
perfeitamente correlacionados
Carteira com 2 ativos
E [rc ] = r c = w1 r1 + w 2 r2
σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 12
= w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2 ρσ 1 σ 2
1
σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2 ρσ 1 σ 2 )
2
12
Retorno Esperado vs. Desvio Padrão
Retorno Esperado vs. Desvio Padrão
Retorno Esperado vs. Desvio Padrão
13
Ef2.jpg
Ef2.jpg
Carteira com 2 ativos
Se ρ = 1:
σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 1 σ 2
1
σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 w1 w 2σ 1 σ 2 )
2
= w1 σ 1 + w 2 σ 2
2 ativos com correlações diferentes
E(r)
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
13%
ρ=1
%8
12%
20%
σ
14
Carteira com 2 ativos
Se ρ = -1:
σ c2 = w12σ 12 + w 22σ 22 − 2 w1 w 2σ 1 σ 2
1
σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 − 2 w1 w 2σ 1 σ 2 )
2
= w1 σ 1 − w 2 σ 2
2 ativos com correlações diferentes
E(r)
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
13%
ρ = -1
ρ = -1
%8
12%
σ
20%
Carteira com 2 ativos
Se –1< ρ < 1:
− 2 w1 w 2σ 1 σ 2 < 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 < 2 w1 w 2σ 1 σ 2
σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 )
1
2
< w1 σ 1 + w 2 σ 2
σ c = (w12σ 12 + w 22σ 22 + 2 ρ w1 w 2σ 1 σ 2 )
1
2
> w1 σ 1 − w 2 σ 2
15
2 ativos com correlações diferentes
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
E(r)
13%
ρ = -1
ρ =.3
ρ = -1
ρ=1
%8
12%
20%
σ
Efeito da correlação
• A relação depende da magnitude do
coeficiente de correlação
• -1.0 < ρ < +1.0
• Correlações menores implicam maior
potencial de redução do risco
• Se ρ = +1.0, não há redução possível
Variância mínima com 2 ativos
Lembrando que w2 = (1-w1):
σ c2 = w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2 w1 (1 − w1 )σ 12
(
)
(
)
min σ c2 = w12σ 12 + 1 − 2 w1 + w12 σ 22 + 2 w1 − w12 σ 12
w1
c . p .o . :
2 w1σ 12 + (− 2 + 2 w1 )σ 22 + 2 (1 − 2 w1 )σ 12 = 0
w1 =
σ 22 − σ 12
σ + σ 22 − 2σ 12
2
1
16
Variância mínima com 2 ativos
E para a carteira de variância mínima temos:
(
(
)
E [rc ] = w1* r1 + 1 − w1* r2 = r2 + w1* r1 − r2
)
σ c2 = w1* σ 12 + (1 − w1* ) σ 22 + 2 w1* (1 − w1* )σ 12
2
(
2
σ c = w1* σ 12 + (1 − w1* ) σ 22 + 2 w1* (1 − w1* )σ 12
2
2
)
1
2
Exemplo
Ativo1 E(r1) = .10
Ativo2 E(r2) = .14
σ1
σ2
= .15
= .20
ρ12 = 0.2
σ22- σ12
w1 =
σ12 + σ22 - 2σ12
w2 = (1 - w1)
Exemplo (ρ = 0.2)
w1 =
(.2)2 - (.2)(.15)(.2)
(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)
w1 = .6733
w2 = (1 - .6733) = .3267
17
Mínima Variância: retorno e risco
E[rc] = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131
σ c = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +
2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)]
σ c = [.0171] 1/2
1/2
= .1308
Conjunto Factível
Com três ativos primitivos (1, 2, 3) temos:
E(r)
3
4
2
1
σ
Conjunto Factível
E(r)
3
4
2
1
σ
• Como 4 pode ser qualquer ponto no arco 23, o conjunto
factível será uma região bi-dimensional sólida.
• O conjunto factível é convexo à esquerda: dados dois
pontos no conjunto, a reta unindo estes dois pontos não
cruza a fronteira esquerda.
18
fronteira de variância mínima com ativos
arriscados
•Cada “curvinha” representa as possíveis combinações de dois
ativos.
•A combinação de todos os ativos do conjunto constitui a fronteira
de variância mínima.
Retorno Esperado (%)
Desvio Padrâo
Princípio da Dominância
Se o agente gosta de retorno e não gosta de desviopadrão, vale o princípio da dominância:
Retorno Esperado
4
2
3
1
Variância ou Desvio Padrão
• 2 domina 1; tem maior retorno
• 2 domina 3; tem menor risco
• 4 domina 3; tem maior retorno
Implicações
• A combinação ótima resulta no mais baixo nível
de risco para um dado retorno
• O trade-off ótimo é descrito como a fronteira
eficiente
• As carteiras na fronteira eficiente são
“dominantes”
19
A fronteira de variância mínima com ativos
arriscados
E(r)
Fronteira
Eficiente
Ativos
Individuais
Mínimo
Global
Fronteira de
variância mínima
Desv. Pad.
Carteiras de Markowitz
Prf. José Fajardo
O Modelo de Markowitz
Assuma que existam A ativos: a=1, 2,..., A
Para achar a carteira de variância mínima, que tem retorno
esperado r, formulamos o seguinte problema:
A
min
w1 ,..., w A
A
∑∑ w w σ
a
b
ab
a =1 b =1
s.a. :
A
∑w r
a
a
=r
a =1
A
∑w
a
=1
a =1
20
Solução: caso geral
L=
1 A A
 A

 A

wa wbσ ab − λ ⋅ ∑ wa r a − r  − µ ⋅ ∑ wa − 1
∑∑
2 a =1 b =1
 a =1

 a =1

[w , w ,..., w ]
A carteira ótima
e
1
e
2
do problema acima atende as c.p.o.:
e
A
A
∑w σ
e
b
ab
− λ ⋅ra − µ = 0 ∀ a ≥1
b =1
A
∑w r
e
a
A
=r
a
∑w
e
a
e
a =1
=1
a =1
Solução para dois ativos
L=
1 2 2
w1 σ 1 + w1w2σ 12 + w2 w1σ 21 + w22σ 22 − λ ⋅ w1 r1 + w2 r 2 − r
2
− µ ⋅ [w1 + w2 − 1]
(
)
A carteira ótima
[w , w ]
e
1
e
2
[
]
do problema acima atende as c.p.o.:
1
2 w1eσ 12 + w2eσ 12 + w2eσ 21 − λ ⋅ r 1 − µ = 0
2
(
)
1 e
w1 σ 12 + w1eσ 21 + 2 w2eσ 22 − λ ⋅ r 2 − µ = 0
2
(
)
w1e r 1 + w2e r 2 = r
w1e + w2e = 1
e
Teorema dos dois fundos
Teorema dos dois fundos: Combinando duas carteiras eficientes
quaisquer, podemos replicar todos as carteiras da fronteira de variância
mínima.
1
1
1
1
1
1
Prova: Suponha duas soluções conhecidas w = [w1 , w2 ,..., wA ],λ , µ e
[
]
1
w 2 = w12 , w22 ,..., w 2A ,λ2 , µ 2 com retornos esperados r e r
2
respectivamente.
Qualquer combinação linear w e = αw1 + (1 − α )w 2 satisfaz as A+2
equações:
A
∑ wbeσ ab − λ ⋅ r a − µ = 0 ∀ a ≥ 1
b =1
A
∑w r
e
a
a =1
A
a
=r
e
∑w
e
a
=1
a =1
21
Inclusão do ativo sem risco
• Possível dividir os recursos entre ativos
arriscados e seguros:
• Sem risco: T-bills (proxy);
• Arriscado: portfólio de ações
Inclusão do ativo sem risco
Exemplo:
rf = 7%
σf = 0%
E(rP) = 15%
σP = 22%
y = % em P
(1-y) = % em f
Retorno esperado para combinações
E(rC) = yE(rP) + (1 - y)rf
onde: rC = carteira combinada.
Por exemplo, y = .75:
E(rC) = .75(.15) + .25(.07)
= .13 ou 13%
22
Variância da carteira combinada
Como
σC
= 0, então
σf
= y σ P*
Combinações sem alavancagem
• Se y = .75, então:
σC
= .75(.22) = .165 or 16.5%
• Se y = 1:
σC
= 1(.22) = .22 or 22%
• Se y = 0:
σ C = (.22) = .00 or 0%
Possíveis Combinações
E(r)
E(rP) = 15%
E(rC) = 13%
P
C
rf = 7%
F
0
σc
22%
σ
23
Usando alavancagem com a Linha de Alocação de
Capital
Alavancagem: pega emprestado à taxa sem
risco e investe em ações.
Usando 50% de alavancagem:
E[rC] = (-.5) (.07) + (1.5) (.15) = .19
σC = (1.5) (.22) = .33
Possíveis Combinações
E(r)
LAC = Linha de
Alocação de Capital
E(rP) = 15%
E(rC) = 13%
P
C
rf = 7%
F
0
σc
σ
22%
LAC (Linha de Alocação de Capital)
Linha de alocação de capital: é a linha que
tem origem em rf e intercepta o ponto P do
portifólio arriscado.
Lembrando que
E [rC ] = rf + y (E [rP ] − rf )
E [rC ] = rf +
σ C = yσ P ⇒
y=
σC
σP
de:
temos:
σC
(E[rP ] − rf ) ⇒ E[rC ] = rf + (E[rP ] − rf )σ C
σP
σP
24
LAC (Linha de Alocação de Capital)
O retorno esperado de uma carteira como função
do seu desvio padrão E[rC] = f(σC) é uma linha
reta:
E [rC ] = rf +
(E[r ] − r )
P
com inclinação S =
f
σP
(E[r ] − r )σ
P
f
σP
C
;
:
E [rC ] = r f + S ⋅ σ C
LAC (Linha de Alocação de Capital)
E(r)
P
E(rc) = 15%
E(rc) - rf = 8%
) S = 8/22
rf = 7%
F
0
σ
σc = 22%
LAC Alternativas
M
M
P
P
A
LAC (A)
LAC (P)
E(r)
LAC (variância mínima
global)
A
G
F
P
P&F M
A&F
σ
25
Inclusão do ativo sem risco
• Se os investidores gostam de retorno e não gostam de
variância, escolherão combinações na linha de maior
inclinação ( rf P ).
• A combinação ótima fica linear.
• Uma única combinação do ativo arriscado e sem risco
dominará.
Teorema de um fundo: Existe um fundo P de ativos arriscados tal
que qualquer carteira eficiente pode ser construída como a
combinação do fundo P com o ativo sem risco
O Portifólio Tangente (P
(P)
Como achar o ponto tangente?
• O retorno esperado de uma carteira que combina a
renda fixa a uma portifólio arriscado Q é dado pela
linha reta:
(E [rQ ]− rf )σ
E [rC ] = rf +
C ;
σ
Q
com inclinação:
SQ =
(E [r ]− r )
Q
σQ
f
.
• O agente escolhe Q de forma a maximizar a inclinação
S.
26