Resolução da Lista de Exercícios do Prof. Felipe Rodrigues elaborada pelo Prof. Pedro Pantoja
LISTA DE EXERCÍCIOS
ASSUNTO: INDUÇÃO FINITA
PROF.: FELIPE RODRIGUES
Comentários: Pedro H. O. Pantoja, Natal-RN.
1) Para 1, temos
1·2·3
6
que é verdadeiro. Suponha que é verdadeiro para 1 e provemos que vale também para n,
De fato,
1 12 1
6
12 1
6
12 1
2 3 1 .
6
6
2) Para 1 vale, pois 1 · 1! 1 1! 1. Suponha que vale para 1, ou seja,
· ! ! 1 · ! · ! · ! ! 1 · ! 1! 1 1! 1.
Vale também para n.
Exercício adicional 1) Calcule o valor de
1! .
3) Para 1 é verdadeiro, pois 1 vale o mesmo para 1,
. Suponha que seja verdadeiro para n e mostremos que
1 · 1 2
1 1
4 4
1 4
4
1 2
.
4
4) Para 1 temos um resultado verdadeiro, pois cos $ % sin $ cos $ % sin $. Suponha
que seja válido para 1 e provemos que vale para n,
cos $ % sin $ cos 1$ % sin 1 $
()ã*,
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cos $ % sin $ cos $ % sin $ cos $ % sin $
cos 1$ % sin 1 $ cos $ % sin $
cos 1$ · cos $ sin $ · sin 1$ %sin 1$ · cos $ sin $ · cos 1$ cos $ % sin $.
5) Sabemos que
Para 1 é verdadeiro, pois
1
+
+1
+1
,
1
1
+ - + - + -.
0
1
Suponhamos que vale para n e provemos que vale para 1
+ - + + - / - 0
1
+00%1,
+ -2 + - + - + - 3 + + - / - 4
0
1
Desenvolvendo essa última expressão e usando várias vezes a relação ,
Obtemos facilmente que,
1 2
1 1 2
+
+ - / + -2 0
1
1
* que prova que o resultado vale também para 1.
6) Temos que provar que
+ 5 1
51
Para 1 é evidente. Suponha que vale para n e mostremos que vale para 1,
+ 5 1
+ 5 2 1
+ + 5 / + 5 + 5 + 5 .
51
51
+ + 5 / + 5 7) Para 1 é verdadeiro, pois 1 · 2 0 2. Suponha que vale para 1 e provemos que vale
também para n,
· 2 22 2 · 2 · 2 · 2 22 2 · 2 2 · 2 22 2
122 2
Exercício adicional 2) Calcule o valor da soma
3 .
Sugestão: Conjecture e depois use indução.
8) Para 1, não há nada o que fazer. Suponha que vale para 1 e provemos que vale para n.
+ 6 - 1*7 1 + 5 8 1 - 9+:+ 5 8 ; <. Então
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+ 5 8 + · 1 +- =*1* por hipótese + 51 -, >(1
+ 15 8 + 5- - + 6 - 1*7 1, 9*%0 ?@+:+1()(
5 8 + 5- ; <.
Exercício adicional 3) Seja A o produto de todos os números primos menores ou iguais a n.
Prove que A B 4 .
9) Para 1 é verdadeiro já que
2C
2 · sin C/2
sin C sin C/2
0%
Suponha que vale para 1,
sin C sin C 1C
sinC/2
· sin
2
sin C/2
1C
sinC/2
· sin
sin C
sin C/2
2
1C
C
C
sin C sin 4
C 30% 2 · sin
2
2
sin
2
1
C
C
sin
1C
C
C
2
2 sin C · cos C cos C · sin C 2 · sin · cos 4 C 3sin
C
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
2
2
sin
C
1C
2
4
C 3sin
2
sin
2
sin
Já que
sin
1C
C
C
C
C
sin
· cos sin · cos .
2
2
2
2
2
Exercício adicional 4) (IME-90) Mostre que
2 1C
sin
1
2
cos C cos 2C / cos C .
2
2 · sin C/2
10) Para 2,
4
2E/ √32 B 6 √36
4
Concluímos que é verdadeiro para 2.
Supondo válido para n, temos que
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2
E2
G
√32 · 2E/G B √81 · 2E/G B
H
H
Como queríamos demonstrar.
22 1 E/G 22 1 2
·2
B
1
1
2 1
, 9*%0 J 2.
1
Exercício adicional 5) Prove que
2
B 2 K L 1.
11) Observe que M2 2 · M1 1 M2 3 2 1. Suponha que vale para 1 e
mostremos que vale para ,
Então
Como
Vem
M 1 2 1
M 2M 1 1
M 2 · 2 1 1 2 2 1 2 1.
(Moldávia-98)
Vamos mostrar usando indução que + 2
.
.
De fato, para 1 é verdade já que, por hipótese + ·
Suponha que
1
+ 1
Então,
+
1
1
1
+ ·
2+ 1 1 1
1
N+-(1*0 5O(
1
1
1
1 1
Portanto
1 1 1
1
1
1
1998
+ + / +PPQ 1 / 1
.
2 2 3
1998 1999
1999 1999
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