O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO
GEOMÉTRICO
Alessandra Coelho Rodrigues
Universidade Católica de Brasília
Curso de Matemática
Orientador: Vilmondes Rocha
RESUMO
Este trabalho é resultado da pesquisa que teve como objetivo verificar se o modelo de Van Hiele de
desenvolvimento do pensamento geométrico tem maior proficiência com alunos da sétima série do Ensino
Fundamental. Foi verificado se os alunos submetidos ao modelo adquirem as habilidades e competências
com maior facilidade que outros não submetidos ao modelo, e observou-se as diferenças entre médias de
notas dos alunos submetidos à intervenção pedagógica da teoria de Van Hiele.
Palavras-chave: Van Hiele, pensamento geométrico, ensino de geometria.
1. INTRODUÇÃO
Esse artigo é o resultado do Trabalho de Conclusão de Curso de Matemática na
Universidade Católica de Brasília. O trabalho desdobrou se em uma pesquisa de campo
com o objetivo de analisar a eficiência do método de Van Hiele. Foi oferecido um
minicurso voltado para alunos da sétima série do Ensino Fundamental em uma escola da
rede pública de ensino de Ceilândia, a fim de discutir e comparar as médias de notas dos
grupos (experimental e controle), analisando o desempenho dos alunos da intervenção
pedagógica e se as instruções recebidas promovem aquisição de cada um dos níveis de
Van Hiele.
O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico tem sido
utilizado para facilitar a compreensão de conteúdos em geometria, enriquecendo o
espaço de ensino e aprendizagem. O trabalho permitiu investigar, também, quais
poderiam ser as dificuldades em ensinar e aprender geometria.1
Pois esse modelo de pensamento geométrico pode proporcionar resultados satisfatórios
para orientar a formação assim como para avaliar as habilidades dos alunos podendo
fornecer lhes um modelo útil para o uso em sala de aula.
O modelo de desenvolvimento geométrico e as fases de aprendizagem desenvolvidas
pelos Van Hiele propõem um meio de identificar o nível de maturidade geométrica dos
alunos e indicam caminhos para ajudá-los a avançar de um nível para outro. Ressalta se
o ensino, mais do que a maturidade, como fator que contribui mais significativamente
para esse modelo.
1
CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In:
LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert P. (organizadores), Aprendendo e Ensinando Geometria. São
Paulo: Atual, 1994.
2. O MODELO DE VAN HIELE DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO
GEOMÉTRICO
O Modelo Van Hiele definido por Dina van Hiele Geldof e seu marido Pierre Marie van
Hiele, tendo por base as dificuldades apresentadas por seus alunos do curso secundário
na Holanda, identifica o comportamento na aprendizagem como o nível de maturidade
geométrica do aluno. Assim o modelo geométrico pode ser usado para orientar na
formação e também para avaliar as habilidades do aluno. A idéia principal do modelo
Van Hiele é que os alunos progridam de acordo com uma seqüência de níveis de
compreensão de conceitos, enquanto aprendem geometria.
O Modelo concebe diversos níveis de aprendizagem geométrica (ou níveis de
desenvolvimento do pensamento geométrico) com as seguintes características: no nível
inicial (visualização), as figuras são avaliadas apenas pela sua aparência, a ele
pertencem os alunos que só conseguem reconhecer ou reproduzir figuras (através das
formas e não pelas propriedades); no nível seguinte (análise) os alunos conseguem
perceber características das figuras e descrever algumas propriedades delas; no outro
nível (dedução informal), as propriedades das figuras são ordenadas logicamente
(dedução formal) e a construção das definições se baseia na percepção do necessário e
do suficiente. As demonstrações podem ser acompanhadas, memorizadas, mas
dificilmente elaboradas. Até o nível mais elevado (rigor). E este último é alcançado por
poucos alunos, pois diz respeito aos aspectos abstratos formais da dedução. Segundo
van Hiele, cada nível é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e
linguagem próprios. Conseqüentemente, não pode haver compreensão quando o curso é
dado num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno.
As propriedades do modelo servem para os educadores, pois pode orientar a tomada de
decisões quanto ao ensino.
Seqüencial – E uma fase sucessiva que cada aluno deve passar para se sair bem nos
respectivos níveis passando pelas estratégias dos níveis anteriores. Avanço – Van Hiele
salientou que é possível ensinar a um aluno de talento habilidades que estejam acima de
seu nível. Por exemplo: ensinar frações sem lhes dizer o que significa frações embora
não saibam o que é frações exemplos disso na geometria incluem a memorização como
“um quadrado é um retângulo” essa situação é reduzida a um nível inferior e não há
compreensão. Intrínseco e Extrínseco – Os objetivos implícitos num nível tornam-se
explícitos no nível seguinte. Lingüística – algumas noções do conhecimento não é a
linguagem do aluno devido ele ainda não ter chegado a certo nível. Exemplo um
quadrado também é retângulo. Combinação inadequada: se o nível do professor estiver
mais alto do que o do aluno este não será capaz de acompanhar o raciocínio que estarão
sendo empregados.
2.1 O Modelo - Níveis de Raciocínio
Visualização (Nível 1)- reconhece visualmente uma figura geométrica, tem condições
de aprender o vocabulário geométrico e não reconhece ainda as propriedades de uma
determinada figura.
Análise (Nível 2 ) – Identifica as propriedades de uma determinada figura, e não faz
inclusão de classes.
Dedução Informal ( Nível 3)- Já é capaz de fazer a inclusão de classes, acompanhar uma
prova informal, mas não é capaz de construir uma outra.
Dedução Formal ( Nível 4)- É capaz de fazer provas formais, e raciocina num contexto
de um sistema matemático completo .
Rigor ( Nível 5)- È capaz de comparar sistemas baseados em diferentes axiomas, e neste
nível que as geometrias não – euclidianas são compreendidas.
2.2 Fases de Aprendizagem Características
Informação Fase 1- O professor e aluno dialogam sobre o material de estudo, o
professor deve perceber quais os conhecimentos anteriores do aluno sobre o assunto a
ser estudado.
Orientação Dirigida Fase 2 – Os alunos exploram o assunto de estudo através do
material selecionado pelo professor, as atividades deverão proporcionar respostas
especificas e objetivas.
Explicação Fase 3 – O papel do professor é o de observador.
Orientação Livre Fase 4 – tarefas constituídas de varias etapas,possibilitando diversas
respostas,a fim de que o aluno ganhe experiências e autonomia.
Integração Fase 5– O professor auxilia no processo de síntese,fornecendo experiências e
observações globais, sem apresentar novas e discordantes idéias.
2.3 Influência do Trabalho de Piaget no Modelo de Van Hiele
O próprio Van Hiele diferencia as duas teorias (a dele e a de Piaget), ressaltando que a
psicologia de Piaget era de desenvolvimento e não de aprendizagem, mas admite ter
recebido algumas influencias após leituras de alguns textos piagetianos.
Piaget, na maioria de suas publicações, tratou do aspecto cognitivo particularmente do
desenvolvimento operatório. No entanto, seus primeiros trabalhos, enfatizam a
importância das trocas inter individuais, no sentido de que é fundamental, desde a
infância, o confronto de pontos de vista para elaboração do pensamento lógico. É claro,
entretanto que a figura do professor é indispensável nas orientações principalmente com
crianças em inicio de escolarização. A interação social com o adulto é indispensável
para o desenvolvimento do pensamento e a intervenção é necessária porque, a partir dos
estímulos provocados pelo professor, a criança será capaz de refletir sobre suas ações,
explicar fatos observados e caminhar em direção da estruturação do conhecimento.
O trabalho de Van Hiele fundamenta se na teoria de que o desenvolvimento mental esta
ligado às mudanças cognitivas dos alunos e em experiências educacionais e, esta
baseado em três elementos: a influencia da psicologia de gestalt, e uma forte base
estruturalista e a preocupação com a didática matemática.
3.PESQUISA
3.1 O Método
O Trabalho foi fundamentado com artigos e monografias relativas ao tema, junto com
uma pesquisa de campo realizada numa escola pública do Distrito federal. Através de
uma aula expositiva dialogada onde foi oferecido um mini – curso dentro do Modelo de
Van Hiele de desenvolvimento do pensamento de geométrico.
A intenção do trabalho foi facilitar a compreensão do conteúdo para os alunos trazendo
um conhecimento mais especifico enriquecendo o espaço de ensino aprendizagem.
3.2 O Método Experimental
Para realização do projeto faz necessário de uma avaliação do referido projeto. Foi feita
de forma sistemática, através de analises de experiências em sala de aula. O processo
partiu da aplicação de um mini - curso, onde foi elaborado um pré-teste e pós- teste,
onde posteriormente serão coletados para análise. Por fim, depois da analise foi definido
se o modelo de Van Hiele é ou não eficaz no processo de ensino da geometria.
3.3 Características do Grupo
Os estudantes envolvidos na pesquisa foram 35 alunos ambos os sexos em média 12
anos de idade, cursando a sétima série do série do Ensino Fundamental de uma escola
pública do Distrito Federal situada em Ceilândia.
Após a aplicação do pré - teste para os 35 alunos, formou-se dois grupos distintos um
com 18 alunos no grupo experimental e outro com 17 alunos no grupo de controle. Ao
final das atividades desenvolvidas aplicou se o pós-teste sendo que três alunos não
fizeram à avaliação porque não compareceram na escola. Por fim ficaram então 16
alunos em cada grupo, sendo que dois alunos faltaram no pós-teste do grupo
experimental e um aluno faltou no pós-teste do grupo de controle.
3.4 Procedimentos e Material
As atividades desenvolvidas nas sessões de intervenção pedagógica com o grupo
experimental com alunos da sétima série do Ensino Fundamental, situada no Distrito
Federal. As fases de aprendizagem de Van Hiele afirmam que a instrução recebida de
acordo com seqüência das fases promove aquisição de cada um dos níveis.
Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de Van Hiele começou-se a aula
perguntando sobre o que é ângulo, após a discussão de ângulo foi solicitado aos alunos
que fizessem a identificação de ângulos de objetos do cotidiano.
Respostas dos alunos: A tesoura de cortar papel, o compasso aberto forma um ângulo,
as cadeiras da sala também têm ângulos, a porta da sala de aula aberta forma um ângulo.
Agora podemos definir o que é ângulo.
Definição: Ângulo é a região do plano determinada pela reunião de duas semi-retas de
mesma origem nem sempre colineares.
Seguindo as fases de aprendizagem do modelo Van Hiele aplicou-se uma atividade
chamada brincadeira do robô. No sentido de observar até que ponto os alunos tinham
noção do tamanho de um ângulo e também desenvolver uma melhor noção na
classificação de ângulos.
Brincadeira do Robô:
• cada aluno formou sua dupla, segundo afinidades; cada dupla brincou uma vez, sendo
que as outras crianças permaneceram em silencio durante a brincadeira, dando apenas
alguns palpites; em cada uma das duplas escolheu-se quem seria o robô e quem seria o
comandante; o robô teve os olhos vendados; o comandante escondia um pirulito levado
pelo pesquisador, onde quisesse desde que respeitasse os limites da sala de aula; em
seguida o comandante indicava o caminho a ser percorrido pelo robô; os comandos
eram do tipo: “siga em frente”, “vire á direita”, “vire á esquerda”, “vire de costas”, “gire
segundo um ângulo de 90º”, “de uma volta de 180º”, entre outros. A brincadeira só
terminava quando o robô encontrava seu “prêmio”.
Após essa atividade começou-se com explicação da classificação dos ângulos seguida
de questionamento verbal a todos os alunos.
Seguindo a fase 1 de aprendizado do modelo de Van Hiele, questionou se o que é
bissetriz.Respostas dos alunos: apenas um aluno respondeu o seguinte, divide o ângulo
em duas partes iguais o restante da sala disse que não lembrava e não sabia o que era
bissetriz.
Antes de passar a definição de bissetriz, foi entregue um papel sulfite para cada aluno,
para que fosse construído um triângulo e determinar as bissetrizes dos ângulos do
triângulo por meio de dobraduras. Após a resolução da atividade pelos alunos definiu se
bissetriz.
Definição: bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que
o divide em dois outros ângulos congruentes.
Logo depois de passar a definição de bissetriz, foi descrita a seguinte situação abaixo:
Calcule x, sabendo que OM é bissetriz do ângulo dado.
4x+5o
O
37
M
o
Após a resolução das atividades pelos alunos, discutiu se as diferentes soluções
encontradas para todas as atividades.
As atividades desenvolvidas com o grupo de controle foram as seguintes: ministrou se
aulas expositivas dialogada com o uso do quadro e giz, com carga horária de 4 horas
aulas. Sobre noções básicas de ângulos congruentes, bissetriz de um ângulo, ângulo
reto, agudo e obtuso, ângulos complementares, suplementares e ângulos opostos pelo
vértice. Fez argumentações de forma clara, porém percebi que os alunos têm uma
grande dificuldade de aprendizagem em geometria, observando em cada cadeira alguns
não sabiam como iniciar o exercício mesmo depois da explicação no quadro e do
exemplo dado em sala de aula. Para concluir a aula começou se a correção dos
exercícios de ângulos.
4. ANÁLISE DOS DADOS
Com o objetivo de verificar se as intervenções pedagógicas do Grupo Experimental e do
Grupo de Controle foram eficientes, utilizou o teste de Wilcoxon – dois grupos
relacionados para comparação das notas do pré-teste e pós-teste. Esse teste é utilizado
quando se pretende analisar dados emparelhados, ou seja, quando o mesmo indivíduo é
submetido a duas medidas. Será utilizado para verificar se as duas situações (pré-teste e
pós-teste) são diferentes2
A tabela 1 a seguir mostra desempenho dos dois grupos durante a pesquisa.
Tabela 1: Comparação entre as diferenças de notas do grupo de controle e o grupo experimental.
Grupo de Controle
Grupo Experimental
Grupos
Pré-teste
Pós-teste
Pré-teste
Pós-teste
1
4,0
5,5
3,0
4,0
2
1,5
1,5
5,0
5,5
3
3,5
3,0
6,5
10,0
4
3,0
4,5
6,0
9,0
5
7,5
7,5
6,0
8,5
6
3,0
5,0
7,0
7,5
7
6,0
7,5
4,0
6,5
8
5,0
6,5
5,0
5,0
9
3,5
6,0
3,5
2,5
10
9,0
10,0
3,0
3,0
11
4,0
3,5
4,5
5,0
12
5,0
7,0
4,0
6,0
13
1,0
2,0
6,0
7,0
14
5,5
7,5
8,0
10,0
15
4,0
3,5
4,0
6,0
16
5,0
8,0
6,0
7,0
Média
4,4
5,5
5,1
6,4
A observação direta da tabela mostra que os indivíduos do grupo experimental
obtiveram mais acertos e que intervenção a pedagógica não atingiu igualmente todos os
alunos. Uma possível explicação para esse fato é que a teoria de Van Hiele contribuiu
para a ampliação do conhecimento existente sobre o processo de ensino aprendizagem,
levando alguns alunos adquirirem mais as habilidades e competências com mais
facilidade do que os não submetidos ao modelo, porém outras variáveis fora de controle
do pesquisador podem ter interferido no processo de modo a não atingir igualmente
todos os alunos. As diferenças individuais dos alunos podem ser levadas em
consideração.
As tabelas 2 e 3 a seguir mostram os dados obtidos para o teste de Wilcoxon para os
dois grupos do estudo. Foi considerada a significância α = 0,005 e a hipótese:
2
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª. Ed. São Paulo: Atlas, 2006.
H0: as duas médias (do grupo experimental e do grupo de controle) são iguais
Tabela 2: Valores para o Teste de Wilcoxon do Grupo de Controle
Posto das
Prédiferenças
Individuo teste
Pós-teste di
|di|
Posto com sinais
1
4,0
5,5
1,5
1,5
7,5
7,5
2
1,5
1,5
0,0
0,0
0,0
3
3,5
3,0
-0,5
0,5
2,0
-2,0
4
3,0
4,5
1,5
1,5
7,5
7,5
5
7,5
7,5
0,0
0,0
0,0
6
3,0
5,0
2,0
2,0
11,0
11,0
7
6,0
7,5
1,5
1,5
7,5
7,5
8
5,0
6,5
1,5
1,5
7,5
7,5
9
3,5
6,0
2,5
2,5
13
13
10
9,0
10,0
1,0
1,0
4,5
4,5
11
4,0
3,5
-0,5
0,5
2,0
-2,0
12
5,0
7,0
2,0
2,0
11,0
11,0
13
1,0
2,0
1,0
1,0
4,5
4,5
14
5,5
7,5
2,0
2,0
11,0
11,0
15
4,0
3,5
-0,5
0,5
2,0
-2,0
16
5,0
8,0
3,0
3,0
14,0
14,0
Soma dos postos negativos 6
Soma dos postos positivos 99
T=6
Para α = 0,05 Valor critico = 30
Individuo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tabela 3: Valores do teste de Wilcoxon para o Grupo Experimental
Posto das
Prédiferenças
Posto com
teste
Pós-teste
di
|di|
sinais
3,0
4,0
1,0
1,0
5,5
5,5
5,0
5,5
0,5
0,5
2,0
2,0
6,5
10,0
3,5
3,5
14,0
14,0
6,0
9,0
3,0
3,0
13,0
13,0
6,0
8,5
2,5
2,5
11,5
11,5
7,0
7,5
0,5
0,5
2,0
2,0
4,0
6,5
2,5
2,5
11,5
11,5
5,0
5,0
0,0
0,0
0,0
3,5
2,5
-1,0
1,0
5,5
-5,5
3,0
3,0
0,0
0,0
0,0
4,5
5,0
0,5
0,5
2,0
2,0
4,0
6,0
2,0
2,0
9,0
9,0
6,0
7,0
1,0
1,0
5,5
5,5
8,0
10,0
2,0
2,0
9,0
9,0
4,0
6,0
2,0
2,0
9,0
9,0
6,0
7,0
1,0
1,0
5,5
5,5
Soma dos postos negativos 5,5
Soma dos postos positivos 99,5
T=6
Para α = 0,05 Valor critico = 30
Em ambos os casos, o valor crítico igual a 30 indica a rejeição da hipótese nula, ou seja,
tanto no grupo experimental quanto no grupo de controle houve um ganho na média dos
alunos envolvidos na pesquisa.
Por fim e com o objetivo de verificar se houve diferença significativa entre as notas do
pós-teste do Grupo Experimental (GE) e do Grupo de Controle (GC), utilizou-se o teste
T – duas amostras em par para médias.
Esse é um teste para diferença entre duas médias de populações diferentes, cujas médias
queremos comparar. Se o objetivo é testar a hipótese ao nível de significância de 5%,
aceitar a hipótese µa -µb = D se Z esta entre -1,96 e 1,96 em caso contrário,rejeitar a
hipótese3.
Os valores do teste estão apresentados na tabela 4.
Tabela 4: Comparação entre as diferenças de notas do GC e GE
Grupos
GC
Média
5, 53125
Variância
5, 715625
Observações
16
Hipótese da diferença de média
0
GE
6, 40625
5, 107291667
16
Utilizando os dados da tabela 4, um conjunto de estatísticas resumidas, resultados da
estatística aplicada ao “Teste –T duas amostras em par para médias”, onde:
Ho = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são iguais nos
dois grupos.
H 1 = hipótese de que em média as diferenças nas notas antes e depois, são diferentes
nos dois grupos, com grau de significância α = 0,05.
A fórmula 1 descreve a aplicação do teste:
Z=
(X
1
)
− X2 −d
σ1
n1
+
σ2
1
n2
O desenvolvimento da expressão acima considerando que X 1 = 5,5 , X 2 = 6 ,4 , d = 0,7
(aumento de sete décimos do grupo experimental sobre o grupo de controle),
σ 1 = 5,715 , σ 2 = 5,107 e n1 = n2 = 16 temos:
3
DOWNING, Douglas & CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. Trad.: Alfredo Alves de Farias. São
Paulo: Saraiva, 2000.
Z=
(5,5 + 6,4) − 0 ,7
5,715 5,107
+
16
16
=
− 0.9 − 0 ,7
= −1,94553
0 ,8224
2
Através do teste de comparação entre as diferenças de notas analisando o nível de
probabilidade a uma variância de 0,05 pode se afirmar que houve, no grupo
experimental, diferença entre os dados obtidos no pré- teste e pós- teste de 0,7. Logo a
intervenção pedagógica apresentou resultados de mudanças mínimas.
Então pode se dizer que quase não existiu diferença entre as médias das notas dos
grupos. Um dos fatores que pode ter influenciado para que o grupo de intervenção
pedagógica não tivesse mais êxito do que o esperado foi a combinação inadequada entre
conteúdo e tempo de exposição.
Outro aspecto a ser levado em conta é a familiaridade que o professor tem com o
método. Essa pesquisa foi o primeiro contato do pesquisado com o método e esse fato,
pode ter influenciado no desempenho dos alunos.
Importante lembrar também, a sintonia entre o aluno e o objeto de estudo. Se o aluno
está num certo nível e o curso em outro, o aprendizado e o processo desejados podem
não se verificar, em particular, se o professor, material didático, conteúdo, vocabulário,
estivessem num nível mais alto que o do aluno, este não será capaz de acompanhar os
processos de pensamento que estarão sendo empregados.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao final desse trabalho a pesquisadora percebeu que foi muito importante à
oportunidade de trabalhar a teoria de Van Hiele para contribuição e ampliação do
conhecimento existente sobre o processo de ensino aprendizagem, possibilitando os
professores a busca por formas variadas de transmitir e melhorar a qualidade do
processo de ensino aprendizagem.
A partir de tal importância o trabalho foi divido em dois grupos de controle e o grupo
experimental dando a oportunidade de aprender geometria de forma diferente do
tradicional sem o uso de quadro e giz, observando que alguns tiveram maior sucesso na
intervenção pedagógica.
Portanto, percebemos o extremo valor dessa experiência, pois através da mesma, os
conhecimentos adquiridos durante o mini–curso oferecido para os alunos sétima série
do Ensino Fundamental fará diferença. Acredito que este mini-curso não consiga mudar
este quadro de dificuldade que a grande maioria dos alunos tem em aprender geometria,
mas se cada professor continuar fazendo a sua parte com carinho, dedicação e amor ele
pode ate não conseguir mudar o mundo, mas a sua historia fará diferença na vida de
seus alunos.
Essa experiência vem reafirmar o que o trabalho de Piaget é rico em sugestões para os
professores ele e outros mostraram que a capacidade de pensar sob forma de operações
formais não se desenvolve antes que as crianças atinjam a idade mental de uns 13 anos.
Daí se segue que os métodos de ensino, para a maioria dos alunos dos cursos de 1° grau,
e mesmo mais tarde, deveriam ser adequados a crianças que pensam em termos
concretos.
No ensino da matemática, um dos erros a que estamos sujeitos é o de apresentar
abstrações a mentes despreparadas para elas. Os exercícios devem ser feitos pelas
crianças, sem ajuda, iniciando com a leitura da questão e sua transposição para um
esboço, um desenho.
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARBACH,Nelson.O Ensino da Geometria Plana: O saber do aluno e o saber
escolar. São Paulo, 2006. 95 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
PUC/SP, São Paulo.
CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento
geométrico. In: LINDQUIST, Mary & SHULTE, Albert P. (organizadores),
Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.
DOWNING, Douglas & CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. Trad.: Alfredo Alves
de Farias. São Paulo: Saraiva, 2000.
FONSECA, Jairo Simon da & MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística.
6ª. Ed. São Paulo: Atlas, 1996.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª. Ed. São Paulo:
Atlas, 2006.
SILVA,Célia. Pontos de Psicologia Geral. São Paulo: Ática, 1991.
HAMAZAKI, Adriana Clara. O Ensino da Geometria por Meio da Metodologia Van Hiele:
Uma
Experiência.
Disponível
em
<http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes_Orais%5Cco0109.doc>. Acesso
em 16/11/2007 ás 14h25.
PEREIRA, G.A., silva, S. P. & MOTTA JR. W. S. O Modelo Van Hiele de Ensino de
Geometria aplicada a 5 e 6 séries do Ensino Fundamental.
Disponível
em
<http://www.famat.ufu.br/revista/revistaset2005/artigos/ArtigoGislianeSandreaneWalter.pdf>.
Acesso em 28/08/2007 às 18h25.