1
A CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO A PARTIR DOS
NÍVEIS DE VAN HIELE: UM OLHAR NAS PRODUÇÕES DOS ALUNOS NA
DISCIPLINA DESENHO GEOMÉTRICO
GT3 Educação e Ciências Matemáticas, Naturais e Biológicas
Danielle Goncalves Ferreira de Oliveira (autora)1
Denize da Silva Souza (co-autora)2
Rone Peterson Oliveira Santos (co-autor)3
RESUMO
Neste artigo, nosso objetivo é apresentar uma pesquisa realizada com alunos do 8° ano
do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Sergipe – CODAP/UFS, na qual
foram analisadas as microavaliações respectivas à disciplina Desenho Geométrico de
08 alunos dessa turma. Após observação das aulas, verificamos pelas microavaliações,
como se apresenta o desenvolvimento do pensamento geométrico desses alunos,
segundo o modelo dos níveis de van Hiele (VAN DE WALLE, 2009). Esse modelo
apresenta cinco níveis distintos de compreensão (0 - 4) utilizados em contextos
geométricos. Ao analisarmos os registros dos alunos nas microavaliações, foi possível
perceber que a maioria dos alunos encontra-se no nível 1 e, somente poucos alunos
apresentam o pensamento geométrico no nível 2.
Palavras chave: Pensamento geométrico. Modelo dos níveis de van Hiele. Desenho
geométrico
Abstract
In this article, our goal is to present a survey with students of 8° year of application of
the Universidade Federal de Sergipe-CODAP/UFS, in which microavaliações were
analyzed their geometric Drawing 08 discipline students of this class. After observation
of lessons, by microavaliações, as it presents the development of geometric thought of
these students, according to the model of the van Hiele levels (VAN DE WALLE,
2009). This model features five distinct levels of understanding (0-4) used in
geometrical contexts. Analyzing the records of students in microavaliações, it was
possible to notice that the majority of pupils is at level 1 and only few students present
the geometric thinking in level 2.
Key words: Geometric thinking. Model of the van Hiele levels. Geometric desig.
1
Licenciada em Matemática (UFS). Professora da E. M. E. F. Profa. Thétis Nunes. E-mail:
[email protected].
2
Doutoranda no Programa de Pós-graduação em Educação Matemática pela Universidade Bandeirante de
São Paulo. Professora no Departamento de Matemática/UFS e membro do Grupo de Estudos e Pesquisa
Relação com o Saber – EDUCON/UFS. E-mail: [email protected].
3
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática (UFS). Professor da Escola Estadual Tobias Barreto e do
SENAC. E-mail: [email protected].
2
INTRODUÇÃO
Qual a contribuição da disciplina Desenho Geométrico para a aprendizagem dos
conteúdos geométricos? Essa questão aparentemente óbvia traz consigo várias
abordagens e possibilidades de pesquisa. Isso foi possível ser constatado a partir de uma
pesquisa com o qual foi desenvolvido um trabalho de conclusão de curso de licenciatura
em Matemática pela Universidade Federal de Sergipe denominado “Aprendizagem
sobre triângulos e quadriláteros: uma análise nas produções de alunos do 8° ano do
CODAP/UFS, a partir dos níveis de van Hiele na disciplina Desenho Geométrico”.
A metodologia dessa pesquisa se constituiu na observação de quatro aulas do 8º
Ano do Ensino Fundamental de Desenho Geométrico do Colégio de Aplicação da
Universidade Federal de Sergipe – CODAP/UFS, análise do livro didático adotado pela
instituição, dos registros de discentes (no livro didático e em micro-avaliações
realizadas pelo docente da disciplina) e dos resultados de uma atividade didática,
desenvolvida pelos pesquisadores.
Para tal foi necessária uma fundamentação teórica que desse os subsídios
necessários para uma melhor compreensão e verificação de cada passo metodológico,
sendo os principais: Vianna (2007) para a observação; PNLD 2011 (BRASIL, 2010)
exame do livro didático; Gil (2009) análise do questionário; e os registros e atividades
por meio do modelo dos níveis de van Hiele quanto ao desenvolvimento do pensamento
geométrico, apresentado por Van de Walle (2009). Este modelo apresenta cinco níveis
distintos de compreensão (0 - 4) utilizados em contextos geométricos, ao identificar
como pensamos e quais os tipos de ideias geométricas possuímos.
Especificamente neste trabalho, apresentaremos uma pesquisa qualitativa. Em
um primeiro momento iremos caracterizar a turma na qual a pesquisa se constitui e em
outro realizaremos a análise dos registros dos alunos (nas microavaliações realizadas
pelo professor da disciplina). Portanto, temos como objetivo verificar em quais dos
níveis do modelo van Hiele, encontram-se os discentes do COPAD/UFS quanto ao
pensamento geométrico.
MODELO DE VAN HIELE
Há cinco ou seis décadas atrás, mas precisamente no final da década 1950, os
educadores matemáticos holandeses, Dina van Hiele-Geldof e Pierre Marie van Hiele,
3
apresentaram uma proposta que passou a ser conhecida como modelo van Hiele de
pensamento geométrico. No intuito de orientarem a formação desse pensamento e de
avaliar as habilidades dos alunos, o casal dedicou-se à tese de doutoramento pela
Universidade de Utretch na década de 1950. Mas, os resultados da pesquisa só foram
publicados no início dos anos 1960 (VAN DE WALLE, 2009), cujo modelo passou a
ser mais explorado nas décadas seguintes. No Brasil, em particular, a partir dos anos
1990.
Essa proposta prever uma aprendizagem dos conceitos geométricos favorecendo
a progressão dos alunos, a partir de uma sequência de níveis de compreensão desses
conceitos. Para mudar de nível, os alunos precisam experimentar e vivenciar situações
cujas atividades estejam adequadas e significativas à sua compreensão. Em outras
palavras, significa dizer:
Cada um dos cinco níveis descreve os processos de pensamento
[negrito do autor] usados em contextos geométricos. Os níveis
descrevem como pensamos e quais os tipos de ideias geométricas
sobre as quais pensamos mais do que a quantidade de conhecimento
ou de informação que temos a cada nível (VAN DE WALLE, 2009, p.
440).
Ou seja, o modelo apresenta cinco níveis (0 – 4), começando pela visualização
(nível 0), no qual as figuras são identificadas apenas pelo seu aspecto geral. O aluno
observa a figura e a identifica, mas não consegue justificá-la. Ele reconhece e nomeia as
figuras de modo global e visual. Na hierarquia, o nível 01 corresponde à análise. Nesse
nível, os alunos são capazes de considerar todas as formas que apresentem
características de uma mesma classe. Porém não conseguem ainda, especificar
particularidades. O nível 02, considerado o da dedução informal, o aluno é capaz de
pensar, de compreender quando uma propriedade é consequência de outra. Nesse nível,
se consegue estabelecer as relações existentes entre as figuras e suas propriedades. O
nível 03 representa a dedução formal, nesse momento o aluno consegue fazer
demonstrações. Ele conjectura, analisa. E, o nível 04 se refere ao rigor, ou melhor, à
teorização. É um nível bem mais avançado, chegando a produzir teoria (VAN DE
WALLE, 2009).
4
4. Rigor
3. Dedução
2. Dedução Informal
0. Visualização
1. Análise
.
Figura 1.Características dos níveis de van Hiele
Fonte: Van de Walle, 2009.
UNIVERSO E SUJEITOS DE PESQUISA
O Colégio de Aplicação foi construído na década de 1959, vinculado à
Faculdade de Filosofia de Sergipe. É uma instituição do Governo Federal que tem como
objetivo servir de campo de estágio, pesquisa, experimentação, demonstração,
desenvolvimento e aplicação de métodos e técnicas de ensino, com corpo docente
formado por profissionais concursados em áreas específicas, sendo todos graduados e,
até mesmo, mestres, além de coordenadores pedagógicos. Esta instituição oferece
Ensino Fundamental do 6º ano ao 9º ano e Ensino Médio do 1º ao 3º ano, totalizando
444 alunos matriculados, nos turnos dos matutino e vespertino.
O seu prédio está instalado na Cidade Universitária Professor Aloísio de Campos
s/n, Conjunto Roza Elze, uma entrada de livre acesso. Conta com um espaço amplo,
constituído de pátio onde são realizados eventos escolares (OLIVEIRA; SILVA, 2011).
As salas são amplas, bem arejadas, com ventiladores e boa iluminação, porém
alguns quadros negros precisam de reparos, bebedouros com uma higienização
adequada. Existem carteiras bem conservadas com quantidades suficientes para
professores e alunos. Possui uma cantina pequena, mas bem arejada, higiênica, onde os
alunos fazem sua refeição em um espaço em frente à mesma por não existe existir um
refeitório para acomodação dos discentes. Apresenta também anfiteatro, no qual são
5
realizadas palestras e alguns eventos educacionais para os alunos, realizados por eles;
sala de informática; vídeo; secretaria; sala da direção e dos professores. Além de uma
quadra poliesportiva com cobertura estruturada, utilizada em campeonatos internos e
para realização de atividades físicas e lúdicas educativas (OLIVEIRA; SILVA, 2011).
Há também a presença de Alas A, B e C, estas estão subdivididas do seguinte
modo: Na Ala “A”, 8 salas de aula, funcionando no turno da manhã o Ensino
Fundamental e no da tarde o Ensino Médio, 1 Laboratório de Física/Química e 1
Laboratório de Informática. Na Ala “B” contamos com a sala de Artes. Já na Ala “C”,
temos duas salas de aula e a coordenação (OLIVEIRA; SILVA, 2011).
A turma participante da pesquisa é composta por 30 alunos com idade entre 12 e
14 anos. Porém, no dia 06/03/2013 participaram da aplicação do questionário sobre
características pessoais e da atividade didática, 76,7% dos alunos. Em geral, são alunos
que ingressaram no CODAP/UFS pelo novo sistema seletivo – o sorteio. Porém, entre
eles, há três alunos que ingressaram pelo antigo processo de seleção, visto serem
repetentes do ano anterior. Na turma, não existem outros alunos nessa situação. A
maioria mora em Aracaju/SE e São Cristóvão/SE, sendo que apenas três alunos moram
em Nossa Senhora do Socorro/SE. Outra característica que se destaca é a origem desses
alunos. A maioria (64%) é oriunda de escolas da rede privada (gráfico Nº 01).
1Gráfico 01. Rede escolar anterior aos estudos no CODAP/UFS.
Fonte: Questionário aplicado em 06/03/2013
Outras informações foram levantadas a partir do questionário aplicado em
relação às disciplinas Desenho Geométrico e Matemática. Questionou-se sobre se
gostam de cada uma delas; qual das duas os alunos gostam mais; e se os conteúdos de
geometria que estudam são os mesmos para as duas disciplinas.
Quanto ao gostar da disciplina Matemática e da disciplina Desenho Geométrico,
resulta nos seguintes gráficos:
6
Gráfico 2. O gostar da Matemática
Gráfico 3. O gostar de Desenho Geométrico
Fonte: Questionário aplicado em 06/03/2013.
Para a confirmação dos resultados apresentados nos gráficos (2 e 3), a tabela 01,
apresenta quanto ao gênero qual disciplina eles gostam mais.
Tabela 01. Disciplina que mais gosta2
Meninos
Meninas
Disciplina
F
%
F
%
9
64,3
7
77,8
Desenho geométrico
5
35,7
1
11,1
Matemática
0
0
1
11,1
Não respondeu
14
100
9
100
Total
Fonte: Questionário aplicado em 06/03/2013
O percentual total da turma apresenta a preferência dos alunos para a disciplina
Desenho Geométrico, fato associado a: “Ser mais fácil”, “Não envolver cálculos” e
“Não ter conta”. Em outra questão, verificou-se quais dentre as duas disciplinas eles
apresentam mais dificuldades.
Gráfico 04. Disciplina que tem mais dificuldade
7
Fonte: Questionário aplicado em 06/03/2013
A partir do gráfico, verifica-se que os meninos responderam ter maior
dificuldade em matemática e as meninas em Desenho Geométrico. Entretanto, as
meninas afirmaram gostar mais de Desenho que Matemática.
Outra questão foi apontada referente aos conteúdos, visando saber se as duas
disciplinas abordam os mesmos conteúdos de geometria. Pelos resultados, os alunos
disseram que estudaram em ambas as disciplinas, os seguintes conteúdos: “retas”,
“polígonos”,
“losango”,
“triângulos”,
“quadriláteros”,
“ângulos”,
“bissetriz”.
Entretanto, essas respostas causam dúvidas pelo fato dos próprios alunos também
dizerem que a professora de Matemática estava iniciando os conteúdos de geometria,
trabalhando com softwares. A dúvida é: Se a professora estava no início do conteúdo,
como os alunos já tinham estudado Triângulos e Quadriláteros, por exemplo? A
hipótese é que talvez estivessem se referindo aos conteúdos estudados em anos
anteriores.
Em relação às dificuldades que são apresentadas no gráfico 04, confirmam-se ao
período de um estágio, realizado na mesma instituição, no período 2011.1. Neste, os
discentes apresentavam dificuldades em resolver problemas. No decorrer das aulas, eles
se tornaram mais participativos, mas não obtiveram os resultados esperados na
avaliação. Principalmente, em relação à interpretação de texto e às questões de
verdadeiro e falso, como no exemplo aplicado: o texto “O problema dos camelos”
(autoria: Malba Tahan)4. Inclusive, também demonstraram resistência em relação ao uso
de matérias manipuláveis e textos durante as aulas, devido estarem acostumados com
aula expositiva sem uso de outras abordagens metodológicas ou recursos.
Durante as observações das aulas na disciplina Desenho Geométrico, verificouse as dificuldades semelhantes às comentadas anteriormente. Tanto em relação às
questões que o professor abordava ao explicar os conteúdos, como na aplicação da
atividade didática. Aqueles alunos que se destacavam em Matemática durante o estágio,
assim também continuam. Exceto para duas alunas, que se destacam com boas notas em
Desenho Geométrico.
4
Este é um problema considerado clássico, porém que intriga muitas mentes, no qual o pai de três filhos
deixa uma herança de 35 camelos para serem divididos entre seus filhos sendo que cada uma receberia
uma fração da qual não se obtém um valor exato para os mesmos. E um matemático não só resolve o
problema como também finaliza o problema ganhando um camelo para si.
8
ANÁLISE DAS MICRO-AVALIAÇÕES
A partir do que foi observado em sala de aula, foi possível verificar que os
alunos passam maior parte do tempo da aula de Desenho Geométrico resolvendo
atividades do livro didático, as quais são classificadas como exercício. Eles não
possuem caderno específico para essa disciplina. Como o professor trabalha com as
construções geométricas, os alunos desenvolvem o procedimento diretamente no livro.
Dessa forma, percebemos a necessidade de analisar os registros dos alunos em
três situações: exercícios do livro didático desenvolvidos por cinco alunos, a
microavaliação correspondente a oito alunos e atividade didática realizada por vinte e
três alunos da turma.
Neste artigo, optamos por análise a produção dos alunos pela microravaliação, a
qual só foi possível coletar de oito alunos da turma, visto que os demais se esqueceram
de levar esse instrumental no dia em que o questionário foi aplicado à turma.
Inicialmente será apresentada uma tabela com o número de erros e acertos das questões
e, em seguida, a análise de cada questão, na qual demostraremos registros dos alunos5 e
teceremos alguns comentários.
Tabela 02. Resultado das microavaliações dos alunos do 8º ano.
CATEGORIAS DE
ANÁLISE
1ª QUESTÃO
2ª Questão
3ª Questão
Homens
Mulheres
Homens
Mulheres
Homens
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
F
%
Acertos
1
33,3
1
20
1
33,3
0
0
3
100
2
40
Erros
2
66,7
4
80
2
66,7
5
100
0
0
3
60
Total
3
100
5
100
3
100
5
100
3
100
5
100
Mulheres
Fonte: Pesquisa realizada no CODAP.
Ao lermos a tabela, podemos perceber que apenas dois alunos acertaram a
primeira questão, um acertou a segunda e cinco acertaram a terceira.
Para uma melhor interpretação das respostas dos alunos, iremos analisar
questões respondidas, como a da figura 2 que solicita a determinação de um ortocentro a
partir de dois lados de um triângulo com seu respectivo ângulo.
5
Tais alunos serão identificados por letras do alfabeto.
9
Figura 2. Primeira questão da microavaliação
Fonte: Aluna O
Dos oito alunos que obtivemos a avaliação apenas dois conseguiram acertar essa
questão. Uma das resoluções corretas pode ser observada na figura 3:
Figura 3. Resolução da primeira questão
Fonte: Aluna F
Contudo, o que levou a maioria dos discentes a se equivocarem na resolução
dessa atividade? Algumas hipóteses surgem ao analisar as resoluções dos discentes
como a da figura 4.
10
Figura4. Resolução da primeira questão
Fonte: Aluna D
Apesar de não colocarmos todos os registros neste trabalho, visto que se tornaria
inviável, podemos considerar que o aluno G e as alunas O, N e D, inicialmente até
conseguiram compreender o enunciado do problema, quando indicaram as alturas do
triângulo e apontaram o ortocentro como o encontro das alturas. Todavia, não se
atentaram à questão do ângulo, com isso a construção foi realizada de forma
equivocada. A aluna U, só indicou as alturas do triângulo sem se atentar ao ângulo. Já
os alunos Y e a aluna O, encontraram o ângulo indicado, construíram o triângulo, mas
não conseguiram identificar o que foi proposto pela questão – o ortocentro.
Do exposto, concluímos que dessas três alunas, duas delas (Y e O) quando
associaram os dados às propriedades da figura, demonstraram possuir habilidade
visual6, por fazerem esquemas da figura e identificarem as partes dadas. Logo, podemos
associar os registros dessas alunas como o 2° nível do modelo de van Hiele. Ou seja,
elas além da capacidade de visualização, também são capazes de compreender quando
uma propriedade é consequência de outra.
A próxima questão refere-se à determinação do baricentro do triângulo, a partir
da medida de seus respectivos lados, como pode ser observado na figura 5.
6
Entende-se por habilidade visual a identificação, comparação e nomenclatura de figuras geométricas,
com base em sua aparência global ( triângulo, quadrado, trapézio, paralelogramo, figura plana, entre
outros).
11
Figura 5. Segunda questão do microavaliação
Fonte: Aluna O
Das microavaliações analisadas, apenas o aluno Q conseguiu resolver
corretamente. Podemos dizer que a resposta do referido aluno procede ao nível de
pensamento exigido pela questão – o nível 02. Trata-se da mesma situação da questão
anterior, agora exigido dos alunos, o encontro das medianas correspondentes aos lados
de um triângulo. Além do conhecimento da técnica que o aluno deve ter para uso do
compasso, ele deve também conhecer o conceito de mediana. A propriedade para traçar
o baricentro depende do conhecimento sobre as medianas.
Na figura 6, podemos perceber que a aluna O possui habilidade visual para
responder tal questão, porém não se atenta às medidas indicadas na atividade, a qual
precisaria da habilidade gráfica para desenvolvê-la corretamente.
Figura 6. Resolução da segunda questão.
Fonte: Aluna O
Para a questão 3, o aluno deveria traçar a circunferência inscrita e circunscrita ao
triângulo equilátero, a partir da medida dos lados.
12
Figura 7: Terceira questão da microavaliação
Fonte: Aluna O
Para que o aluno consiga resolver essa questão é preciso que ele entenda o
conceito de incentro, além das propriedades do triângulo equilátero e da sua bissetriz
interna. Nessa situação, espera-se que o aluno também tenha habilidade que atenda ao
nível 2 do modelo de van Hiele (habilidades verbal e gráfica).
Nessa questão, 70% dos alunos acertaram. Entre os que não acertaram, destacase a aluna D que não respondeu; aluna U não conseguiu resolver corretamente
provavelmente por não saber representar as medidas e a aluna O que, embora tenha
demonstrado compreender a estrutura da questão e como representá-la, ela não efetuou
a construção com as medidas dos lados.
As alunas U e O não conseguiram acertar nenhuma das questões apresentadas na
microavaliação. Segundo os níveis de van Hiele, essas alunas deveriam ter habilidades
correspondentes ao nível 1 (habilidades visual, verbal e gráfica).
13
Figura 8. Resolução da microavaliação (p.01)
Fonte: Aluna N
14
Figura 9. Resolução da microavaliação (p.02)
Fonte: Aluna N
Vale destacar a microavaliação da aluna N, como podemos verificar nas figuras
8 e 9, visto que a mesma apresentou os conceitos corretamente, mas com equívocos nas
construções. Nossa hipótese, é que pela representação gráfica, a referida aluna entnedeu
o que significa ortocentro e baricentro, mas para representá-los, falta-lhe habilidade
gráfica. Habilidade fundamental para o bom desempenho na disciplina Desenho
Geométrico, uma vez que o trabalho metodológico do professor baseia-se unicamente
no uso da técnica „régua e compasso‟ para realizar as construções geométricas. Para
tanto, a aluna estaria utilizando os dados fornecidos da questão para construção do
desenho, e assim, efetuar a resolução da questão.
15
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A pesquisa apresentada foi realizada em uma turma de 8º ano do Ensino
Fundamental no CODAP/UFS cujo objetivo verificou em quais dos níveis do
pensamento geométrico, sob o modelo de Van Hiele, encontram-se os discentes do
COPAD/UFS.
Em relação às produções dos alunos se buscou analisar os registros de oito
microavaliações tendo em vista se os alunos aprendem os conteúdos geométricos
abordados na disciplina. No propósito de verificar como os alunos conseguem
responder questões, a partir dos conceitos utilizados durante as aulas de Desenho
Geométrico, utilizamos como suporte teórico, o modelo dos níveis de van Hiele.
Ao analisarmos os registros dos alunos nas microavaliações, foi possível
perceber que a maioria dos alunos encontra-se no nível 1 e, somente poucos alunos
apresentam o pensamento geométrico no nível 2.
Desse resultado, é possível afirmar que a abordagem dos conteúdos geométricos
com uso da régua e compasso não é suficiente para a aprendizagem dos alunos
participantes da pesquisa. Durante a observação das aulas, percebemos que é uma
abordagem relevante, mas talvez se o livro didático apresentasse outros elementos a
respeito dos conteúdos geométricos, ou se as atividades possuíssem outras formas de
manipulação, a exemplo dos softwares, não estaria se distanciando das construções.
Mas, seria mais um recurso para abordar os conteúdos, conceitos e abordagens
contextualizadas.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Guia de livros didáticos: PNLD 2011 : Matemática. – Brasília : Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, 2010.
GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2009.
OLIVEIRA, D. G. F.; SILVA, L. E. S., Relatório de estágio supervisionado no ensino
de matemática II. Avaliação final da disciplina Estágio Supervisionado no Ensino de
Matemática II do Curso de Licenciatura em Matemática. São Cristóvão/SE: UFS/DMA,
2011.
16
VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
VIANNA, H. M. Pesquisa em educação: a observação. Brasília: Liber Livro, 2007.
(Série Pesquisa em Educação, 5).