TRIGONOMETRIA
Desde a sua origem, que remonta ao século II a.C., a
trigonometria foi se desenvolvendo, desde o argumento teórico a
respeito da proporcionalidade entre os lados correspondentes de
dois triângulos semelhantes – encontrado no Papiro de Hind – até o
simbolismo analítico atual, que permite sua utilização em inúmeras
aplicações nos mais diversos ramos da Matemática e da Física,
como também em outros campos do conhecimento humano.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos
internos mede 90°. Os lados que formam o ângulo reto (90°) são
chamados
catetos
(do
grego
káthetos,
que
significa
“perpendiculares”), e o terceiro lado é chamado hipotenusa (do
grego hypoteínousa, que significa “linha estendida por baixo”).
Podemos definir, no triângulo retângulo, as seguintes razões
trigonométricas:
Considerando o triângulo ABC da figura a seguir, podemos
escrever:
Em todo e qualquer triângulo retângulo, vale a seguinte
relação entre as medidas de seus lados: “O quadrado da medida da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos
catetos”.
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Página |2
c
b
c
, cos   e tg   .
a
a
b
c
 
c a
sen 
tg   
 tg  
b b
cos 
 
a
sen  
É
possível
concluir
que
De acordo com o triângulo da figura anterior, temos que
sen  
c
b
e cos   e c 2  b 2  a 2 . Assim, podemos afirmar que
a
a
c2  b2 a 2
c b
 2  1.
sen   cos        
a2
a
a a
2
2
2
2
II. Lei dos Cossenos
O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados
restantes, menos o duplo produto desses dois lados pelo co-seno
do ângulo que eles formam.
A seguir, temos as razões trigonométricas para os ângulos de
medidas 30°, 45° e 60°:
Trigonometria num Triângulo Qualquer
EXERCÍCIOS
I. Lei dos Senos
As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro
da circunferência circunscrita.
01. Na Grécia antiga, entre os anos de 190 a.C. e 125 a.C., viveu
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O PROFESSOR RESOLVE
Hiparco, um matemático que construiu a primeira tabela
trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o
desenvolvimento da Astronomia, pois facilitava o cálculo de
distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o título de PAI DA
TRIGONOMETRIA.
03. Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P,
conforme a figura a seguir.
Um papagaio ou pipa, é preso a um fio esticado que forma um
ângulo de 45° com o solo. O comprimento do fio é de 100m.
Determine a altura do papagaio em relação ao solo. (use a tabela
trigonométrica)
A) 50 2 m.
D) 150 m.
B) 70 2 m.
E) 200 m.
C) 100 2 m.
02. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício.
Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para
medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°,
como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do
teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os
valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em
metros, é (use
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao
farol, forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a
embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica
que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com
a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a
A) 500.
B) 500 3 .
D) 1.000 3 .
E) 750.
C) 1.000.
3 =1,73)
04. A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em
certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios
de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.
A) 110.
B) 112.
C) 117.
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D) 120.
E) 124.
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A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do
suporte é
A) 30 3 .
B) 40 3 .
D) 80 3 .
E) 90 3 .
A) 7 cm.
D) 14 cm.
07. Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura,
B) 11 cm.
E) 16 cm.
C) 12 cm.
05. Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um
ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4
km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,
perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à
rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é
2
.
8
D) 2 .
A)
2
.
4
E) 2 2 .
B)
C)
no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina,
em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao
ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
3
.
2
Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma
cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de
orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o
erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um
ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que
deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo
retângulo ABC, como mostra a figura.
06.
Se o ponto B dista 10 metros de C e 30 metros de D, a medida do
cosseno do ângulo ADC corresponde a
A) 0,2.
B) 0,4.
C) 0,5.
D) 0,8.
E) 0,9.
08. Considere o planeta Terra como uma esfera com raio de
6400km. Um satélite percorre uma órbita circular em torno da Terra
e, num dado instante, a antena de um radar está direcionada para
ele, com uma inclinação de 30° sobre a linha do horizonte,
conforme mostra a figura a seguir.
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou
partindo de A até chegar a B é
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C) 60 3 .
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SOLUÇÕES
Usando sen 45º=0,7 e sem 120º = 0,85, podemos concluir que a
distância x, em quilômetros, da superfície da Terra ao satélite, está
compreendida entre
A) 1350 km e 1450 km.
C) 1650 km e 1750 km.
E) 1950 km e 2050 km.
B) 1500 km e 1600 km.
D) 1800 km e 1900 km.
SOLUÇÃO 1ª QUESTÃO
09. Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias,
conforme mostra a figura.
sen 45º 
h
2
h


 h  50 2
100
2 100
SOLUÇÃO 2ª QUESTÃO
A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x,
entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny =
3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E
que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. Quantos
quilômetros tem a rodovia BC?
A) BC = 50 km.
D) BC = 80 km.
B) BC = 60 km.
E) BC = 90 km.
C) BC = 70 km.
y
3
y


 y  115,3 m
200
3
200
h  115,3  1,5  117
tg 30º 
SOLUÇÃO 3ª QUESTÃO
10. Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo
nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas
horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em
quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
A) 30 min.
D) 2 h.
B) 1 h.
E) 2 h 15 min.
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C) 1 h 30 min.
sen60º 
d
3
d


 d  500 3
1000
2 1000
P á g i n a | 10
SOLUÇÃO 4ª QUESTÃO
SOLUÇÃO 7ª QUESTÃO
 1000 
2
 50 2  30 2  2.50.30. cos( ADC ) 
cos( ADC )  0,8
SOLUÇÃO 8ª QUESTÃO
x
1 x
 
 x  12.
24
2 24
sup orte  12  4  3  11cm.
sen30º 
y
6400

 y  7.771
sen 45º sen120 º
x  1.371
SOLUÇÃO 5ª QUESTÃO
SOLUÇÃO 9ª QUESTÃO
40
BC
40 BC



 BC  70km
3
3
seny senx
7
4
sen 45º 
d
2 d

 d 2 2
4
2
4
SOLUÇÃO 10ª QUESTÃO
SOLUÇÃO 6ª QUESTÃO
60
3 60


 y  40 3
y
y
2
x
1
x
cos 60º   
 x  30 3
y
2 40 3
sen60º 
x 2  2 2  2 2  2.2.2. cos 45º  x  1,5 h
x  y  60 3
P á g i n a | 11
P á g i n a | 12