MA141 - Prof. Stefano De Leo
[A03-2.1]
Rotação de um ângulo θ
Calcular o coeficiente angular, e
a, da reta obtida através de uma rotação de um ângulo θ a partir de uma
reta de coeficiente angular a.
A reta dada forma um ângulo α (a = tan α) com o eixo x. A nova reta terá coeficiente angular
e
a = tan(α + θ) .
Observando que
sin(α + θ)
cos(α + θ)
sin α cos θ + cos α sin θ
=
cos α cos θ − sin α sin θ
tan α cos θ + sin θ
=
,
cos θ − tan α sin θ
tan(α + θ) =
obtemos
e
a=
a cos θ + sin θ
cos θ − a sin θ
Tabela/Coseno-Seno
θ
cos θ
sin θ
θ
cos θ
sin θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
1
√
3/2
√
1/ 2
1/2
0
−1/2
√
−1/ 2
√
− 3/2
−1
0
1/2
√
1/ 2
√
3/2
1
√
3/2
√
1/ 2
1/2
0
−π/6
−π/4
−π/3
−π/2
−2π/3
−3π/4
5π/6
√
3/2
√
1/ 2
1/2
0
−1/2
√
−1/ 2
√
− 3/2
−1/2
√
−1/ 2
√
− 3/2
−1
√
− 3/2
√
−1/ 2
−1/2
Exemplos [ y = a x + b ]
θ
e
a
√
√
π/6 (a 3 + 1)/( 3 − a)
π/4
(a + 1)/(1 − a)
√
√
π/3 (a + 3)/(1 − a 3)
π/2
−1/a
θ
e
a
√
√
−π/6 (a 3 − 1)/( 3 + a)
−π/4
(a − 1)/(1 + a)
√
√
−π/3 (a − 3)/(1 + a 3)
[A03-2.2]
Distância ponto-reta
Achar a distância do ponto P0 = (x0 , y0 ) à reta y = ax + b.
1) Escrevr a equação da reta perpendicular à reta de coeficiente angular a,
y=−
x e
+b .
a
2) Determinar o coeficiente linear eb para achar a reta perpendicular que passe pelo ponto P0 ,
y0 = −
x0 e
+b
a
⇒
eb = y0 + x0
a
⇒
y=−
x
x0
+ y0 +
.
a
a
3) Achar o ponto P1 (cruzamento das retas),
x1
x0
+ y0 +
a
a
y1 = a x1 + b
a x1 + b = −
⇒
⇒
a (y0 − b) + x0
,
a2 + 1
2
a y0 + a x0 + b
y1 =
.
a2 + 1
x1 =
4) Calcular a distância entre os pontos P0 e P1 ,
2
2
2
1
(a x0 + b − y0 )
a2
(y0 − b − a x0 ) + 2
(a x0 + b − y0 ) =
,
d = (x1 − x0 ) + (y1 − y0 ) = 2
(a + 1)2
(a + 1)2
a2 + 1
2
2
2
então
d=
|a x0 + b − y0 |
√ 2
.
a +1
[A03-2.3]
Exemplo
Dada a reta y = x + 2 e o ponto P0 = (2, −1), temos
reta perpendicular à reta y = x + 2 passante pelo ponto P0
ponto P1 de cruzamento das retas
distância do ponto P0 à reta y = x + 2
y = −x + 1
( −1/2√, 3/2 )
5/ 2
y =x+2
y
P1 = ( − 1/2 , 3/2 ) •
√
d = 5/ 2
x
• P0 = ( 2 , −1 )
y = −x + 1
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