Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
7.a Aula: Matriz da Função de Transferência
Função de Transferência
 A função de transferência pode ser calculada a partir dos coeficientes da
Equação de estado.
 Considere a equação de estado de Saída (1):
y  Cx  du
(1)
 Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado (2):
Y(s)  CX (s)  dU (s)
(2)
 Multiplicando-se ambos os lados da equação por (sI  A)1 :
Y(s)  C(sI  A)1 x(0)  [C(sI  A)1b  d ]U (s)
(3)
 Se aplicarmos a condição inicial x(0)  0 na equação (4), tem-se:
Y(s)  [C(sI  A)1b  d ]U (s)
(4)
 Na equação (4), U ( s ) é a transformada de Laplace da entrada u(t). Então,
dividindo-se ambos os lados por
U ( s) ,
encontra-se a
transferência:
Y ( s)
G( s) 
 C ( sI  A) 1 b  d
U ( s)
(5)
função de
 A matriz G(s) denomina-se matriz de transferência (ou matriz das funções
de transferência ) do sistema.
 No caso dos sistemas escalares , isto é, como uma só variável escalar de
entrada e outra de saída, a matriz de transferência se reduz á função de
transferência do sistema.
Estabilidade do Sistema
 Um sistema é estável quando todos os polos da sua função de
transferência estão situados no semi plano esquerdo (SPE).
 Ou seja, não pode haver polos nem no semi plano direito (SPD), nem no
eixo imaginário do plano.
 Dada a função de transferencia:
1
G(s)  3
s  6s 2  11s  6
 Os polos do sistema são:
-1 , -2 e -3.
 Estão todos no SPE, logo o sistema é ESTAVEL.
Exercício 1:
Dados:
VS (t )  u0 (t )
RS  1
LS  1H
Condicoes initials:
i L (0  )  0
vC (0  )  0
CS  1F
vC (t )  vout (t )
a) Determine a Equacao de Estado do circuito RLC série e a represente na
forma de uma Matriz.
b) Determine a Funcao de Transferencia do circuito.
c) Determine a Funcao de Transferencia do circuito usando o MATLAB.
Solucao (a):
•
A equacao diferencial que descreve o circuito:
di
Ri  L  vC  u0 (t )
dt
• Substituindo –se pelos valores dados:
di
di
i   vC  u0 (t )   i  vC  u0 (t )
dt
dt
• Escolhendo-se as variáveis de estado:
x1  iL  i
x2  vC  vout
di
dt
.
dv
x2  c  x1
dt
.
x1 
Solucao (a):
•
A equacao de estado será:
.
x1   x1  x2  u0 (t )
.
x2  x1
y  x2
• Na forma de Matriz:
.


.
x
 1 1  x1  1 
1
x  Ax  Bu   .   

u (t )
   1 0   x2  0 0
 x2 
 x1 
y  Cx  Du  y   0 1     0 u0 (t )
 x2 
Solucao (b):
•
O circuito no domínio s :
Vout ( s) 
1/ s
Vin ( s)
1  s  1/ s
Vout ( s)
1/ s
1
G( s) 

 2
Vin (s) 1  s  1/ s s  s  1
Solucao (c):
1. Funcao ss2tf (Equacao de estado para Funcao de transferencia) :
Solucao (c):
1. Funcao tf2ss (Funcao de transferencia para Equacao de estado) :
Exercício 2:
 Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear:
. 
 x1    0 1   x1   1 0 u1 
 .   2 2  x2  0 1 u2 
 x2 
 y1  1 1   x1 
 y   1 1  x 
 2
 2 
 Determine:
a) A funcao de transferencia do sistema.
b) Os polos do sistema e faca sua representacao no plano s.
c) A matriz de transicao de estado.
Exercício 3:
 Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear:
. 
1   x1  0
 x1    0
   u (t )




.
   24 14  x2  1 
 x2 
 Sendo as condicoes iniciais:
y(t )  1 1u(t )
2 
x0   
 1
 Determine:
a) Os autovalores da matriz A. O sistema é estável?
b) A matriz de transicao de estado.
c) A funcao de transferencia G(s).
d) A resposta as condicoes iniciais.