Engenharia Econômica na Mineração
Matemática Financeira
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- Juros Simples
- Juros Compostos
- Fluxo de Caixa
- Relações de Equivalência
- Séries Perpétuas
- Taxa Efetiva, Nominal e Equivalente
- Taxa Mínima de Atratividade
- Critérios Econômicos de Decisão
- Circunstâncias Específicas
- Problemas Propostos
Introdução
• Os estudos sobre ecomonia iniciaram nos Estados Unidos em 1887,
quando Arthur Wellington publicou seu livro "The Economic Theory
of Railway Location", texto que sintetizava análise de viabilidade
econômica para ferrovias.
• Economia Mineral é importante para todos que precisam decidir
sobre propostas tecnicamente corretas, e seus fundamentos podem
ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais
Introdução
• Todo o fundamento da economia mineral se baseia na matemática
financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.
• Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma
correia transportadora;
• Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou
finos;
• Substituição de equipamentos de mineração obsoletos;
• Comprar carro a prazo ou à vista.
Introdução
•
Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos
devem ser considerados, sendo os seguintes:
•
a) devem haver alternativas de investimentos. É improdutivo calcular se é
vantajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir
dinheiro para tal;
b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível
comparar diretamente 300 horas/mensais de mão de obra com 500 Kwh de
energia. Convertendo os dados em termos monetários teremos um
denominador comum muito prático. Alguns dados entretanto são difíceis de
converter em dinheiro. São os chamados intangíveis;
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para
decidir sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos
mesmos se forem idênticos;
•
•
Introdução
• d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado.
Sempre existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira
que ele renda alguma coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto
devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rendosa de utilizálo;
• e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é
considerado; interessa-nos o presente e o futuro. A afirmação: não
posso vender este carro por menos de $ 10000 porque gastei
isto com ele em oficina não faz sentido, o que normalmente
interessa é o valor de mercado do carro.
Introdução
 Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes:
 Critérios financeiros: disponibilidade de recursos;
 Critérios econômicos: rentabilidade do investimento;
 Critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro.
 Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos,
ou seja, a principal questão que será abordada é quanto a
rentabilidade dos investimentos
• A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no
tempo. E pode-se iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte
frase:
• “NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE
NÃO ESTEJAM NA MESMA DATA”
• Embora esta afirmativa seja básica e simples, é absolutamente
incrível como a maioria das pessoas esquece ou ignoram esta
premissa. E para reforçar, todas as ofertas veiculadas em jornais
reforçam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo,
uma TV que à vista é vendida por R$500,00 ou em 6 prestações de
R$100,00, acrescenta-se a seguinte informação ou desinformação:
total a prazo R$600,00.
• O que se verifica que se soma os valores em datas diferentes,
desrespeitando o princípio básico, citado acima, e induzindo a se
calcular juros de forma errada.
• Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática
financeira é JUROS. Para entendermos bem o significado desta
palavra vamos iniciar observando a figura II.1 a seguir. Cada um
dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. Como se
pode entender, então, os juros é o que se paga pelo custo do
capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder dispor
de um capital durante determinado tempo.
Juros simples
• E concluindo, nota-se a correspondência entre os termos "juros" e
"tempo", que estão intimamente associados.
• II.1 - JUROS SIMPLES
• Ao se calcular rendimentos utilizando o conceito de juros simples,
tem-se que apenas o principal, ou seja o capital inicial, rende juros.
O valor destes juros pode ser calculado pela seguinte fórmula:
• J=P.i.n
• onde:
• P = principal, J = juros, i = taxa de juros, n = número de períodos
Juros simples
• O valor que se tem depois do período de capitalização, chamado de
valor futuro (F), pode ser calculado por:
F=P+J
• F = P + P.i.n
• F = P(1 +i.n)
• A fórmula acima é pouco utilizada, porque na maioria dos cálculos
em matemática financeira usam-se juros compostos que será
discutido a seguir.
EXERCICIOS
• 1) Comprei um novo computador, mas
como não tinha o dinheiro todo, fiz um
empréstimo para pagá-lo. Ao final do
empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só
de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi
de 3% a.m. Por quantos anos pagarei
pelo empréstimo? Qual o preço do
computador sem os juros?
• 2) Comprei o material para a reforma da
minha casa, pelo qual pagarei um total
de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era
de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de
2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei
por este material?
• 3) Aninha retirou de uma aplicação o
total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5
semestres. O valor dos juros obtidos
foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de
juros a.b.?
• 4) Em uma aplicação recebi de juros R$
141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45
dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00.
Qual foi a taxa de juros a.a. da
aplicação?
• 5) Maria Gorgonzola realizou uma
aplicação por um período de 1
bimestre. Em tal período o capital de
R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00
de juros. Qual foi a taxa de juros a.a.
utilizada?
• 6) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros,
por um empréstimo de 1 mês. A taxa de
juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto
Maria havia emprestado?
• 7) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de
juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de
19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação
em meses?
• 8) Calcule o montante e os juros
referentes a um capital de R$ 45.423,50
investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos.
• 9) Gusmão tomou emprestado R$
32.000,00, pagando durante 2 anos, à
taxa de juros simples de 2,54% a.t. Qual
o juro resultante após os 2 anos?
• 10) Para reformar o seu carro, um
taxista realizou um empréstimo a uma
taxa de juros simples de 2,64% a.m. A
duração do empréstimo foi de 220 dias,
qual o juro pago para o empréstimo de
R$ 7.000,00?
• 11) Qual o valor dos juros e do
montante resultantes de um
empréstimo de R$ 15.478,50 feito pelo
prazo de 5 bimestres, à taxa de 7,5%
a.b.?
• 12) Qual o valor dos juros correspondente
a um empréstimo de R$ 37.200,00
realizado pelo prazo de 3 bimestres, à
taxa de 91,2% a.a.?
• 13) Minha irmã, ao todo, pagou R$
322.800,00 por sua casa. Sei que de juros
ela pagou R$ 172.800,00. A taxa foi de
1,2% a.m. Por quantos anos ela pagou
pelo imóvel? Qual o preço da casa sem os
juros?
• 14) Comprei uma joia a prazo, pagando
um total de R$ 9.825,20. O seu valor à
vista era de R$ 7.700,00 e a taxa de
juros é de 4,6% a.m. Por quantos
semestres eu fiquei com esta dívida?
• 15) Marcinha retirou de uma aplicação
o total R$ 80.848,00, após decorridos 5
trimestres. O valor dos juros obtidos
foi de R$ 15.648,00. Qual a taxa de
juros a.b.?
• 16) O valor principal de uma aplicação
é de R$ 10.000,00. Resgatou-se um
total de R$ 19.000,00 após 1 semestre.
Qual o valor da taxa de juros a.d.?
• 17) Pedro pagou mensalmente, pelo
período de 3 semestres, por um
equipamento que custa R$ 5.300,00, a
uma taxa de juros simples de 1,89%
a.m. Qual o valor total pago? Qual o
valor dos juros?
Juros compostos
• Com juros compostos, no final de cada período, o juro é
ncorporado ao principal ou capital, passando assim a também
render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da
seguinte maneira:
• No primeiro período:
• F1 = P + P . i = P . (1 + i)
• No segundo período:
• F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)2
• No terceiro período:
• F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2. (1 + i) = P . (1 + i)3
Juros compostos
• Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a
expressão geral para cálculo de juros compostos, dada por:
•
F = P . (1 + i)n
• A fórmula acima é muito utilizada, e através dela pode-se constatar
que para o primeiro período o juro simples é igual ao juro composto.
• EXEMPLO II.1 - Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a
20% a.a. durante 3 anos, qual o valor futuro para os casos de
considerarmos juros simples e juros compostos?
Fluxo de caixa
• É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e
saídas (despesas) relativo a um certo intervalo de tempo. Um
exemplo de fluxo de caixa pode ser visto na figura II.2.
Fluxo de Caixa
•
Os gráficos de fluxo de caixa devem ser feitos do ponto de vista de quem
faz a análise. Para entender este conceito, vamos imaginar que uma
máquina custa R$ 20.000,00 à vista ou 5 prestações de R$ 4.800,00. Para
a venda a vista o fluxo de caixa é diferente do ponto de vista do comprador
para o do vendedor, isto pode ser visto na figura
Relações de equivalência
• As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de
caixa que se equivalem no tempo. Para calcular as relações uma
ferramenta que é muito utilizada é a tabela financeira.
• A simbologia que será utilizada é:
•
i = taxa de juros por período de capitalização;
• n = número de períodos a ser capitalizado;
• P = quantia de dinheiro na data de hoje;
• F = quantia de dinheiro no futuro;
• A = série uniforme de pagamento;
• G = série gradiente de pagamento
Relações entre P e F
• Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação
da figura II.4 a seguir
• O valor F pode ser obtido por:
•
F = P . (1 + i)n
Relações entre P e F
• O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital de
um pagamento simples. Este fator é encontrado nas tabelas para
diversos i e n. Outra maneira de se apresentar a forma analítica,
com o objetivo de se utilizar as tabelas é a seguinte expressão:
• F = P . (F/P, i, n)
• O termo (F/P,i,n) é uma forma mnemônica de se representar (1
+i)n. Para achar P a partir de F, o princípio é o mesmo
apresentado no caso anterior. A expressão analítica é:
• P = F/(1 + i)n
Relações entre P e F
• O fator 1/(1 +i)n é chamado de valor atual de um pagamento
simples. A forma mnemônica, para consulta em tabelas é:
•
P = F . (P/F, i, n)
• O termo (P/F,i,n) é também encontrado nas tabelas.
• EXEMPLO - Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em
um banco que cobra 5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago
se o prazo do empréstimo for de cinco meses. Resolver o problema
analiticamente e utilizando as tabelas anexas.
Tabelas financeiras