Exame de Biomecânica
5 de Janeiro de 2007
duração 2h30m
Responda apenas a 4 perguntas
1. Uma pessoa operada recentemente aos músculos abdutores da perna direita usa uma muleta
no lado esquerdo.
Sabendo que ela apoia um sexto do seu peso, P ,
na muleta, determine a que distância da linha que
passa pelo centro de massa da pessoa deverá ficar
a muleta de modo que seja nula a força exercida
pelos músculos abdutores da perna direita quando
o pé direito está apoiado no chão e o pé esquerdo
está no ar. Suponha que o comprimento da perna
é L, o seu peso é P/7, o seu centro de massa fica
a 0,57 L do pé e ainda que os músculos abdutores
fazem uma ângulo de 70o com a horizontal.
.
CM
70
8cm
o
20cm
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
2. Durante um estudo o fémur é sujeito a uma torção sendo, ~s = ψ z(−y êx + x êy ) o deslocamento sofrido, onde ψ é uma constante. O momento de torção é aplicado a 15 cm da
extremidade fixa, que não sofre qualquer deslocamento, sendo o ângulo de torção 1,5o . A
módulo de rigidez do fémur é G = 10GPa e os raios externo e interno são 1,4 e 0,6 cm.
a) Calcule o tensor das deformações e o tensor das tensões que descrevem as deformações
e tensões no fémur. Represente um elemento de matéria no plano xz e represente as
tensões nos planos cujas normais são ê1 e ê3 . Verifique que as condições de equilı́brio
local são satisfeitas.
b) Calcule o valor de ψ e o momento de torção aplicado e determine o ângulo máximo de
torção supondo que o fémur cede para um momento de torção igual a 140Nm.
3. Um doente com a perna engessada tem a perna ligeiramente erguida, fazendo um ângulo de
30o com a horizontal. A perna, com 80 cm de comprimento e 20kg de massa, é suportada
por dois cabos de aço (E = 200GPa e ν = 0.25) 5 mm de diâmetro. Supondo que o CM fica
em A a meio da perna, OA = 40 cm, e BB ′ = 1 m,
a) calcule as forças exercidas nos cabos e a força
de reacção em O, supondo que a perna não
sofre deformação;
111111111111111111111111
000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
B’
A’
b) calcule as tensões médias geradas nos cabos
e os comprimentos e raios dos cabos deformados;
c) sabendo que a tensão de cedência do aço é
70 GPa, determine o diâmetro mı́nimo dos
cabos de modo a que não haja cedência.
B
A
O
30
o
4. Considere o elemento de matéria da figura sujeito a tensões no plano xy, sendo k uma
constante infinitesimal.
a) Determine as tensões principais e a orientação dos planos principais. Represente num
elemento de matéria cujas faces são os planos principais as tensões aplicadas.
b) Determine a tensão máxima tangencial a que fica sujeito o material e a orientação dos
planos sobre os quais actua. Represente as tensões num elemento de matéria com faces
paralelas a estes planos.
c) Explique em que consiste o teste de fluência-recuperação e discuta qualitativamente
como se comporta um material descrito pelo modelo de Kelvin-Voigt (uma mola em
paralelo com um êmbolo).
y
1,5k
B
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
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00
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00
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00
11
00
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00
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00
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00
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00
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00
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00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
4k
A
x
problema 4
problema 5
5. Considere uma barra horizontal de comprimento L e secção quadrada de lado a, feita de um
material elástico com módulo de Young E. A barra está fixa por uma das extremidades e
flecte sob o efeito do seu peso P . Determine
a) a distribuição de momentos e forças internas na barra;
b) a tensão máxima no interior da barra;
c) a função deflexão da barra e o deslocamento da extremidade livre.
Formulário
X ∂σij
i
ǫij =
λ trσ
σij
−
δij ,
2µ 2µ(2µ + 3λ)
τ = G α,
σ=E
x
R
∂xi
+ ρFj = 0;
Pi =
nj σji
j
σij = 2µ ǫij + λ δij trǫ,
α
M = G J,
r
E=
µ(2µ + 3λ)
,
µ+λ
ν=
λ
2(λ + µ)
J = π(re4 − ri4 )/2 (cilindro oco)
x distância ao plano neutro,
IA = π(re4 − ri4 )/4 (cilindro oco),
X
1
M
,
=
R
E IA
d2 y
M
=
2
dz
E IA
IA = ab3 /12 (barra secção rectangular de arestas a,b)