Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 2015
Conteúdo
Matemática Financeira e Estatística: Razão; Proporção; Porcentagem; Juros simples e
compostos; Descontos simples; Média Aritmética; Mediana; Moda.
Orçamento público. Conceitos e princípios orçamentários.
Orçamento-programa: fundamentos e técnicas.
Lei de Diretrizes Orçamentárias: conceito e função.
Plano Plurianual: conceito e função.
Lei Orçamentária Anual: conceito e função.
Coletâneas de exercícios pertinentes
1
Apostilas OBJETIVA - Ano X - Concurso Público 2015
RAZÃO
Razão: é a relação entre duas grandezas.
DEFINIÇÃO
"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números que
medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o primeiro número
pelo segundo".
Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário que sejam da mesma
espécie, e medidas com a mesma unidade.
a
A razão é representada sob a forma b ou a : b
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número
de moças. (lembrando que razão é divisão)
Indica que para cada 4 rapazes existe 5 moças
Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes.
Lendo Razões:
Lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5
lê-se, 8 está para 9 ou 8 para 9
Termos de uma Razão
Grandezas Especiais
Escala
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
2
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Exemplo 1:
Em um mapa, a distância entre a cidade A e a cidade B é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância
real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
Exemplo 2:
Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de
300 km, qual a escala utilizada no mapa?
Resolução:
 Comprimento do desenho: 3 cm
 Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm
Escala =
3
1
D esenho
=
=
30000000 10000000
R ea l
R = A escala utilizada foi de 1:10.000.000
Exemplo 3:
Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, que corresponde ao comprimento total da
sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:60, qual o comprimento real da sala?
Escala =
1
12
De senh o
⇒
=
⇒ x = 720 cm
60
x
Re al
Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de 720 cm ou 7,2 m do real.
R = O comprimento real desta sala é 7,2m.
Velocidade média
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as
unidades são diferentes)
Exemplo 1:
Um carro percorre 320km em 4h. Determine a velocidade média deste carro.
Significa que este carro anda em média 80km em 1 hora.
Exemplo 2:
Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 453km em 6 horas:
Vm =
d
453
=
= 75,5 km/h
6
t
R = A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h
3
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Densidade demográfica
Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.
Exemplo:
Uma ilha qualquer tem uma área de 148 016 km2 e uma população de 6 471 800 habitantes.
Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
Significa que cada 1 km2 é habitado por 43,72 pessoas.
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor (5) da primeira é o consequente (5) da segunda.
Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da segunda.
O produto das duas razões é igual a 1, isto é,
Dizemos que as razões são inversas.
Exemplos:
Exercícios Resolvidos
1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente.
Resolução:
Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade, vamos reduzir as duas medidas a cm, para
obter a razão.
Logo,
10cm
2
simplificando-se ⇒
ou 2 : 5
5
25cm
.
Assim: 1 dm = 10cm
4
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2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes.
a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?
b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças?
Resolução:
a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a razão:
b)
100 1
=
400 4
400
4
=
=4
100
1
5
1
3) Determinar a razão entre 2 e 6
Resolução:
1
2 = 1×6 = 6 = 3
5
5
2 5
10
6
Exercícios para resolver
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios
1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.
2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.
3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos corresponde uma
classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.
4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de 45m 2. Calcular a base
e a altura.
5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa de cada metal sabendo que
estão na razão de 11 para 8.
6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine a área, sabendo que:
1º) A altura do trapézio vale 12cm.
2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.
7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio do outro.
8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas. Qual a razão entre o
número de questões que ele acertou para o número de questões da prova?
9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de peso líquido e 250g de peso
bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?
10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B são 10cm e
20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B?
11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2. Se a sombra mede
5
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1,2m, qual a altura de Tarcísio?
12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a velocidade
do móvel B for igual a 20m/s
13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto de ferro é de 4,7.
Calcular:
a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto de ferro.
b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de ferro.
14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão de 5 para 3. Se ele
precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá utilizar?
15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por um comprimento de
5cm?
16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que essa
largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?
17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de
300km. Qual a escala utilizada no mapa?
18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala de um mapa onde
esta distância está representada por 20,4cm?
19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.
20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da parte fotografada). Sabendo que
a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.
GABARITO
1) 21 e 33
2) 40 e 25
3) 216
4) 15m e 6 m
5) 297g e 216g
6) 126 cm2
1
7) 16
3
8) 5
4
5
9)
3
10) 4
11) 1,80
12) 7,5 m/s
13) a) 56,00g
b) 0,64g
14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza
15) 1:60
16) 1:40
17) 1:10.000.000
6
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18) 1:2.000.000
19) 1:3000
20) 1:200
PROPORÇÃO
INTRODUÇÃO
Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros completos de gasolina. Se uma pessoa
colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter?
Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:
Litros
10
20
30
40
50
Descontos (em R$)
1
2
3
4
5
O desconto será de R$ 5,00
Nesta tabela podemos destacar:
1
10
* Razão entre desconto e litros:
5
50
* Razão entre desconto e litros:
.
Verificamos que as razões
1
5
e
são iguais (ou equivalentes).
10 50
DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO
"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o mesmo
quociente, sendo, portanto iguais".
Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do
primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto.
a c
=
b d
Ou, ainda, podemos escrever:
a : b = c : d que se lê:
"a está para b assim como c está para d"
Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro e o quarto termo
são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados meios.
7
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PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".
a c
= ⇒ a.d = b.c
b d
Exemplo:

6
5
⇒ 6 x 15 = 5 x 18 ⇒ 90 = 90
=
18 15
RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números formam uma
proporção".
Observação:
Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número maior pelo menor e
verificamos se esse produto é igual aos outros dois. Assim, os quatro números 4,10,16 e 40 formam uma
proporção, pois os produtos 4 × 40 e 10 × 16, tem como resultado 160.
QUARTA PROPORCIONAL
"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os mesmos
uma proporção".
Exemplo:
Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48.
Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três soluções, correspondentes às
proporções, pois a posição do número x é arbitrária.
I-)
12 16
⇒ x1 = 64
=
48 x1
II-)
12 x 2
⇒ x2 = 36
=
16 48
III-)
12 48
⇒ x3 = 4
=
x3 16
Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é igual ao produto dos
outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e
considerando como incógnita o último termo.
PROPORÇÃO CONTÍNUA
"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".
Exemplo:
4 6
= (os meios são iguais)
6 9
8
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Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou geométrica, e qualquer um dos outros
termos (4 ou 9) é denominado terceira proporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6,
sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e 6.
Exercícios Resolvidos
1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.
Resolução:
Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas soluções:
1O. Modo:
2O.Modo:
5,6 0,84
⇒ 5,6x = (0,84)2 ⇒ x = 0,126
=
x
0,84
0,84 5,6
⇒ 0,84x = (5,6)2 ⇒ x = 37,33
=
x
5,6
Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.
2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.
Resolução:
3 9
= ⇒ 3x = 81 ⇒ x = 27
9 x
PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES
PROPRIEDADE 1
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o terceiro termo".
a c
a +b c +d
= ⇒
=
c
b d
a
PROPRIEDADE 2
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma
dos dois últimos está para o quarto termo".
a +b c +d
a c
=
= ⇒
b
d
b d
PROPRIEDADE 3
"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a
diferença dos dois últimos termos está para o terceiro termo".
a −b c −d
a c
=
= ⇒
c
b d
a
PROPRIEDADE 4
"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a
diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".
9
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a c
a −b c −d
= ⇒
=
d
b d
b
PROPRIEDADE 5
"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada
antecedente está para seu consequente".
a+c a a+c c
a c
= e
=
= ⇒
b+d b b+d d
b d
PROPRIEDADE 6
"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como
cada antecedente está para seu consequente".
a−c a a−c c
a c
= e
=
= ⇒
b−d b b−d d
b d
PROPRIEDADE 7
"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o
quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo consequente".
a ⋅ c a2 a ⋅ c c2
a c
=
e
=
= ⇒
b ⋅ d b 2 b ⋅ d d2
b d
Exercícios Resolvidos
1º Exercício
A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os consequentes 9 e 7. Achar os antecedentes.
Resolução:
a b
=
Representando por a e b os antecedentes, formamos a proporção: 9 7 aplicando-se a propriedade relativa à
diferença, vem que:
a−b a
10 a
= ⇒
= ⇒ 2a = 90 ⇒ a = 45
9−7 9
2 9
logo,
b = 35
Resposta:
Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.
2º Exercício
x + y = 20

Resolver o sistema  x y
 3 = 7
Resolução:
Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:
10
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x+ y x
20 x
= ⇒
= ⇒x=6
3+7 3
10 3
logo, y = 14
Resposta: Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.
PROPORÇÃO PROLONGADA
Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.
Exemplo:
8
2 6
=
=
4 12 16
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS
"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim
como qualquer antecedente está para seu consequente".
Exemplo:
2+6+8
8
2 6
=
=
=
4 12 16 4 + 12 + 16
Exercício Resolvido
a b c
= =
3
4 6 sabendo-se que a soma é a + b + c = 26.
1) Achar a, b, c na seguinte proporção
Resolução:
Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:
a b c a + b + c 26
=
=2
= = =
3 4 6 3 + 4 + 6 13
Logo,



a
=2⇒a=6
3
b
=2⇒b=8
4
c
= 2 ⇒ c = 12
6
NÚMEROS PROPORCIONAIS
Números Diretamente Proporcionais
"Duas sequências A e B de números reais, não nulos, são diretamente proporcionais se, e somente se, a
razão dos termos correspondentes são todas iguais entre si".
Exemplo:
Sejam as sequências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24, 36). Essas sequências são diretamente proporcionais porque:
11
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9
6
5
2
=k
=
=
=
8 20 24 36
O valor comum das razões é k =
1
, uma constante não nula.
4
"K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade".
Exercício Resolvido
1) Dada as sequências proporcionais (3, 5, 7, y) e (6, 10, x, 8). Determine o coeficiente de proporcionalidade e
os valores de x e y.
Resolução:
Como:
3 5
7 y 1
1
=
= = = , logo o coeficiente de proporcionalidade é .
2
6 10 x 8 2
Então:

7
1
= ⇒ x = 14
2
x

y 1
= ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4
8 2
1
2
Resposta: O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O coeficiente de proporcionalidade é .
Números Inversamente Proporcionais
"Duas sequências A e B de números reais são inversamente proporcionais, quando o produto entre
qualquer termo da primeira sequência e seu correspondente na segunda, é sempre uma constante k não
nula".
Exemplo:
Sejam as sequências: (20, 25, 40, 50) e (10, 8, 5, 4). Essas sequências apresentam números
inversamente proporcionais porque o produto dos termos correspondentes é sempre 200.
Observe: 20 × 10 = 200; 25 × 8 = 200; 40 × 5 = 200; 50 × 4 = 200.
O produto k = 200 denomina-se coeficiente de proporcionalidade.
Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma:
20 25 40 50
=k
=
=
=
1
1
1
1
5
4
10
8
12
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Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente proporcionais aos números:
1 1 1 1
, , ,
10 8 5 4
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos números 3, 5, 8.
Resolução:
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 32, e que sejam proporcionais aos
números 3, 5, 8.
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
x + y + z = 32 e
x y z
= =
3 5 8
Pela propriedade da proporção:
x y z x + y + z 32
=
=2
= = =
3 5 8 3 + 5 + 8 16
substituindo os valores:



x
=2⇒x=6
3
y
= 2 ⇒ y = 10
5
z
= 2 ⇒ z = 16
8
Exercício Resolvido
3
2
1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos números 3 e 4 .
Resolução:
Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:
153 153 153 ⋅ 12
x y x+ y
= 9 × 12 ⇒ k = 108
= =
=
=
=
2 3 2 3 8 + 9 17
17
+
12
12
3 4 3 4
Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:
13
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2
x
= 108 ⇒ x = .108 ⇒ x = 72
2
3
3
3
y

= 108 ⇒ y = 108 ⇒ y = 81
3
4
4
Resposta: Os números procurados são 72 e 81.
DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
2
1 1
,
e .
3 4
7
Vamos dividir o número 273 em partes inversamente proporcionais a
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que sejam inversamente
1 1 2
, , .
proporcionais aos números 3 4 7
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
x + y + z = 273 e
x y z
= =
3 4 7
2
note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da proporção:
x y z x+ y+z
273
273 273 ⋅ 2
= = =
=
=
=
⇒ K = 26
7 14 + 7
21
3 4 7
21
3+ 4+
2
2
2
2
Substituindo os valores:



x
= 26 ⇒ x = 78
3
y
= 26 ⇒ y = 104
4
z
7
= 26 ⇒ z = . 26 ⇒ z =
7
2
2
Exercícios para resolver
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios
x y
=
P1) Calcular x e y, na proporção 4 5 , sabendo que x + y = 45.
14
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x y
=
3 , sabendo que x - y = 14.
P2) Calcular x e y, na proporção 5
x y z
= =
P3) Calcular x, y e z na proporção 2 3 4 sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.
P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.
P5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de números proporcionais:
2 5 8 1
, , ,
14 35 56 7
P6) Verificar se as seguintes sequências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.
P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).
P8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o valor 40. Determinar
o valor da grandeza x, quando y vale 10.
P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas de água há 5 de hidrogênio e 40
de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre as massas de água e hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio
e oxigênio. Em caso afirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade.
P10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.
P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que participaram da sociedade durante 3, 5
e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um?
P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de
forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas
foram 1, 2, 2, 3 e 5?
P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$
80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.
P14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem
ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 divididas em partes inversamente proporcionais a
2
1
2 ,1
4 3
e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?
P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo diretamente
proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá?
P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes diretamente proporcionais
à nota de Matemática e inversamente proporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos de
acordo com os dados:
Hudson: 10 anos e nota 7;
Larissa: 12 anos e nota 5;
Carol: 8 anos e nota 10.
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