ESTATÍSTICA APLICADA
.
Capítulo 5
A Distribuição Normal de
Probabilidade
.
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
.
1. Variável aleatória


Um resultado numérico de um experimento
Peso de uma peça (ex.: 115 kg; 156,8 kg etc.)
2. Variável aleatória contínua



Número inteiro ou fracionário
Obtido por medida
Número infinito de valores num intervalo

Muito numerosos para listar como variável discreta
.
Exemplos de Variáveis Aleatórias
Contínuas
Experimento
Variável
Aleatória
Valores
Possíveis
Pesar 100 peças
Peso
45,1; 78; ...
Medir vida da peça
Horas
900; 875,9; ...
Medir gasto com manut.Gasto
Medir tempo entre
chegadas
54,12; 42; ...
Tempo entre 0; 1,3; 2,78; ...
chegadas
Função Densidade de
Probabilidade Contínua
.
1.
Fórmula matemática
Freqüência
2.
Mostra todos valores,
x e freqüências, f(x)

3.
f(x) não é probabilidade
(Valor, Freqüência)
f(x)
Propriedades
)dx = 1
  f (x(área
sob curva)
todo X
f ( x )  0, a  x  b
a
b
Valor
x
.
Cálculo de Probabilidade em
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade é
área sob curva!
P (c  x  d) =

d
c
f ( x ) dx
f(x)
c
© 1984-1994 T/Maker Co.
d
X
.
Distribuição Uniforme
Distribuição Uniforme
.
1.
Resultados igualmente
prováveis
2.
Densidade de
probabilidade
1
f (x) =
d c
3.
Média e desvio padrão
cd
d c
=
=
2
12
f(x)
1
d c
c
d
Média
Mediana
x
Exemplo de Distribuição Uniforme
.
Você é o gerente de produção
de uma fábrica de refrigerante.
Você acredita que quando
uma máquina está regulada
para 12 oz., na realidade
coloca de 11.5 a 12.5 oz.
inclusive. Suponha que a
quantidade colocada tem uma
distribuição uniforme. Qual é
a probabilidade que menos
que 11,8 oz. seja colocada?
SODA
Solução da Distribuição Uniforme
.
f(x)
1.0
1
1
=
d  c 12.5  11.5
1
= = 1.0
1
x
11,5 11,8
12,5
P(11,5  X  11,8) = (Base)(Altura)
= (11,8 - 11,5)(1) = 0,30
.
Distribuição Normal
Importância da
Distribuição Normal
.
1. Descreve muitos processos aleatórios
ou fenômenos contínuos
2. Pode ser usada para aproximar
distribuições de probabilidade discretas

Exemplo: binomial
3. Base para Inferência Estatística
Distribuição Normal
.
1. ‘Forma de sino’ e
simétrica
f(X)
2.
Média, mediana,
moda são iguais
3.
Variável aleatória
tem intervalo infinito
X
Média
Mediana
Moda
Função Densidade de
Probabilidade
.
1
f ( x) =
e
 2p
f(x)

p
x

=
=
=
=
=
1  x 
 

2  
2
Freqüência da variável aleatória x
Desvio padrão populacional
3,14159; e = 2,71828
Valor da variável aleatória (- < x < )
Média populacional
Efeito de Variar Parâmetros ( e )
.
f(X)
B
A
C
X
.
Cálculo de Probabilidade na
Distribuição Normal
Probabilidade é
área sob curva!
f(x)
c
d
x
Tabelas da Distribuição Normal
.
Distribuições Normais diferem
entre si pela média e desvio
padrão.
f(X)
Cada distribuição
necessitaria sua
própria tabela.
X
Isto é um número infinito!
Padronizar a Distribuição Normal
.
X 
Z=

Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão

= 1

X
=0
Uma tabela!
Z
Exemplo de Padronização
.
Z=
X 

Distribuição
Normal
 = 10
= 5 6.2 X
6,2  5
=
=0,12
10
Distribuição
Normal Padrão
=1
= 0 .12
Z
Obtendo a Probabilidade
.
Tabela da Distribuição
Normal Padrão (Parte)
Z
.00
.01
=1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0,0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
= 0 .12
0.3 .1179 .1217 .1255
Probabilidades
Z
Área hachurada
exagerada
Exemplo:
P(3,8  X  5)
.
X   3.8  5
Z=
=
=  .12

10
Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão
 = 10
=1
0,0478
3.8 = 5
X
-.12  = 0
Área hachurada exagerada
Z
Exemplo:
P(2,9  X  7,1)
.
Distribuição
Normal
X   2.9  5
Z=
=
=  .21

10
X   7.1  5
Z=
=
= .21
Distribuição

10
Normal Padrão
 = 10
=1
0,1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Área hachurada exagerada
Z
Exemplo:
P(X  8)
.
X  85
Z=
=
= .30

10
Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão
 = 10
=1
.5000
0,3821
.1179
=5
8
X
=0
Área hachurada exagerada
.30 Z
Exemplo:
P(7,1  X  8)
.
Distribuição
Normal
X   7.1  5
Z=
=
= .21

10
X  85
Z=
=
= .30

10
Distribuição
Normal Padrão
 = 10
=1
.1179
0,0347
.0832
=5
7.1 8
X
=0
Área hachurada exagerada
.21 .30 Z
Questão
.
Você trabalha no Controle de
Qualidade. A vida de uma
lâmpada tem uma distribuição
normal com = 2000 horas e
 = 200 horas. Qual é a
probabilidade que uma lâmpada
durará:
A. entre 2000 e 2400 horas?
B. menos que 1470 horas?
Solução:
P(2000  X  2400)
.
X   2400  2000
Z=
=
= 2.0

200
Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão
 = 200
=1
0,4772
 = 2000 2400
X
=0
2.0
Z
Solução:
P(X  1470)
.
X   1470  2000
Z=
=
=  2.65

200
Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão
 = 200
=1
.5000
0,0040
1470  = 2000
X
.4960
-2.65  = 0
Z
.
Achando o Valor de Z
para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado
P(Z) = 0,1217?
0,1217
=0
Área hachurada
exagerada
=1
?
Z
.
Achando o Valor de Z
para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado
P(Z) = 0,1217?
0,1217
Tabela da Distribuição
Normal Padrão (Parte)
=1
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
=0
Área hachurada
exagerada
?
Z
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
.
Achando o Valor de Z
para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado
P(Z) = 0,1217?
0,1217
Tabela da Distribuição
Normal Padrão (Parte)
=1
Z
.00
.01
0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
 = 0 .31
Área hachurada
exagerada
Z
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .1179 .1217 .1255
.
Achando o Valor de X
Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal
 = 10
0,1217
= 5
?
X
Área hachurada exagerada
.
Achando o Valor de X
Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão
 = 10
=1
0,1217
= 5
?
X
0,1217
 = 0 .31
Área hachurada exagerada
Z
.
Achando o Valor de X
Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão
=1
 = 10
0,1217
0,1217
= 5
?
X
 = 0 .31
X =   Z   = 5  0,31 10 = 8,1
Área hachurada exagerada
Z
.
Distribuições Amostrais
Distribuição Amostral
.
1. Distribuição de probabilidade teórica
2. Variável aleatória é estatística amostral

Média amostral, proporção amostral etc.
3. Resulta de se retirar todas as amostras
possíveis de um tamanho fixo
4. Lista de todos possíveis pares [`x, P(`x) ]
.
Amostragem de
Populações Normais
.
Amostragem de
Populações Normais
Tendência Central
Distribuição Populacional
= 10
x = 
Dispersão

x =
n
 = 50
X
Distribuição Amostral
n=4
 `X = 5
n =16
`X = 2,5
X- = 50
X
.
Padronizando a Distribuição
Amostral da Média
Distribuição
Amostral
X  x X  
Z=
=

x
n
Distribuição
Normal Padrão
= 1
`X
`X
`X
 =0
Z
Questão
.
A duração das ligações
telefônicas que você recebe
tem distribuição normal com
 = 8 min e  = 2 min. Se
você selecionar uma
amostra de 25 chamadas,
qual é a probabilidade da
média amostral estar entre
7,8 e 8,2 minutos?
© 1984-1994 T/Maker Co.
Solução da Distribuição Amostral
.
X   7.8  8
Z=
=
=  .50
 n 2 25
Distribuição
Amostral
X   8.2  8
Z=
=
= .50
 n 2 25
`X = .4
Distribuição
Normal Padrão
=1
0,3830
.1915 .1915
7.8 8 8.2 `X
-.50 0 .50
Z
.
Amostragem de
Populações Não-Normais
.
Amostragem de Populações
Não-Normais
Tendência Central
Distribuição Populacional
= 10
x = 
Dispersão

x =
n
 = 50
X
Distribuição Amostral
n=4
 `X = 5
n = 30
`X = 1,8
X- = 50
X
.
Teorema do Limite Central
Teorema do Limite Central
.
Quando a
amostra é
grande
(n  30) ...

x =
n
x = 
a distribuição
amostral
aproxima-se
da normal.
X