Controle Estatístico de Qualidade
Robert Wayne Samohyl
Capítulo 3 As distribuições de probabilidade mais importantes em
controle estatístico de qualidade (CEQ): variáveis mensuráveis
1
3.1 Introdução
• O conceito de distribuição de freqüências e
probabilidades de variáveis (ou mensuráveis ou
atributos), e principalmente o formato da distribuição,
é central para a utilização de estatística.
• A tendência central dos dados, a sua dispersão e
assimetria são características que definem as
distribuições, e facilitam a análise e a inspiração das
propostas para melhorias.
• O propósito do capítulo 3 é formalizar e generalizar
as definições dessas características distribucionais
para as variáveis mensuráveis e utilizá-las nas
ferramentas de controle estatístico de qualidade.
2
3.2 Distribuição normal
• Como já foi discutido no capítulo 2 sobre as
medidas descritivas e os gráficos básicos, os
dados que vem da distribuição normal produz
um agrupamento de valores observados
próximos à média, e freqüências menores
quando nos afastamos da média.
• Esse formato é facilmente visto no histograma.
3
3.2.1 Distribuições não-normais
transformáveis em normal
• Em alguns casos, ainda raros, dado o tipo de
variável sob investigação, o pesquisador não
deve esperar a distribuição normal.
• O variável tempo (duração de tempo entre
eventos), por exemplo, quase nunca é
distribuída normalmente. Veja o histograma na
próxima transparência.
4
Figura 3.1 – A distribuição de tempos de
parada de máquina esperando manutenção.
Freqüência
500
400
300
200
100
0
303
265
227
190
152
114
76
39
1
Minutos de parada da máquina
5
Transformação logarítmica
• Para resolver o problema de não normalidade, o pesquisador
pode experimentar uma transformação do dado original para um
dado distribuído normalmente.
• Para dados de tempo, a experiência diz que uma transformação
logarítmica é a melhor sugestão inicial,
• W = ln(X).
• Assim, transformando todos os dados da variável X pelo
logaritmo natural e montando o histograma dos dados
transformados (ln(X)), veja na figura 3.2, fica convincente que o
resultado é a distribuição normal.
6
Freqüência
Figura 3.2 – A distribuição de tempos de
parada de máquina após a aplicação da
transformação exponencial ln(X)
Minutos transformados
7
3.2.2 Características matemáticas da distribuição
normal: a relação entre o desvio padrão da variável e a
probabilidade
Desde que uma boa parte do mundo real tende a
se representar como a distribuição normal, as
figuras a seguir ajudam a compreender melhor a
realidade e também a conveniência prática da
distribuição normal.
8
Figura 3.3a - A distribuição normal em termos
de um único desvio padrão.
Distribuição normal em desvio padrão
68,27%
15,865 %
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
9
Figura 3.3b - A distribuição normal em termos
de dois desvios padrão.
Distribuição normal em desvio padrão
95,45%
2,275%
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
10
Figura 3.3c - A distribuição normal em termos
de três desvios padrão.
Distribuição normal em desvio padrão
99,73%
0,135%
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
11
Figura 3.3d - A distribuição normal em termos
de seis desvios padrão.
Distribuição normal em desvios padrão
0,999999998
0,000000001
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
12
Tabela 3.1 – Valores de Zi e a área acumulada,
a probabilidade de Zi ser menor.
Area
acumulada
Zi a esquerda
-6 0,000000001
-5,9 0,000000002
-5,8 0,000000003
-5,7 0,000000006
-5,6 0,000000011
-5,5 0,000000019
-5,4 0,000000033
-5,3 0,000000058
-5,2 0,000000100
-5,1 0,000000170
-5 0,000000287
-4,9 0,000000479
-4,8 0,000000793
-4,7 0,000001301
-4,6 0,000002112
-4,5 0,000003398
-4,4 0,000005413
-4,3 0,000008540
-4,2 0,000013346
-4,1 0,000020658
-4 0,000031671
Area
acumulada
Zi a esquerda
-3,9 0,000048096
-3,8 0,000072348
-3,7 0,000107800
-3,6 0,000159109
-3,5 0,000232629
-3,4 0,000336929
-3,3 0,000483424
-3,2 0,000687138
-3,1 0,000967603
-3,0 0,001349898
-2,9 0,001865813
-2,8 0,002555130
-2,7 0,003466974
-2,6 0,004661188
-2,5 0,006209665
-2,4 0,008197536
-2,3 0,010724110
-2,2 0,013903448
-2,1 0,017864421
-2,0 0,022750132
Area
acumulada
Zi a esquerda
-1,9 0,02871656
-1,8 0,035930319
-1,7 0,044565463
-1,6 0,054799292
-1,5 0,066807201
-1,4 0,080756659
-1,3 0,096800485
-1,2 0,11506967
-1,1 0,135666061
-1 0,158655254
-0,9 0,184060125
-0,8 0,211855399
-0,7 0,241963652
-0,6 0,274253118
-0,5 0,308537539
-0,4 0,344578258
-0,3 0,382088578
-0,2 0,420740291
-0,1 0,460172163
Area
acumulada
Zi a esquerda
0
0,5
0,1 0,539827837
0,2 0,579259709
0,3 0,617911422
0,4 0,655421742
0,5 0,691462461
0,6 0,725746882
0,7 0,758036348
0,8 0,788144601
0,9 0,815939875
1 0,841344746
1,1 0,864333939
1,2 0,88493033
1,3 0,903199515
1,4 0,919243341
1,5 0,933192799
1,6 0,945200708
1,7 0,955434537
1,8 0,964069681
1,9 0,97128344
Area
Area
acumulada
acumulada
Zi a esquerda Zi a esquerda
2 0,97725
4 0,999968329
2,1 0,982136 4,1 0,999979342
2,2 0,986097 4,2 0,999986654
2,3 0,989276 4,3 0,99999146
2,4 0,991802 4,4 0,999994587
2,5 0,99379 4,5 0,999996602
2,6 0,995339 4,6 0,999997888
2,7 0,996533 4,7 0,999998699
2,8 0,997445 4,8 0,999999207
2,9 0,998134 4,9 0,999999521
3 0,99865
5 0,999999713
3,1 0,999032 5,1 0,999999830
3,2 0,999313 5,2 0,999999900
3,3 0,999517 5,3 0,999999942
3,4 0,999663 5,4 0,999999967
3,5 0,999767 5,5 0,999999981
3,6 0,999841 5,6 0,999999989
3,7 0,999892 5,7 0,999999994
3,8 0,999928 5,8 0,999999997
3,9 0,999952 5,9 0,999999998
6 0,999999999
13
3.2.3 Distribuição normal padronizada (Z)
• Quando a distribuição normal é padronizada com a
média igual a zero e desvio padrão unitário, como
nas figuras 3.3, as percentagens de área embaixo
da curva podem ser avaliadas e tabeladas para
qualquer número ou fração de desvios padrão como
foi feito na tabela 3.1.
• Nesse sentido, qualquer número Xi em medidas
originais como centímetros, litros, reais ou dólares
pode ser transformado em variável padronizada
Zi
14
Zi exemplo
Voltando para tabela 2.2, a média das demoras para resolver os
problemas dos clientes é 182,89 minutos e, para ilustrar a transformação
para Zi, vamos escolher o oitavo número da lista, 325,89 minutos. O
desvio a partir da média é
325,89 – 182,89 = 143 minutos.
Então, para converter a medida original minutos em número de desvios
padrão de distância da média, é só dividir pelo valor do desvio padrão
(94,99). Assim, podemos escrever
Xi  X
143
Zi 

desvio padrão 94,99
= 1,5
15
Análise
•
Como foi exemplificado nas figuras 3.3, a área embaixo da
curva a direita de Zi (1,50) é a probabilidade P(Zi) de encontrar
valores maiores que Xi (325). A probabilidade foi encontrada na
tabela 3.1 e é quase 7% (1 – 0,933).
•
Muito provavelmente o gerente tentando investigar esse valor
individual para alguma causa especial não vai encontrar nada.
Se forem consideradas as duas caudas, a probabilidade é 14%
de encontrar valores pelo menos 1,50 desvios padrão da média
em circunstâncias perfeitamente normais com a média do
processo estável e a variabilidade embora grande, mas também
estável.
•
O problema nesse processo é com a dispersão dos dados em
geral. Talvez seja necessário treinar o pessoal e organizar
melhor todo o processo de atendimento ao cliente.
16
3.2.4 Exemplo na universidade: prêmio para os
melhores alunos
• Uma grande universidade no sul do Brasil tem
18.000 alunos, uma população grande.
Imediatamente depois de cada semestre, o reitor
gostaria apresentar um prêmio aos melhores alunos
com médias finais mais altas, mas o problema é
como reconhecer rapidamente esses alunos sem
pesquisar todos os 18.000. É reconhecido que a
administração da universidade é lenta e leva mais ou
menos um mês para processar as médias finais da
população de todas as disciplinas e alunos.
17
P(Z) = 1%
→
Zi = 2,33
Já sabemos que o valor estimado da amostra para a média das
avaliações é 7,0 e que o valor estimado do desvio padrão é 1,0.
Colocando tudo junto, temos então:
2,33 =
(Xi - média)
desvio padrão
(Xi - 7,0)
1,0
18
3.2.4 Exemplo na universidade: prêmio para os
melhores alunos
0,45
0,4
0,35
Área na cauda
a direita de
9,33 é 1,0%, os
alunos
premiáveis.
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
4
5
6
7
8
9
9,33
2
2,33
10
Xi conceitos finais
-1
0
1
Zi desvios padrão da média
.
9,33 = média + 2,33*desvio padrão
9,33 = 7,0 + 2,33*1,0
19
Figura 3.5 – Distribuição normal e distribuição
t, comparação de caudas.
distribuição normal
distribuição t
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Distância em desvios padrão
20
3.4 Algumas considerações sobre as
distribuições F e χ2 (Chi quadrado)
22
k
 2   Zi2
i 1
F(gl2 ,gl1 ) 
gl2
12
gl1
21
3.5 Exercício
6. Um engenheiro rejeita todo produto que está fora
dos limites de especificação. Nesse momento, a
linha está produzindo uma taxa de 10% de rejeito
simetricamente acima e abaixo dos limites de
especificação. No entanto, ele é descontente com
a alta taxa de rejeição e quer uma taxa ao máximo
de 2%. Ele vê duas alternativas: ou diminuir o
desvio padrão do processo ou aumentar os limites
de especificação. Qual é a alternativa mais
econômica no curto prazo?
Outra questão importante é se o engenheiro optar
para diminuir o desvio padrão do processo, qual é
a relação entre o desvio padrão novo que é menor
e o desvio padrão velho que é obviamente maior?
Elaborar sua resposta usando a distribuição normal
padronizada.
22
Resposta: Em primeiro lugar, a alteração dos limites de
especificação é sempre mais fácil que a alteração do desvio
padrão do processo, embora a base conceitual do limite de
especificação tenha mais a ver com a engenharia da peça e
não considerações comerciais.
Utilizando a distribuição normal padronizada, queremos
comparar a diferença entre o desvio padrão do processo
antes das melhorias e depois das melhorias, em outras
palavras, quanto foi diminuído o tamanho do desvio padrão.
Vamos comparar as caudas da distribuição normal
padronizada antes e depois das melhorias. Antes, a cauda é
igual a 5% e depois é igual a 1%. A distância entre o limite de
especificação e a média em unidades originais fica constante.
Antes das melhorias, a distância é 1,64 desvios padrão
velhos e depois das melhorias é 2,33 desvios padrão novos.
Em outra forma, 1,64 desvios padrão velhos = 2,33 desvios
padrão novos. A relação entre desvios padrão novos e velhos
é 1,64/2,33 = 0,7. Portanto, o desvio padrão vai ter que
diminuir em aproximadamente 30% para diminuir a taxa de
rejeição de 10% para 2%.
23
3.6 Referências
Box, George E. P.; Cox, D. R. (1964). "An analysis of
transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series
B 26: 211–246.
http://www.jstor.org/stable/2984418.
24