MATEMÁTICA
Aula 2 – Teoria dos Conjuntos
Prof. Anderson
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
CONCEITO
ƒ
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma
coleção de objetos bem definidos.
ƒ
Estes objetos são chamados de elementos ou membros do
conjunto.
ƒ
Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros
conjuntos, etc.
ƒ
Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos números inteiros.
ƒ
Os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
REPRESENTAÇÃO
ƒ
A representação de um conjunto é feita por uma letra maiúscula
do nosso alfabeto. Seus integrantes, são denominados de
elementos, são colocados entre chaves separados por vírgulas.
ƒ
Exemplos:
ƒ
•
A ={a, e, i, o, u}
•
B = {2, 3, 5}
O conjunto dos números naturais menores que 6 será:
•
ƒ
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
O conjunto pode ser determinado através de uma sentença.
•
A = {x/x é uma letra do alfabeto}
•
B = {y/y é um número}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
REPRESENTAÇÃO
ƒ
Para facilitar o entendimento de exercícios sobre Teoria dos
Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um
recinto plano delimitado por uma linha fechada.
ƒ
Tal representação recebe o nome de Diagrama de Venn.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
PERTINÊNCIA
ƒ
Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a
A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x A. (O símbolo
“ " é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por
Giuseppe Peano em 1888). O símbolo é às vezes usado para
escrever x A, ou "x não pertence a A".
ƒ
Exemplos:
•
ƒ
A = {2, 4, 6, 8}
No conjunto A, temos que:
•
2 pertence a A: 2 A
•
3 não pertence a A: 3 A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
IGUALDADE E DESIGUALDADE
ƒ
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos
elementos.
•
ƒ
Exemplo:
•
ƒ
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {x / x é ímpar, positivo,
menor que 7}, temos que: A = B
Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um
elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao
outro.
•
ƒ
A=B
A≠B
Exemplo:
•
Dados os conjuntos A = {9, 11, 13, ...} e B = {x
positivo, maior ou igual a 7}, temos que: A ≠ B
x é ímpar,
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
1
Utilizar os símbolos ∈ e ∉, relacionando os elementos com os
conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f, g}.
a
aeA
b
ueB
c
ceB
d
deA
Solução
a
a∈A
b
u∉B
c
c∈B
d
d∉A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
2. Representar abreviadamente e por extenso o conjunto A dos
múltiplos negativos de 3.
Solução
Abreviadamente: A = {x ⏐ x < 0 e x é múltiplo de 3}
Por extenso: A { ..., -12, -9, -6, -3}
3. Relacionar os conjuntos utilizando os símbolos de = ou ≠.
a
A = {1, 3, 5, 7} e B = {x ⏐ x é um número ímpar, positivo e
menor que 9}
b
A = {verde, amarelo} e B = {x ⏐ x é uma cor da bandeira do
Brasil}
Solução
A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7}; portanto A = B
A = {verde, amarelo} e B = {verde, amarelo, azul e branco};
portanto A ≠ B.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS
ƒ
Um conjunto “A” diz Sub-conjunto de um conjunto “B”, e escrevese A ⊂ B se, e somente se, todo elemento de “A” for também
elemento de “B”.
ƒ
Onde:
ƒ
A⊂B
ƒ
Lê-se: A é subconjunto de B ou A está contido em B.
ƒ
Observações:
ƒ
A ⊃ B significa que "A contém B"
ƒ
A ⊄ B significa que "A não está contido em B"
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS
ƒ
Teorema: O conjunto vazio é sub-conjunto de qualquer conjunto.
ƒ
Simbolicamente
ƒ
∅ ⊂ A, ∀ A
ƒ
Atenção
ƒ
Para relacionar elemento com conjunto, usam-se os símbolos ∈
e ∉.
ƒ
Para relacionar conjunto com conjunto, usam-se os símbolos (⊂
e ⊄ ).
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercício Resolvido
ƒ
Utilizar os símbolos ⊂ ou ⊄, relacionando os conjuntos: A = { x ⏐
x é letra do alfabeto latino}, B = {a, e, i, o, u} e C = { x ⏐ x é
consoante do alfabeto latino}
a
AeB
b
AeC
c
BeC
d
CeA
e
aeB
f
{a} e A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercício Resolvido
Solução
a
A ⊄ B (nem todo elemento de A pertence ao conjunto B)
b
A ⊄ C (nem todo elemento de A pertence ao conjunto C)
c
B ⊂ A (cada elemento de B também pertence ao conjunto A)
d
C ⊂ A (cada elemento de C também pertence ao conjunto A)
e
a ⊄ B ( a é um elemento, e como tal não pode ser sub-conjunto)
f
{a} ⊂ A (o conjunto formado pelo elemento a está contido no
conjunto A pois cada elemento do conjunto pertence também a
A)
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se. união desses
conjuntos e escreve-se A ∪ B ao conjunto constituído pelos
elementos de "A" ou de "B".
ƒ
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
ƒ
Exemplos
a) A = {1, 2, 3, 4)
B = {4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que o conjunto A
possui 4 elementos, e o
conjunto B possui 3
elementos. No entanto a
união de A e B possui 6
elementos, onde se conclui
que a união de dois
conjuntos não é a soma dos
elementos de cada um deles.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
Diagrama:
A
1
3
2
B
4
5
6
Isso se deve ao fato dos elementos
que pertencem simultaneamente
aos dois conjuntos não poderem ser
contados duas vezes. Portanto
pode-se dizer que o número de
elementos de A ∪ B é a soma dos
elementos de A com B, descontados
os elementos que pertencem aos
dois conjuntos.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
b) A = (3, 4, 5)
B = {7, 8}
A ∪ B = (3, 4, 5, 7, 8)
Diagrama:
A
3
4
6
B
7
8
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se intersecção desses
conjuntos e escreve-se A ∩ B ao conjunto constituído pelos
elementos comuns de "A" e de "B".
ƒ
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
ƒ
Exemplos
Achar o conjunto intersecção nos casos seguintes:
A = {1, 4, 6, 8, 10}
B = {2, 3, 5, 8, 10}
Então: A ∩ B = {8, 10}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
Diagrama:
A
1
4
6
B
8
10
2
3
5
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
A = {2, 4, 6, 8, 9}
ƒ
B = {4, 6}
ƒ
A ∩ B={4,6}=B
ƒ
Diagrama:
A
9
2
4
6
8
B
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
ƒ
Observação
ƒ
"Se A ∩ B = ∅, diz-se que A e B são Disjuntos".
ƒ
Exemplo
ƒ
A = {a, b, c}; B = {e, i, o}
ƒ
A ∩ B = ∅ → São Disjuntos
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
1
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} e C = {1, 3,
5}, determinar os seguintes conjuntos:
a
A∪B
b
A∪C
c
B∪C
d
A∩B
e
A∩C
f
B∩C
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
Solução
a
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c
B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
d
A ∩ B = {0, 2, 4}
e
A ∩ C = {1, 3, 5}
f
B ∩ C = {}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
1
Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄, relacione os conjuntos A = {0, -1, 3, -5}, B = {-3, 5} e C = {0, -1}
a
AeB
b
BeA
c
AeC
d
CeA
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
Solução:
a
A⊄ B
b
B⊄ A
c
A⊃C
d
C⊂A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
2
Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C =
{2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).
a
2∈B
b
{4, 5} ∈ C
c
B⊂A
d
A⊂B
e
{2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C)
f
{2, 3} ∉ C
g
2⊄A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
2
Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C =
{2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).
a
2∈BÎV
b
{4, 5} ∈ C Î F Îo conjunto está contido em C
c
B ⊂ A Î F ÎB não está contido em A
d
A ⊂ B Î V ÎObs: 0 é par por convenção
e
{2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C) Î V
f
{2, 3} ∉ C Î F Îo conjunto está contido em C
g
2 ⊄ A Î F Î2 pertence a A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
ƒ
Dados dois conjuntos “A” e “B”, chama-se diferença entre "A" e
"B" ao conjunto dos elementos de "A" que não pertençam a "B".
ƒ
A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B}
ƒ
Exemplos
ƒ
{a, b, c, d} - {a, b, c} = {d}
ƒ
{1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}
ƒ
{5, 6, 8} - {5, 6, 8} = ∅
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
ƒ
O complemento (ou complementar) de um conjunto "B" em
relação a um conjunto "A", assim se define:
ƒ
Para B ⊂ A
ƒ
CB A = A – B
ƒ
Exemplo
ƒ
A = {1, 2, 3, 4, 5}
ƒ
B = {2, 4, 5}
ƒ
CB A = A – B = { 1, 3 }
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
1
Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2} e C = {0,
-1, -2}, obter os conjuntos:
a
CA B
b
CAC
c
CB A
d
CCA
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Resolvidos
Solução
a
CA B = B – A = ∅
a
CAC = C – A = ∅
c
CBA = A – B = {-2, -1}
c
CCA = A – C = {1, 2}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
1
Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1} e C = {-2,
-3, -4}, obter os conjuntos:
a
CA B
b
CAC
c
CB A
d
CCA
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercícios Propostos
Solução
a
CA B = B – A = ∅
a
CAC = C – A = ∅
c
CBA = A – B = {-2, -3, -4}
c
CCA = A – C = {0, -1}