Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica
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Exemplo 19) Fatore c - 2bc - a + b
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Reagrupando o polinômio, teremos : b - 2bc + c - a = (b - 2bc + c ) - a
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O trinômio b - 2bc + c pode ser fatorado como : (b - c)
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E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c) - a , e finalmente, teremos :
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(b - c) - a = (b - c + a) (b - c - a)
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Exemplo 20) Fatore: 5m + 10m - 15
Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:
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5m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3)
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O trinômio m + 2m - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela
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raiz quadrada m
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de m .
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Dessa forma, teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3) = 5(m + 3) (m - 1)
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E como (m - 1) = (m + 1) (m - 1) , e como (m - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 3)(m +
1)(m + 1)(m - 1)
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Exemplo 21) Fatore: (x - y) + 2(y - x) - 24
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Antes de mais nada, lembremos que (x - y) = (y - x) ( verifique se isso é verdade )
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Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x) + 2(y - x) - 24
Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :
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(y - x) + 2(y - x) - 24 = A + 2A - 24
O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece
multiplicada pela raiz
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quadrada A de A .
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E assim : A + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y) + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y
- x - 4)
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Exemplo 22) Fatore x - y
1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
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A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y é y . Assim já temos o nosso primeiro fator x - y
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A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x é x ; o produto entre x e y é x y e o
quadrado do
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segundo é y é y .
E dessa forma, teremos:
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x - y = (x - y ) ( x + x y + y ). Como a diferença de quadrados (x - y ) ainda pode ser fatorado, teremos :
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x - y = (x + y) (x - y) ( x + x y + y ).
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Se escrevermos o trinômio ( x + x y + y ) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser
fatorado. Vejamos :
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x + x y + y = x + 2x y + y - x y = (x + y ) - x y , que é uma diferença de dois quadrados.
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Assim : (x + y ) - x y = ( x + y + xy) ( x + y - xy) = ( x - xy + y ) ( x + xy + y ). E finalmente :
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x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )
2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma
diferença de dois
quadrados.
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A raiz quadrada de x é x e a raiz quadrada de y é y .
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Assim já temos o nosso primeiro fator (x + y ) e o segundo fator (x - y ).
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Assim, teremos : x - y = (x + y ) (x - y ) .
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Como a soma e a diferença de dois cubos (x + y ) e (x - y ) ainda podem ser fatorados, teremos :
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x - y = (x + y ) (x - y ) = (x + y) ( x - xy + y ) (x - y) ( x + xy + y ) , ou ainda :
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x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar
o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.
Vamos entender melhor essa diferenciação:
Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.
Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença
verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade
.
E escrevermos :
Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identidade para todos os casos de produtos notáveis e, também,
de fatoração.
Assim, por exemplo :
Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos
I - Fatore colocando em evidência
II - Fatore os trinômios quadrados perfeitos
III - Fatore as diferenças entre quadrados
IV - Fatore os trinômios de Stevin
V - Fatore as Somas ou diferenças entre dois cubos
VI - Fatore por agrupamento
VII - Fatore as expressões algébricas
Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica