1
PRODUTOS NOTÁVEIS
A palavra produto, como você já sabe, refere-se ao resultado de uma multiplicação.
Quanto à palavra notável, ela quer dizer digno de nota, importante. Os produtos
notáveis são produtos especialmente importantes, porque aparecem muito nos
cálculos algébricos.
v O Quadrado da Soma
( a + b )2
= ( a + b ).( a + b )
= a 2 + ab + ba + b2
= a 2 + 2ab + b2
( a + b )2
= a 2 + 2ab + b2
exemplos:
a)
( x + 5 )2
b)
(x
= x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 5 + 52 = x 2 + 10x + 25
)
2
⎛ 3
⎞
c) ⎜ x + y ⎟
⎝ 5
⎠
2
3
+ 2y
=
3 2
(x )
+ 2 ⋅ x 3 ⋅ 2y + (2y) 2 = x 6 + 4x 3y + 4y2
⎛ 3 ⎞
= ⎜ x ⎟
⎝ 5 ⎠
2
3
+ 2 ⋅ ⋅ x ⋅ y + y2 =
5
9 2
6
x + xy + y2
25
5
Exercício 5: Efetue
a)
( 9x + 2 ) 2
b)
( 3y
4
+7
)
c)
( 5a
3
+ 10
)
2
1 ⎞
⎛
d) ⎜ 4m + ⎟
2 ⎠
⎝
2
2
Exercício 6: A figura representa a piscina de um clube, vista do alto. Ela é
quadrada, e ao seu redor há um piso que ocupa área de 160 m2 . Calcule a medida x
dos lados da piscina. As medidas são dadas em metros.
2
x
2
2
x
2
2
v O Quadrado da Diferença
( a − b )2
= ( a − b ).( a − b )
( a − b )2
= a 2 − ab − ba + b2
= a 2 − 2ab + b2
= a 2 − 2 ⋅ a ⋅ b + b2
exemplos:
a)
( x − 4 )2
b)
( 5x
2
= x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 42 = x 2 − 8x + 16
− 2y
)
2
2 2
(5x )
=
− 2 ⋅ 5x 2 ⋅ 2y + (2y) 2 = 25x 4 − 20 x 2 y + 4y2
Exercício 7: Desenvolva os produtos notáveis.
a)
b)
( x − 10 ) 2
( 5x − 8y )
c)
( 3x
4
− y5
)
⎛
a3
d) ⎜ 4a 2b −
⎜
5
⎝
2
2
⎞
⎟
⎟
⎠
2
v O Produto da Soma pela Diferença
( a + b ).( a − b ) = a 2 − ab + ba − b2
= a 2 − b2
( a + b )⋅ ( a − b )
= a 2 − b2
exemplos:
a) ( x + 3 ).( x − 3 ) = x 2 − 32
b)
( 2y
5
)(
+ 8 ⋅ 2 y5 − 8
)
=
= x2 − 9
5 2
(2y )
− 82 = 4 y10 − 64
Exercício 8: Desenvolva
a) ( 3x + 5 ).( 3x − 5 )
(
)(
b) x 4 − 9 ⋅ x 4 + 9
)
c)
( 2x
3
)(
− 3y2 ⋅ 2x3 + 3y2
)
3 ⎞ ⎛
3 ⎞
⎛
d) ⎜ 7 x 2 − ⎟ ⋅ ⎜ 7 x 2 + ⎟
5 ⎠ ⎝
5 ⎠
⎝
3
v O Cubo da Soma
( a + b ) 3 = (a 
+ b )( a + b )( a + b )


=
(a
2
)
+ 2ab + b2 ⋅ ( a + b )
= a 3 + a 2b + 2a 2b + 2ab 2 + b2a + b3
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
( a + b )3
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
v O Cubo da Diferença
( a − b ) 3 = (a 
− b )( a − b )( a − b )


=
(a
2
)
− 2ab + b2 ⋅ ( a − b )
= a 3 − a 2b − 2a 2b + 2ab 2 + b2a − b3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
( a − b )3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
exemplos:
a)
( x + 10 ) 3
= x3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ x ⋅ 102 + 103 = x3 + 30x 2 + 300x + 1000
b)
( 2x + 5 ) 3
=
c)
( x − 3 )3
(2x ) 3 + 3 ⋅ (2x )2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2x ⋅ 52 + 53
= 8x3 + 60x 2 + 150x + 125
= x3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ x ⋅ 32 − 33 = x3 − 9x 2 + 27 x − 27
Exercício 9: Desenvolva
a)
( 4x + 1 ) 3
2 ⎞
⎛
b) ⎜ x 2 + ⎟
3 ⎠
⎝
c)
3
( 3x − 7 y ) 3
a ⎞
⎛
d) ⎜ a 3x − ⎟
2 ⎠
⎝
3
4
Exercício 10: Efetue
a)
( x + y )⋅ ( x − y )
b)
( 2x + 3 ) 2
c)
( x + 2 )2
−
+
( x − y )2
( x + 3 )( x − 3 )
− 2⋅( x − 2
−
( x + y )2
=
=
)( x + 2 )
+
( x − 2 )2
=
Exercício 11: Em cada caso, escreva o produto notável que resulta em:
a) a 2 − 100
c) y2 − 8y + 16
b) a 2 + 2ax + x 2
d) x 2 − 9y4
Exercício 12: Utilizando os produtos notáveis, efetue.
2
a)
(
2 +3
)
b)
(
5 +3
)(
c)
(2
3− 2
d)
5 −3
)
(2
3− 2
e)
)2
f)
)( 2
3+ 2
)
4+ 7 ⋅ 4− 7
(
)(
a+ b ⋅
a− b
)
FATORAÇÃO
Fatorar um polinômio é escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais
polinômios.
Muitas vezes a fatoração de um polinômio é evidente porque esse polinômio resulta
de multiplicações conhecidas. Por exemplo, fatorar x 2 + 2xy + y2 é simples,
quando reconhecemos que esse polinômio é
( x + y ) 2.
5
a 2 − b2
v Diferença de Quadrados
exemplos:
( a − b )⋅ ( a + b )
=
a) x 2 − 25 = ( x + 5 )( x − 5 )
b) 49 x 2 −
1
4
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
⎛
= ⎜ 7 x + ⎟ ⋅ ⎜ 7 x − ⎟
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
Exercício 14: As seguintes expressões são diferenças de dois quadrados. Fatore-as.
a) 81 x 2 − 64
c) 9a 6b4 − 169
b) 4 x 2 − 25 a 2
d) 4a 8 −
e) x 4 − 16
f) 625 − 81a 4
25b6
16
v Trinômio Quadrado Perfeito
a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b2
=
(a + b )2
a 2 − 2 ⋅ a ⋅ b + b2
=
(a − b )2
Mas, atenção! Como você verá nos exemplos, há trinômios que são quadrados
perfeitos e outros que não são.
exemplo: x 2 + 12x + 36 é trinômio quadrado perfeito ?
Para responder, inicialmente verificamos se dois termos do trinômio são quadrados.
Neste caso, x 2 e 36 são quadrados. Suas bases são x e 6.
x 2 + 12.x + 36
↑
quadrado
de x
↑
quadrado
de 6
6
Agora multiplicamos por 2 o produto das bases para verificar se o resultado é igual ao
termo restante.
x 2 + 12.x + 36
↓
↓
x
6
2.x.6
Neste caso, o produto 2.x.6 é igual ao termo restante 12x.
Logo, x 2 + 12x + 36 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é
( x + 6 )2 .
x 2 + 12x + 36 =
( x + 6 )2
exemplo: x 2 − 8x + 16 é trinômio quadrado perfeito ?
x 2 − 8.x + 16
↓
↓
x
4
2.x.4
Neste caso, o produto 2.x.4 é igual ao termo restante 8x ( sem o sinal − )
Logo, x 2 − 8x + 16 é trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é
x 2 − 8x + 16 =
( x − 4 )2
exemplo: 9 x 2 − 12x + 25 é trinômio quadrado perfeito ?
9 x 2 − 12.x + 25
↓
↓
3x
5
2.3x.5
( x − 4 )2 .
7
Neste caso, o produto 2.3x.5 não é igual ao termo restante 12x.
Logo, este trinômio não é quadrado perfeito.
Exercício 15: As expressões seguintes são trinômios quadrados perfeitos. Fatore
cada uma delas.
a) x 2 + 10x + 25
d) 25 m2 + 20m + 4
b) x 2 − 10x + 25
e) x 2 + x +
c) 9 x 2 − 12x + 4
f) x 2 −
1
4
2xy 3 y6
+
3
9
Exercício 16: Desejamos que todas as expressões dadas a seguir sejam trinômios
quadrados perfeitos. No lugar de
a) x 2 −
d) x 2 − 14x +
+4
b) 16 x 2 +
c) x 4 −
, que monômio devemos escrever ?
e) x 2 + 5x +
+ 49
+ 9y2
f) x 4 − 12 x 2 y2 +
Exercício 17: Fatore o numerador e, a seguir, simplifique a fração.
x 2 − 16 x + 64
a)
x −8
c)
x 2 − 16
b)
x+4
x 2 + 6x + 9
d)
x+3
25x 2 − 10 x + 1
( 5x − 1 ) 2
v Trinômio do 2º Grau
Se x1 e x 2 são as raízes da equação
a x 2 + bx + c = 0 , então a fatoração do
trinômio de 2º grau a x 2 + bx + c é dada por:
8
a, b, c ∈ R
a x 2 + bx + c = a.( x − x1 ).( x − x 2 )
a
≠0
exemplo: Fatore 3 x 2 − 7x + 2
3 x 2 − 7x + 2 = 0
Δ = b2 − 4ac = (− 7) 2− 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 49 − 24 = 25
⎧x = 2
−b ± Δ
− (− 7 ) ± 25
7 ± 5 ⎪ 1
x =
=
=
1
⎨
2⋅a
2⋅3
6
⎪⎩x 2 = 3
Logo,
1 ⎞
⎛
3 x 2 − 7x + 2 = 3 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ⎜ x − ⎟
3 ⎠
⎝
exemplo: Fatore x 2 + 2x − 15
x 2 + 2x − 15 = 0
Δ = b2 − 4ac = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 15) = 4 + 60 = 64
x =
−b ± Δ
2⋅a
Logo,
=
− 2 ± 64
2 ⋅1
− 2 ± 8 ⎧x1 = 3
⎨
2
⎩x 2 = − 5
=
x 2 + 2x − 15 = 1.( x − 3 ).[ x − (−5) ] = ( x − 3 ).( x + 5 )
exercício 18: Fatore
a) 2 x 2 − 3x + 1
c) 3 x 2 + 7x − 6
b) x 2 − 3x − 28
d) x 2 + 6x + 9
Exercício 19: Fatore o numerador e/ou o denominador e, depois, simplifique a
fração.
a)
5x 2 + 14 x − 3
x+3
b)
x 2 − 7x − 8
x2 −1
c)
6x 2 − 13x + 2
x 2 − 4x + 4
9
v Fator Comum
exemplo: Considere a expressão 5x + 5y + 5z .
Na expressão acima , os três termos estão multiplicados por 5. Dizemos que o
número 5 é o fator comum da expressão. Para fatorar a expressão, basta colocar o
fator comum em evidência.
5x + 5y + 5z = 5.( x + y + z )
exemplo: Fatore a expressão ax − ay + a
ax − ay + a = ax − ay + 1.a = a.( x − y + 1 )
exemplo: Na expressão 15x 4 − 35x 2 y + 25x3 , o fator comum é 5x 2 .
(
15x 4 − 35x 2 y + 25x3 = 5x 2 ⋅ 3x 2 − 7 y + 5x
)
exercício 20: Fatore as expressões, colocando o fator comum em evidência.
a) ax + bx + cx
e) 3.( x + 2 ) − 5y.( x + 2 )
b) 14xy − 21xz
f) a.( m − 3 ) + b.( m − 3 )
c) 4ax 3 + 6a 2 x 2 + 2a 3x 4
3.( a + b )
g) x 2 .( a + b ) − x.( a + b ) +
d) 80 x 5 + 64 x 3y
h) −2 a 2 x 2 − 2abx − 2ac
Exercício 21: Fatore completamente, utilizando dois ou mais casos de fatoração.
a) x3 − a 2x
=
(
x ⋅ x2 − a 2
)
fator comum
em evidência
b) 16 y − a 2 y
=
x ⋅ ( x + a )⋅ ( x − a )
diferença de quadrados
d) x 2 .( a + b ) − 4.( a + b )
10
c) x3 − 6x 2 y + 9xy 2
e) 7 x 4 − 28x 3 + 21x 2
v Agrupamento
Para fatorar uma expressão por agrupamento, procedemos da seguinte forma:
a) formamos grupos com os termos da expressão;
b) em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;
c) colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos.
exemplo: Fatore ax + bx + 2a + 2b.
=
ax
+ bx
a
+
2b

 + 2
x.( a + b ) + 2.( a + b )
=
( a + b ).( x + 2 )
exemplo: Fatore x 2 − ay + xy − ax .
x 2 + xy − ay − ax


 


=
x.( x + y ) − a.( y + x )
=
( x + y ).( x − a )
Veja outra maneira de resolver este exercício:
2
x
−
ax − ay + xy



=
x.( x − a ) + y.( −a + x )
=
( x − a ).( x + y )
exemplo: Fatore y3 − 5y2 + y − 5 .
y3 − 5 y 2 + y − 5


 
=
y 2 ( y − 5 ) + 1.( y − 5 )
=
( y − 5 )( y 2 + 1 )
Exercício 22: Fatore por agrupamento.
a) am + an + bm + bn
e) x 2 y − 2x + xy − 2
b) 2x + ay + 2y + ax
f) ax − 4a + 6x − 24
c) y3 − 3y2 + 4y − 12
g) x 3 − ax 2 − 3bx + 3ab
11
h) a 2 y − a 3 + 3ab − 3by
d) ax + 2a + x + 2
Exercício 23: Fatore o numerador e/ou denominador e, depois, simplifique as
frações.
a)
b)
c)
d)
2x 4 − 9x 3
e)
x3
ax + bx
ay + by
f)
x+4
g)
x 2 − 16
x 2 − 36
h)
x 2 − 12 x + 36
x 2 + 7 x + 10
x 2 − 25
ax + bx + ay + by
x 2 + 2xy + y2
x 3 + x 2 − 4x − 4
x2 − 4
2a − 2b
b−a
v Soma e Diferença de Cubos
exemplos:
a) x3 + 8 = x3 + 23 =
b)
x3 − 1000 = x3 − 103 =
a 3 + b3 =
( a + b ) ⋅ (a 2 − ab + b2 )
a 3 − b3 =
( a − b ) ⋅ ( a 2 + ab + b2 )
( x + 2 )⋅ ( x 2 − x ⋅ 2 + 22 )
( x + 2 )( x 2 − 2x + 4 )
=
( x − 10 )⋅ ( x 2 + x ⋅10 + 102 )
=
( x − 10 )⋅ ( x 2 + 10x + 100 )
Exercício 24: Fatore
a) x3 + 1
d) x 3 − 125
b) m3 + 27
e) a 3 −
c) 8a 3 + x 3
f) x 6 − 64
1
8