Exercícios de Mecânica Quântica I
Ano lectivo 2005/2006, semestre par
Docente: Prof. Alfred Stadler
Série de exercícios No. 5, a preparar para 23/03/2006
20. Mostre explicitamente que os estados estacionários duma partícula num poço innito
unidimensional (entre
x=0
e
x = a),
r
ψn (x) =
são ortogonais, i.e.,
Z
2
nπx
sin
,
a
a
∞
∗
ψm
(x)ψn (x)dx = δmn .
−∞
21. Mostre que para o caso duma partícula num poço innito não se obtêm soluções aceitáveis da equação de Schrödinger independente do tempo com
E = 0 ou E < 0.
(Embora
isso já foi mostrado em geral, trate deste caso particular da seguinte maneira: resolva
primeiro a equação de Schrödinger e depois mostre que não é possível satisfazer as
condições de fronteira.)
22. Uma partícula num poço innito de potencial encontra-se inicialmente numa mistura
dos primeiros dois estados estacionários:
Ψ(x, 0) = A [ψ1 (x) + ψ2 (x)] .
(a) Normalize
Ψ(x, 0)
ortogonalidade de
(b) Determine
(c) Calcule
hxi.
e
A
isso é fácil quando se utiliza a
ψ2 .)
|Ψ(x, t)|2 ; escreva a densidade
2
2
tempo, usando ω ≡ π h̄/2ma .
Ψ(x, t)
senusoidal do
(i.e., determine a constante
ψ1
e
da probabilidade como função
Repare que oscila no tempo. Qual é a frequência angular e a ampli-
tude da oscilação?
(d) Calcule
hpi
(da maneira mais rápida).
(e) Quando a energia é medida, quais são os valores
possíveis
que se podem obter, e
quais são as probabilidades respectivas? Calcule também o valor espectável de
e compare com as energias
E1
e
H
E2 .
23. Embora a fase total da função de onda não tem signicado (porque se corte no cálculo
de qualquer grandeza observável), uma fase
alteremos a fase relativa entre
ψ1
e
ψ2
relativa
tem importância. Como exemplo,
no exercício anterior:
Ψ(x, 0) = A ψ1 (x) + eiφ ψ2 (x) ,
onde
φ
é uma constante. Calcule
anterior. Considere em particular
Ψ(x, t), |Ψ(x, t)|2 e hxi, e
os casos φ = π/2 e φ = π .
compare com o resultado
24. Uma partícula num poço innito é descrita pela função de onda inicial
Ψ(x, 0) =
(a) Faça um gráco de
(b) Determine
Ψ(x, 0)
Ax,
0 ≤ x ≤ a/2,
A(a − x), a/2 ≤ x ≤ a.
e determine a constante
A.
Ψ(x, t).
(c) Qual é a probabilidade de uma medição da energia resultar em
(d) Calcule o valor espectável da energia.
E1 ?