Lista 01 - Mecânica Geral
1.1 - Assumindo que a massa de uma particula e a força atuando sobre ela não se alteram, mostre que a segunda Lei de
Newton é invariante sob(as seguintes transformações:
~r →~r0 =~r + ~R, ~R constante,
a) Translação espacial: 0
t = t.
(
~r →~r0 =~r +~vt, ~v constante,
b) Transformação de Galileu: 0
t = t.
(
0
~r =~r,
c) Reversão temporal:
t → t 0 = −t.
(
~r0 =~r,
d) Translação temporal:
t → t 0 = t + τ, τ constante.
1.2 - Uma mola é usada para acelerar cavaletes em um trilho de ar. Com a mola na horizontal e uma extremidade
em contato com a traseira do cavalete, empurra-se a mola de modo que ela fique com um comprimento (após contrair-se)
constante. Realizando o procedimento no primeiro cavalete, de massa 100 g, nota-se que, partindo do repouso, ele percorre 4 m em 2 s. Seguindo exatamente o mesmo procedimento no segundo cavalete, mede-se que ele percorre 3 m em 2 s.
Calcule a massa do segundo cavalete.
1.3 - Quando uma força constante de 700 N atua horizontalmente sobre um homem, inicialmente em repouso, em uma
pista de gelo (desconsidere o atrito), este atinge 10 m/s após deslocar-se 5 m. O homem dispõe de um dinamômetro calibrado na superfície da Terra, mas que, no entanto, tem uma escala dada em kg. Obtenha a leitura do dinamômetro quando
o homem suspende-se nele, nas seguintes situações (considere a aceleração da gravidade 10 m/s2 ):
a) Na superfície da Terra.
b) Em um elevador acelerado a 2 m/s2 para cima, próxima à superfície da Terra.
c) Em um elevador acelerado a 2 m/s2 para baixo, próximo à superfície da Terra.
d) Identifique, nas situações acima, o que é massa inercial, massa gravitacional e peso.
1.4 - Calcule o trabalho da força ~F = −k(xî + y jˆ), no deslocamento de (x1 , y1 ) até (x2 , y2 ), através dos seguintes caminhos, os quais são compostos por seções retas:
a) (x1 , y1 ) → (x2 , y1 ) → (x2 , y2 ).
b) (x1 , y1 ) → (x1 , y2 ) → (x2 , y2 ).
c) (x1 , y1 ) → (x2 , y2 ), ao longo da reta x = y.
1.5 - Um triângulo isósceles, ABC, reto, de 45o , tem uma hipotenusa AB de comprimento 4a. Uma partícula é submetida a uma força que a atrai para o ponto O localizado sobre a hipotenusa, à distância a do ponto A. O módulo da força
é igual a k/r2 , onde r é a distância da partícula ao ponto O. Calcule o trabalho realizado por esta força quando a partícula
se move:
a) De A para C e de C para B ao longo dos dois catetos do triângulo.
b) Ao longo da hipotenusa.
1.6 - Calcule o trabalho realizado pela força ~F = −x jˆ após o deslocamento (x = 0, y = R) → (0, −R), através dos seguintes
deslocamentos:
a) Semi-círculo, sentido horário.
b) Semi-círculo, sentido anti-horário
î+x jˆ
1.7 - Calcule o trabalho realizado pela força ~F = −y
nos deslocamentos:
x2 +y2
a) (x = 1, y = 0) → (−1, 0), ao longo do semi-círculo unitário, sentido anti-horário.
b) (x = 1, y = 0) → (−1, 0), ao longo do semi-círculo unitário, sentido horário.
c) (−1, 0) → (1, 0) ao longo do semi-círculo unitário, sentido anti-horário.
d) (−1, 0) → (1, 0) ao longo do semi-círculo unitário, sentido horário.
1.8 - Calcule o trabalho realizado pela força ~F = y2 î + x2 jˆ no deslocamento (x = 1, y = 0) → (−1, 0) ao longo da elipse
ax2 + y2 = a2 . Determine o parâmetro a (ou seja, determine a elipse) para o qual o trabalho é mínimo.
1
1.9 - Um bloco de massa m escorrega por um plano inclinado de ângulo θ. O coeficiente de atrito entre o bloco e o
plano é µ0 . Calcule a velocidade do bloco ao atingir z = 0, após ser liberado do repouso em z = h. Qual o vínculo entre o
ângulo de inclinação e µ0 para que o bloco chegue ao final da rampa?
1.10 - O material do plano inclinado do problema anterior é não uniforme, de modo que o coeficiente de atrito entre
o bloco e o plano varia de acordo com µ = µ0 z, onde z é a altura em relação à horizontal. Calcule a velocidade do bloco
ao atingir z = 0, após ser liberado do repouso em z = h. Qual o vínculo entre o ângulo de inclinação, a altura h e µ0 para
que o bloco chegue ao final da rampa?
1.11 - Mostre que se o trabalho da força ~F(~r) se anula em qualquer caminho fechado, então a força é conservativa.
1.12 - Mostre que a adição de uma constante à energia potencial não altera a dinâmica de uma partícula.
1.13 - Considere uma partícula sob ação da força ~F = ~F c + ~F nc , onde é ~F c conservativa e ~F nc é não-conservativa. Mostre
~ nc v, onde E é a energia mecânica da particula e ~v sua velocidade.
que dE
dt = F ·~
1.14 - Seja a força ~F = (3ayz3 −20bx3 y2 )î + (3axz3 −10byx4 ) jˆ + 9axyz2 k̂. Mostre que ~F é conservativa e calcule a energia potencial U(x, y, z) associada, definindo U(0, 0, 0) = 0.
1.15 - Uma partícula movimentando-se no plano xy é atraída para a origem das coordenadas por uma força cujo módulo é F = kx.
a) Calcule o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca desde a origem (0, 0) até o ponto (a, 2a) ao
2
longo da parábola y = 2xa .
b) Verifique se esta força é conservativa ou não.
400
k 2 2
k 2 2
2 2
2 2
3 g; 1.3a) 70 kg, 1.3b) 84 kg, 1.3c) 56 kg; 1.4a) W = − 2 (x2 −x1 + y2 −y1 ), 1.4b) W = − 2 (x2 −x1 + y2 −y1 ), 1.4c)
2k
2k
πR2
πR2
k 2 2
2
2
W = − 2 (x2 −x1 + y2 −y1 ); 1.5a) W = − 3a , 1.5b) W = − 3a ; 1.6a) W = 2 , 1.6b) W = 2 ; 1.7a) W = π, 1.7b) W = −π,
q
p
1.7c) W = π, 1.7d) W = −π; 1.8) W = 2a( 32 − a), a = 16; 1.9) v = (1−µ0 cot θ)2gh ; 1.10) v = (1 − µ20 h cot θ)2gh;
√
2
1.14) U(x, y, z) = 5bx4 y2 −3axyz3 ; 1.15a) − ka
12 (7 5 + 1);
R: 1.2)
2