Capítulo 36
Difração
Física IV
Difração
Sears – capítulo 36
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
A difração é um fenômeno essencialmente ondulatório,
ou seja, acontece apenas porque a luz é uma onda e é
observado também em outros tipos de onda.
A difração pode ser definida, sem muito rigor, como o
alargamento sofrido por um feixe luminoso ao passar por
uma fenda estreita. Algo mais acontece, porém, já que a
difração, além de alargar um feixe luminoso, produz uma
série de franjas claras e escuras que constituem a
chamada figura de difração.
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
Todos os pontos de uma frente de onda se comportam
como fontes pontuais para ondas secundárias.
http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/propagation/huygens3.html
Capítulo 36
Difração
Difração e a Teoria Ondulatória da Luz
http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda
Capítulo 36
Difração
Princípio de Huygens-Fresnel
Huygens: “(...) cada partícula do meio através do qual a
onda evolui não só transmite o seu movimento à partícula
seguinte, ao, longo da reta que parte do ponto luminoso,
mas também a todas as partículas que a rodeiam e que se
opõem ao movimento. O resultado é uma onda em torno de
cada partícula e que a tem como centro”.
Fresnel: As componentes da onda em
direções
fora
da
direção
de
propagação
sofrem
interferência
destrutiva, gerando outra frente de
onda que segue o padrão anterior.
Princípio de Huygens-Fresnel
Capítulo 36
Difração
A fonte e a tela estão relativamente próximas do
obstáculo que produz a difração.
Capítulo 36
Difração
Princípio de Huygens-Fresnel
Capítulo 36
Difração
Difração Fraunhofer
A distância entre a
fonte, o obstáculo e a
tela são suficientemente
grandes para que todas
as retas que ligam
pontos do obstáculo
com pontos da tela
possam
ser
considerados paralelos.
As ondas luminosas são desviadas ao passarem pela superfície de
uma esfera, produzindo um ponto claro no centro da sombra da esfera,
conhecido como Ponto Claro de Fresnel.
Capítulo 36
Difração
Difração Fraunhofer
Raios paralelos
provenientes de
uma
fonte de luz
coerente
(no plano focal obj.
de uma
lente convergente)
Capítulo 36
Difração
Difração Fraunhofer
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
Em primeiro lugar, dividimos
mentalmente a fenda em duas
regiões de mesma largura a/2.
Em seguida, estendemos até P1
um raio luminoso r1 proveniente
da extremidade superior da
região de cima e um raio
luminoso r2 proveniente da
extremidade superior da região
de baixo. Para que haja
interferência destrutiva no ponto
P1, devemos ter
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
Em primeiro lugar, dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma
largura a/2. Em seguida, estendemos até P1 um raio luminoso r1 proveniente da
extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r2 proveniente da
extremidade superior da região de baixo. Para que haja interferência destrutiva
no ponto P1, devemos ter
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
A posição da segunda franja escura pode ser determinada da
mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, dividimos a fenda em
quatro regiões de mesma largura
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
No caso geral,
Capítulo 36
Difração
Difração por uma Fenda: Posições dos Mínimos
Capítulo 36
Difração
Exemplo 36.1 – Difração de fenda simples
Você faz um feixe de luz laser de 633 nm incidir sobre uma fenda
estrita e observa a figura de difração sobre uma tela situada a uma
distância de 6,0 m. Você verifica que é de 32 mm a distância entre o
centro do primeiro mínimo central e o centro do primeiro mínimo
abaixo do máximo central. Qual a largura da fenda?
Neste caso, a distância entre os pontos sobre a tela é muito menor do
que a distância entre a tela e a fenda, de modo que o ângulo 
mostrado na FIGURA 36.5a é muito pequeno. Logo, podemos usar a
𝑚
relação aproximada fornecida pela equação
𝑦𝑚 = 𝑥
para
𝑎
encontrar a largura da fenda.
Capítulo 36
Difração
Exemplo 36.1 – Difração de fenda simples
O primeiro mínimo corresponde a m=1. A distância y1 entre o máximo
central e o primeiro mínimo é igual à metade da distância entre os
dois primeiros mínimos, logo, y1 = (32 mm)/2.
𝑚
𝑥
6,0 . 633 . 10−9
𝑦𝑚 = 𝑥
→𝑎=
=
𝑎
𝑦1
32 . 10−3
a= 2,4 . 10−4 𝑚 = 0,24 𝑚𝑚
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada
com Luz Branca
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada
com Luz Branca
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada
com Luz Branca
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada
com Luz Branca
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Figura de Difração de uma Fenda Iluminada
com Luz Branca
Capítulo 36
Difração
Verificação
Produzimos uma figura de difração em uma tela
iluminando uma fenda longa e estreita com luz azul. A
figura se dilata (os máximos e mínimos se afastam do
centro) ou se contrai (os máximos e mínimos se
aproximam do centro) quando (a) substituímos a luz
azul por uma luz amarela ou (b) diminuímos a largura da
fenda?
Verificação
Capítulo 36
Difração
(a)
The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html
Verificação
Capítulo 36
Difração
(a)
The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html
Verificação
Capítulo 36
Difração
(b)
The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html
Verificação
Capítulo 36
Difração
(b)
The Optics project: http://webtop.msstate.edu/index.html
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Intensidade relativa da figura de
difração de uma fenda para três
valores da razão a/λ. Quanto
maior é a fenda, mais estreito é o
máximo central.
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Capítulo 36
Difração
As intensidades são dadas por:
onde
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2
𝛽 𝜋𝑎
=
𝑠𝑒𝑛𝜃
2

Os mínimos são dados por
𝛽
= 𝑚𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1, 2, 3, …
2
𝜋𝑎
𝑚𝜋 =
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1, 2, 3, …

𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1,2, 3, … (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠; 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑠)
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑𝟔. 𝟖 Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante
E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no
interior da fenda.
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑𝟔. 𝟖 Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante
E na difração da fenda única. Cada fasor representa o campo E de uma única faixa no
interior da fenda.
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
1
𝐸𝑃
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
2
2𝑅
𝐸0
𝛽=
𝑅
𝐸0
1
𝐸𝑃 =
𝑠𝑒𝑛 𝛽
1
2
𝛽
2
𝐼
𝐸2
= 2
𝐼0
𝐸0
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
Fenda única
2
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Capítulo 36
Difração
Do capitulo anterior, a diferença de fase é dada por:
2𝜋
=
(𝑟2 − 𝑟1 )

Da figura, a diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e
𝑎
o raio que sai do meio da fenda é dada por:
𝑟2 − 𝑟1 =
=
2
𝑠𝑒𝑛𝜃
2𝜋
𝜋
𝑟2 − 𝑟1 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃


A diferença de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que
sai da extremidade inferior da fenda é igual ao dobro desse valor
2𝜋
𝛽=
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Capítulo 36
Difração
Fenda única
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2𝜋
𝛽=
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

2
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Capítulo 36
Difração
As franjas escuras da figura de difração correspondem a I = 0. Esses
pontos correspondem quando o numerador da equação
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2
Pela equação
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃

é zero, ou seja,  é múltiplo de 2.
𝛽=
2𝜋
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃, essa condição corresponde a

= 𝑚 (𝑚 = ±1, ±2, ...)
𝑚
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎
(𝑚 = ±1, ±2, ...)
Capítulo 36
Difração
Verificação
Dois comprimentos de onda,
650 e 430 nm, são usados
separadamente
em
um
experimento de difração por
uma fenda. A figura mostra os
resultados na forma de gráficos
da intensidade I em função do
ângulo q para as duas figuras de
difração.
Se
os
dois
comprimentos de onda forem
usados simultaneamente, que
cor será vista na figura de
difração resultante (a) para o
ângulo A e (b) para o ângulo B?
I

0
A B
Verificação
Capítulo 36
Difração
Lembrando:
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 , 𝑚 = 1, 2, 3, … (𝑚𝑖𝑛. −𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑟𝑎𝑠)
Portanto:
I
=650nm
=430nm

0
A B
só vermelho
só azul
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2𝜋
𝛽=
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

2
Capítulo 36
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por
uma Fenda: Método Quantitativo
Capítulo 36
Difração
Exemplo 36.2 – Intensidade I
a) Em uma figura de difração da fenda única, qual é a intensidade
em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas
secundárias provenientes do topo da parte superior da fenda é igual
a 66 rad?
𝛽 = 66 rad,
𝛽
2
= 33 𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2
𝑠𝑒𝑛(33𝑟𝑎𝑑)
= 𝐼0
33𝑟𝑎𝑑
2
= 9,3.10−4 𝐼0
b) Se esse ponto está 7º afastado do máximo central, quantos
comprimentos de ondas de largura tem a fenda?
2𝜋
𝛽
(66 𝑟𝑎𝑑)𝜆
𝛽=
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑎 =
=
= 86

2𝜋𝑠𝑒𝑚𝜃
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑛 7°
Exemplo 36.3 – Intensidade II
Capítulo 36
Difração
Na experiência descrita no exemplo 36.1, qual é a intensidade em
um ponto sobre a tela a uma distancia de 3 mm do centro da figura
de difração? A intensidade no centro é igual a I0.
𝑦 3.10−3
𝑡𝑔𝜃 = =
= 5.10−4 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑔𝜃 = 𝜃 = 5.10−4 𝑟𝑎𝑑
𝑥
6
Do exemplo 36.1, a= 2,4 . 10−4 𝑚 = 0,24 𝑚𝑚 𝑒  = 633 𝑛𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜃)/𝜆
𝐼 = 𝐼0
𝜋𝑎(𝑠𝑒𝑛𝜃)/𝜆
𝑠𝑒𝑛 0,60
𝐼 = 𝐼0
0,60
2
𝑠𝑒𝑛 𝜋. 2,4 . 10−4 (5.10−4 )/633.10−9
→ 𝐼 = 𝐼0
𝜋. 2,4 . 10−4 (5.10−4 )/633.10−9
2
= 089𝐼0
2
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de
Difração de uma Fenda
Capítulo 36
Difração
Exemplo: Intensidades dos Máximos da Figura de
Difração de uma Fenda
Difração
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma
Fenda: Método Qualitativo
Capítulo 36
Difração por uma abertura circular
Capítulo 36
Difração
Importante: aberturas
sistemas ópticos
Primeiro mínimo:
d
Disco de Airy
(círculo central)
Difração por uma abertura circular
Capítulo 36
Difração
Critério de resolução de Rayleigh
A mínima separação angular
possível de ser resolvida ou o
limite angular de resolução é:
máximo do disco de Airy de
uma das fontes coincide com o
primeiro mínimo do padrão de
difração da outra fonte. Como
ângulos são pequenos:
Difração por uma abertura circular
Capítulo 36
Difração
Critério de resolução de Rayleigh
Maior aproximação
Difícil separação
Difração por uma abertura circular
Capítulo 36
Difração
Critério de resolução de Rayleigh
Difração por uma abertura circular
Capítulo 36
Difração
Verificação
Suponha que você mal consiga resolver dois pontos
vermelhos por causa da difração na pupila do olho. Se a
iluminação ambiente aumentar, fazendo a pupila diminuir
de diâmetro, será mais fácil ou mais difícil distinguir os
pontos? Considere apenas o efeito da difração.
Lembrando:
Portanto diminuindo d ficaria mais difícil resolver as duas
fontes.
Capítulo 36
Le Pont de Courbevoie 1886-1887
Difração
Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
O pintor neoimpressionista Georges Seurat (final do século XIX) pertencia à
escola do pontilhismo. Suas obras consistiam em um enorme número de
pequenos pontos igualmente espaçados (aprox. 2,54 mm) de pigmento puro.
A ilusão da mistura de cores é produzida somente nos olhos do observador. A
que distância mínima de uma pintura como esta deveria o observador estar
para observar a mistura desejada de cores?
Capítulo 36
Difração
Exercício 1. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
O diâmetro da pupila humana varia com certeza, mas tomando uma
média para situação de claridade, como sendo de aproximadamente
2 mm, para um comprimento de onda de 550 nm:
Onde l é 2,54mm, a distância entre os pigmentos, e d a distância do
observador, portanto:
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 2. Pinturas Pontilhistas e a Difração da Pupila
Capítulo 36
Difração
Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes
Capítulo 36
Difração
Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes
Capítulo 36
Difração
Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes
Capítulo 36
Difração
Exercício 3. O Critério de Rayleigh para Resolver Dois Objetos Distantes
Capítulo 36
Difração
Difração por Duas Fendas
onda
incidente
Difração por Duas Fendas
Capítulo 36
Difração
Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência

=
Difração por Duas Fendas
Capítulo 36
Difração
Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência

→ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒𝑠
2
i.
𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2
ii.
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2)
𝐼 = 𝐼0
𝛽/2
2
→ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑜𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎
Difração por Duas Fendas
Difração
Distribuição de Intensidade: Difração Fenda Única + Interferência
A intensidade é proporcional
ao produto de i e ii
𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠
2
𝑠𝑒𝑛 (𝛽/2) 2
2
𝛽/2
Capítulo 36
(duas fendas com larguras finitas)
𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒:
𝜙
2
=
𝜋𝑑
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜆
𝑒
𝛽
2
=
𝜋𝑎
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜆
Capítulo 36
Difração
Redes de Difração
Capítulo 36
Difração
Redes de Difração
Redes de Difração
Capítulo 36
Difração
Diferença de caminho entre dois raios de fendas adjacentes
(mesmo procedimento adotado para interf. em fenda dupla):
d sen   m  (m  0, 1, 2,...)
m = 0 (máximo central): é o mesmo para todos os comprimentos de onda.
Capítulo 36
Difração
Redes de Difração
Capítulo 36
Difração
Difração de raios-x
R-x
  1Å
Difração de raios-x
Capítulo 36
Difração
R-x
  1Å
Raios-x
Cristal
Tubo de
raios-x
Colimador
Filme
fotográfico
Difração
Difração de raios-x
Fenômeno de espalhamento da radiação eletromagnética,
provocada pela interação entre o feixe de raios-X incidente e os
elétrons dos átomos componentes de um material .
Feixe difratado
Capítulo 36
Raios X
Feixe atravessa o cristal
Difração de raios-x: lei de Bragg (1913)
Feixe refletido
Difração
Feixe incidente
Capítulo 36
Plano superior
Plano inferior
(lei de Bragg)
Difração de raios-x: lei de Bragg
Difração
λ
θ
m = 2 d sen()
θ
d
Diferença dos caminhos e/ raios
Capítulo 36
d
d senθ
d senθ
Parâmetro experimental:
 - Comprimento de onda da radiação ( 1.54 A)
Parâmetros da amostra:
d - distância entre planos atômicos
 - orientação desses planos em relação ao feixe, ângulo de Bragg
m - ordem de difração (numero inteiro 1,2,3)
Difração de raios-x: lei de Bragg
Capítulo 36
Difração
Quem cumpre essas condições?
Material
Radiação Incidente
Materiais cristalinos
(rede cristalina)
Raios X
d = 5 – 15 Å
λ≈1Å
Capítulo 36
Difração
Difração de raios-x: lei de Bragg
(a) A estrutura cúbica do NaCl, mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária
(sombreada). (b) Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em (a).
Os raios X são difratados como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos,
com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência, ambos medidos em relação aos
planos (e não em relação à normal, como na ótica). (c) A diferença de percurso dos raios
refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ.
Capítulo 36
Difração
Exercício
Raios-X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de
segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de
Bragg de 28o. Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos
responsáveis pela reflexão?