Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Prova Específica de Matemática
Exame Especial de Acesso ao Ensino Superior
Duração: 2h+ 30min tolerância
06/06/2014
Primeira Parte
- As cinco questões desta parte são de escolha múltipla.
- Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
- Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à sua resposta, para cada questão.
- Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada.
- Não apresente cálculos.
1. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória e A e B dois
acontecimentos tais que A ⊂ Ω e B ⊂ Ω. Sabe-se que ∩ = 0,02 e que / =0,1.
A probabilidade de A não se realizar é:
(A) 0,2
(B) 0,98
(C) 0,02
(D) 0,8
= 5.
2. Considere o triângulo [ABC] representado na figura, tal que = √2 e O valor da sua área é:
(A) 5
(B) 1,25
(C) 2,5
(D) Nenhum dos valores anteriores
3. Considere o intervalo de números reais = −2, 2.
O intervalo I é o conjunto solução da inequação:
(A)
>0
(B)
>0
(C)
>0
(D)
>0
4. Considere a função real de variável real definida por ! = 2"#!.
O domínio de
(A) ℝ
é:
(B) ℝ
%
(C)ℝ
(D) Nenhum dos conjuntos anteriores
5. A soma dos 100 primeiros números naturais é
(A) 5050
(B) 5000
(C) 10100
(D) Nenhum dos valores anteriores
Segunda Parte
Nas questões desta parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver
de efetuar e todas as justificações necessárias.
6. No sentido de melhor compreender as expectativas profissionais dos alunos da UTAD,
inquiriram-se os alunos que frequentam o último ano de cada 1º ciclo de estudos. O gráfico
seguinte contém a informação relativa aos continentes em que estão dispostos a trabalhar, caso
não consigam encontrar emprego em Portugal.
Continentes para onde emigrar
2%
3%
África
15%
América do Norte
América do Sul
80%
Europa
Atendendo a que o número de alunos inquiridos foi 2500, indique, justificando, o valor lógico
das seguintes afirmações.
6.1. A maioria dos alunos está disponível para trabalhar na América do Sul.
6.2. Estão disponíveis para trabalhar na Europa 2000 alunos.
6.3. Apenas dois alunos referiram estar disponíveis para trabalhar em África.
7. Considere a sucessão de termo geral
&' =
'(
'
.
7.1. Determine os quatros primeiros termos da sucessão &' .
+(
7.2. Averigúe se existe # ∈ ℕ tal que &' = ,%.
7.3. Mostre que a sucessão &' é monótona decrescente e limitada.
7.4. Calcule "-&' ' .
8. O sólido representado na figura é composto por um cilindro assente numa base
paralelipipédica.
8.1. Utilizando as letras da figura dê exemplo de:
8.1.1. dois planos paralelos;
8.1.2. dois planos secantes;
8.1.3. duas retas não complanares;
8.1.4. duas retas estritamente paralelas;
8.1.5. uma reta e um plano perpendiculares.
= 2ℎ, onde
8.2. Sabendo que a base do cilindro está inscrita no quadrado [ABCD] e que = 3/
ℎ representa a altura do cilindro, determine, em função de h, o volume deste sólido.
9. Considere a função f, real de variável real, cujo gráfico está representado na figura seguinte:
9.1. Relativamente à função f , indique:
9.1.1. o domínio e o contradomínio;
9.1.2. os zeros;
9.1.3. os intervalos onde é crescente;
9.1.4. o mínimo e o máximo absolutos.
9.2. Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:
9.2.1. A função f não é injetiva.
9.2.2. A função f é contínua em ! = −2.
10. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por:
! = !1 10.1. Calcule
e 2! = − 2√1 − ! 3 !
10.2. Mostre que
e 2′!.
33 !
−
3 !
= 1 .
11. Observou-se o número de vezes que os funcionários de uma dada secção da UTAD,
almoçavam semanalmente na cantina. Os valores observados foram resumidos no quadro
seguinte:
Nº de vezes por semana
Nº de funcionários
0
3
1
5
2
16
3
25
4
20
5
9
11.1. Identifique a característica (variável) em estudo e classifique-a quanto ao tipo.
11.2. Construa uma tabela com as frequências absolutas e relativas, em percentagem.
11.3. Indique, justificando, quantos funcionários almoçam, no máximo, duas vezes na cantina.
11.4. Se possível, determine a média, a moda, a mediana e a amplitude e explique o respetivo
significado prático, no contexto do problema.
Cotação da Primeira Parte:
Cada resposta certa ……………………………………………………………………………………....10 pontos
Cada resposta errada, anulada ou não respondida ………………………………………...... 0 pontos
Cotação da Segunda Parte:
6…………………………………………………………………………………………………………………. 15 pontos
7…………………………………………………………………………………………………………………. 30 pontos
8…………………………………………………………………………………………………………………. 25 pontos
9…………………………………………………………………………………………………………………. 30 pontos
10……………………………………………………………………………………………………………….. 20 pontos
11………………………………………………………………………………………………………………. 30 pontos