ETE MAXIMIANO ACCIOLY CAMPOS
Avaliação de Matemática – N1 – II Unidade - 2º Ano
Professor: Anselmo Guerra Júnior
Aluno(a): ..........GABARITO........................................................................................................................ Curso: Redes
Turma: ...........
01 O que são postulados ou axiomas?
São sentenças ou proposições aceitas como verdadeiras,
sem necessidade de demonstração. São considerados
como óbvios ou como consenso inicial necessário para
construção ou aceitação de uma teoria.
02 Utilize os postulados de existência, determinação e
inclusão para provar que duas retas concorrentes
determinam um único plano.
Antes de provarmos, vamos enunciar os postulados
utilizados nesta demonstração:



P1 (de existência): Dada uma reta, existem tantos
pontos quantos quisermos, pertencentes e não
pertencentes a ela (em outras palavras, dada uma
reta, existem infinitos pontos nela e fora dela);
P2 (de determinação): Três pontos distintos, não
colineares, determinam um único plano;
P3 (de inclusão): Se uma reta possui dois pontos
em um plano, então esta reta está contida no
plano.
03 Analise as seguintes afirmações:
I – Três pontos distintos determinam um único plano;
II – Dois pontos distintos determinam uma única reta;
III – Uma reta e um ponto determinam um único plano;
IV – Duas retas que não são paralelas são concorrentes.
Agora assinale a alternativa correta:
a) Apenas a afirmação I é verdadeira
b) A afirmação II é verdadeira, por ser um postulado
de inclusão
c) A afirmação III só será verdadeira se o ponto em
questão pertencer à reta
d) A afirmação IV é falsa
e) Todas as afirmações são verdadeiras
Resposta: D
Justificativa:
O item I é falso, pois para determinar um plano, os três
pontos, além de distintos, precisam ser não colineares;
Agora vamos à prova:
O item II é verdadeiro. É um postulado de determinação e
não de inclusão, como sugere a alternativa b;
Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P. Pelo
postulado P1, podemos tomar os pontos A e B, diferentes
de P, nas retas r e s, respectivamente.
O item III é falso, pois, para que uma reta e um ponto determinem unicamente um plano, o ponto deve estar fora
da reta;
Pelo postulado P2, sabemos que existe um único plano 𝛼,
ao qual pertencem os pontos A, B e P.
O item IV é falso pois, se duas retas não são paralelas,
podem ser concorrentes ou reversas.
Resta provar que os demais pontos das retas r e s
também pertencem ao plano 𝛼, mas isso pode ser
verificado através do postulado P3, pois como A e P
pertencem à reta r e ao plano 𝛼, então 𝑟 ⊂ 𝛼.
Analogamente, como B e P pertencem à reta s e ao plano
𝛼, também temos que 𝑠 ⊂ 𝛼.
Logo, as retas r e s, concorrentes, determinam unicamente
o plano 𝛼.
04 Assinale a alternativa incorreta:
a) Se dois planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos, então toda reta
contida no plano 𝛼 é paralela a qualquer reta do plano 𝛽.
b) Três pontos distintos determinam um único plano
c) Dois pontos distintos determinam uma única reta
d) Retas paralelas não possuem pontos em comum
e) Se dois planos distintos se intersectam, essa intersecção é uma reta.
Resposta: A e B (qualquer uma das duas será aceita)
Justificativa:
Item “a”: tomando uma reta r qualquer do plano 𝛼, no plano 𝛽 existirão retas paralelas e reversas a r;
Item “b”: Para determinar unicamente um plano, os três
pontos distintos não podem ser colineares;
Item “c”: Verdadeiro (postulado de determinação)
Item “d”: Verdadeiro. É necessário estar atento para perceber que a afirmação não é uma definição. Apenas é dito
que retas paralelas não possuem pontos em comum. A
recíproca desta afirmação é que é falsa, pois retas que
não possuem pontos em comum não são necessariamente paralelas (podem ser reversas).
16- Por uma reta perpendicular a um plano a passa uma
infinidade de planos perpendiculares a a. (verdadeiro:
na figura abaixo, imagine um plano 𝛾, ao qual a reta r
é perpendicular. Os planos 𝛼, 𝛽 e qualquer outro plano
que contenha a reta r também serão perpendiculares a
𝛾).
Item “e”: Verdadeiro
05 Observe o cubo da figura abaixo e as afirmações subsequentes:
32- Três pontos não alinhados determinam um plano.
(verdadeiro: postulado de determinação)
Preencha no quadrado abaixo a soma das proposições
corretas:
I – As retas AB e GH são paralelas (verdadeiro)
II – As retas AE e AB são reversas (falso: são concorrentes no ponto A)
III - As retas CG e AB são reversas (verdadeiro)
IV – As retas CD e DH são concorrentes (verdadeiro)
V – As retas EH e CG são ortogonais (verdadeiro)
São falsas:
a) Todas as afirmações
b) Nenhuma das afirmações
c) Apenas a II
d) Apenas II e IV
e) Apenas II, IV e V
Resposta: C
06 Sobre retas e planos no espaço, verifica-se:
1- Se uma reta r é paralela a um plano a, qualquer plano
que contém r é paralelo a a.(falso: apenas um plano
paralelo ao plano a contém a reta r. Qualquer outro
plano que contenha a reta r será secante ao plano a)
2- Dois planos paralelos a uma reta r podem ser paralelos entre si. (verdadeiro: devido à palavra “podem”,
pois também existem planos secantes que são paralelos à reta r)
4- Duas retas no espaço são sempre concorrentes ou
paralelas ou coincidentes. (falso: também podem ser
reversas. Lembrem-se que retas coincidentes também
são paralelas)
8- Uma reta ortogonal a duas retas de um plano é perpendicular a esse plano. (falso: observe um contraexemplo na figura da questão 5. A reta AB é ortogonal
às retas DH e CG do plano da base do cubo e não é
perpendicular a este plano)
50