EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA 2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES ========================================================================= 1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j. b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2). 3 4 . e) Determinante da matriz D = 5 3 2) Se m = 2 4 3 0 e n= , calcule o valor da expressão m2 – n2. 1 5 4 4 3) Se p = 2 4) Se a = 1 4 3 4 e q= , calcule x tal que p = q. 3 3 1 2 ,b= 0 1 8 4 3 5) Se p = e q= 4 4 5 4 2 7 ec= , resolva a equação ax2 + bx + c = 0. 5 1 5 , calcule log q p. 1 6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir: 3 – 5 a) 2 5 9 b) – 4 3 2 2 4 5 2 7 c) 5 17 3 – 7 d) 5 6 7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos? b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva? d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos? 8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j. b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3). 2 1 2 e) Determinante da matriz 0 5 1. 4 4 1 3 9) Se m = 1 1 3 2 5 1 0 1. e n = 4 5 4 1 0 4 10) Se p = 0 0 4 4 1 0 11) Se a = 0 5 4 4 12) Use a Regra de 6 2 . e q = 0 4 4 2 2 1., calcule o valor da expressão m + n . 1 1 2 5 1. , calcule x tal que p = q. 2 4 0 1 1 0 1 1 2 2 1 , b = 0 1 1 e c = 0 5 1 , resolva a equação ax + bx + c = 0. 1 4 1 2 5 2 9 Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre? b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? 13) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se 1 1 = 0 1 a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados. b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma mesma reta. c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um triângulo. 14) Se # & a) # & 2! 2$ 2' ! $ ' " % ( " % = 2, determine o valor de cada determinante a seguir: ( " b) % ( ! $ ' # & 3& c) # 3' $ ! 3( % " d) ! " # $ % & ' ( 2! e) $ 3' 2" % 3( 2 # 3& ! $ ' 15) Sabendo que m = # & 11 = . " % , d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x tais que m = ( 16) Calcule o valor de cada determinante a seguir: 1 1 a) 2 3 4 9 1 5 25 8 −1 − 2 0 5 1 7 1 4 2 2 5 3 1 3 2 3 1 −2 17) Sabendo-se que det A significa “determinante 0 0 2 da matriz A”, At significa “transposta da matriz 2 1 . A”e A-1 significa “inversa da matriz A” , calcule o valor da expressão E a seguir, sendo A = 1 2 E= b) 10 2 14 *+,- ./ 0*+,- 01+,- 2 +,- 1 4 18) Se A = 2 c) . 1 , calcule o valor da expressão det(At) + 2. det(A-1) – det A. 3 19) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir : 2 x + 4 y = −2 a) 3 x − 2 y = 5 − 5 x + 3 y = −4 b) 7 x − 5 y = 4 7 x − y = 30 c) 2 x − 5 y = 18 x + 3y = 2 d) 2 5 x − y = −11 x + y + z = 1 2 x + y − 3 z = 8 3x − y + 3z = −8 5 x + 2 y + z = 8 f) x − 3 y + z = 3 g) 2 x − 3 y + z = −9 h) − x + y + 2 z = 7 e) 2 x − y + z = 5 5 x − 2 y + 3 z = 12 5 x − y + 2 z = 26 7 x + y − 3z = −2 3x − 2 y + 3z = 0 mx + 3 y = 12 20) Qual é o valor de m para que o sistema tenha solução única ? 4 x − y = 10 21) Classificar e resolver cada sistema a seguir: a) x + 2y = 5 3 x + 5 y = 13 b) 2x + y + 3z = 9 3x − 2y + 4z = 10 x − 3y + z = 1 c) x + 2y + 3z = 2 2x + 4y + 5z = 3 2x + 4y + 6z = 4 3 x − 2 y = 6 d) − 6 x + 4 y = −12 22) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b: x + 2 y = 5b a) 3ax + 5 y = 13 ax − 5 y = 5 b) 2 x + 3by = 13 x + ay + z = 2 c) 3x + 2 y − z = 3 x − 3 y + 4z = b − 2 23) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaixo é impossível. 24) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaixo a) possível determinado? b) possível indeterminado? c) impossível? x + my + 2 z = 2 5 x + 4 y + 5 z = p 3x + 5 y + nz = 4 25) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir: a) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 blusa, 1 tênis e 1 calça, faltarão R$ 30,00. Se comprar 1 tênis e 1 calça, sobrarão R$ 10,00 e se comprar 1 blusa e 1 calça, sobrarão R$ 20,00. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais b) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem? c) Em três tipos de temperos verificou-se que , para cada tablete de 10 gramas , a) O tempero I tem 2 gramas de sal , 2 gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne. b) O tempero II tem 2 gramas de sal , 1 grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne. c) O tempero III tem 3 gramas de sal , não contém pimenta e tem 3 gramas de essência de carne. Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I , II e III que contenham , simultaneamente , 11 gramas de sal , 3 gramas de pimenta e 20 gramas de essência de carne. . QUESTÕES DE VESTIBULARES : 4$5 = = 4$5 1 6 1) (CEFET– MG) – Sendo = "34 64$5 k∈Z, o valor de α é π π 0 , então, para todo x ≠ 8. , 7 2"34 a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x : 5 7 6 3 e o sistema linear . Se det A = 6 2 6 – 10 14 = m + 1 e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é 2) (CEFET– MG) – Considere a matriz A = a) 10 b) 11 c) 12 1 3) (CEFET– MG) – O(s) valor(es) de x para que a) -1 d) 13 2 0 1 = -8 é (são) 2 3 e) 14 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3 – 3< 2 4) (CEFET– MG) – Para que o sistema ; 2 – 4< 5 tenha infinitas soluções, o valor de : 5< 0 m + n é igual a a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8 5) (CEFET– MG) – Sendo x, y ∈ [0 , a) x + y = 0 0 = e "34 4$5 π 1 4$5 "34 1 0 = 0, a relação entre x e y é 1 π b) x + y = c) x – y = π d) 2x – y = π e) 2x + y = π 6) (CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 21 – 3 4$ ( > ? 7) (CEFET– MG) – Seja A = (aij), a matriz quadrada de ordem 3 onde aij = ; ( – ? 4$ ( ? . O ( ? 4$ ( @ ? valor do determinante de A é igual a a) -57 b) -19 c) 0 d) 19 e) 57 1 8) (UF – PI) – Sejam M e N matrizes quadradas tais que M.N = 0 4 det M < 0, o valor do det N é igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 4 0 1 0 e M = -N.. Se 12 1 9) (UE – CE) – Se o determinante da matriz A = A 1 1 B = 1 : 1 1 1 D a) 7 b) 2 2 é : 2 3 √ : √: C é √2 √ , então o determinante da matriz D c) E d) E 7 10) (UFV – MG) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A) = det (A2), então o valor de det A é a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1 11) (U.F.MG) – Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução . x + y + az = 2 3x + 4 y + 2 z = b 2 x + 3 y − z = 1 12) (U.F.MG) - Determine todos os valores de x , y e z que satisfazem o sistema x y z 3 .3 .3 = 1 x 2 y z =4 2 .2 −x y z 1 4 .16 .4 = 4 x + 2 y − 3z = 1 . 13) (U.F.MG) – Ache os valores de m para os quais o sistema 3 x − 4 y + 3z = 2m tenha soluções. 6 x + 2 y − 6 z = m 2 14) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que , para cada grama , a) O alimento I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C . b) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitamina C . c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A , não contém vitamina B e tem 3 unidades de vitamina C . Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I , II e III que forneçam , simultaneamente , 11 unidades de vitamina A , 3 de vitamina B e 20 de vitamina C . 2 x + 3 y + z = 1 15) (U.F.BA) – No sistema 3 x − 3 y + z = 8 , determine o valor de z – xy . 2x + z = 0 mx + 3 y = 12 16) (U.F.PA) – Qual é o valor de m para que o sistema tenha solução única ? 4 x − y = 10 ax − 2 y = 1 17) (PUC-SP) – Determine a relação entre a e b para que o sistema tenha solução bx + 4 y = 5 determinada . 3 x − 2 y = a indetermi – 18) (CESCEM) – Determine os valores de a e b que tornam o sistema − 6 x + 4 y = b nado . ax − 2 y = 1 19) (PUC-RS) – Determine a relação entre a e b de modo que o sistema seja indebx − 4 y = 2 terminado . x − z = 1 20) (PUC-SP) – Determine os valores de k de modo que o sistema kx + y + 3 z = 0 tenha solução x + ky + 3z = 1 única . x + 2 y + z = 0 21) (U.F.PE) – Determine todos os valores de λ de modo que o sistema 2 x + y + λz = 0 tenha 3x + 3 y + λz = 0 solução única. 22) (PUC-SP) – Verifique quantas soluções tem o sistema abaixo . 4x + y − z = 0 − x − y + z = 1 2x − y + z = 2 2 x + 3 y = 1 23) (U.F.BA) - Discutir o sistema em função do parâmetro a . 4 x + ay = 5 x + y + z = 1 24) (CESCEA) – Discutir o sistema 2 x + 2 y + 2 z = 2 em função do parâmetro m . 3x + 3 y + mz = 3 x + y + z = k 25) (F.G.V. –SP) – Discutir o sistema x − y − z = k em função do parâmetro k . x + y − z = k x + y = 2 26) (MACK –SP) – Discutir o sistema mx + y = 1 em função do parâmetro m . x − y = m 4 x + 3 y = 5 tem solução ? 27) (PUC – SP) – Para que valores de b o sistema x + y = 0 x + by = b 28) (ITA – SP) - Qual deve ser a relação que a , b e c devem satisfazer para que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução ? x + 2 y − 3z = a 2 x + 6 y − 11z = b x + 2 y + 7 z = c ax + y − z = 0 29) (CESGRANRIO) – Se o sistema x − ay + z = 1 tem uma infinidade de soluções , determine x + y = b a e b. x + 2 y + z = 1 30) (U.F.CE) – Se o sistema 2 x + y + 2 z = 1 não admite solução , calcule o valor de log 2m 32 . x + y + mz = 1 31) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfazer os parâmetros α e β para que o sistema 2 x + z = 1 αx + 3 y + 4αz = 4 não tenha solução ? 3x + αz = β