REAÇÕES QUÍMICAS: USANDO A MODELAGEM MATEMÁTICA PARA
EXPLORAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS
Karine Faverzani Magnago
Universidade Federal de Santa Maria
Márcio Marques Martins
Centro Universitário Franciscano
Ricardo Fajardo
Universidade Federal de Santa Maria
Resumo
Nesse trabalho, abordamos o estudo de reações químicas por meio da Modelagem
Matemática, tanto no âmbito do Ensino Médio como no âmbito do Ensino Superior.
Discutimos também os conteúdos matemáticos e químicos envolvidos no processo de
modelagem, bem como estratégias de trabalho. Também apresentamos e analisamos os
resultados de uma pesquisa de saberes prévios realizada entre acadêmicos do Curso de
Licenciatura em Química do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA.
Palavras-Chave: Modelagem Matemática, Ensino, Interdisciplinar.
1. Introdução
O estudo de Sistema de Equações Lineares faz parte do Ensino Médio e de muitos
cursos do Ensino Superior, como cursos de Matemática, Física, Química, Engenharias,
entre outros. Devido ao avançado desenvolvimento da teoria associada a esse conteúdo e às
suas inúmeras aplicações, seu estudo pode ser direcionado por várias vertentes, desde uma
abordagem abstrata, passando por uma abordagem técnica, até uma abordagem com foco
em aplicações, entre outras. Logicamente, o melhor direcionamento depende dos objetivos
do curso e dos estudantes envolvidos.
Em particular, para o Ensino Médio e para a formação de seus professores, parece
razoável apostar em um equilíbrio entre as várias abordagens. Se o estudo for puramente
abstrato, pode se tornar estéril para alguns estudantes; se for técnico demais, pode se tornar
enfadonho para outros; e se for aplicado somente, pode limitar as perspectivas de
raciocínio dos envolvidos e, por conseqüência, limitar seu completo desenvolvimento.
Uma alternativa possível para abranger esses aspectos é a Modelagem Matemática.
Segundo Biembengut (1999, p. 36): “A modelagem matemática no ensino pode ser um
caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ainda desconhece
ao mesmo tempo que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso porque, é dada ao
aluno a oportunidade de estudar situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo
seu interesse e aguçando seu senso crítico”. É, também, papel do educador promover a
interdisciplinaridade, para que os estudantes consigam compreender os laços entre os
conteúdos de diferentes disciplinas que se formam naturalmente no estudo de um
problema.
Em contrapartida, devemos estar atentos à fala de Barbosa (2001) que aponta
dificuldades: “Existe uma relativa distância entre a maneira que o ensino tradicional enfoca
problemas de outras áreas e a Modelagem. São atividades de natureza diferente, o que nos
leva a pensar que a transição em relação à Modelagem não é algo tão simples. Envolve o
abandono de posturas e conhecimentos oferecidos pela socialização docente e discente e a
adoção de outros. Do ponto de vista curricular, não é de se esperar que essa mudança
ocorra instantaneamente a partir da percepção da plausibilidade da Modelagem no ensino,
sob pena de ser abortada no processo”.
Ainda, em relação à formação de professores para a Educação Básica, é
importante que se reconheçam os papéis das diversas disciplinas dos cursos de graduação.
Por exemplo, porque professores de Física e Química devem conhecer tópicos de Álgebra
Linear? Ou, porque professores de Matemática devem ter noções de Ciências? Segundo
Bassanezi (2002, p. 15): “É também nessa capacidade de estabelecer relações entre os
campos da matemática e os outros, evitando reproduzir modos de pensar estanques
fracionados, que, a nosso ver, está o futuro da formação de novos quadros de professores e
pesquisadores, prontos a enfrentar o desafio de pensar a unidade na multiplicidade” e
segundo D´Ambrósio (1986, p. 63-64): “Infelizmente, formado apenas em suas
especialidades, o professor se refugia nelas, através da programação curricular de suas
disciplinas, evitando qualquer divagação e análise vaga e imprecisa da realidade, como é
própria do verdadeiro cientista, e que é o primeiro passo para entender os fenômenos
naturais, sem o que a análise de detalhes é falha em motivação, e conseqüentemente
recaindo num abstratismo estéril”.
Nesse projeto, discutimos como trabalhar o tema “Reações Químicas” utilizando
Modelagem Matemática; no processo de discussão, nos deparamos com as questões:
identificação dos tipos e das quantidades de átomos em dada reação, caracterização das
545
variáveis envolvidas e do modelo (Sistema de Equações Lineares), métodos de resolução, a
possibilidade de solução única ou de infinitas soluções para Sistemas Lineares
Homogêneos, a interpretação da solução trivial nesse contexto, etc. No final do processo de
modelagem, obtemos como resposta a equação balanceada da reação química, passando
por uma profunda discussão acerca de Sistemas de Equações Lineares, em especial
Homogêneos. Essas idéias vão ao encontro do texto Bassanezi (2002, p. 207) que diz: “Os
recursos da matemática são ilimitados, principalmente quando evidenciamos suas
atividades básicas: generalizações e analogias, características próprias de uma ciência
dinâmica. Quando analisamos uma situação com a atitude de um matemático aplicado,
usando modelagem, estamos somente iniciando o processo de aprendizagem e nossa
posterior abstração pode percorrer caminhos ainda inexplorados, ensejando mesmo, a
criação de novos instrumentos matemáticos e a formulação de novas teorias”.
Na seção 2 desse texto, discorremos sobre dois métodos de balanceamento de
equações químicas tradicionalmente usados pelos estudantes do Ensino Médio e Superior,
destacando suas vantagens e limitações. Na seção 3, discutimos através de dois exemplos,
como desenvolver o processo de Modelagem Matemática do tema em suas várias etapas.
Na seção 4, apresentamos e analisamos o resultado de uma pesquisa sobre os saberes
prévios de Matemática e de Química entre acadêmicos do sexto semestre do Curso de
Licenciatura em Química do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA. Na seção 5,
apresentamos nossas considerações finais e perspectivas de encaminhamento do projeto.
2. Balanceamento de Reações Químicas: Abordagens Tradicionais
Os cálculos estequiométricos constituem uma parte muito importante do conteúdo
de reações químicas, seja no âmbito do Ensino Médio como no âmbito do Ensino Superior.
Uma perfeita compreensão das proporções existentes entre substâncias que reagem entre si
é necessária para que seja possível prever o rendimento de uma reação ou determinar a
massa de um reagente que deve ser pesada para que a reação ocorra com sucesso. Para
isso, o balanceamento da equação química que rege a reação é de suma importância.
Diversos são os métodos tradicionalmente ensinados no ensino médio. Podemos
destacar dois desses métodos: o método da tentativa e erro e o método do número de
oxidação.
546
O método de balanceamento por tentativa e erro é o mais comum, e é amplamente
difundido entre estudantes e professores. Consiste em fazer um levantamento dos
diferentes tipos de átomos presentes nos reagentes (antes da reação acontecer) e nos
produtos (após a reação ter acontecido). Uma equação química balanceada deve,
necessariamente, conter o mesmo número de átomos do mesmo tipo em ambos lados da
equação química. Para realizar o balanceamento, o estudante deve multiplicar os números
de mols de um reagente e/ou de um produto por números preferencialmente inteiros, de
forma a obter o mesmo número de um determinado tipo de átomo nos dois lados da
equação química. Dessa forma, a equação terminará com quantidades iguais de átomos do
mesmo tipo, para todos os diferentes tipos de átomos, ao final do balanceamento. Quais
são os valores, chamados de coeficientes estequiométricos, corretos? Somente a tentativa e
o ocasional erro ou acerto dirá se a estimativa está correta. Normalmente, esse método é
adequado para a maioria das reações químicas elementares que o estudante encontra em
seu período de estudo. Mas, existem equações químicas que envolvem não somente o
balanceamento de átomos, mas o balanceamento de elétrons. Para resolver tais problemas,
existe o método do balanceamento pelo número de oxidação.
No segundo método, temos a presença de espécies carregadas eletricamente,
algumas espécies são carregadas positivamente (deficiência de elétrons), enquanto outras
são carregadas negativamente (excesso de elétrons). Determina-se qual espécie sofreu
oxidação (perdeu elétrons) e qual espécie sofreu redução (recebeu elétrons da espécie que
se oxidou). A premissa básica do método de balanceamento é que o número total de
elétrons perdidos com a oxidação de uma espécie seja exatamente igual ao número de
elétrons recebidos pela espécie reduzida. Esse número servirá para corrigir o coeficiente
estequiométrico de todas as espécies envolvidas na oxirredução e, por conseguinte, para
equilibrar toda a equação química. A grande desvantagem desse método é que os alunos
que já apresentam dificuldades com o conceito de balanceamento de equações químicas,
provavelmente e normalmente apresentarão dificuldades com cálculo de números de
oxidação. Sendo assim, o método mais seguro que se baseia na oxirredução de espécies
torna-se uma opção secundária ao oferecer complicações indesejáveis ao estudante que se
propõe a resolver um problema de balanceamento de equações químicas. Uma alternativa
aos dois métodos anteriores é o método algébrico que, embora não seja desconhecido dos
matemáticos e seja do conhecimento semi-empírico de alguns profissionais de química, é
pouco ou quase nada difundido no Ensino Médio. Não temos conhecimento de nenhum
547
livro de ensino de Química que aborde essa terceira abordagem, seja em nível do Ensino
Médio ou em nível universitário.
3. Modelagem Matemática do Balanceamento de Reações Químicas
Vamos
apresentar
um
procedimento
para
Modelagem
Matemática
do
Balanceamento de Reações Químicas trabalhando com dois exemplos, expostos a seguir.
Essa proposta de modelagem é inspirada em livros-texto de Álgebra Linear para o Ensino
Superior (Anton; Busby, 2006; Boldrini e outros, 1980; Poole, 2004). No entanto,
acreditamos que ela é plenamente viável para o Ensino Médio. De fato, os conteúdos
explorados (matemático e químico) fazem parte de disciplinas do Ensino Médio e,
normalmente, são trabalhados isoladamente (Giovanni; Bonjorno, 2005; Paiva, 1995;
Peruzzo; Canto, 2002; Santos; Mól, 2005).
Exemplo 1: Determine as relações molares presentes na reação estequiométrica
entre o ácido clorídrico (HCl) e o ácido perclórico (HClO3) que tem como produtos o
dióxido de monocloro (ClO2) e a água (H2O).
Essa reação é um típico exemplo de reação de oxirredução e que envolve, além do
cálculo tradicional de balanceamento de átomos, o cálculo dos números de oxidação de
cada átomo da reação. Cada um dos dois requisitos necessários para a resolução do
problema representa um desafio por si só para o estudante, de forma que esse problema é
considerado difícil. Se optarmos por balancear apenas pelo método da tentativa e erro,
temos que lidar com dois reagentes diferentes que compartilham o mesmo tipo de átomo
(cloro) e, depois de ocorrida a reação, apenas um dos produtos contém todos os átomos de
cloro inicialmente presentes no meio reacional. O oposto dá-se com os átomos de oxigênio,
tornando o problema ainda mais complexo.
Esse problema equivale a ajustar os coeficientes estequiométricos da seguinte
reação química:
_ _ _ _ HCl + _ _ _ _ HClO3 Æ _ _ _ _ ClO2 + _ _ _ _ H2O.
Do ponto de vista químico, para resolver esse problema basta apresentar os
números adequados que devem ser colocados nos espaços tracejados tais que a reação
esteja balanceada.
Do ponto de vista da Modelagem Matemática, começamos explorando alguns
conceitos químicos que embasarão nosso processo de modelagem. Observe que nenhum
548
átomo é produzido ou eliminado na reação apresentada. O que se tem, de fato, é uma
“reorganização” dos átomos presentes nos reagentes, resultando nos produtos. Por
conseqüência, a reação química pode compreendida como uma equação na qual as
quantidades totais de cada átomo nos reagentes são preservadas nos produtos.
O próximo passo é escolher as variáveis que representarão cada uma das
quantidades procuradas. Usaremos x, y, z e w para representarem as quantidades, em mols,
de HCl, HClO3, ClO2 e H2O, respectivamente. Ou seja:
x HCl + y HClO3 Æ z ClO2 + w H2O.
Os três átomos presentes nessa reação são hidrogênio (H), cloro (Cl) e oxigênio
(O). Para cada um deles, teremos uma equação que representa a preservação da sua
quantidade total.
Para o átomo H, esquematizamos a obtenção da correspondente equação na figura
1.
x HCl + y HClO3 Æ z ClO2 + w H2O
x ×1
+ y ×1
=
w ×2
Figura 1: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de H na
reação.
Daí, escrevendo a equação para o átomo H na forma padrão, com todas as
variáveis do lado esquerdo, obtemos:
x + y – 2w = 0.
(1)
Analogamente, obtemos as equações para os átomos Cl e O, esquematizadas nas
figuras 2 e 3, respectivamente.
x HCl + y HClO3 Æ z ClO2 + w H2O
x × 1 + y × 1
= z ×1
Figura 2: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de Cl na
reação.
x HCl + y HClO3 Æ z ClO2 + w H2O
y
×
3 = z × 2 + w × 1
Figura 3: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de O na
reação.
Daí, a equação para o átomo Cl é:
549
x+y–z=0
(2)
3y – 2z – w = 0.
(3)
e para o átomo O é:
Como as equações (1), (2) e (3) devem ser satisfeitas, o problema equivale a
resolver o seguinte Sistema de Equações Lineares:
x+y
– 2w = 0.
x+y–z
=0.
(4)
3y – 2z – w = 0
Uma característica do Sistema Linear (4) é que ele é Homogêneo, ou seja, possui
todos os termos independentes iguais a zero. Alguns autores (Giovanni; Bonjorno, 2005;
Paiva, 1995; Kolman; Hill, 1998) dedicam uma seção de suas obras para esse tipo de
Sistema Linear, mas destacam os aspectos puramente algébricos, sem fazer qualquer
associação a um problema a ser modelado.
Outra característica do Sistema Linear (4) é que sua matriz dos coeficientes, na
correspondente forma matricial, não é quadrada; nesse exemplo, isso corresponde ao fato
que o número de incógnitas é maior que o número de equações. Já do ponto de vista
químico, isso acontece quando o número de reagentes e produtos é superior ao de átomos
presentes na reação.
Essa característica destacada no parágrafo anterior torna-se especialmente
interessante porque alguns estudantes apresentam mais dificuldade em lidar com esse tipo
de Sistema Linear do que com aqueles que têm matriz dos coeficientes quadrada. O fato de
obter um Sistema Linear como o apresentado em (4), a partir de um problema concreto,
ameniza qualquer impressão de que Sistemas Lineares “não-quadrados” possuem uma
estrutura artificial, que corresponde somente a uma abstração matemática.
Para investigarmos a solução (ou soluções) do Sistema Linear (4), vamos
trabalhar com o Sistema Linear equivalente:
x+y
– 2w = 0.
3y – 2z – w = 0
(5)
– z + 2w = 0
obtido aplicando o Método de Eliminação de Gauss. Considerando w uma variável livre, e
resolvendo o Sistema Linear (5) por retro-substituição, obtemos:
x=
w
5w
,y =
, z = 2 w.
3
3
(6)
550
Como w pode assumir qualquer valor real, as equações apresentadas em (6)
implicam que o Sistema Linear (4) possui infinitas soluções. Quimicamente, esse resultado
era esperado porque, conhecida uma quantidade qualquer de um produto (ou reagente), os
demais produtos e reagentes ficam ajustados nas proporções correspondentes. Ainda,
soluções com valores negativos são desqualificadas para esse modelo.
Em particular, se w = 0 nas equações (6), temos a Solução Trivial:
x = y = z = w = 0.
(7)
No problema químico, essa solução não é interessante porque ela significa que se
não tivermos nenhum reagente, não teremos nenhum produto.
Por outro lado, se w = 3 nas equações (6) – menor inteiro positivo que não
introduz fração no ajuste dos coeficientes da reação –, então:
x = 1, y =5, z = 6, w = 3;
(8)
e a reação química fica:
1 HCl + 5 HClO3 Æ 6 ClO2 + 3 H2O.
Exemplo 2: Determine as relações molares presentes na reação estequiométrica
entre o decaóxido de tetrafósforo (P4O10) e a água (H2O) que tem como produto o ácido
fosfórico (H3PO4).
Essa reação é consideravelmente mais simples que a do exemplo 1, visto que não
há oxirredução e todos os átomos dos reagentes convergem para o único produto da reação.
O uso do método da tentativa e erro já funciona bem com a respectiva equação.
Equivalentemente, basta ajustar os coeficientes estequiométricos da seguinte
reação química:
_ _ _ _ P4O10 + _ _ _ _ H2O Æ _ _ _ _ H3PO4.
Modelaremos esse problema de forma mais direta, a luz do que foi feito no
exemplo 1.
Começamos escolhendo as variáveis que representarão cada uma das quantidades
procuradas (representadas pelos espaços tracejados na reação química). Usaremos x, y e z
para representarem as quantidades, em mols, de P4O10, H2O e H3PO4, respectivamente. Ou
seja:
x P4O10 + y H2O Æ z H3PO4.
551
Os três átomos presentes nessa reação são fósforo (P), oxigênio (O) e hidrogênio
(H). Para cada um deles, teremos uma equação que representa a preservação da sua
quantidade total.
O procedimento para dedução das equações para os átomos P, O e H, estão
esquematizados nas figuras 4, 5 e 6, respectivamente.
x P4O10 + y H2O Æ z H3PO4
= z
x 4
1
Figura 4: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de P na
reação.
x P4O10 + y H2O Æ z H3PO4
x
10 + y
1 = z
4
Figura 5: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de O na
reação.
x P4O10 + y H2O Æ z H3PO4
y
2
= z
3
Figura 6: Esquema para obtenção da equação que representa a preservação da quantidade total de H na
reação.
Observando as equações obtidas nas figuras 4, 5 e 6, montamos o Sistema Linear
Homogêneo:
4x
– z = 0.
10x + y – 4z = 0 ,
(9)
2y – 3z = 0
que corresponde ao problema do balanceamento da reação química do exemplo 2.
Diferente do exemplo 1, nesse caso, a matriz dos coeficientes é quadrada. Essa
característica vem do fato que o número de reagentes e produtos é igual ao número de
átomos presentes na reação química considerada.
Para investigarmos as soluções do Sistema Linear (9), vamos trabalhar com o
Sistema Linear equivalente:
4x
– z = 0.
2y – 3z = 0 ,
(10)
552
obtido via Eliminação de Gauss. Considerando x uma variável livre, e resolvendo o
Sistema Linear (10) por substituição direta, obtemos:
y = 6x, z = 4x.
(11)
Como x pode assumir qualquer valor real, o Sistema Linear (11) admite infinitas
soluções, o que era esperado.
Se x = 0 nas equações (11), temos novamente a Solução Trivial:
x = y = z = 0,
(12)
que é quimicamente desinteressante.
Se x = 1 nas equações (11), evitamos frações nos coeficientes da reação,
resultando em:
x = 1, y = 6, z = 4;
(13)
e a reação química fica:
1 P4O10 + 6 H2O Æ 4 H3PO4.
4. Análise dos Saberes Prévios
Uma testagem preliminar dos saberes prévios, entre estudantes de Química, foi
realizada a fim de determinar o grau de compreensão dos mesmos no tocante aos
conteúdos: Balanceamento de Reações Químicas e Sistemas de Equações Lineares.
Participaram dessa testagem doze alunos voluntários do Curso de Licenciatura em
Química, todos matriculados na disciplina de sexto semestre “Estágio Curricular
Supervisionado II”, do Centro Universitário Franciscano – UNIFRA – Santa Maria, RS.
Dentre esses estudantes, 09 (nove) informaram que estão no sexto semestre do Curso de
Química, enquanto os outros 03 (três) não informaram em que semestre se enquadram.
Realizou-se uma pesquisa composta por dois questionários curtos, sendo o primeiro de
cunho químico e o segundo de cunho matemático.
No primeiro questionário, foi solicitado aos estudantes, que respondessem às duas
questões a seguir.
Q01 Ajuste os coeficientes estequiométricos da seguinte reação química:
_ _ _ _ HCl + _ _ _ _ HClO3 Æ _ _ _ _ ClO2 + _ _ _ _ H2O.
Essa é uma questão considerada difícil de ser resolvida pelo método de tentativa e
erro, o que foi confirmado pelo resultado dos acadêmicos. Somente 01 (um) estudante
553
resolveu essa questão corretamente, enquanto 06 (seis) a erraram e 05 (cinco) não a
resolveram.
O procedimento de Modelagem Matemática apresentado no exemplo 1 (seção 3) é
uma alternativa viável para trabalhar esse problema tanto na disciplina de Química Geral,
quanto na disciplina de Álgebra Linear, ou ainda em disciplinas ou projetos
interdisciplinares. Também é adequado para o Ensino Médio, combinando ações dos
professores de Química e de Matemática.
Q02 Ajuste os coeficientes estequiométricos desta outra reação química:
_ _ _ _ P4O10 + _ _ _ _ H2O Æ _ _ _ _ H3PO4.
Nessa questão, considerada mais acessível, 08 (oito) acadêmicos obtiveram o
resultado esperado, 01 (um) obteve resultado proporcional ao esperado (também
considerado correto), 01 (um) errou a questão e 02 (dois) não a resolveram.
Novamente, o problema poderia ser trabalhado por meio da Modelagem
Matemática (exemplo 2, seção 3).
No segundo questionário, foi solicitado aos estudantes, que respondessem às três
questões a seguir.
M01 Você já cursou a disciplina de Álgebra Linear?
( ) Sim.
( ) Não.
Apesar do conteúdo “Sistemas de Equações Lineares” estar presente também no
Ensino Médio (logo, conhecido pelos estudantes antes da graduação), o objetivo dessa
questão é identificar se os estudantes tiveram contato com esse conteúdo no Ensino
Superior, tradicionalmente presente na disciplina de Álgebra Linear.
Dentre os estudantes questionados, 10 (dez) informaram que já cursaram a
disciplina, enquanto 02 (dois) não a cursaram (apesar de ser uma disciplina de segundo
semestre do curso).
M02 Você conhece alguma aplicação do conteúdo de “Sistemas de Equações
Lineares” a problemas de Química?
( ) Sim. Qual?
( ) Não.
Objetivo dessa questão é qualificar se o contato dos estudantes com o conteúdo
“Sistemas de Equações Lineares”, seja no Ensino Médio, seja no Superior, fez com que
eles o relacionassem a problemas de Química e, em especial, ao problema do
Balanceamento de Reações. Dentre os estudantes investigados, 09 (nove) responderam não
conhecer nenhuma aplicação do conteúdo a problemas de Química, 01 (um) não respondeu
554
à questão e apenas 02 (dois) responderam que conhecem alguma aplicação, sendo que
desses somente 01 (um) citou Balanceamento de Reações Químicas.
M03 Apresente, se possível, uma solução numérica para cada um dos Sistemas de
Equações Lineares a seguir. Indique se não for possível.
⎧x + 2 y = 2
3. a ⎨
⎩5 x − 2 y = 4
⎧x − 2 y = 1
3. b ⎨
⎩− 3x + 6 y = −3
⎧x − 2 y = 1
3. c ⎨
⎩− 5 x + 10 y = 5
Foram propostos três Sistemas Lineares com duas equações e duas incógnitas, de
modo que a dimensão não constituiu um obstáculo na resolução dos mesmos. Nenhum
método de resolução específico foi solicitado. Os Sistemas Lineares foram escolhidos de
modo a contemplar todas as possibilidades quanto à existência e ao número de soluções.
O primeiro Sistema Linear (3. a) é Possível e Determinado, cuja única solução é x
= 1 e y = 1/2. Nesse item da questão, 05 (cinco) estudantes responderam corretamente; 03
(três) responderam o valor da variável x corretamente, mas não informaram o valor da
variável y; 01 (um) respondeu o valor da variável x corretamente, mas errou o valor da
variável y; e os 03 (três) restantes responderam incorretamente todo o exercício.
O segundo Sistema Linear (3. b) é Possível e Indeterminado; possui infinitas
soluções da forma x = 1+2k e y = k, com k real. Por exemplo, se k =1, então x = 3 e y = 1 é
uma solução. Nenhum estudante resolveu corretamente esse exercício; 03 (três) estudantes
começaram a resolvê-lo corretamente, mas não conseguiram finalizar o exercício; 02 (dois)
estudantes começaram a resolvê-lo corretamente, mas identificaram erroneamente o
Sistema Linear como Impossível; 03 (três) estudantes erraram o item e 04 (quatro), não o
fizeram.
O último Sistema Linear (3. c) é Impossível; logo, não admite solução. Nesse
exercício, 03 (três) estudantes acertaram; 02 (dois) estudantes começaram a resolvê-lo
corretamente, mas não conseguiram finalizar o exercício; 04 (quatro) estudantes erraram o
item e 03 (três), não o fizeram.
Analisando os resultados obtidos entre os voluntários, podemos observar:
o método para Balanceamento de Reações Químicas conhecido como
“Tentativa e Erro” é adequado para alguns problemas, mas ineficiente em outros;
por outro lado, a resolução via Modelagem Matemática implica, em todos os
casos, na resolução de um Sistema Linear Homogêneo cujas técnicas são bem
conhecidas;
555
a maioria dos estudantes não estabeleceu qualquer ligação entre os
conteúdos de Química e de Matemática explorados nesse artigo;
em geral, os estudantes demonstraram pouca habilidade na resolução dos
Sistemas Lineares propostos; particularmente, para o Sistema Linear Possível e
Indeterminado, eles não obtiveram êxito (justamente o mesmo caso dos sistemas
resultantes dos problemas de Balanceamento de Reações).
5. Discussões Finais
A Modelagem Matemática de Reações Químicas pode ser utilizada para abordar
vários pontos do conteúdo de Sistemas Lineares. Se utilizado para introduzir o conteúdo,
dá significado às variáveis do problema e conduz naturalmente o estudante à estrutura dos
Sistemas Lineares. Se utilizado para a análise das soluções, transfere significado aos
Sistemas Lineares Possíveis e Indeterminados (infinitas soluções), saindo do abstratismo
usual; também, dá sentido prático para a Solução Trivial (Sistemas Lineares Homogêneos).
No Ensino Médio, pode-se trabalhar esse tema de forma interdisciplinar
envolvendo as disciplinas de Matemática e Química; essa idéia será desenvolvida no
prosseguimento natural desse projeto. Para esse fim, devemos moldar uma prática
pedagógica e aplicá-la em escolas da região. Uma dificuldade para a implementação dessa
prática é que o conteúdo químico relacionado ao tema é trabalhado no primeiro ano do
Ensino Médio, enquanto o conteúdo matemático é trabalhado no segundo ano.
Referências Bibliográficas
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea, Porto Alegre: Bookman,
2006. 610 p.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o Debate
Teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Rio de
Janeiro, 2001. 1 CD-ROM
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. 1. ed. São Paulo: Editora Contexto, 2002. 389 p.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Implicações no EnsinoAprendizagem de Matemática. Blumenau: Editora da FURB, 1999. 136 p.
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G. Álgebra
Linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil Ltda., 1980. 411 p.
556
D´AMBRÓSIO, U. Da Realidade a Ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. 2. ed.
São Paulo: Summus; Campinas: Editora da Universidade Estadual de Campinas, 1986. 115
p.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Completa. v. 2. 2. ed. renov. São
Paulo: FTD, 2005. 384 p.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 6. ed. Rio de
Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1998. 554 p.
PAIVA, M. R. Matemática. v. 2. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1995.
PERUZZO, F. M.; CANTO, E. L. Química: na abordagem do cotidiano. Volume único.
2. ed. São Paulo: Moderna, 2002. 584 p.
POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. 690 p.
SANTOS, W. L. P.; MÓL, G. S. Química e Sociedade. PEQUIS – Projeto de Ensino de
Química e Sociedade. 1. ed. São Paulo: Editora Nova Geração, 2005. 742 p.
557