Universidade Federal do Vale do São Francisco
Engenharia Civil
Cálculo Diferencial e Integral I
Profo . Edson
2o Semestre
a
3 Lista de Exercı́cios
Data: Quarta-feira, 16 de Março
2005
Profo . Edson
Máximos, Mı́nimos e Integração
Problema 1 Determine o intervalo de crescimento
e decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto
todos os limites necessários)
a). f (x) = x3 − 3x2 + 1;
b). f (x) = x3 + 2x2 + x + 1;
c). f (x) = x + x1 ;
d). y = x2 + x1 ;
e). y = x +
1
x2 ;
f ). f (x) = 3x5 − 5x3 ;
g). x =
h). x =
h). f (x) = 1 − e−x ;
i). f (x) =
ln x
;
x
j). f (x) = x4 − 2x3 + 2x.
Problema 5 Seja f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0.
Prove que f admite um único ponto de inflexão.
Problema 6 Calcule:
4x3 + x2 + 3
;
x→−1
x5 + 1
a). lim
x100 − x2 + x − 1
;
x→1
x10 − 1
b). lim
1
;
1 + t2
c). lim+ xe x ;
t2
;
1 + t2
d).
1
x→0
e3x
;
x→+∞ x2
lim
i). x = 2 − e−t ;
e).
2
j). y = e−x .
lim
x→+∞
ln x
;
e3x
f ). lim sen x ln x;
Problema 2 Prove que g(x) = 8x3 +30x2 +24x+10
admite uma única raı́z real α, com −3 < α < −2.
Problema 3 Prove que a equação x3 +x2 −5x+1 = 0
possui três raı́zes reais distintas. Localize tais raı́zes.
Problema 4 Estude a função dada com relação à
concavidade e pontos de inflexão.
a). f (x) = x3 − 3x2 − 9x;
b). f (x) = 2x3 − x2 − 4x + 1;
c). f (x) = xe−2x ;
x→0
g). lim (1 − cos x) ln x;
x→0+
h).
lim
x→+∞
i). lim
x→0+
x2 + 1
1
x
ln1x
;
+ ln x ;
1
j). lim− (1 − cos x) x .
x→0
Problema 7 Sejam f (x) = x2 sen x1 e g(x) = x.
(x)
Verifique que lim f (x) = lim g(x) = 0, lim fg(x)
=0
x→0
f´(x)
não
x→0 g´(x)
a
e que lim
x→0
d). x(t) = t2 + 1t ;
com a 1 regra de L´Hospital?
e). g(x) = e−x − e−2x ;
Problema 8 Esboce o gráfico:
f ). g(x) =
g). y =
x2
;
−2
x2
x
;
1 + x2
x→0
existe. Há alguma contradição
a). f (x) = x3 − 3x2 + 3x;
b). f (x) = x3 − x2 + 1;
√
c). y = x2 − 4;
3a Lista de Exercı́cios
2
d). y =
x
;
x+1
e). y =
x2
;
x+1
Problema 15 Dado o triângulo retângulo de catetos
3 e 4. Determine o retângulo de maior área nele inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na
hipotenusa.
f ). g(x) = xe−3x ;
g). f (x) = 2x + 1 + e−x ;
2
h). f (x) = e−x ;
i). f (x) = x4 − 2x2 ;
j). y =
x−1
.
x2
Problema 9 Estude a função dada com relação a
máximos e mı́nimos, locais e globais.
a). f (x) =
x
1+x2 ;
b). f (x) = xe−2x ;
c). f (x) = ex − e−3x ;
d). f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 3;
e). f (x) = x2 + 3x + 2;
−t
f ). x(t) = te ;
g). f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2;
h). f (x) = sen x + cos x, x ∈ [0, π];
i). y(t) = −t3 + 3t2 + 4, x ∈ [0, π2 );
j). h(x) =
x
.
1 + tg x
Problema 10 Determine as dimensões do retângulo
de área máxima e cujo perimetro 2p é dado.
Problema 11 Determine o número real positivo
cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima.
Problema 16 Seja f derivável em R e seja g dada
por g(x) = f (x)
x , se x 6= 0. Suponha que p é ponto de
máximo local de g.
a). Prove que pf 0 (p) − f (p) = 0;
b). Prove que a reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa p passa pela origem.
Problema 17 Seja f : R → R, derivável e tal que
para todo x, f 0 (x) = αf (x), α constante não nula.
Prove que existe uma constante k, tal que, para todo
x, f (x) = keαx .
Problema 18 Uma partı́cula desloca-se sobre o eixo
x, de mode que em cada instante t a velocidade é o
dobro da posição x = x(t). Sabe-se que x(0) = 1.
Determine a posição da partı́cula no instante t.
Problema 19 Seja y = f (x), x ∈ R, derivável até a
2a ordem e tal que, para todo c, f 00 (x) + f (x) = 0.
Seja g dada por g(x) = f 0 (x)sen x−f (x) cos x. Prove
que g é constante.
Problema 20 Determine a função cujo gráfico
passa pelo ponto (0, 1) e tal que a reta tangente no
ponto de abcissa x intercepte o eixo x no ponto de
abcissa x + 1.
Problema 21 Calcule:
Z 2
1+t2
a).
t4 dt
1
Z
Problema 13 Considere a curva y = 1 − x2 , 0 ≤
x ≤ 1. Traçar uma tangente à curva tal que a área
do triângulo que ela forma com os eixos coordenas,
seja mı́nima.
2x dx
0
Z
1
0
Z
π
2
sen2 xdx
d).
0
1
2x
1+x2 dx
e).
0
Z
2
√
x2 1 + x3 dx
f ).
−1
Z
0
g).
x (x + 1)
100
−1
Z
1
h).
Problema 14 Determine M no gráfico de y =
x3 , 0 ≤ x ≤ 1, de modo que a área do triângulo e
vértices (0, 0), (1, 1) e M seja máxima.
2
2xex dx
c).
Z
Problema 12 Determine o número real positivo
cuja soma com o inverso de seu quadrado seja
mı́nima;
2
b).
√
x x2 + 3dx
0
Z
i).
1
2
3s
1+s2 ds
dx
3a Lista de Exercı́cios
3
Z
j).
π
3
sen x cos2 xdx
0
Problema 22 Desenhe o conjunto A e calcule sua
área, onde:
a). A é conjunto do plano limitado pelas retas x =
1, x = 3, pelo eixo x e pelo gráfico de y = x3 ;
b). A é o conjunto de todos os (x, y) tais que
x2 − 1 ≤ y ≤ 0;
c). A é conjunto do plano limitado pelos gráficos
de y = x3 − x, y = sen πx, com −1 ≤ x ≤ 1;
d). A é o conjunto de todos os (x, y) tais que x > 0
e x12 ≤ y ≤ 5 − 4x2 ;
e). A = (x, y) ∈ R| x ≥ 0 e x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x .